Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố lớp 8 THCS - Môn Toán

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố lớp 8 THCS - Môn Toán

1. UBND THÀNH PHỐ MểNG CÁI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2011-2012 Bài 1. (4,0 điểm) x2 2x 2x2 1 2 Cho biểu thức M 2 2 3 . 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x a) Rỳt gọn M b) Tỡm x nguyờn để M cú giỏ trị là số nguyờn dương c) Tỡm x để M 3 Bài 2. (6,0 điểm) a) Cho x, y là hai số dương và x2010 y2010 x2011 y2011 x2012 y2012. Tớnh giỏ trị của biểu thức S x2020 y2020 x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 b) Giải phương trỡnh: 2010 2012 2011 2013 c) Tỡm x và y thỏa món: y2 2 x2 1 2y x 1 Bài 3. (4,0 điểm) bc ac ab a) Chứng minh a b cvới mọi số dương a,b,c. a b c b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức L x4 4x3 7x2 12x 20 Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A AC AB . Vẽ đường cao AH H BC . Trờn tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P. a) Chứng minh : Tam giỏc AKC đồng dạng với tam giỏc BPC b) Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh tam giỏc BHQ đồng dạng với tam giỏc BPC. AH BC c) Tia AQ cắt BC tại I. Chứng minh 1 HB IB
2. ĐÁP ÁN Cõu 1. a) 2x2 8 2 x2 4 0;8 4x 2x2 x3 2 x x2 4 0 và x 0 M xỏc định x 2; x 0 x2 2x 2x2 x2 x 2 M . 2 2 x2 2 x 4 2 x x 4 x2 2x 2 x 4x2 x 1 x 2 . 2 2 x x2 4 x2 2 x x 4 x 1 x 2 x 1 . 2 2 x x2 4 x2 2x x 1 b) Với x 2; x 0,M cú giỏ trị nguyờn dương M cú giỏ trị nguyờn 2x 2x 2 1 dương 2M 1 nguyờn dương 2x x 1 x  ;2M   x là ước của 1 x 1(Thỏa món điều kiện) x x 1 Thử lại: Với x 1 ta cú: M cú giỏ trị bằng 1(Thỏa món) 2x x 1 Với x 1 ta cú: M cú giỏ trị bằng 0 (khụng thỏa món) 2x Vậy x 1 c) x 1 M 3 x 2; x 0; 3 2x x 1 x 1 7x 1 3 3 0 0 2x 2x 2x 7x 1 0 7x 1 0 1 Ta cú: hoặc .Giải được x 0hoặc x 2x 0 2x 0 7
3. x 0 1 Kết hợp với điều kiện ta cú: M 3 hoặc x x 2 7 Cõu 2. 2a) Cú x2012 y2012 x2011 y2011 x y x2010 y2010 .xy Do x, y là hai số dương và x2010 y2010 x2011 y2011 x2012 y2012 Nờn x2010 y2010 x2011 y2011 x2012 y2012 m 0 x 1 m m x y mxy 1 x y xy x 1 1 y 0 y 1 Với x 1 y2010 y2011 y 0(loại) hoặc y 1 Với y 1 x2010 x2011 x 0(ktm) hoặc x 1 2b. x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 2010 2012 2011 2013 x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 1 1 1 1 2010 2012 2011 2013 x 5 x 5 x 5 x 5 0 2010 2012 2011 2013 1 1 1 1 x 5 0 2010 2012 2011 2013 1 1 1 1 x 5 Do 0 2010 2012 2011 2013
4. 2c. y2 2 x2 1 2y x 1 y2 2y x 1 2 x2 1 0 y2 2y x 1 x 1 2 x2 2x 1 0 y x 1 2 x 1 2 0 y x 1 0 x 1 x 1 0 y 2 Cõu 3. 3a. Với mọi số dương a,b,c ta cú: 2 2 2 bc ac ab bc ac ab a b c a b c a b c abc abc abc bc 2 ac 2 ab 2 a2bc b2ac c2ab 2 bc 2 2 ac 2 2 ab 2 2a2bc 2b2ac 2c2ab 0 ac 2 2a2bc ab 2 bc 2 2b2ac ab 2 ac 2 2c2ab bc 2 0 ac ab 2 bc ab 2 ac bc 2 0 BĐT cuối đỳng nờn ta cú điều phải chứng minh. 3b. L x4 4x3 7x2 12x 20 x4 4x3 4x2 3x2 12x 12 8 x2 x2 4x 4 3 x2 4x 4 8 x 2 2 x2 3 8 Do x 2 2 0(x); x2 3 0 x L 8 x Đẳng thức xảy ra x 2 2 0 x 2. Vậy với x 2 thỡ L cú giỏ trị nhỏ nhất. Giỏ trị nhỏ nhất của L là 8
5. Cõu 4. I K 1 B H Q 1 P A C CK CA a) PK / / AH CKP : CAB CP CB Suy ra AKC : BPC c.g.c (1) ả 0 ả à 0 b) AKH vuụng cõn tại H K1 45 .Từ (1) K1 P1 45 BAP vuụng cõn tại A BP AB 2 BH AB Chứng minh BHA : BAC AB BC BH 2AB BH AB BH 2AB AB 2BC 2AB 2BC 2AB 2BC BH BP BH BQ BP 2BQ BP 2BC BP BC BH BQ BHQ và BPC cú: ;Pã BC chung BHQ : BPC c.g.c BP BC
6. c) BAP vuụng cõn tại A, AQ là trung tuyến nờn cũng là phõn giỏc AI là IC AC phõn giỏc ngoài của ABC (2) IB AB AC AH ABC : HBA (3) AB HB Từ (2) và (3) ta cú: IC AH IB BC AH BC AH 1 IB HB IB HB IB HB AH BC 1 dfcm HB IB