Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8 - Môn thi: Toán (đề 5)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8 - Môn thi: Toán (đề 5)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 HUYỆN SƠN DƯƠNG NĂM HỌC : 2015-2016 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút Câu 1. (4 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x x 2 x2 2x 2 1 3 5 7 2n 1 b) Rút gọn biểu thức: A 2 2 2 2 1.2 2.3 3.4 n n 1 Câu 2. (4 điểm) 1 1 1 yz xz xy a) Cho 0. Tính A x y z x2 y2 z2 b) Tìm tất cả các số x, y, z nguyên thỏa mãn: x2 y2 z2 xy 3y 2z 4 0 Câu 3. (4 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì: A x y x 2y x 3y x 4y y4 là số chính phương. b) Cho a1,a2 , ,a2016 là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3 3 3 3 Chứng minh rằng: A a1 a2 a2016 chia hết cho 3. Câu 4. (6 điểm) Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD,BMEF a) Chứng minh rằng: AE  BC b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D,H,F thẳng hàng c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Câu 5. (2 điểm) Cho a,b,c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: a b c 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Tính giá trị của biểu thức : P a2 2bc b2 2ac c2 2ab
2. ĐÁP ÁN Câu 1. a) x x 2 x2 2x 2 1 x2 2x x2 2x 2 1 2 x2 2x 2 x2 2x 1 2 x2 2x 1 x 1 4 2 2n 1 n 1 n2 1 1 b) Ta có: 2 2 2 n2 2 n n 1 n n 1 n 1 1 n n 2 B 1 n 1 2 n 1 2 Câu 2. a) Ta có a b c 0 thì : a3 b3 c3 a b 3 3ab a b c3 c3 3ab c c3 3abc (vì a b c 0 a b c) 1 1 1 1 1 1 3 Theo giả thiết 0 x y z x3 y3 z3 xyz yz xz xy xyz xyz xyz A x2 y2 z2 x3 y3 z3 1 1 1 3 xyz 3 3 3 xyz. 3 x y z xyz b) x2 y2 z2 xy 3y 2z 4 0 2 2 y 2 3 2 x xy z 2z 1 y 3y 3 0 4 4 2 y 2 3 2 x z 1 y 2 0 2 4 Có các giá trị x, y, z 1;2;1
3. Câu 3. a) Ta có: A x y x 2y x 3y x 4y y4 x2 5xy 4y2 x2 5xy 6y2 y4 Đặt x2 5xy 5y2 t t ¢ thì 2 A t y2 t y2 y4 t 2 y4 y4 t 2 x2 5xy 5y2 Vì x, y, z ¢ nên x2 ¢ ,5xy ¢ ,5y2 ¢ x2 5xy 5y2 ¢ (dfcm) Vậy A là số chính phương b) Dễ thấy a3 a a a 1 a 1 là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 Xét hiệu: 3 3 3 A a1 a2 a2016 a1 a2 a2016 a1 a2 a2016 3 3 3 a1 a1 a2 a2 a2016 a2016 Các hiệu trên chia hết cho 3 , do vậy A chia hết cho 3 Câu 4. D C I H O E F A K B a) AME CMB(cgc) E· AM B· CM Mà B· CM M· BC 900 E· AM M· BC 900 ·AHB 900 AH  BC
4. b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. 1 1 AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến HO AC DM 2 2 DHM vuông tại H suy ra D· HM 900 Chứng minh tương tự: M· HF 900 Suy ra D· HM M· HF 1800 , vậy 3 điểm D, H, F thẳng hàng c) Gọi I là giao điểm của AC và DF Ta có: D· MF 900 MF  DM mà IO  DM IO / /MF Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF Kẻ IK  AB(K AB) IK là đường trung bình của hình thang ABFD AD BF AM BM AB IK (không đổi) 2 2 2 Do A, B cố định nên K cố định , mà IK không đổi nên I cố định Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Câu 5. a b c 2 a2 b2 c2 ab ac bc 0 a2 a2 a2 a2 2bc a2 ab ac bc a b a c b2 b2 c2 c2 Tương tự: ; b2 2ac b a b c c2 2ac c a c b a2 b2 c2 P a2 2bc b2 2ac c2 2ab a2 b2 c2 a b a c b a b c c a c b a b a c b c 1 a b a c b c