Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp tỉnh Bắc Giang năm học 2012-2013 môn thi Toán; lớp 7 phổ thông

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp tỉnh Bắc Giang năm học 2012-2013 môn thi Toán; lớp 7 phổ thông

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 30/3/2013 Đề thi có 01 trang Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (4,0 điểm) 3 2 1 3 2 1 1) Rút gọn: A : . 2 5 10 2 3 12 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2012 x 2013 với x là số tự nhiên. Câu 2. (5,0 điểm) 1) Tìm x biết 2x 2.3x 1.5x 10800 . 2) Ba bạn An, Bình và Cường có tổng số viên bi là 74. Biết rằng số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5. Tính số viên bi của mỗi bạn. Câu 3. (4,0 điểm) 1) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p2 2012 là hợp số. 2) Cho n là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm n biết n 4 và 2n đều là các số chính phương. Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn. 1) Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân ở B. Gọi H là trung điểm của BC, trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI BC . Chứng minh hai tam giác ABI và BEC bằng nhau và BI  CE . 2) Phân giác của các góc ·ABC, B· DC cắt AC, BC lần lượt tại D, M. Phân giác của 1 góc B· DA cắt BC tại N. Chứng minh rằng: BD MN. 2 Câu 5. (1,0 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Cho S 1 và P . 2 3 4 2011 2012 2013 1007 1008 2012 2013 Tính S P 2013 . Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký)
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 30/3/2013 Bản hướng dẫn có 03 trang Câu Phương pháp-Kết quả Điểm Câu 1 ( 4 điểm) 1 15 4 1 18 8 1 (2điểm) A : 0.5đ 10 10 10 12 12 12 12 11 0.5đ : 10 12 6 12 72 . 5 11 55 0.5đ 72 0.5 Vậy A . 55 P x 2012 x 2013 2 0.5 đ + Nếu x 2012 hoặc x 2013 thì P 1 (2điểm) + Nếu x 2013 thì P x 2012 x 2013 1 x 2013 1 0.5đ + Nếu x 2012 thì P x 2012 x 2013 x 2012 1 1 0.5 + Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt được khi x 2012 hoặc x 2013 . 0.5 đ Câu 2 (4điểm) Ta có 2x 2.3x 1.5x 10800 2x.22.3x.3.5x 10800 1.0 đ 1 (2.5điểm) 2.3.5 x 900 0.5 đ 30x 302 x 2 0.5 Vậy x 2 là kết quả cần tìm. 0.5 đ + Gọi số viên bi của An, Bình, Cường lần lượt là a,b,c . Vì tổng số viên bi 0.5 đ 2 của ba bạn là 74 nên a b c 74 (2.5điểm) a b a b + Vì số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6 nên 5 6 10 12 0.5 đ b c b c 0.5 + Vì số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5 nên 4 5 12 15 a b c a b c 74 + Từ đó ta có 2 10 12 15 10 12 15 37 0.5đ
3. 0.5đ + Suy ra a 20;b 24;c 30 Câu 3 (4điểm) 1 + Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng p 3k 1 k ¥ ,k 1 0.5 (2điểm) +Với p 3k 1 0.5 suy ra p2 2012 3k 1 2 2012 9k 2 6k 2013 p2 2012 3 0.5 +Với p 3k 1 suy ra p2 2012 3k 1 2 2012 9k 2 6k 2013 p2 2012 3 Vậy p2 2012 là hợp số. 0.5 2 (2điểm) + Vì n là số có hai chữ số nên 9 n 100 18 2n 200 0.5đ + Mặt khác 2n là số chính phương chẵn nên 2n có thể nhận các giá trị: 0.5đ 36; 64; 100; 144; 196. + Với 2n 36 n 18 n 4 22 không là số chính phương 2n 64 n 32 n 4 36 là số chính phương 2n 100 n 50 n 4 54 không là số chính phương 0.5 đ 2n 144 n 72 n 4 76 không là số chính phương 2n 196 n 98 n 4 102 không là số chính phương + Vậy số cần tìm là .n 32 0.5đ Câu 4 (6 điểm) 1 (3điểm) + Xét hai tam giác AIB và BCE Có AI=BC (gt) BE=BA( gt) 0.5 + Góc I¼AB là góc ngoài của tam giác ABH nên ¼ ¼ ¼ ¼ 0 IAB ABH AHB ABH 90 0.5 + Ta có E· BC E· BA ·ABC ·ABC 900 . Do đó I·AB E· BC . + Do đó VABI VBEC(c g c) 0.5 đ + Do ABI BEC(c g c) nên ·AIB B· CE . V V 0.5 đ
4. + Trong tam giác vuông IHB vuông tại H có ·AIB I·BH 900 . 0.5đ Do đó B· CE I·BH 900 . KL: CE vuông góc với BI. 0.5đ 2 (3điểm) + Do tính chất của đường phân giác, ta có DM  DN . 0.5 đ + Gọi F là trung điểm của MN. Ta có FM FD FN . 0.5 đ + Tam giác FDM cân tại F nên F· MD M· DF . F· MD M· BD B· DM (góc ngoài tam giác) 0.5 đ M· BD C· DM Suy ra M· BD C· DF (1) 0.5 đ Ta cóM· CD C· DF C· FD (2) Do tam giác ABC cân tại A nên M· CD 2M· BD (3) 0.5 đ Từ (1), (2), (3) suy ra M· BD D· FC hay tam giác DBF cân tại D. Do đó 1 BD DF MN 0.5 đ 2 Câu 5 1 1 1 1 1 1 ChoS 1 và (1 điểm) 2 3 4 2011 2012 2013 (1 điểm) 1 1 1 1 2013 P . Tính S P . 1007 1008 2012 2013 + Ta có: 1 1 1 1 P 1007 1008 2012 2013 1 1 1 1 1 1 1 0.5 đ 1 2 3 1006 1007 1008 2012 2013 1 1 1 1 2 3 1006 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1006 1007 1008 2012 2013 1 1 1 1 2 2 4 6 2012 1 1 1 1 1 0.5 đ 1 =S. 2 3 4 2012 2013 Do đó S P 2013 =0 Điểm toàn bài (20điểm) Lưu ý khi chấm bài: Trên đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm và cho điểm từng phần tương ứng.