Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Yên Dũng - Môn: Toán lớp 8

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Yên Dũng - Môn: Toán lớp 8

1. UBND HUYỆN YÊN DŨNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán lớp 8 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1)x2 2014x 2013 2)x(x 2)(x2 2x 2) 1 Câu 2. (4 điểm) 1 2a 3b 7 3a 1) Tìm a,b biết 15 23 7a 20 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 2y2 2xy 2x 4y 2013 Câu 3. (4 điểm) 2014 1) Cho a1,a2 , ,a2013 là các số tự nhiên có tổng cộng bằng 2013 3 3 3 Chứng minh rằng: B a1 a2 a2013 chia hết cho 3. 2) Cho a và b là các số tự nhiên thỏa mãn 2a2 a 3b2 b Chứng minh rằng: a b và 3a 3b 1 là các số chính phương. Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC.Gọi I là một điểm di chuyển trên cạnh BC. Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB tại M. Qua I , kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại N 1) Gọi O là trung điểm của AI . Chứng minh rằng ba điểm M ,O, N thẳng hàng 2) Kẻ MH, NK, AD vuông góc với BC lần lượt tại H,K,D.Chứng minh rằng MH NK AD 3) Tìm vị trí của điểm I để MN song song với BC. Câu 5. (2 điểm) Cho a b c d và x a b c d , y a c b d , z a d b c . Sắp xếp theo thứ tự giảm dần của x, y, z
2. ĐÁP ÁN Câu 1. 1) x2 2014x 2013 x2 2013x x 2013 x x 2013 x 2013 x 1 x 2013 2) x(x 2)(x2 2x 2) 1 x2 2x x2 2x 2 1 2 x2 2x 2 x2 2x 1 2 x2 2x 1 x 1 4 Câu 2. 1 2a 7 3a 1) Từ 20 1 2a 15 7 3a a 1 15 20 1 2a 3b 1 2.1 3b Thay a 1 vào tỉ lệ thức ta được: b 2 15 23 7a 15 23 7.1 Vậy a 1, b 2 2) Ta có: A x2 2y2 2xy 2x 4y 2013 x2 2x y 1 y2 2y 1 y2 6y 9 2003 x y 1 2 y 3 2 2003 Nhận thấy với mọi x, y ta có: x y 1 2 0; y 3 2 0 A 2003 Dấu " "xảy ra khi x 4, y 3 Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 2003đạt được khi x 4, y 3 Câu 3. 1) Dễ thấy a3 a a(a 1)(a 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 3 3 3 Xét hiệu B a1 a2 a2013 a1 a2 a2013 a1 a2 a2013 3 3 3 a1 a1 a2 a2 a2013 a2013 chia hết cho 3 2014 Mà a1,a2 , ,a2013 là các số tự nhiên có tổng bằng 2013 Do vậy B chia hết cho 3. 2) Từ 2a2 a 3b2 b có a b 3a 3b 1 a2 Cũng có : a b 2a 2b 1 b2. Suy ra a b 2 . 2a 2b 1 3a 3b 1 ab 2
3. Gọi 2a 2b 1,3a 3b 1 d . Chứng minh được d 1 3a 3b 1là số chính phương a b là số chính phương (đpcm) Câu 4. A M O N B H D E I K C 1) Ta có: IM / / AC,IN / / AB AMIN là hình bình hành MN cắt AI tại trung điểm mỗi đường. Mà O là trung điểm AI M ,O, N thẳng hàng (đpcm) 2) Kẻ OE vuông góc với BC.Chứng minh MHKN là hình thang vuông. Ta có: O là trung điểm MN mà OE / /MH / /NK . Suy ra OE là đường trung bình của hình thang vuông MNKH nên MH NK 2OE (1) Xét ADI có O là trung điểm của AI và OE / / AD. Suy ra OE là đường trung bình của ADI nên AD 2OE (2) Từ (1) và (2) ta có: MH NK AD (dfcm) 3) Ta có: MN / /BC MN là đường trung bình của ABC (do O là trung điểm AI) I là trung điểm BC (Vì MI / / AC,MA MB) Vậy để MN song song với BC thì I là trung điểm BC.
4. Câu 5. Xét hiệu x y a b c d a c b d d a b c Vì b a,b c nên d a b c 0. Suy ra x y 1 Xét hiệu y z a c b d a d b c a b d c Vì b a,c d nên a b d c 0 . Suy ra y z (2) Từ (1) và (2) ta sắp xếp theo thứ tự giảm dần là z y x