Đề thi chọn HSG cấp huyện - Môn thi: Toán học khối lớp 8

Nội dung text: Đề thi chọn HSG cấp huyện - Môn thi: Toán học khối lớp 8

1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài : 150 phút Câu 1. (2,0 điểm) x3 y3 z3 3xyz Rút gọn biểu thức B x y 2 y z 2 x z 2 Câu 2. (4,0 điểm) a) Tìm số dư trong phép chia đa thức x 1 x 3 x 5 x 7 9 cho x2 8x 12. b) Tìm mọi số nguyên x sao cho x3 2x2 7x 7 chia hết cho x2 3 Câu 3. (4,0 điểm) Giải các phương trình: 3 3 1 3 3 a) x 3 x 4 1 x 0 4 4 3 x 3 x b) x x 2 x 1 x 1 Câu 4. (4,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) A 3x 1 x 2 4x 3 14x2 8x 9 b) B 3x2 6x 9 Câu 5. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. M ,Dtương ứng là trung điểm của BC, AM. H là hình chiếu của M trên CD. AH cắt BC tại N, BH cắt AM tại E. Chứng minh rằng a) MHD : CMD b)E là trực tâm ABN Câu 6. (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD.Gọi M là trung điểm của cạnh CD và N là một điểm trên đường chéo AC sao cho B· NM 900.Gọi F là điểm đối xứng của A qua N. Chứng minh rằng FB  AC.
2. ĐÁP ÁN Câu 1. Ta có: x3 y3 z3 3xyz x y 3 3xy x y z3 3xyz x y z 3 3 x y z x y z 3xy x y z x y z x y z 2 3xz 3yz 3xy x y z x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz 3xz 3yz 3xy x y z x2 y2 z2 xy yz xz *) x y 2 y z 2 x z 2 x2 2xy y2 y2 2yz z2 x2 2xz z2 2 x2 y2 z2 xy yz xz 2 2 2 x y z x y z xy yz xz x y z Vậy B 2 x2 y2 z2 xy yz xz 2 Câu 2. a) Đặt f x x 1 x 3 x 5 x 7 9 Ta có: A x 1 x 7 x 3 x 5 9 x2 8x 7 x2 8x 15 9 2 2 x 8x 7 x 8x 12 3 9 x2 8x 7 x2 8x 12 3 x2 8x 7 9 x2 8x 7 x2 8x 12 3 x2 8x 12 9 15 x2 8x 12 x2 8x 10 6 Vậy số dư trong phép chia f x cho x2 8x 12 là 6 b) Thực hiện phép chia đa thức B x3 2x2 7x 7 cho C x2 3 , ta được: Đa thức thương: x 2;đa thức dư: 4x 1 Suy ra : x3 2x2 7x 7 x2 3 x 2 4x 1 Do đó B x2 3 4x 1  3x2 3 (1) Vì 4x 1 vs 4x 1 nên:
3. 1 4x 1 4x 1 x2 3 16x2 1  x2 3 16 x2 3 49(x2 3) 49(x2 3) Vì x2 3 3 nên xảy ra một tong hai trường hợp sau: x2 3 49, không có giá trị nào thỏa mãn 2 2 x 2(tm) x 3 7 x 4 x 2(ktm) Vậy x 2 Câu 3. 1 3 a) Đặt a x 3;b x 4 a b x 1 1 x a b 4 4 Ta có (pt đề) a3 b3 a b 3 0 a3 b3 a3 b3 3ab a b 0 3ab a b 0 1 x 3 0 4 x 12 a 0 3 16 b 0 x 4 0 x 4 3 a b 0 x 1 0 x 1 16  Vậy S 12; ;1 3  b) ĐKXĐ: x 1 3 x 3 x 3x x2 x2 x 3 x x x 2 . 2 x 1 x 1 x 1 x 1 3x x2 x2 3 2 x 1 2 3x3 9x x4 3x2 2x2 4x 2 x4 3x3 5x2 5x 2 0 x 1 2 . x2 x 2 0
4. x 1 0 x 1(tm) 2 x x 2 0 VN Vậy S 1 Câu 4. a) Áp dụng tính chất a a,dấu " "xảy ra a 0, ta có: A 3x 1 x 2 4x 3 3x 1 x 2 4x 3 6 A 6 1 1 Dấu “=” xảy ra 3x 1 0 và x 2 0 x và x 2 x 3 3 1 Vậy min A 6 x 3 2 14x2 8x 9 2 b) Ta có B 3 3x2 6x 9 3 2 2 2 14x 8x 9 2 x 2x 3 12x2 12x 3 2x 1 3 x2 2x 3 3 x2 2x 3 x 1 2 2 Với mọi x, ta có: 3 2x 1 2 0, x 1 2 2 2 0 2 2x 1 2 2 1 0 B 0 B x x 1 2 2 3 3 2 Câu 5. A D H E C N B M
5. a) Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của ABC Mà ABC cân tại A (gt) nên AM là đường cao của ABC Xét MHD và CMD có: M· HD C· MD 900;M· DH C· DM MHD : CMD g.g b) MHD : CMD (câu a) HD HM HD HM (Vi MD AD,CM BM ) MD CM AD BM Mặt khác ta có: ·ADH 900 D· MH B· MH Suy ra HDA : HMB(c.g.c) Do đó: ·AHD B· HM ·AHB D· HM 900 BH  AN Kết hợp với AM  BC E là trực tâm ABN. Câu 6. B E C I M F N A D Gọi I là trung điểm của BF, đường thẳng NI cắt BC tại E Ta có: F đối xứng với A qua N (gt) N là trung điểm của AF Mà I là trung điểm của BF nên NI là đường trung bình ABF 1 NI / / AB, NI AB 2
6. Mặt khác AB / /CD; AB CD (ABCD là hình chữ nhật và M là trung điểm của CD) CD AB  BC;CM suy ra NI  BC; NI / /CM và NI CM 2 Tứ giác CINM là hình bình hành CI / /MN Mà MN  BN B· NM 900 CK  BN tại K Do đó I là trực tâm BCN BF  AC.