Đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán 8

Nội dung text: Đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán 8

1. ĐỀ THI Bài 1 (3đ) a) Phân tích đa thức x3 5x2 8x 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để AB biết A 10x2 7x 5 và B 2x 3 x y 2(x y) c) Cho x y 1 và xy 0. Chứng minh rằng : 0 y3 1 x3 1 x2 y2 3 Bài 2 (3đ) Giải các phương trình sau 2 a) x2 x 4 x2 x 12 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3 (2đ) Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, I, C thẳng hàng Bài 4(2đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí điểm D, E sao cho a) DE có độ dài nhỏ nhất b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CẤP HUYỆN Bài 1 a) x3 5x2 8x 4 x3 4x2 4x x2 4x 4 x x2 4x 4 x2 4x 4 x 1 x 2 2 A 10x2 7x 5 7 b) Xét 5x 4 B 2x 3 2x 3
2. 7 Với x ¢ thì AB khi ¢ 7 2x 3 2x 3 Mà Ư (7) 1;1;7; 7 nên x 5; 2;2;1 thì AB 4 4 x y x4 x y4 y x y x y c) Biến đổi: y3 1 x3 1 y3 1 x3 1 xy y2 y 1 x2 x 1 (do x y 1 y 1 x và x 1 y ) x y x y x2 y2 x y x y x2 y2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xy x y y x y yx xy y x x 1 xy x y xy(x y) x y xy 2 x y x2 x y2 y x y x x 1 y y 1 x y x y y x xy x2 y2 x y 2 2 xy x2 y2 3 xy x2 y2 3 xy 2xy 2(x y) xy x2 y2 3 x2 y2 3 Suy ra điều phải chứng minh. Bài 2. 2 a) x2 x 4 x2 x 12 đặt y x2 x y2 4y 12 0 y2 6y 2y 12 0 y 6 y 6 y 2 0 y 2 x2 x 6vô nghiệm vì x2 x 6 0 với mọi x 2 2 x 2 x x 2 x x 2 0 x 1 Vậy S 2;1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 1 1 1 1 1 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1 Vì 0 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003
3. Bài 3 E I B C F O A D a) Chứng minh EDF vuông cân Ta có ADE CDF (c.g.c) EDF cân tại D Mặt khác ADE CDF (c.g.c) B· ED B· FD Mà B· ED D· EF B· FE 900 B· FD D· EF B· FE 900 E· DF 900 Vậy EDF vuông cân b) Chứng minh O, C, I thẳng hàng Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD 1 Mà EDF vuông cân DI EF 2 1 Tương tự BI EF DI BI 2 I thuộc đường trung trực của DB, nên I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng
4. Bài 4. B D A E C a) DE có độ dài nhỏ nhất Đặt AB = AC = a không đổi ; AE BD x (0 x a) Áp dụng định lý Pytago với ADE vuông tại A có: DE 2 AD2 AE 2 a x 2 x2 2x2 2ax a2 2 x2 ax a2 2 a2 a2 a2 2 x 4 2 2 a a Ta có DE nhỏ nhất DE 2 nhỏ nhất x BD AE 2 2 Nên D, E là trung điểm AB, AC b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất 1 1 1 1 2 Ta có: SADE .AD.AE AD.BD AD. AB AD AD AB.AD 2 2 2 2 2 2 1 2 AB AB AB AD 2. .AD 2 2 4 8 2 1 AB AB2 AB2 AD 2 4 2 8 AB2 AB2 3 Vậy S S S AB2 không đổi BDEC ABC ADE 2 8 8
5. 3 Do đó min S AB2 khi D,E lần lượt là trung điểm AB, AC BDEC 8