Đề thi chọn học sinh giỏi - Môn: Toán 8

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi - Môn: Toán 8

1. UBND THÀNH PHỐ HUẾ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020 -2021. MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1. (2,5 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử 2x2 + 7xy + 5y2 – 5y – 2x b) Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức: 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y – 2x + 2 = 0 Bài 2. (2,5 điểm) a) Tìm số dư của phép chia (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) + 2020 cho x2 + 7x + 5 b) Cho x2 + 2x = 1. Tính giá trị của biểu thức A = x6 + 3x5 + 3x4 + 3x3 + 2x2 + 8x + 7 Bài 3. (2,0 điểm) 1 1 1 x6 y6 z6 a) Cho x, y, z là các số khác 0 và x y z 0 . Chứng minh xyz x y z x3 y3 z3 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a = x4 – 4x3 + 7x2 – 12x + 75 Bài 4. (3,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O . Lấy điểm M tùy ý trên đoạn thẳng BO . Gọi N là điểm đối xứng của C qua M . a) Tứ giác ANBD là hình gì? Vì sao? b) Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ N xuống AB và AD . Chứng minh EF //AC c) Chứng minh E, F, M thẳng hàng. HẾT
2. HƯỚNG DẪN GIẢI UBND THÀNH PHỐ HUẾ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020 -2021. MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1. (2,5 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x2 7xy 5y2 5y 2x . b) Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức: 5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 . Lời giải: a) 2x2 7xy 5y2 5y 2x 2x2 2xy 5xy 5y2 2x 5y 2x(x y) 5y(x y) (2x 5y) (x y)(2x 5y) (2x 5y) (2x 5y)(x y 1) b) 5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 4x2 8xy 4y2 x2 2x 1 y2 2y 1 0 (2x 2y)2 (x 1)2 (y 1)2 0 Vì (2x 2y)2 0 ; (x 1)2 0 ; (y 1)2 0 với x, y, z ¡ 2x 2y 0 x 1 x 1 0 y 1 y 1 0 Bài 2. (2,5 điểm) a) Tìm số dư của phép chia (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 2020 cho x2 7x 5 . b) Cho x2 2x 1 . Tính giá trị của biểu thức A x6 3x5 3x4 3x3 2x2 8x 7 . Lời giải: A (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 2020 a) Đặt 2 t x 7x 5
3. A (x 2)(x 5)(x 3)(x 4) 2020 (x2 7x 10)(x2 7x 12) 2020 (t 5)(t 7) t 2 12t 35 2020 t 2 12t 2055 A:t dư 2055. 6 5 4 3 2 b) Có: A x 3x 3x 3x 2x 8x 7 x6 2x5 x4 x5 2x4 x3 2x4 4x3 2x2 4x2 8x 4 11 x4 (x2 2x 1) x3 (x2 2x 1) 2x2 (x2 2x 1) 4(x2 2x 1) 11 (x2 2x 1)(x4 x3 2x2 4) 11 Do: x2 2x 1 x2 2x 1 0 A 11. Bài 3. (2,0 điểm) 1 1 1 x6 y6 z6 a) Cho x, y, z là các số khác 0 và x y z 0 . Chứng minh xyz . x y z x3 y3 z3 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x4 4x3 7x2 12x 75 . Lời giải: 3 3 3 a) Ta có: x y z 0 x y z 3xyz Thật vậy: x y z (x y)3 ( z)3 x3 y3 3xy.(x y) z3 x3 y3 z3 3xy.(x y) 0 x3 y3 z3 3xy.( z) 0 (vì: x y z ) x3 y3 z3 3xyz (đpcm) (1) Tương tự: x6 y6 z6 (x2 )3 (y2 )3 (z2 )3 3x2 y2 z2 1 1 1 xy yz xz Thật vậy: 0 0 xy yz xz 0 x y z xyz Mà: (x y z)2 0 x2 y2 z2 2(xy yz zx) 0
4. x2 y2 z2 0 (x2 )3 (y2 )3 (z2 )3 3x2 y2 z2 (2) x6 y6 z6 3x2 y2 z2 Từ (1) và (2) xyz (đpcm) x3 y3 z3 3xyz b) A x4 4x3 7x2 12x 75 x4 2x2.2x 4x2 3x2 12x 12 63 (x2 2x)2 3(x2 4x 4) 63 (x2 2x)2 3(x 2)2 63 Vì (x2 2x)2 0 ; 3(x 2)2 0 x ¡ Nên A 63 . Dấu bằng xảy ra x 2. Vậy Min A 63 x 2. Bài 4. (3,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O . Lấy điểm M tùy ý trên đoạn thẳng BO . Gọi N là điểm đối xứng của C qua M . a) Tứ giác ANBD là hình gì? Vì sao? b) Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ N xuống AB và AD . Chứng minh EF //AC c) Chứng minh E, F, M thẳng hàng. Lời giải: a) Xét ACN có: M là trung điểm của NC;O là trung điểm của AC
5. OM là đường trung bình của ACN OM //NA BD//AN tứ giác ANBD là hình thang. b) Gọi H là giao điểm của NE và BD , I là giao điểm của AN và EF NH //AD N· HB ·ADB(dv)   ·ANE ·ADB (1) · · AN //BD NHB ANE(slt) ·ADB ·ABD 90  Ta có:  C· AB ·ADB 90 (2) · · ABD CAB  ·ANE I·AE 90   ·ANE I·EA 90 (3) · · IAE IEA  (1), (2), (3) I·AE O· BA Mà 2 góc này ở vị trí so le trong FC//AC c) Xét ACN có I là trung điểm của AN;M là trung điểm của NC IM là đuờng trung bình trong ACN IM //AC Mà EF //AC, I FE F, I, E, M thẳng hàng  HẾT 