Đề thi chọn học sinh giỏi vòng huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi vòng huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

1. KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN- NĂM HỌC 2012 – 2013 ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (4 điểm) x 1 y 2 z 3 a/ Tìm x, y, z biết và 3x + 2y + z = 989 111 222 333 2012 a c a b a2012 b2012 b/ Cho tỉ lệ thức (b,d 0) . Chứng minh rằng: b d c d 2012 c2012 d 2012 Bài 2: (4 điểm) a/ Chứng minh rằng biểu thức S = 30 + 31 + 32 + 33 + 34 + 35 + + 394 + 395 chia hết cho 40. b/ Tìm các giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức A = 3n3 + 10n2 – 5 chia hết cho giá trị của biểu thức B = 3n + 1. Bài 3: (4 điểm) a/ Chứng minh đẳng thức : (a + b + c) 3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)( b + c)(c + a) b/ Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường trung tuyến AM (với M BC). Gọi D là điểm đối xứng với A qua M, E là điểm đối xứng với A qua BC. a/ Chứng minh BCDE là hình thang cân. b/ Qua A kẻ đường thẳng d bất kỳ không cắt cạnh BC. B’, C’ là hình chiếu của B và C trên đường thẳng d. Chứng minh rằng: BB’ + CC’ BC Bài 5: (4 điểm) Cho hình vuông ABCD có độ dài đường chéo là 1. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q . Chứng minh rằng chu vi tứ giác MNPQ không nhỏ hơn 2. HẾT
2. HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8 (THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013) Bài Đáp án Điểm Bài 1: x 1 y 2 z 3 a/ và 3x + 2y + z = 989 (4 đ) 111 222 333 x 1 y 2 z 3 3(x 1) 2(y 2) z 3 3x 3 2y 4 z 3 0,5 đ Từ 111 222 333 333 444 333 333 444 333 3x 3 2y 4 z 3 3x 3 2y 4 z 3 3x 2y z 10 989 10 9 333 444 333 333 444 333 1110 1110 10 0,5 đ 111.9 9 x 1 x 98 10 10 0,5 đ 222.9 4 y 2 y 197 10 5 0,5 đ 333.9 7 z 3 z 296 0,5 đ 10 10 a c b/ Đặt k a bk ; c dk b d 2012 2012 2012 a b bk b b k 1 b2012 (1) 0,5 đ 2012 2012 2012 d 2012 c d dk d d k 1 2012 2012 a2012 b2012 (bk)2012 b2012 b k 1 b2012 2012 2012 2012 2012 2012 (2) 0,5 đ c d (dk) d d 2012 k 2012 1 d 2012 a b a2012 b2012 Từ (1) và (2) suy ra c d 2012 c2012 d 2012 0,5 đ Bài 2: a/ Từ 0 đến 95 có: (95 – 0) + 1 = 96 phần tử, do đó có 24 bộ 4 số liên tiếp nhau 0,5 đ (4 đ) S = (30 + 31 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36 + 37) + + (392 + 393 + 394 + 395) 0,5 đ S = 40 + 34.40 + + 392.40 0,5 đ Các hạng tử đều chia hết cho 40 nên S chia hết cho 40. 0,5 đ b/ Thực hiện phép chia A cho B được thương là n2 + 3n – 1, dư là – 4 0,5 đ Để A chia hết cho B thì 3n + 1 Ư(4) = { 1; 2; 4} 0,5 đ 3n + 1 -1 1 -2 2 -4 4 n 2 0 -1 1 5 1 0,5 đ 3 3 3 Kết luận Loại Nhận Nhận Loại Loại Nhận Vậy n = 0 ; n = -1; n = 1 0,5 đ Bài 3: a/ Chứng minh đẳng thức : (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)( b + c)(c + a) 2 đ (4 đ) Vế trái: (a + b + c)3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) = a3 + b3 + 3ab(a + b) + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[ab + c(a + b + c)] = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[ab + ca + cb + c2] = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)] = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c) = vế phải đpcm b/ Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc 2 đ
3. Phân tích thành nhân tử: a3 + b3 + c3 - 3abc = = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc = (a + b + c)3 – 3c(a + b)(a + b + c) – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b + c)2 – 3c(a + b) – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac – 3ac – 3bc – 3ab) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ac – bc – ab) Theo đề cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac a2 + b2 + c2 – ac – bc – ab = 0 a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 hay a3 + b3 + c3 = 3abc Bài 4: Hình vẽ: B' 0,5 đ A (4 đ) M' C' // d x B C M x // E D a/ Chứng minh HM là đường trung bình của ADE HM // ED hay BCDE là hình thang. (1) 0,5 đ + Chứng minh BD = AC (do ABDC là hình bình hành) 0,5 đ + Chứng minh CE = AC (do A và E đối xứng qua BC) 0,5 đ BD = CE (2) 0,5 đ Từ (1) và (2) suy ra BCDE là hình thang cân. b/ Kẻ thêm MM’  d MM’ là đường trung bình của hình thang BCC’B’ 0,5 đ BB’ + CC’ = 2MM’mà MM’ AM hay 2MM’ 2AM = BC 0,5 đ suy ra: BB’ + CC’= 2MM’ BC 0,5 đ Bài 5: Hình vẽ: 0,5 đ (4 đ) Q D A K M F P I E B N C Kẻ ME  BD ; QF  BD ; NI  BD ; PK  BD 0,5 đ Ta có: MN ME + NI; NP IK 0,5 đ PQ QF + PK; QM EF 0,5 đ Gọi p là chu vi tứ giác MNPQ, thì: p = MN + NP + PQ + MQ 0,5 đ p ME + NI + IK + QF + PK + EF = (ME + EF + FQ) + (NI + IK + PK) 0,5 đ Mà các tam giác EBM, FDQ, IBN, KDF vuông cân. 0,5 đ p (BE + EF + FD) + (BI + IK + DK) = 2BD = 2 0,5 đ