Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Phòng giáo dục và đào tạo thành phố Uông Bí (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Phòng giáo dục và đào tạo thành phố Uông Bí (Có đáp án)

1. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP THÀNH PHỐ THÀNH PHỐ UễNG BÍ NĂM HỌC 2012-2013 MễN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Chữ kớ giỏm thị 1 Ngày thi: 24/4/2013 Thời gian làm bài: 150 phỳt Chữ kớ giỏm thị 2 (Khụng kể thời gian giao đề) Bài 1: (3,0 điểm) Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện abc =2013. Tính giá trị biểu thức: 2013a2bc ab2c abc2 P = ab 2013a 2013 bc b 2013 ac c 1 Bài 2: (3,0 điểm): Cho hai đa thức: P(x) = x 1 x 3 x 5 x 7 a và Q(x) = x2 8x 9 Tìm giá trị của a để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x). Bài 3: (6,0 điểm): Giải các phương trình: a. 2x2 + 2xy + y2 + 9 = 6x - y 3 b. (2x2 x 2013)2 4(x2 5x 2012)2 4(2x2 x 2013)(x2 5x 2012) Bài 4: (6,0 điểm): Cho hình vuông ABCD, cạnh a, điểm N thuộc cạnh AB. Tia CN cắt tia DA tại E. Tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF. a. Chứng minh CE = CF b. Chứng minh ba điểm M, B, D thẳng hàng c. Đặt BN = b. Tính diện tích tứ giác ACFE theo a và b. Bài 5: (2,0 điểm): Cho x, y thoả mãn x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x6 + y6 Hết Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh:
2. hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi toán 8 Bài Lời giải sơ lược điểm 2013a2bc ab2c abc2 P = ab 2013a 2013 bc b 2013 ac c 1 2013a b c 0,5 điểm = abc. ab 2013a 2013 bc b 2013 ac c 1 Thay abc = 2013 vào P ta có: abca b c 1,0 điểm Bài 1 P = abc. ab abca abc bc b abc ac c 1 (3 điểm) abca b c = abc. 0,5 điểm ab.(1 ac c) b.(c 1 ac) ac c 1 ac 1 c = abc. 0,5 điểm ac c 1 ac c 1 ac c 1 ac c 1 = abc. = abc = 2013 0,5 điểm ac c 1 Ta có: P(x) x 1 x 3 x 5 x 7 a 0,5 điểm x2 8x 7 x2 8x 15 a Đặt x2 8x 9 t 1,0 điểm Bài 2 2 (3 điểm) Khi đó P(x) = (t – 2)(t + 6) + a = t 4t a 12 = P(t) 2 2 Chia t 4t a 12 cho t ta được t 4t a 12 = t t 4 a 12 0,5 điểm P(x) chia hết cho Q(x) t 2 4t a 12 chia hết cho t 0,75 điểm a – 12 = 0 a = 12 Vậy với a = 12 thì đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x). 0,25 điểm a. 2x2+2xy+y2+9 = 6x-y 3 2x2+2xy+y2+9- 6x+y 3 =0 0,5 điểm (x2+2xy+y2) + (x2- 6x+9) +y 3 = 0 0,5 điểm (x+y)2 + (x-3)2 +y 3 = 0 (1) 0,5 điểm Vì (x+y)2 ≥ 0, (x-3)2 ≥ 0, ≥y 0 với3 mọi x, y nên 0,5 điểm (x+y)2 + (x-3)2 +y 3 ≥ 0 với mọi x, y 0,75 điểm x y 0 x 3 Vậy (1) x 3 0 0,25 điểm Bài 3 y 3 (6 điểm) y 3 0 Kết luận nghiệm a 2x2 x 2013 0,25 điểm b. Đặt 2 b x 5x 2012 Phương trình đã cho trở thành: 1,25 điểm a2 4b2 4ab (a 2b)2 0 a 2b 0 a 2b Khi đó ta có: 2x2 x 2013 2(x2 5x 2012) 2x2 x 2013 2x2 10x 4024 1,25 điểm 2011 11x 2011 x 11
3. Kết luận nghiệm 0,25 điểm E M N A F B D C a. Chứng minh CDE CBF CE = CF 2 điểm b. Vì M là trung điểm của EF nên 1 1,0 điểm ME = MF = MC = MA= EF MA = MC. Bài 4 2 (6 điểm) M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC Mà ABCD là hình vuông nên BD là đường trung trực của đoạn thẳng AC 1,0 điểm M thuộc đường thẳng BD hay 3 điểm M, B, D thẳng hàng c. Ta có BN = b AN = a - b 1 1 2 0,5 điểm SACFE = SACE + SECF = CD.AE CE 2 2 AE AN AE a b a(a b) Tính AE: Ta có AE 0,5 điểm ED DC AE AD a b a4 Ta có CE2 = CD2 + DE2 = a2 + (a+AE)2 = a2 + 0,5 điểm b2 a2 (a b) Tính được SACFE = 0,5 điểm 2b2 3 3 Ta có A = x6 + y6 = x2 y2 = (x2+y2)(x4+y4- x2y2) = x4+y4- x2y2 (Vì x2 + y2 = 1) 0,75 điểm = (x2+y2)2 - 3 x2y2 = 1 - 3x2y2 Vì x2y2 ≥ 0 với mọi x, y nên 3x2y2 ≥ 0 1-3x2y2 ≤ 1 với mọi x, y 0,25 điểm Bài 5 Hay A ≤ 1 (2 điểm) x2 0 0,25 điểm max A = 1 x2y2 = 0 (1) 2 y 0 x 0; y 1 2 2 0,5 điểm Mà x + y = 1 nên (1) y 0; x 1 Vậy max Q = 1 x = 0 ; y = 1 hoặc x = 1 ; y = 0 0,25 điểm Cỏc chỳ ý khi chấm. 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trỡnh bày sơ lược một cỏch giải. Bài làm của học sinh phải lập luận chặt chẽ, tớnh toỏn chớnh xỏc mới được cho điểm tối đa. 2. Với cỏc cỏch giải đỳng nhưng khỏc hướng dẫn chấm, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng khụng được vượt quỏ số điểm dành cho cõu hoặc phần đú. Mọi vấn đề phỏt sinh trong quỏ trỡnh chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ. 3. Điểm toàn bài là tổng số điểm của cỏc phần đó chấm, khụng làm trũn điểm.