Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Phòng giáo dục và đào tạo Thủy Nguyên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Phòng giáo dục và đào tạo Thủy Nguyên (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 90 phút( Không kể thời gian giao đề) Câu 1. (3 điểm) 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a, x4 4 b, x 2 x 3 x 4 x 5 24 a b c 2. Cho 1 . Chứng minh rằng: b c c a a b a2 b2 c2 0 b c c a a b Câu 2: (2 điểm) 1. Tìm a,b sao cho f x ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g x x2 x 2 2. Tìm số nguyên a sao cho a 4 4 là số nguyên tố Câu 3.( 3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME AB, MF AD. a. Chứng minh: DE = CF b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 4.(1,5 điểm) Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HẾT
2. UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN 8 Câu Đáp án Điểm 1a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 0,5 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 0,25 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) 0,25 1b. ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 1 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 0,25 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 0,25 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) 0,25 = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) 0,25 a b c 2. Nhân cả 2 vế của: 1 b c c a a b với a + b + c 0,5 rút gọn đ pcm 0,5 1. Ta có : g x x2 x 2= x 1 x 2 Vì 3 2 0,25 f x ax bx 10x 4 chia hết cho đa thức g x x2 x 2 2 Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x) ax3 bx2 10x 4= x+2 . x-1 .q x 0,25 Với x=1 a+b+6=0 b=-a-6 1 0,25 Với x=-2 2a-b+6=0 2 Thay (1) vào (2) . Ta có : a=2 và b=4 0,25 2. Ta có : a 4 4= a 2 -2a+2 a 2 +2a+2 0,25 Vì a Z a 2 -2a+2 Z;a 2 +2a+2 Z Có a 2 +2a+2= a+1 2 1 1 a 0,25 Và a 2 -2a+2= a-1 2 1 1 a Vậy a 4 4 là số nguyên tố thì a 2 +2a+2=1 hoặc a 2 - 2a+2=1 0,25
3. Nếu a 2 -2a+2=1 a 1 thử lại thấy thoả mãn Nếu a 2 +2a+2=1 a 1 thử lại thấy thoả mãn 0,25 E A B 0,25 F M D C a. Chứng minh: AE FM DF 0,5 AED DFC đpcm 0,5 3 b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC đpcm 1 c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ME MF a không đổi 0,5 SAEMF ME.MF lớn nhất 0,25 ME MF (AEMF là h.v) 0,25 M là trung điểm của BD. 0,25 (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 0,25 (a+ b) – ab = 1 0,25 (a – 1).(b – 1) = 0 0,25 4 a = 1 hoặc b = 1 0,25 Vì a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1; hoặc b = 0 (loại) Vì b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1; hoặc a = 0 (loại) 0,25 Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2 0,25 * Chú ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa HẾT