Đề thi chọn học sinh giỏi - Môn: Toán khối lớp 8

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi - Môn: Toán khối lớp 8

1. PHÒNG GD & ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THƯỜNG TÍN Môn: TOÁN 8 Năm học: 2014-2015 Bài 1. (6 điểm) Cho biểu thức 2x 3 2x 8 3 21 2x 8x2 P 2 2 : 2 1 4x 12x 5 13x 2x 20 2x 1 4x 4x 3 a) Rút gọn P 1 b) Tính giá trị của P khi x 2 c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. d) Tìm x để P 0 Bài 2. (3 điểm) Giải phương trình 15x 1 1 a) 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3 148 x 169 x 186 x 199 x b) 10 25 23 21 19 c) x 2 3 5 Bài 3. (2 điểm) Một người đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm 5km / h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó Bài 4. (7 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của C qua P. a) Tứ giác AMDB là hình gì ? b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD.Chứng minh EF / / AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P PD 9 d) Giả sử CP  BD và CP 2,4cm, . Tính các cạnh của hình chữ nhật PB 16 ABCD Bài 5. (2 điểm) a) Chứng minh rằng : 20092008 20112010 chia hết cho 2010 b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy
2. ĐÁP ÁN Bài 1. 4x2 12x 5 2x 1 2x 5 13x 2x2 20 x 4 5 2x 21 2x 8x2 3 2x 7 4x 4x2 4x 3 2x 1 2x 3 1 5 3 7  Điều kiện x ; ; ; ;4 2 2 2 4  2x 3 a) Rút gọn P 2x 5 1 x 1 2 b) x 2 1 x 2 1 1 )x P 2 2 1 2 )x P 2 3 c) Ta có: 1 ¢ 2 Vậy ƯP ¢ ¢ x 5 2 1; 2;1;2 x 5 x 5 2 x 3 (tm) x 5 1 x 4 (ktm) x 5 1 x 6 (tm) x 5 2 x 7 (tm) 2x 3 2 d) P 1 2x 5 x 5 Ta có: 1 0 2 Để P 0 thì 0 x 5 0 x 5 x 5 Với x 5 thì P 0
3. Bài 2. a) 15x 1 1 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3 15x 1 1 1 12. . DK : x 4; x 1 x 4 x 1 x 4 3 x 1 3.15x 3 x 4 x 1 3.12 x 1 12 x 4 3x 0 x 0 (tm) 3x x 4 0 x 4 0 x 4(tm) Vậy S 0 b) 148 x 169 x 186 x 199 x 10 25 23 21 19 148 x 169 x 186 x 199 x 1 2 3 4 0 25 23 21 19 1 1 1 1 123 x 0 25 23 21 19 1 1 1 1 Do 0 nên 123 x 0 x 123 25 23 21 19 Vậy S 123 c) x 2 3 5 Ta có: x 2 0x x 2 3 0 nên x 2 3 x 2 3 Phương trình được viết dưới dạng: x 2 3 5 x 2 2 )x 2 2 x 4 )x 2 2 x 0 S 0;4
4. Bài 3. Gọi khoảng cách giữa A và B là x km (x 0) x 3x 1 Vận tốc dự định của người đi xe gắn máy là: km / h 3h20' 3 h 1 3 10 3 3 3x Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên 5km / h là: 5 km / h 10 Theo đề bài ta có phương trình: 3x 5 .3 x x 150 (tm) 10 Vậy khoảng cách giữa A và B là 150 km 3.150 Vận tốc dự định là 45 km / h 10 Bài 4. D C P M I F E A B a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD PO là đường trung bình của tam giác CAM AM / /PO tứ giác AMDB là hình thang b) Do AM / /BD nên O· BA M· AE (đồng vị ) Tam giác AOB cân ở O nên O· BA O· AB Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên I·AE I·EA Từ chứng minh trên : F· EA O· AB , do đó EF / / AC (1) Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP / / AC (2)
5. Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E,F,P thẳng hàng MF AD c) MAF : DBA g g nên không đổi FA AB PD 9 PD PB d) Nếu thì k PD 9k,PB 16k PB 16 9 16 CP PB Nếu CP  BD thì CBD : DCP(g.g) PD CP Do đó: CP2 PB.PD hay 2,4 2 9.16k 2 k 0,2 PD 9k 1,8cm PB 16k 3,2cm BD 5cm Chứng minh BC 2 BP.BD 16 Do đó BC 4cm; CD 3cm. Bài 5. a) Ta có: 20092008 20112010 20092008 1 20112010 1 Vì 20092008 1 2009 1 20092007 2010. chia hết cho 2010 (1) Vì 20112010 1 2011 1 20112009 2010. chia hết cho 2010 (2) Từ (1) và (2) ta có đpcm. b) 1 1 2 1 1 x2 1 y2 1 xy 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy x y x y x y 0 1 x2 1 xy 1 y2 1 xy y x 2 xy 1 0 2 1 x2 1 y2 Vì x 1; y 1 xy 1 xy 1 0 (2) BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng . Dấu " "xảy ra khi x y