Đề thi chọn học sinh giỏi khối lớp 8 - Môn: Toán

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi khối lớp 8 - Môn: Toán

1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 MÔN: TOÁN 8 (Thời gian làm bài : 120 phút) Câu 1. (3 điểm) a) Cho biểu thức A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4.Chứng minh rằng nếu a,b,clà 3 cạnh của một tam giác thì A 0 b) Chứng minh rằng a5 a30 a ¢ Câu 2. (2 điểm) Giải phương trình : x2 2xy y2 3x 2y 1 4 2x x2 3x 2 Câu 3. (1,5 điểm) Cho a3 b3 2.Chứng minh rằng a b 2 Câu 4. (1,5 điểm) Cho hình thang ABCD AB / /CD , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Một đường thẳng d qua O song song với 2 đáy cắt hai cạnh bên AD,BC lần 1 1 2 lượt tại E và F. Chứng minh rằng . AB CD EF Câu 5. (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M , N theo thứ tự thuộc các cạnh AB,BC sao cho AN CM.Gọi K là giao điểm của AN và CM.Chứng minh rằng KD là tia phân giác của ·AKC
2. ĐÁP ÁN Câu 1. a) A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 4a2b2 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 2 2ab 2 a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 a b 2 c2 c2 a b 2 a b c a b c c a b c a b Do a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên a b c 0;a b c 0;c a b 0;c a b 0 A 0 a5 a a a4 1 a a2 1 a2 1 a a 1 a 1 a 4 2 5 b) a a 1 a 1 a 2 a 2 5a a 1 a 1 Do tích của số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong 5 số nguyên liên tiếp luôn có ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và 6,5 1 Suy ra a a 1 a 1 a 2 a 2 30 và 5a a 1 a 1 30. Vậy a5 a30 Câu 2. x2 2xy y2 3x 2y 1 4 2x x2 3x 2 x y 1 2 x 2 x 1 x 2 2x 4 (1) Do x y 1 2 x 2 x 1 x 2 0 (x, y) 2x 4 0 2 x 2 0 x 2 Với x 2 thì x y 1 2 x 2 x y 1 2 x 2; x 1 x 2 x2 3x 2 Khi đó từ phương trình (1) x y 1 2 x 2 x 1 2 x 2 x y 1 2 x 2 2 x 1 1 x 2 2 x y 1 2 x 2 2 0 x 2 0và x y 1 0 x 2; y 3(tm) Vậy tập nghiệm của phương trình là : x; y 2;3
3. Câu 3. Giả sử a b 2 a b 3 23 a3 b3 3ab a b 8 2 3ab a b 8(a3 b3 2) 3ab a b 6 ab a b 2 ab a b a3 b3 a3 b3 2 ab a b a b a2 ab b2 ab a2 ab b2 a2 2ab b2 0 a b 2 0(Vo ly') Vậy a b 2 Câu 4. A B E O F D C OE OD Xét ABD có OE / / AB (Hệ quả định lý Talet) (1) AB DB OF OB Xét ABC có OF / /DC (hệ quả định lý Talet ) (2) CD BD OF OC Xét ABC có OF / / AB (hệ quả định lý Ta let ) (3) AB AC OE AO Xét ABD có OE / /DC (Hệ quả định lý Ta let ) (4) DC AC Từ (1), (2), (3), (4) suy ra OE OF OF OE OD OB OC AO AB CD AB DC DB BD AC AC OE OF OF OE OD OB OC AO AB AB CD DC DB BD AC AC EF EF BD AC EF EF 1 1 2 2 AB DC BD AC AB DC AB CD EF
4. Câu 5. A M B I K J N D C Kẻ DI,DJ lần lượt vuông góc với AK,CK 1 1 Ta có: S AN.DI S (Do chung đáy AD, cùng chiều cao hạ từ N) (1) AND 2 2 ABCD 1 1 S CM.DJ S (Do chung đáy CD, cùng chiều cao hạ từ M ) (2) CDM 2 2 ABCD 1 1 Từ (1) và (2) suy ra : AN.DI CM.DJ DI DJ (Vì AN CM ) 2 2 DIK DJK (cạnh huyền-cạnh góc vuông) I·KD J·KD KD là tia phân giác ·AKC