Đề ôn thi HSG Toán 7 - GV: Lê Hồng Quốc

Nội dung text: Đề ôn thi HSG Toán 7 - GV: Lê Hồng Quốc

1. Đề ôn thi HSG 7 Tel: 0929.484.951 UBND HUYỆN HOÀI NHƠN ĐỀ THI H ỌC SINH GI ỎI C ẤP HUY ỆN TRƯỜNG THCS ĐÀO DUY TỪ Năm học 2018 – 2019 Môn: TOÁN 7 Đề ôn tập – Số 17 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Phần I. Trắc nghiệm (6.0 điểm). Chọn đáp án đúng nhất. 2 Câu 1. Giá trị của x trong biểu thức ( x −1) = 0,25 là: 9 1 1 9 9 1 9 1 A. ; . B. −; − . C. ;− . D. − ; . 4 4 4 4 4 4 4 4 Câu 2. Cho góc xOy =50 ° , điểm A nằm trên Oy . Qua A vẽ tia Am . Để Am song song với Ox thì số đo của góc OAm là: A. 50° . B. 130° . C. 50 ° và 130° . D. 80° . Câu 3. Cho hàm số y= f( x ) xác định với mọi x >1. Biết fn( ) =( n −1) . fn( − 1 ) và f (1) = 1. Giá trị của f (4) là: A. 3. B. 5. C. 6. D. 1. Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại BAB,= 6, A = 30 ° . Phân giác góc C cắt AB tại D. Khi đó độ dài đoạn thẳng BD và AD lần lượt là: A. 2; 4. B. 3; 3. C. 4; 2. D. 1; 5. Câu 5. Cho a2m = − 4. Kết quả của 2a6m − 5 là: A. −123. B. −133. C. 123. D. −128. Câu 6. Cho tam giác DEF có E= F . Tia phân giác của góc D cắt EF tại I. Ta có: A. ∆DIE = ∆ DIF . B. DE= DF, IDE = IDF . C. IE= IF; DI = EF . D. Cả A, B, C đều đúng. Câu 7. Biết a+ b = 9. Kết quả của phép tính 0,ab( )+ 0, ba( ) là: A. 2. B. 1. C. 0,5. D. 1,5. 2 Câu 8. Cho (ab−) +6 ab . = 36. Giá trị lớn nhất của x= a. b là: A. 6. B. −6. C. 7. D. 5. Câu 9. Cho tam giác ABC , hai đường trung tuyến BM, CN . Biết AC> AB . Khi đó độ dài hai đoạn thẳng BM và CN là: A. BM≤ CN . B. BM> CN . C. BM< CN . D. BM= CN . Câu 10. Điểm thuộc đồ thị hàm số y= − 2 x là : A. M (−1; − 2) . B. N (1;2) . C. P (0;− 2) . D. Q (−1;2) . Câu 11. Biết rằng lãi suất hàng năm của tiền gửi tiết kiệm theo mức 5% năm là một hàm số theo số tiền gửi là i= 0,005 p (trong đó i là tiền lãi thu được, p là tiền gốc gửi vào). Nếu tiền gửi là 175000 đồng thì tiền lãi sẽ là: A. 8850 đồng. B. 8750 đồng. C. 7850 đồng. D. 7750 đồng. Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Trang 1
2. Đề ôn thi HSG 7 Tel: 0929.484.951 Câu 12. Cho tam giác ABC cân tại A, A = 20. ° Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD= BC . Số đo của góc BDC là: A. 50° . B. 70° . C. 30° . D. 80° . Phần II. Tự luận (14.0 điểm) Bài 1. (3.0 điểm) a) Chứng tỏ rằng M =75.4( 2018 + 4 2017 +++++ 4 2 4 1) 25 chia hết cho 102 . b) Cho tích a. b là số chính phương và (a, b ) = 1. Chứng minh rằng a và b đều là số chính phương. Bài 2. (4.0 điểm) a) Cho đa thức Axx=2.( −− 3) xx .( −− 7) 3.( x − 673.) Tính giá trị của A khi x = 2. Tìm x để A = 2019. b) Học sinh khối 7 của một trường gồm 3 lớp tham gia trồng cây. Lớp 7A trồng toàn bộ 32,5% số cây. Biết số cây lớp 7B và 7C trồng được theo tỉ lệ 1,5 và 1,2. Hỏi số cây cả 3 lớp trồng được là bao nhiêu, biết số cây của lớp 7A trồng được ít hơn số cây của lớp 7B trồng được là 120 cây. Bài 3. (5.0 điểm) 1. Cho đoạn thẳng AB . Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia Ax và By lần lượt vuông góc với AB tại A và B. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trên tia Ax lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD bằng 90° . a) Chứng minh rằng AC+ BD = CD . AB 2 b) Chứng minh rằng AC. BD = . 4 2. Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H. Chứng minh rằng 2 HA++< HB HC() AB ++ AC BC . 3 Bài 4. (2.0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của A, biết A=75 x − y + 23 z − x + xyyzzx ++− 2000. HẾT Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Trang 2
3. Đề ôn thi HSG 7 Tel: 0929.484.951 ĐÁP ÁN THAM KHẢO Phần I. Trắc nghiệm Chọn đáp án đúng nhất. Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Đáp án A C C A B D B A C D B C Phần II. Tự luận Bài 1. a) Chứng tỏ rằng M =75.4( 2018 + 4 2017 +++++ 4 2 4 1) 25 chia hết cho 102 . Ta có M =25.41.4( −) ( 2018 + 4 2017 +++++ 4 2 4 1) 25 =25.4( 2019 + 4 2018 ++++− 4 3 4 2 4) 25.4( 2018 + 4 2017 +++++ 4 2 41) 25 =25.42019 = 25.4.4 2018 = 100.4 2018 = 10.4 2 2018⋮ 10. 2 Vậy M ⋮102 . b) Cho tích a. b là số chính phương và (a, b ) = 1. Chứng minh rằng a và b đều là số chính phương. Chứng minh phản chứng. Giả sử a không phải là số chính phương, suy ra khi phân tích số a ra thừa số nguyên tố thì số a chứa thừa số nguyên tố k mũ lẻ. Vì (a, b ) = 1 nên b không chứa thừa số nguyên tố k. Do đó a. b chứa thừa số nguyên tố k mũ lẻ → a. b không phải là số chính phương, trái với giả thiết → giả sử sai. Vậy nếu a. b là số chính phương và (a, b ) = 1 thì a và b đều là số chính phương. Bài 2. a) Cho đa thức Axx=2.( −− 3) xx .( −− 7) 3.( x − 673.) Tính giá trị của A khi x = 2. Tìm x để A = 2019. Ta có Axxxxx=22 −−+−+ 6 2 7 3 2019 =−+ xx 2 2 2019. +) Tính giá trị của A khi x = 4. Thay x = 4 vào A, ta được A =−22 2.2 + 2019 = 2019. +) Tìm x để A = 2019. A=2019 ⇒−+ xx2 2 20192019 = ⇒−=⇒ xxxx2 2 0( −=→= 2) 0 x 0 hoặc x = 2. b) Học sinh khối 7 của một trường gồm 3 lớp tham gia trồng cây. Lớp 7A trồng toàn bộ 32,5% số cây. Biết số cây lớp 7B và 7C trồng được theo tỉ lệ 1,5 và 1,2. Hỏi số cây cả 3 lớp trồng được là bao nhiêu, biết số cây của lớp 7A trồng được ít hơn số cây của lớp 7B trồng được là 120 cây. Gọi a, b , c (với a, b , c ∈ ℕ∗ ) lần lượt là số cây của 7A ,7 B ,7 C trồng được. Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Trang 3
4. Đề ôn thi HSG 7 Tel: 0929.484.951 b c 40 a Theo đề ta có: =()()1 ;b − a = 120 2 và a=32,5%() abc + + →+ abc + = () 3 . 1,5 1,2 13 Từ (1) ,( 2 ) suy ra a, c theo b; rồi thế vào (3) để giải. Vậy cả 3 lớp trồng được số cây là 2400 cây Bài 3. 1. Cho đoạn thẳng AB . Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia Ax và By lần lượt vuông góc với AB tại A và B. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trên tia Ax lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD bằng 90° . a) Chứng minh rằng AC+ BD = CD . Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng CO và BD . +) Ta có: OAC= OBE =90 ° . OA= OB (gt) . AOC= BOE (đối đỉnh). Suy ra ∆AOC =∆ BOEg( −−→ c g) AC = BECO; = EO . +) Ta có: OC= OE (cmt) . OAC= OBE =90 ° . OD là cạnh chung. Suy ra ∆DOC =∆ DOEc( −−→ g c) CD = ED . Mà ED= EB + BD = AC + BD → CD = AC + BD . . AB 2 b) Chứng minh rằng AC. BD = . 4 Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác vuông BOE và BOD ta có: OE2= OB 2 + EB 2  →OE2 + OD 2 =2 OB 2 + EB 2 + DB 2 .  2 2 2 OD= OB + DB Mà OE2+ OD 2 = DE 2 ; nên DE2=2 OB 2 + EB 2 + DB 2 =+2OB2 EB .( DE −+ BD) DB .( DE − BE ) =+2OB2 EB . DE − EB . BD + DB . DE − DB . BE =+2OB2 ( EB . DE + DB .2. DE) − BD BE =2OB2 + DE .( EB +− DB) 2. BD BE =2OB2 + DE 2 − 2 BD BE Suy ra 22.0OB2 − BD BE = → BD . BE = OB 2 . AB Mà BE= AC; OB = . 2 AB  2 AB 2 Vậy AC. BD =  = (đpcm).  2  4 2. Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H. Chứng minh rằng Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Trang 4
5. Đề ôn thi HSG 7 Tel: 0929.484.951 2 HA++< HB HC() AB ++ AC BC . 3 Qua H kẻ: đường thẳng song song với AB cắt AC tại D→ CH ⊥ HD , đường thẳng song song với AC cắt AB tại E→ BH ⊥ HE . Ta có ∆AHD =∆ HAE( g −−→ c g) AD = HEAE, = HD . Trong ∆AHD có HA< HD + AD nên HA< AE + AD ( ∗ ). Từ BH⊥ HE ⇒ ∆HBE vuông nên HB< BE (2) . Tương tự, ta có HC< DC (3) . Từ (1) ,( 2 ) và (3) →HA + HB + HC < AB + AC (4) . tương tự HA+ HB + HC < AB + BC (5) . HA+ HB + HC < AB + BC (6) . 2 Từ (4) ,( 5 ) và (6) suy ra HA++< HB HC() AB ++ AC BC . 3 Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của A, biết A=75 x − y + 23 z − x + xyyzzx ++− 2000. Ta có 7xy− 5 ≥ 0;2 zx −≥ 3 0 và xy++− yz zx 2000 ≥ 0 →A ≥ 0. 7x= 5 y  Suy ra giá trị nhỏ nhất của A là 0. Dấu "= " xảy ra khi 2z= 3 x  xy + yz + zx = 2000 x=20; y = 28; z = 30 Dùng phương pháp thế, từ đó tìm được  .  x=−20; y =− 28; z =− 30 x=20; y = 28; z = 30 Vậy minA = 0. Dấu "= " xảy ra khi  .  x=−20; y =− 28; z =− 30 Quý thầy cô muốn có 30 đề HSG 7 Xin liên hệ: 0929 484 951 Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Trang 5