Đề ôn tập môn Hình học Toán 8

201 trang hoaithuong97 11140

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề ôn tập môn Hình học Toán 8", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

de_on_tap_mon_hinh_hoc_toan_8.docx

Nội dung text: Đề ôn tập môn Hình học Toán 8

AB OA AM OA Ta có: 3 và B· AC D· CA ( vì AB / /CD, soletrong ) 4 CD OC CN OC Từ 3 và 4 suy ra OAM đồng dạng với OCN c g c Do đó ·AOM C· ON . Suy ra M ,O, N thẳng hàng * AB IA AM IA Ta lại có: 5 và I chung 6 CD ID DN ID Từ 5 và 6 suy ra IAM đồng dạng với IDN c g c Do đó ·AMI D· NI . Suy ra M , I, N thẳng hàng Từ * và suy ra bốn điểm I;O;M ; N thẳng hàng. c) Giả sử 3AB CD và diện tích hình thang ABCD bằng S. Hãy tính diện tích tứ giác IAOB theo S OB AB 1 SAOB 1 SAOB 1 SAOB 1 1 Ta có SAOB SABD OD CD 3 SAOD 3 SAOB SAOD 1 3 SABD 4 4 SABD AB 1 SABD 1 SABD 1 1 Ta lại có SABD SABCD SBDC CD 3 SABD SBDC 1 3 SABCD 4 4 1 1 Do đó S S S 7 AOB 16 ABCD 16 2 SIAB AB 1 SIAB 1 SIAB 1 1 1 Mặt khác SIAB SABCD S 8 SICD CD 9 SICD SIAB 9 1 SABCD 8 8 8 1 1 3 Từ 7 và 8 suy ra S S S S S S . IAOB IAB AOB 8 16 16 Bài 90: Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CD lấy điểm E. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BE tại F, nó cắt DC tại G. Gọi H, I, J, M, K lần lượt là giao điểm của GF với BC, EF với HD, EA với HC, AB với HD, AE với DH. DG GF BC.EF 90.1.a) Chứng minh: ; CE . Từ đó suy ra DG CE 2CD và EG 3CD AD EF GF S b) Tìm GTLN của ABCD SAEG 90.2.a) Chứng minh: BHA CEB và DAE CDH b) Chứng minh: AE  DH c) Chứng minh: AI / /DJ / /GB d) Chứng minh: AFB đồng dạng với ABH ; AFD đồng dạng với ADH Từ đó có nhận xét gì về A· FD và ·ADH . 90.3.a) Chứng minh: KD2 KI.KH b) Chứng minh: EJ.EK.HJ HK.HD.EC
c) Chứng minh: HJ.HC.EK EI.EF.HK BM 90.4. Chứng minh: Khi E thay đổi trên tia đối của tia CD thì là không đổi. CJ 90.5. Qua bài này, các em hãy khai thác thêm nhiều tính chất mới thú vị. Lời giải H F I A M B K J G C DG GF BC.EFD E 90.1.a) Chứng minh: ; CE . Từ đó suy ra DG CE 2CD và EG 3CD AD EF GF DG DA DG GF + C/ m: DGA đồng dạng FGE (g.g) . Từ đó, ta có: FG FE AD EF DA.GF DG 1 EF CE CB CB.FE + C/ m: CEB đồng dạng FEG (g.g) CE 2 FE FG FG DA.GF CB.FE GF EF Từ (1) và (2) suy ra DG CE CD. ( Vì AD BC CD ) EF FG EF GF GF EF DG CE CD.2 . 2CD ( BĐT Cô-si cho hai số không âm ). EF GF GF EF Dấu “=” GF EF FGE cân tại F. Vì DG CE 2CD nên EG 3CD EF GF S b) Tìm GTLN của ABCD SAEG SABCD AD.CD 2CD 2CD 2 S 2 Ta có: . Suy ra GTLN ABCD FGE cân tại F. S 1 EG 3CD 3 S 3 AEG AD.EG AEG 2 90.2.a) Chứng minh: BHA CEB và DAE CDH + C/m: BHA CEB g.c.g ( B· AH C· BE cùng phụ với ·ABF ) BH CE CH DE + C/ m: DAE CDH c.g.c b) Chứng minh: AE  DH Vì DAE CDH (cmt) nên ·AED D· HC , mà D· HC ·ADK AD / /CH, slt
Do đó, ·AED ·ADK . Xét ADK có: D· AK ·ADK D· AE ·AED 900 ( Vì ADE vuông tại D ). Suy ra ·AKD 900 AE  DH tại K. c) Chứng minh: AI / /DJ / /GB Ta C/m được: + I là trực tâm của tam giác HAE suy ra AI  HE 3 + J là trực tâm của tam giác HDE suy ra DJ  HE 4 + B là trực tâm của tam giác HGE suy ra GB  HE 5 Từ (3), (4) và (5) suy ra . A I / / D J / /GB d) Chứng minh: AFB đồng dạng với ABH ; AFD đồng dạng với ADH Từ đó có nhận xét gì về A· FD và ·ADH . + C/m được: AFB đồng dạng với ABH (g.g) AF AB AF AD ( Vì AB AD ). AB AH AD AH AF AD Xét AFD và ADH có: µA - chung và cmt AD AH Do đó, AFD đồng dạng ADH (c.g.c). Suy ra A· FD = ·ADH 90.3.a) Chứng minh: KD2 KI.KH KD KJ Vì AI / /DJ cmt nên 6 KI KA KH KJ Vì AD / /HJ ( cùng vuông góc với GE ) nên 7 KD KA KD KH Từ (6) và (7) suy ra KD2 KH.KI KI KD b) Chứng minh: EJ.EK.HJ HK.HD.EC + C/m: ECJ đồng dạng EKD (g.g) EC CJ EJ EJ.EK Suy ra ED 8 EK KD ED EC + C/m: HCD đồng dạng HKJ (g.g) HC CD HD HD.HK Suy ra HC 9 HK KJ HJ HJ Mà DE HC cmt 10 EJ.EK HD.HK Từ (8), (9) và (10) suy ra EJ.EK.HJ HD.HK.EC . EC HJ c) Chứng minh: HJ.HC.EK EI.EF.HK + C/m: HJK đồng dạng HDC (g.g)
HJ HK Suy ra HJ.HC HK.HD HJ.HC.EK HK.HD.EK 11 HD HC + C/m: EFA đồng dạng EKI g.g EF FA EA Suy ra EF.EI EK.EA HD.EK 12 ( Vì EA DH cmt ) EK KI EI Từ (11) và (12) suy ra HJ.HC.EK EI.EF.HK (đpcm) BM 90.4. Chứng minh: Khi E thay đổi trên tia đối của tia CD thì là không đổi. CJ MB HB C/m: HMB đồng dạng EJC (g.g). Suy ra 1 ( Vì HB = EC (cmt) ) CJ EC MB Vậy, khi E di chuyển trên tia đối của tia CD thì 1 không đổi. CJ 90.5. Qua bài này, các em hãy khai thác thêm nhiều tính chất mới thú vị. ( HS tự giải) Bài 91: Cho ABC cân tại A với A là góc nhọn; CD là đường phân giác ·ACB D AB ; qua D kẻ đường vuông góc với CD , đường này cắt đường thẳng CB tại E . Chứng minh: 1 BD EC . 2 Lời giải Gọi K là trung điểm cạnh EC . A Ta có: DEC vuông tại D (gt) có K là trung điểm cạnh huyền EC EC DK và DK KC 2 KCD cân tại K D K· CD K· DC . Vì ·ACD B· CD (gtCD là đường phân giác·ACB ) nên K· DC K· CD ·ACD . E B K C Ta lại có:B· KD K· CD K· DC (góc ngoài tại điểm K của KCD ) K· CD ·ACD ·ACB D· BC (gt ABC cân tại A ) EC DKB cân tại D DB DK . (đpcm) 2 Bài 92: Cho tứ giácABCD . Đường thẳng qua A song song với BC , cắt BD tại P và đường thẳng qua B song song với AD cắt AC tại Q . Chứng minh PQ //CD .
Lời giải Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD . Áp dụng hệ quả định lý Talet, ta có: OA OP - AP //BC (gt) B OC OB A O OQ OB - BQ //AD (gt) OA OD P Q OA OQ OP OB   OC OA OB OD D C OQ OP OC OD PQ //CD (định lý Talet đảo). (đpcm) Bài 93: Cho hình thang ABCD, đáy AD và BC, có µA 900 , E là giao điểm của hai đường chéo, F là hình chiếu của E lên AB. a) Chứng minh ∆ ∆B.FC AFD b) Gọi K là giao điểm của AC và DF. Chứng minh KE.FC = CE.FK. Lời giải a) Chứng minh ∆ ∆B.FC AFD BC EB Vì BC // AD nên ta có (1) AD ED FB EB EF // AD nên ta có (2) FA ED BC FB Từ (1) và (2) suy ra ; AD FA Lại có µA Bµ ( 900 ) . Suy ra ∆ ∆B FC (c-g-c)AFD b) Gọi K là giao điểm của AC và DF. Chứng minh KE.FC = CE.FK. ∆ ∆BFC AFD B· FC D· FA C· FE D· FE Hay FE là phân đường giác của ∆CFK FK FC KE.FC CE.FK (đpcm). KE CE Bài 94: Cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn. Vẽ ra phía ngoài hình bình hành các tam giác đều BCE và DCF. Tính số đo E· AF Lời giải
A D C B F E Chứng minh được ·ABE E· CF Chứng minh được ABE FCE c.g.c AE EF Tương tự: AF EF AE EF AF AEF đều E· AF 600 Bài 95: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA',BB',CC ' và H là trực tâm a) Chứng minh BC '.BA CB'.CA BC 2 HB.HC HA.HB HC.HA b) Chứng minh rằng: 1 AB.AC BC.AC BC.AB c) Gọi D là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh H là trung điểm của MN. Lời giải
A B' N C' H M B A' D C BH BC ' a) Chứng minh BHC ' : BAB' BH.BB' BC '.BA (1) AB BB' BH BA' Chứng minh BHA' : BCB' BH.BB' BC.BA' (2) BC BB' Từ (1) và (2) BC '.BA BA'.BC Tương tự : CB'.CA CA'.BC BC '.BA CB'.CA BA'.BC CA'.BC BA' A'C .BC BC 2 BH BC ' BH.CH BC '.CH S b) Có BHC AB BB' AB.AC BB'.AC SABC AH.BH S AH.CH S Tương tự: AHB ; AHC CB.CA SABC CB.AB SABC HB.HC HA.HB HC.HA S ABC 1 AB.AC AC.BC BC.AB SABC HM AH c) Chứng minh AHM : CDH g.g (3) HD CD AH HN Chứng minh AHN : BDH g.g (4) BD HD
Bài 96: Cho hình vuông ABCD và 2018đường thẳng cùng có tính chất chia hình vuông này 2 thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng .Chứng minh rằng có ít nhất 505 đường thẳng trong 3 2018 đường thẳng trên đồng quy. Lời giải Gọi E,F,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,CD,BC, AD.Lấy các điểm I,G trên EF và K,H trên PQ thỏa mãn: IE HP GF KQ 2 IF HQ GE KP 3 Xét d là một trong các đường thẳng bất kỳ đã cho cắt hai đoạn thẳng AD,BC,EF lần lượt tại M,N,G'.Ta có: AB. BM AN S 2 2 EG' 2 ABMN 2 G  G' hay d qua G. SCDNM 3 CD. CM DN 3 G'F 3 2 Từ lập luận trên suy ra mỗi đường thẳng thỏa mãn yêu cầu của đề bài đều đi qua một trong 4 điểm G,H,I,K Do có 2018đường thẳng đi qua 1 trong 4 điểm G,H,I,K theo nguyên lý Dirichle phải tồn tại ít 2018 nhất 1 505 đường thẳng cùng đi qua một điểm trong 4 điểm trên. 4 Vậy có ít nhất 505 đường thẳng trong số 2018 đường thẳng đã cho đồng quy. Bài 97: Cho hình vuông ABCD trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE= AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N 1) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật 2) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH . Chứng minh rằng AC = 2EF 1 1 1 3) Chứng minh rằng : 2 = 2 + 2 Lời giải Lời giải A E B H F D M C N a) Ta có: DAM = ABF(cùng phụ với BAH)
AB = AD (gt) ; BAF = ADM = 900(ABCD là hình vuông) ∆ADM = ∆BAF(g.c.g) DM = AF, mà AF = AE (gt) nên AE = DM Lại có: AE //DM ( vì AB // DC) Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành . Mặt khác : DAE = 900(gt) Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật b) Ta có: ∆ABH ~∆FAH (g.g) AB BH BC BH = hay = ( AB = BC;AE = AF) AF AH AE AH Lại có: HAB = HBC(cùng phụ với ABH) ∆CBH~∆AEH(c.g.c) 2 SCBH BC SCBH = , mà = 4 (gt) BC2 = (2AE)2 SEAH AE SEAH BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD. Do đó: BD = 2 EF hay AC = 2 EF (đpcm) c) Do AD // CN. Áp dụng hệ quả định lý Ta let ta có: AD AM AD CN = = CN MN AM MN Lại có: MC //AB (gt). Áp dụng hệ quả định lý Ta let ta có: MN MC AB MC AD MC = = hay = AN AB AN MN AN MN AD 2 AD 2 CN 2 CM 2 CN2 + CM2 MN2 + = + = = = 1 ( Pytago) AM AN MN MN MN2 MN2 AD 2 AD 2 1 1 1 + = 1 + = (đpcm) AM AN AM2 AN2 AD2 Bài 98: Cho hình chữ nhật ABCD , AB = 2AD. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm P sao cho AM = CP. Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi Q là trung điểm của CH đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC tại N. a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành. b) Khi M là trung điểm của AD. Chứng minh BQ vuông góc với NP. 1 1 1 c) Đường thẳng AP cắt DC tại điểm F. Chứng minh rằng : 2 = 푃2 + 4 퐹2 Lời giải
A B K M N E P H Q D C a)Chứng minh được DH // BK (1) Chứng minh được ∆AHD = ∆CKB DH = BK (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành. b)Gọi E là trung điểm BK chứng minh được QE là đường trung bình∆KBC nên 1 1 QE // BC QE ⊥ AB (vì BC ⊥ AB) và QE = 2BC = 2AD Chứng minh AM = QE và AM // QE AMQE là hình bình hành Chứng minh AE // NP // MQ (3) Xét∆AQBcó BK và QE là hai đường cao của tam giác nên E là trực tâm của tam giác nên AE là đường cao thứ ba của tam giác AE ⊥ BQ BQ ⊥ NP c) A B P G D C F Vẽ tia Ax vuông góc với AF. Gọi giao của Ax với CD là G. Chứng minh GAD = BAP(cùng phụ vớiPAD) ∆ABP~∆ADG ( g.g) AP AB 1 = = 2 AG = AP AG AD 2 Ta có: ∆AGFvuông tại A có AD ⊥ GFnên AG. AF = AD.GF = 2SAGF AG2.AF2 = AD2.GF2 (1) Ta chia hai vế của (1) cho AD2.AG2.AF2 mà AG2 + AF2 = GF2(đl Pytago) 1 1 1 1 1 1 = + = + AD2 AG2 AF2 1 2 1 2 AF2 2 AB 2 AP 4 4 1 1 1 1 = + = + AB2 AP2 AF2 AB2 AP2 4AF2 Bài 99: Cho đoạn thẳng AB dài a(cm) . Lấy điểm C bất kỳ thuộc đoạn thẳng AB (C khác A và B). Vẽ tia Cx vuông góc với AB. Trên tia Cx lấy hai điểm D và E sao cho CD = CA và CE = CB. a) Chứng minh AE vuôn góc với BD b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và BD. Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB để đa giác CMEDN có diện tích lớn nhất
c) Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến AB không phụ thuộc vào vị trí điểm C. Lời giải E H D M I N A M' C J N' B a) Gọi H là giao điểm của BD và AE ∆ACE = ∆DCB(c.g.c) E = B Suy ra∆DHE~∆DCB(g.g) DHE = CDB = 900 b) Ta có: 1 1 1 1 1 S = S + S = S + S = .AC.CE + .CB.CD = AC.CB CMEDN CME CDN 2 ACE 2 BCD 4 4 2 2 2 Mặt khác, theo bđt AM-GM ta có: (AC + CB) a AC.CB ≤ 4 = 4 2 Suy ra a . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AC = CB hay C là trung điểm AB SCMEDN ≥ 8 c) Gọi J,M’,N’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của I,M,N lên AB Ta có: IJ là đường trung bình của hình thang MNN’M’ nên IJ = MM′ + NN′ (1) 2 Ta lại có MM’ là đường trung bình của∆ACEvà NN’ là đường trung bình ∆BCDnên CE CB CD AC ′ ′ MM = 2 = 2 và NN = 2 = 2 (2) AC + CB AB a Từ (1) và (2) suy ra IJ = 2 2 = = 2 4 4 Vậy khoảng cách của điểm I đến đoạn AB không phụ thuộc vào vị trí của điểm C. Bài 100: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết CD = 2AB = 2AD và BC = a 2 a) Tính diện tích hình thang ABCD theo a b) Gọi I là trung điểm của BC , H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC. Chứng minh = 450 Lời giải A B H I D E C a) Gọi E là trung điểm của CD, chỉ ra ABED là hình vuông và BEC là tam giác vuông cân
Từ đó suy ra AB = AD = a; BC = 2a (AB + CD).AD (a + 2a).a 2 Diện tích của hình thang ABCD là 3a S = 2 = 2 = 2 b) ADH = ACD(1)(hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vuông góc) Xét hai tam giác ADC và IBD vuông tại D và B có: AD IB 1 = = DC BC 2 Do đó hai tam giác ADC và IBD đồng dạng Suy ra ACD = BDI (2) Từ (1), (2) ADH = BDI MàADH + BDH = 450 BDI + BDH = 450hay HDI = 450 Bài 101: Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c.Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A,B,C lần lượt là 푙 ;푙 ;푙 . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 + + > + + 푙 푙 푙 Lời giải M A B D C Gọi AD là đường phân giác trong góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB tại M Ta có: BAD = AMC(hai góc ở vị trí đồng vị) DAC = ACM(hai góc ở vị trí so le trong) MàBAD = DACnên AMC = ACMhay ∆ACMcân tại A, suy ra AM = AC = b AD BA c Do AD // CM nên CM = BM = b + c c AD 1 1 Mà CM > 1 + 1 (1) b + c 2b la 2 b c 1 1 1 1 Tương tự ta có: > 1 + 1 (2); > 1 + 1 (3); lb 2 c a lc 2 a b Cộng (1);(2);(3) vế theo vế ta có điều phải chứng minh.
Bài 102: Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, M là trung điểm của BC. = 600quay quanh đỉnh M cố định sao cho hai tia Mx; My cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: a) ∆ ~∆ và tích BD.CE không phụ thuộc vào vị trí của b) DM là phân giác của c) BD.ME + CE.MD > a.DE d) Chu vi ∆ không đổi khi quay quanh M Lời giải A x y D I E H K B M C a) Ta có: DMC = 600 + CME = 600 + BDM BDM = CME Suy ra :∆BMD~∆CEM(g.g) vì DBM = MCE = 600; BDM = CME(cmt) BD CM 2 Suy ra BM = CE BD.CE = BM.CM = a (không đổi) BD CM BD BM b) Vì∆BMD~∆CEM MD = EMhay MD = ME Lại có: DBM = DME = 600 ∆BMD~∆MED(c.g.c) BDM = EDMsuy ra DM là phân giác của BDE BD BM c) Vì ∆BMD~∆MED DM = ME BD.ME = a.DM (1) Tương tự chứng minh được: ∆CEM~∆MED CE.MD = a.ME (2) Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta được: BD.ME+CE.MD = a.DM + a.ME = a.(DM + ME) AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD=HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E a) Chứng minh AE = AB b) Gọi M là trung điểm của BE . Tính góc AHM. Lời giải
A E F M C B H D a) Kẻ EF ⊥ AH suy ra tứ giác HDEF là hình chữ nhật EF = HDmà HD = AH (gt) EF = AH Xét ∆HBA và ∆FAEcó:H = F = 900;AH = EF; FEA = BAH( cùng phụFAE) Do đó:∆HBA = ∆FAE(g.g) AE = AB 1 b) Ta có∆BAE vuông tại A AM = 2BE 1 ∆BDEvuông tại D DM = 2BE Do đó: AM = DM Xét ∆AHM và ∆DHMcó: AM = MD AH = HD HM là cạnh chung AHD ∆AHM = ∆DHM AHM = MHD = = 450 2 Vậy AHM=450 Bài 104: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh : EA.EB = ED.EC b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi c) Kẻ DH ⊥ BC(H ∈ ). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, CH. Chứng minh CQ ⊥ 푃 . Lời giải E A D M Q B P I H C
EB ED a) Chứng minh ∆EBD ~ ∆ECA (g.g) EC = EA EA.EB = ED.EC b) Kẻ MI ⊥ BC (I ∈ BC) . Ta có : ∆BIM ~ ∆BDC (g.g) BM BI = BM.BD = BI.BC (1) BC BD CM CI Tương tự: ∆ACB ~ ∆ICM (g.g) BC = CA CM.CA = CI. CB (2) Từ (1) và (2) suy ra BM.BD + CM.CA = BI.BC + CI.BC = BC.(BI + CI) = BC2 (Không đổi) c) ∆BHD ~ ∆DHC (g.g) BH BD 2BP BD BP BD = = = DH DC 2DQ DC DQ DC Chứng minh được: ∆DPB ~∆CQD (g.g) BDP = CDQ Mà BDP + PDC = 900 DCQ + PDC = 900 CQ ⊥ PD Bài 105: Cho tam giác ABC có AB AC BC và chu vi bằng 18cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết các độ dài đều là số nguyên dương và BC có độ dài là một số chẵn. Lời giải Vì AB AC BC nên 2BC AB AC 3BC AB AC BC 18 BC 6 1 Theo BĐT tam giác ta có: BC AB AC 2BC AB AC BC 18 BC 9 2 Từ 1 và 2 suy ra 6 BC 9 mà BC có độ dài là một số chẵn. Do đó BC 8cm . Tương tự, c/m được 2 AB AC 8 và AB AC 10 Suy ra AB 3cm, AC 7cm hoặc AB 4cm, AC 6cm Vậy, AB 3cm, AC 7cm, BC 8cm hoặc AB 4cm, AC 6cm, BC 8cm . Bài 106: Cho tam giác ABC có AC = 3AB và số đo của góc A bằng 600. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho ·ADB = 300 . Trên đường thẳng vuông góc với AD tại D lấy điểm E sao cho DE = DC (E và A cùng phía với BC). Chứng minh rằng AE//BC. Lời giải A Chứng minh rằng AE//BC. E Gọi K là giao điểm của AC và DE. H Vì: ·ADB = 300 ; ·ADK = 900 K · 0 B C Suy ra KDC = 60 D Và DEC đều DK AB 1 Nên ABC DKC (g.g) Þ = = . DC AC 3 1 1 KD 1 Do đó DK = DC = DE Þ = (1) . 3 3 KE 2
1 KH 1 Kẻ CHDE (H DE) thìDH = DE Þ = ; 2 KD 2 Mặt khác AD//CH (cùng vuông góc với DH) ; KC KH 1 Nên theo Talet ta có: = = (2). KA KD 2 Từ (1), (2) và do A·KE = C·KD nên theo Talet AE//CD. Bài 107: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AC và các đường thẳng AD, BM và CE đồng qui tại K (K AM ; D BC;E AB) . Hai tam giác AKE và BKE có diện tích là 10 và 20. Tính diện tích tam giác ABC Lời giải Tính diện tích tam giác ABC. + Gọi h là khoảng cách từ K đến AB, ta có: S AE h / 2 AE AE 1 AKE . S BKE BE h / 2 BE BE 2 A S ACE 1 + Suy ra: S BCE 2S ACE S BCE 2 E 10 S AKM MA M + Tương tự: 1 S AKM S CKM S CKM MB 20 K Đặt x S AKM S CKM , ta có: SABM SCBM 20 10 x x SBCK SBCK 30 B D C Do đó, SBCK SBEK 20 30 50 Mà BE = 2AE SAEC 25 SABC 75 (đvdt) Bài 108: Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC (Q khác B, C). Trên AQ lấy điểm P (P khác A, Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB, AC tại M, N. AM AN PQ a) Chứng minh rằng: 1. AB AC AQ AM.AN.PQ 1 b) Xác định vị trí điểm Q để . AB.AC.AQ 27 Lời giải AM AN PQ a) Chứng minh rằng: 1. AB AC AQ Gọi E, F là giao điểm của NP, MP với BC. Do NE//AB, MF//AC nên theo Thales ta có: A AM FC AN BE ; AB BC AC BC M N P B E Q F C
PQ EQ FQ EQ FQ EF . AQ BQ QC BQ QC BC AM AN PQ FC BE EF Từ đó: 1 (đpcm). AB AC AQ BC BC BC AM.AN.PQ 1 b) Xác định vị trí điểm Q để . AB.AC.AQ 27 AM AN PQ Áp dụng câu a) và BĐT Cauchy cho 3 số dương: , , : AB AC AQ AM AN PQ AM AN PQ AM AN PQ 1 1= 33 . . . . . AB AC AQ AB AC AQ AB AC AQ 27 AM AN PQ 1 Dấu “=” xảy ra . AB AC AQ 3 Khi đó MN//BC. Vì AQ đi qua trung điểm MN nên Q là trung điểm của BC. AM.AN.PQ 1 Vậy, khi Q là trung điểm của BC thì . AB.AC.AQ 27 Bài 109: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD. Gọi G là giao điểm của đường thẳng đi qua E vuông góc với AD với đường thẳng đi qua F vuông góc với BC. So sánh GA và GB. Lời giải So sánh GA và GB. Gọi I là trung điểm của AB. Nối EF, EI, IF, ta có IE là đường trung bình của ∆ABC IE // BC Mà GF  BC GF IE (1) A I B Chứng minh tương tự GE  IF (2) Từ (1) và (2) G là trực tâm của ∆EIF G F E IG  EF (3) C Dễ chứng minh EF // AB (4) D Từ (3) và (4) IG  AB Vậy ∆AGB cân tại G GA = GB. Bài 110: a) Cho tam giác ABC cân tại A µA 900 , có BH là đường cao, BD là phân giác của góc BH ·ABH H, D AC . Chứng minh rằng: . 1 CD
b) Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác trong của góc A D BC . Gọi ka là khoảng cách từ D đến AB ( hoặc AC). Tương tự, gọi BE là phân giác trong của góc B E AC và kb là khoảng cách từ E đến BA ( hoặc BC), gọi CF là phân giác trong của góc C F AB và kc là khoảng cách từ F đến CA ( hoặc CB). Gọi ha ,hb ,hc tương ứng là 3 chiều cao kẻ từ các đỉnh A, B, C k k k của tam giác đã cho. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức a b c ha hb hc Lời giải BH a) Chứng minh rằng: 1 CD Kẻ DK vuông góc với AC tại D, K AB , kẻ DL vuông góc với BC tại L, Gọi O là giao điểm của DL và BH. 1 Ta có D· BC D· BH H· BC ·AKD 900 Cµ 2 1 1 900 µA 900 Cµ 900 1800 2Cµ 900 Cµ 450 2 2 Suy ra tam giác BDL vuông cân tại L BL DL . C/m: BLO DLC cgv gnk Suy ra BO = DC Mà BH = BO + OH > BO. Do đó, BH > DC BH Suy ra 1 (đpcm) CD k k k b). Tìm giá trị bé nhất của biểu thức a b c ha hb hc Đặt BC a, AC b, AC b . A 1 F' Ta có S a.h 1 ABC 2 a k c E 1 Mặt khác, S S S b c .k 2 F ABC ABD ADC 2 a h a kb k a D' Từ (1) và (2) suy ra a k ha b c a B A' D E' C k b k c Tương tự, b , c hb c a hc a b k k k a b c 3 Suy ra a b c ( theo câu a) ha hb hc b c c a a b 2
k k k 3 Suy ra GTNN a b c a b c . Lúc đó tam giác ABC đều. ha hb hc 2 Bài 111: Cho hình bình hành ABCD có µA 900 . Dựng các tam giác vuông cân tại A là BAM và DAN (B và N cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng AC vuông góc với MN. Lời giải ABCD là hình bình hành nên D· AB C· DA 1800 Từ giả thiết ta lại có M· AN D· AB M· AB D· AN 1800 Suy ra M· AN C· DA Từ đó . MAN CDA (c.g.c) Do đó ·AMN D· CA B· AC . Lại có AB  AM Suy ra MN  AC. Bài 112: Cho hình bình hành ABCD có µA 1200 . Đường phân giác của góc D đi qua trung điểm I của cạnh AB. a) Chứng minh: AB 2AD . b) Kẻ AH  DC (H DC) . Chứng minh: DI 2AH . c) Chứng minh: AC  AD . Lời giải A I B E D H M C a) Chứng minh: AB 2AD Ta có: AB = 2AI (Vì I là trung điểm của AB ) (1) Ta lại có:·ADI I·DC ( Vì DI là phân giác của ·ADC ), mà ·AID I·DC ( Vì AB // DC, slt) Do đó, ·ADI ·AID suy ra ADI cân tại A nên AD AI 2
Từ (1) và (2) suy ra AB 2AD b) Kẻ AH  DC (H DC) . Chứng minh: DI 2AH Gọi M là trung điểm của DC, E là giao điểm của AM và DI. 1 · 0 Ta có DA DM AB và ADM 60 nên tam giác ADM đều. 2 Suy ra DI là đường phân giác nên cũng là đường cao. Do đó, DI  AM tại E. Vì ADM đều có AH, DE là hai đường cao nên AH DE 3 Vì ADI cân tại A, có AE  DI tại E nên DI 2DE 4 Từ (3) và (4) suy ra .DI 2AH c) Chứng minh: AC  AD 1 Xét tam giác ADC có AM là đường trung tuyến và AM DM DC nên D· AC 900 . 2 Vậy,.AC  AD Bài 113: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, kẻ các đường cao BD và CE. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh AC, đường thẳng này cắt đường thẳng AB tại điểm F. CE BE b) Chứng minh: AB2 AE.AF . b) Chứng minh: . CF BF Lời giải A E D B C F a) Chứng minh hệ thức: AB2 AE.AF . Ta có : BD / /FC ( cùng vuông góc với AC ) AD AB Suy ra (1) AC AF Ta lại có: AB AC và AE AD (?) (2) AE AB Từ (1) và (2) suy ra , do đó .AB2 AE.AF AB AF CE BE b) Chứng minh: . CF BF
+ C/m : BCE CBD ch gn Suy ra B· CE D· BC + Mặt khác, D· BC B· CF ( Vì BD // FC, slt ) Suy ra B· CE B· CF Khi đó CB là đường phân giác của ECF . CE BE Suy ra ( đpcm ) CF BF Bài 114: Cho hình thang vuông ABCD (µA Dµ 900 ) và DC 2AB , H là hình chiếu của D trên AC và M là trung điểm của đoạn HC. Chứng minh: BM  MD . Lời giải A B H K M D C Gọi K là trung điểm của DH. C/m: MK là đường trung bình của DHC . 1 Suy ra KM / /DC và KM DC 1 2 1 Ta lại có: AB DC và AB // DC (gt) (2) 2 Từ (1) và (2) suy ra AB KM và AB / /KM Do đó, ABMK là hình bình hành, cho ta BM / /AK (3) Vì MK / /AB và AB  AD(gt) nên MK  AD Trong tam giác ADM có MK  AD và DH  AM nên K là trực tâm của tam giác ADM, do đó AK  DM (4) Từ (3) và (4) suy ra BM  MD (đpcm) Bài 115: Cho hình bình hành ABCD có góc ABCnhọn. Vẽ ra phía ngoiaf hình bình hành các tam giác đều BCE và DCF. Tính số đo E· AF Lời giải
A D C B F E Chứng minh được A· BE E· CF Chứng minh được ABE FCE c.g.c AE EF Tương tự: AF EF AE EF AF AEFđều E· AF 600 Bài 116: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O.Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho I·OM 900 (I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông). Gọi N là giao điểm của AM và CD , K là giao điểm của OM và BN. 3) Chứng minh BIO CMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a 4) Chứng minh B· KM B· CO 1 1 1 Chứng minh CD2 AM2 AN2 Lời giải A I B O M K E D C N 1)I·BO M· CO 450 (Tính chất đường chéo hình vuông) BO CO (tính chất đường chéo hình vuông) B· OI C· OM (cùng phụ với B· OM) BIO CMO g.c.g SBIO SCMO mà S BMOI S BOI S BMO 1 1 Do đó: S S S S S a2 BMOI CMO BMO BOC 4 ABCD 4 2) Ta có: BIO CMO(cmt) CM BI BM AI
BM AM IA AM Vì CN / /AB nên IM / /BN CM MN IB MN Ta có: OI OM BIO CMO IOM cân tại O I·MO M· IO 450 Vì IM / /BN B· KM I·MO 450 B· KM B· CO 3) Qua A kẻ tia Ax vuông góc ANcắt CD tại E. Chứng minh ADE ABM g.c.g AE AM Ta có: ANE vuông tại A có AD  NE AD.NE AN.AE 2 2 S AD.NE AN.AE AD.NE AN.AE AEN 2 2 Áp dụng định lý Pytago vào ANE ta có: AN2 AE2 NE2 AN2 AE2 1 1 1 1 AD2 . AN2 AE2 AN2 .AE2 AN2 .AE2 AD2 AE2 AN2 AD2 1 1 1 Mà AE AM và CD AD CD2 AM2 AN2 Bài 117: Cho tam giác ABC AB AC , trọng tâm G. Qua G vẽ đường thẳng dcắt các cạnh AB AC AB,AC theo thứ tự ở D và E. Tính giá trị biểu thức . AD AE Lời giải A E d G D I M B C K Gọi M là trung điểm của BC AB AI Qua B vẽ đường thẳng song song với dcắt AM tại I, ta có: (1) AD AG AC AK Qua C vẽ đường thẳng song song với dcắt AMtại K, ta có: (2) AE AG AB AC AI AK Từ (1) và (2) suy ra (3) AD AE AG
Mặt khác : AI AK AM MI AM MK 2AM 4 (Vì MI MK do BMI CMK) AB AC 2AM 2AM Từ (3) và (4) suy ra 3 AD AE AG 2 AM 3 Bài 118: Cho hình chữ nhật ABCD có AB a 12cm,BC b 9cm.Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD d) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD e) Tính độ dài đoạn thẳng AH f) Tính diện tích tam giác AHB Lời giải A B H D C a) Chứng minh được AHB : BCD(g.g) AH AB a.b b) AHB : BCD(cmt) AH BC BD BD Áp dụng định lý Pytago được: BD AD2 AB2 225 15 cm 12.9 Từ đó tính được: AH 7,2(cm) 15 AH 7.2 c) AHB : BCD theo tỉ số k BC 9 Gọi S,S' lần lượt là diện tích của BCD và AHB , ta có: S 54cm2 2 2 S' 2 7.2 7.2 2 k S' .54 34,56(cm ) S 9 9 Vậy diện tích tam giác AHB bằng 34, 56(cm 2 ) Bài 119: Cho tam giác đều ABC.Gọi M,N lần lượt là các điểm trên các cạnh AB và BC sao cho BM BN.Gọi G là trọng tâm BMN và I là trung điểm của AN. Tính các góc của tam giác ICG. Lời giải
B G M N P I K A C Ta có BMN là tam giác đều , nên G là trọng tâm của BMN.Gọi P là trung điểm của MN, GP 1 Ta có: (tính chất trọng tâm tam giác đều) GN 2 PI PI 1 GP PI 1 Lại có: suy ra (1) MA NC 2 GN NC 2 Mặt khác: G· PI G· PM M· PI 900 600 1500 Và G· NC G· NP P· NC 300 1200 1500 , do đó : G· PI G· NC (2) 1 Từ (1) và (2) suy ra GPI : GNC(c.g.c) P· GI N· GC và GI GC 2 Mà I·GC 600 I·GC P· GN 600 1 1 Gọi K là trung điểm của GC thì GI GK GC, suy ra GIK đều nên IK GC 2 2 Điều này chứng tỏ GIC vuông tại I Vậy G· IC 900 ;I·GC 600 ;G· CI 300 Bài 120: Cho hình vuông ABCD,gọi E,F thứ tự là trung điểm của AB,BC. c) Chứng minh rằng: CE  DF d) Gọi M là giao điểm của CE và DF.Chứng minh rằng: AM AD Lời giải
A E B M F 1 1 N 2 D K C ¶ ¶ a) Chứng minh được CBE DFC c.g.c C1 D1 ¶ ¶ 0 ¶ ¶ 0 Lại có: C1 C2 90 D1 C2 90 CE  DF b) Gọi K là trung điểm của CD. Chứng mnh được tứ giác AECK là hình bình hành suy ra AK / /CE Gọi N là giao điểm của AK và DF. DCM có DK KC và KN / /CM nên N là trung điểm của DM. Vì CM  DM( câu a), KN / /CM KN  DM Tam giác ADM có AN là đường cao đồng thời là trung tuyến nên là tam giác cân tại A. AM AD Bài 121: Cho tam giác ABC.Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH. a) Chứng minh rằng EC BH;EC  BH b) Gọi M,N thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE,ACFH.Gọi I là trung điểm của BC. Tam giác MNI là tam giác gì ? Vì sao ? Lời giải H E N F A M D C B I a) Chứng minh được: EAC BAH c.g.c EC BH,A· EC A· BH Gọi K và O thứ tự là giao điểm của ECvới BA và BH Xét AEK và OBK có: A· EK O· BK; A· KE O· KB E· AK B· OK
B· OK 900.Vậy EC  BH 1 1 b) Ta có: MI / /EC;MI EC;IN / /BH;IN BH 2 2 Mà EC  BH và EC BH nên MI IN và MI  IN Vậy tam giác MIN vuông cân tại I Bài 122: Chứng minh rằng trong một hình bình hành, khoảng cách từ một điểm trên đường chéo đến hai cạnh kể (hai cạnh kề và đường chéo cùng đi qua một đỉnh của hình bình hành), tỉ lệ nghịch với hai cạnh ấy. Lời giải A B H M P D N K C Kẻ PH  AD;PK  CD;PM / /CD;PN / /AD Chứng minh HMP : KNP(g.g) PH PM PH DN (do PMDN là hình bình hành) PK PN PK PN DN PN Chứng minh DNP : DCB g.g DC BC DN DC PH DC (dfcm) PN BC PK BC Bài 123: Gọi M là diểm nằm trong x· Oy m0 (0 m 90). Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M trên Ox,Oy.Gọi H, K lần lượt là trung điểm của OM,PQ c) Chứng minh HK  PQ d) Tính số đo H· PQ theo m Lời giải
x P M K H Q y O 1 a) MPO vuông tại P, đường trung tuyến PH OM 2 1 MQO vuông tại Q, đường trung tuyến QH OM 2 PH QH HPQ cân tại H HK  PQ b) M· HQ 2M· OQ;M· HP 2M· OP PHQ 2.P· OQ 2.m0 P· HK m0 H· PQ 900 m0 Bài 124: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Trên tia đối của tia AC lấy điểm I sao cho AI AM. c) Chứng minh rằng: CM  BI d) Trên BC lấy điểm P sao cho BP 2CP. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC có chứa điểm A, vẽ tia Px sao cho x· PB 600. Tia Px cắt tia CA tại D. Tính số đo C· BD Lời giải a) I A M C B H Tia IMcắt BC tại H 0  0 ABCvuông cân tại A nên Cµ 45 , IAM vuông cân tại M nên I 45  0 0 IHC có Cµ I 90 Hµ 90 IH  BC Chứng minh được M là trực tâm IBC CM  BI b)
y D E x A K C B P Gọi E là điểm đối xứng với B qua PD EP PB 2PC BPEcân tại P nên đường trung trực của PD cũng là phân giác B· PD D· PE 600 E· PC 600 Chứng minh được EPC vuông tại C Chứng minh được CD là phân giác của PCE Chứng minh được ED là phân giác ngoài tại đỉnh E của PCE Chứng minh được y· EP 1500 D· EP 750 Chứng minh được P· BD 750 hay C· BD 750 Bài 125: Cho hình thang ABCD AB / /CD , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Một đường thẳng d qua O song song với 2 đáy cắt hai cạnh bên AD,BC lần lượt tại E và F. Chứng minh 1 1 2 rằng . AB CD EF Lời giải A B E O F D C OE OD Xét ABD có OE / /AB (Hệ quả định lý Talet) (1) AB DB OF OB Xét ABC có OF / /DC (hệ quả định lý Talet ) (2) CD BD OF OC Xét ABC có OF / /AB (hệ quả định lý Ta let ) (3) AB AC
OE AO Xét ABD có OE / /DC (Hệ quả định lý Ta let ) (4) DC AC Từ (1), (2), (3), (4) suy ra OE OF OF OE OD OB OC AO AB CD AB DC DB BD AC AC OE OF OF OE OD OB OC AO AB AB CD DC DB BD AC AC EF EF BD AC EF EF 1 1 2 2 AB DC BD AC AB DC AB CD EF Bài 126: Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M,N theo thứ tự thuộc các cạnh AB,BC sao cho AN CM.Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng KD là tia phân giác của A· KC Lời giải A M B I K J N D C Kẻ DI,DJ lần lượt vuông góc với AK,CK 1 1 Ta có: S AN.DI S (Do chung đáy AD, cùng chiều cao hạ từ N) (1) AND 2 2 ABCD 1 1 S CM.DJ S (Do chung đáy CD, cùng chiều cao hạ từ M ) (2) CDM 2 2 ABCD 1 1 Từ (1) và (2) suy ra : AN.DI CM.DJ DI DJ (Vì AN CM) 2 2 DIK DJK (cạnh huyền-cạnh góc vuông) I·KD J·KD KDlà tia phân giác A· KC Bài 127: Cho tam giác đều ABC,gọi M là trung điểm của BC. Một góc x· My 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx,My luôn cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh BC2 d) BD.CE 4 e) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc B· DE và C· ED f) Chu vi tam giác ADE không đổi. Lời giải
B x y D 2 1 E 2 1 3 A C a) Chứng minh BMD : CEM BC BC2 Vì BM CM , nên ta có: BD.CE 2 4 ¶ ¶ · b) Chứng minh BMD : MED D1 D2 , do đó DM là tia phân giác BDE Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác C· ED c) Gọi H,I,K là hình chiếu của M trên AB,DE,AC Chứng minh DH DI,EI EK Suy ra chu vi ADE 2AH không đổi Bài 128: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia Ax,By cùng vuông góc với AB. Trên tia Axlấy điểm C (C khác A). Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng này cắt By tại D. Từ O hạ đường vuông góc OM xuống CD (M thuộc CD) a) Chứng minh OA2 AC.BD b) Chứng minh tam giác AMB vuông c) Gọi N là giao điểm của BC và AD. Chứng minh MN / /AC Lời giải x y D M C N A O B
a) Xét ACO và BOD có: Aµ Bµ 900 ;C· OA O· DB (cùng phụ với D· OB) AO BD Nên ACO : BOD g.g AO.BO AC.BD AC BO Mà AO BO nên AO2 AC.BD b) Xét CMO và OMD có: C· MO O· MD 900 ;O· CM D· OM (cùng phụ với C· OM) CO OM CMO : OMD (1) OD MD CO AO CO OB Mà ACO : BOD (Do AO OB) 2 OD OD OD BD OM OB Từ (1) và (2) ta có: OMD : OBD MD BD M· OD B· OD OMD OBD (cạnh huyền, góc nhọn) OM OB OA AMBvuông tại M CN AC c) Ta có: AC / /BD (cùng vuông góc với AB) NB BD Mà BD MD ( OMD OBD ) Tương tự ta chứng minh AC CM CN CM Nên MN / /BD / /AC BN DM Bài 129: Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng ABvẽ hai tia Ax,By cùng vuông góc với AB. Trên tia Axlấy điểm D bất kỳ, qua O vẽ hai dường thẳng vuông góc với DOtại O cắt By tại C a) Chứng minh BC.AD a2 b) Chứng minh DO và CO lần lượt là tia phân giác của A· DC và B· CD c) Vẽ OH  CD H CD . Gọi I là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của AH và DO, F là giao điểm của BH và CO. Chứng minh ba điểm E,I,F thẳng hàng d) Xác định vị trí của điểm D trên tia Axđể tích DO.CO có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải
x y H C D I F E A O B a) Chứng minh A· DO B· OC (cùng phụ với A· OD) OA AD Chứng minh ADO : BOC gg BC.AD a2 BC OB OB OD b) Chứng minh .Từ đó chứng minh ODC : BOC c.g.c BC OC Suy ra và kết luận CO là tia phân giác của B· CD Chỉ ra ADO : ODC (cùng đồng dạng với BOC) Chứng minh DO là tia phân giác của A· DC c) Chứng minh vuông OBC vuông OHC (cạnh huyền – góc nhọn) CB CH Chứng minh OC là đường trung trực HB Tương tự chứng minh AD DH và OD là trung trực của HA Chứng minh EF là đường trung bình AHB EF / /AB DE DH AD Chỉ ra EH / /OC EO HC BC AD DI AD / /BC BC IB DE DI Suy ra . Áp dụng định lý Ta let đảo cho DOB EI / /OB EO IB Theo tiên đề Oclit kết luận E,I,F thẳng hàng d) Chỉ ra 2S DOC OC.OD OH.DC a.DC nhỏ nhất DCnhỏ nhất DC  Ax ABCD là hình chữ nhật AD BC;CD AB Mà BC.AD a2 AD2 a2 AD a Xét tam giác vuông AHB có HO là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AB OH a 2
Suy ra GTNN của OD.OC bằng 2a2 khi và chỉ khi D Ax và AD a. Bài 130: Cho tam giác ABC vuông tại A AC AB , đường cao AH H BC . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD HA.Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng: BEC : ADC. Tính độ dài đoạn BE theo m AB 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE.Chứng minh rằng hai tam giác BHM, BEC đồng dạng. Tính số đo của A· HM GB HD 3. Tia AM cắt BCtại G. Chứng minh : BC AH HC Lời giải A 1 E M 2 1 2 C B H G D 4.1 CDE và CAB có: Cµ chung; C· DE C· AB 900 CD CE CD CA CDE : CAB . CA CB CE CB Hai tam giác ADC và BEC có: CD CA Cµ chung; (cmt) ADC : BEC(c.g.c) CE CB Suy ra : B· EC A· DC 1350 (Vì AHD vuông cân tại H theo giả thiết) Nên A· EB 450 , do đó ABE vuông cân tại A Suy ra BE AB 2 m 2 BM 1 BE 1 AD 4.2 Ta có: . . (do BEC : ADC) BC 2 BC 2 AC Mà AD AH 2 ( AHD vuông cân tại H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH Nên . . (Do BHM : CBA) BC 2 AC 2 AC AB 2 BE Do đó: BHM : BEC(c.g.c) B· HM B· EC 1350 A· HM 450 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là tia phân giác góc BAC
GB AB AB ED Suy ra mà ABC : DEC GC AC AC DC ED AH Ta lại có: ED / /AH DC HC ED AH HD Mà HD HC DC HC HC GB HD GB HD GB HD GC HC GC GB HC HD BC HC AH Bài 131: Cho hình chữ nhật ABCD.Vẽ BH vuông góc với AC(H AC). Gọi M là trung điểm của AH,K là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: BM  MK . Lời giải A B M O H D K C Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BH Ta có M,O lần lượt là trung điểm của AH,BH nên: MO là đường trung bình HAB 1 Vậy MO AB,MO / /AB 2 1 Mà AB CD,AB / /CD,KC CD 2 Do đó: MO KC,MO / /KC, suy ra tứ giác MOCK là hình bình hành. Từ đó có: CO / /MK Ta có: MO / /KC,KC  CB MO  CB Tam giác MBC có MO  CB,BH  MC nên O là trực tâm MBC CO  BM Ta có: CO  BM và CO / /MK nên BM  MK Bài 132:
Một trường học được xây dựng trên khu đất hình chữ nhật ABCD có AB 50m, A M B BC 200m. Ở phía chiều rộng AB tiếp giáp đường chính, người ra sử dụng hai lô đất hình I K vuông AMEH,BMIK để xây dựng phòng làm H việc và nhà để xe. Diện tích còn lại để xây E phòng học và các công trình khác (như hình vẽ). Tính diện tích lớn nhất còn lại để xây phòng học và các cong trình khác. D C Lời giải 2 Đặt : AM a,MB b a b 502 2 a b 0 a2 2ab b2 0 a2 b2 2ab 2 2 a2 b2 a b 502 a2 b2 1250 2 Diện tích nhỏ nhất SAMEH SBIMK 1250 m Diện tích lớn nhất còn lại: 10000 1250 8750 m2 Bài 133: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 8cm,AD 6cm.Gọi H là hình chiếu của A trên BD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của DH,BC a) Tính diện tích tứ giác ABCH b) Chứng minh AM  MN. Lời giải A B K N H M D C a) ABH : DBA
Tính AH 4,8cm; BH 6,4cm Kẻ KC  BD. C / m KC AH 4,8cm 1 1 2 SABCH SABH SBHC AH.HB CK.HB 30,72 cm 2 2 AH AD HD b) AHD : ABC . AB AC BC AD DM AD AM ; ADM : ACN AC CN AC AN AD AM M· AD N· AC N· AM C· AD; AC AN ADC : AMN(cgc) AM  MN Bài 134: Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối của tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O,C,I thẳng hàng Lời giải E I C B F O A D a) Ta có ADE CDF cgc EDF cân tại D µ µ Mặt khác ADE CDF cgc E1 F2
µ ¶ µ 0 µ ¶ µ 0 · 0 Mà E1 E2 F1 90 F2 E2 F1 90 EDF 90 Vậy EDF vuông cân b) Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD 1 1 Mà EDF vuông cân DI EF , tương tự: BI EF DI BI 2 2 I thuộc đường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO Hay O,C,I thẳng hàng.
Bài 135: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD AE. Xác định vị trí điểm D, E sao cho a) DE có độ dài nhỏ nhất b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. Lời giải B D A E C a) Đặt AB AC a không đổi ; AE BD x 0 x a Áp dụng định lý Pytago với ADE vuông tại A có: DE 2 AD2 AE 2 a x 2 x2 2x2 2ax a2 2 2 2 2 2 2 a a a 2 x ax a 2 x 4 2 2 a Ta có DE DE 2 x min min 2 a BD AE D,E là trung điểm AB, AC 2 b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất . 1 1 1 1 2 Ta có: SADE AD.AE AD.BD AD. AB AD . AD AB.AD 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 AB AB AB 1 AB AB AB AD 2 AD AD 2 2 4 8 2 4 2 8
AB2 AB2 3 Vậy S S S AB2 (Không đổi) BDEC ABC ADE 2 8 8 3 Do đó min S AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC BDEC 8 Bài 136: Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax,By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D a) Chứng minh AB2 4AC.BD b) Kẻ OM  CD tại M. Chứng minh AC CM. c) Từ M kẻ MH vuông góc với AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH d) Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất Lời giải y x D I M C K A B H O OA AC a) Chứng minh OAC : DBO(g.g) OA.OB AC.BD DB OB AB AB . AC.BD AB2 4AC.BD (dfcm) 2 2
OC AC b) Theo câu a ta có: OAC : DBO(g g) OD OB OC AC OC OD Mà OA OB OD OA AC OA +) Chứng minh : OAC : DOC c.g.c ·ACO O· CM +)Chứng minh : OAC OMC(ch gn) AC MC(dfcm) c) Ta có OAC OMC OA OM;CA CM OC là trung trực AM OC  AM, Mặt khác OA OM OB AMB vuông tại M OC / /BM (vì cùng vuông góc với AM) hay OC / /BI +)Xét ABI có OM đi qua trung điểm AB, song song BI suy ra OM đi qua trung điểm AI IC AC MK BK KH +)MH / / AI theo hệ quả định lý ta let ta có: IC BC AC Mà IC AC MK HK BC đi qua trung điểm MH (dfcm) d) Tứ giác ABCD là hình thang vuông 1 S AC BD .AB ABDC 2 Ta thấy AC,BD 0 , nên theo BĐT Cô si ta có: AB2 1 AC BD 2 AC.BD 2 AB S AB2 4 ABDC 2 AB Dấu " "xảy ra AC BD OA 2 Vậy C thuộc tia Ax và cách điểm A một đoạn bằng OA. Bài 137: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm.Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB,BC.Gọi P là giao điểm của AN với DM a) Chứng minh APM là tam giác vuông b) Tính diện tích của tam giác APM c) Chứng minh tam giác CPD là tam giác cân Lời giải
A M B 1 1 P I N H 1 D C µ µ a) Chứng minh ADM BAN(cgc) A1 D1 µ ¶ 0 Mà D1 M1 90 ( ADM vuông tại A) µ ¶ 0 · 0 Do đó: A1 M1 90 APM 90 . Hay APM vuông tại P 4 5 2 5 4 b) Tính được AP (cm), AM cm,S (cm2 ) 5 5 APM 5 c) Gọi I là trung điểm của AD. Nối C với I; CI cắt DM tại H Chứng minh tứ giác AICN là hình bình hành AN / /CI mà AN  DM CI  DM Hay CH là đường cao trong CPD(1) Vận dụng định lý về đường trung bình trong ADP chứng minh được H là trung điểm DP suy ra CH là trung tuyến trong CPD(2) Từ (1) và (2) suy ra CPD cân tại C Bài 138: Cho hình thang cân ABCD có ·ACD 600 ,O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E,F,G theo thứ tụ là trung điểm của OA,OD,BC. Tam giác EFG là tam giác gì ? Vì sao? Lời giải
A B E O G F D C Do ABCD là hình thang cân và ·ACD 600 suy ra OAB và OCD là các tam giác đều Chứng minh BFC vuông tại F 1 Xét BFC vuông tại F có: FG BC 2 1 Chứng minh BEC vuông tại E có EG BC 2 1 1 Xét EF là đường trung bình AOD EF AD EF BC (ABCD hthang cân) 2 2 Suy ra EF EG FG EFG đều Bài 139: Cho hình bình hành ABCD có E,F thứ tự là trung điểm của AB,CD. a) Chứng minh rằng các đường thẳng AC,BD,EF đồng quy b) Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N.Chứng minh rằng EMFN là hình bình hành Lời giải
A E B M O N D F C a) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, ta có O là trung điểm của BD. Chứng minh BEDF là hình bình hành Có O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm của EF Vậy EF,BD, AC đồng quy tại O 1 a) Xét ABD có M là trọng tâm, nên OM OA 3 1 Xét BCD có N là trọng tâm, nên ON OC 3 Mà OA OC nên OM ON Tứ giác EMFN có OM ON,OE OF nên là hình bình hành Bài 140: Cho đoạn thẳng AB a.Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMNP,BMLK có tâm theo thứ tự là C, D. Gọi I là trung điểm của CD. a) Tính khoảng cách từ I đến AB b) Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển trên đường nào ? Lời giải
P N Q L K C R I S D B A E HM F a) Kẻ CE,IH,DF cùng vuông góc với AB suy ra tứ giác CDFE là hình thang vuông. AM BM AB a a Chứng minh được: CE ,DF CE DF IH 2 2 2 2 4 b) Khi M di chuyển trên AB thì I di chuyển trên đoạn RS song song với AB và cách AB một a khoảng bằng (R là trung điểm của AQ) 4 S là trung điểm của BQ, Q là giao điểm của BL và AN) Bài 141: Cho hình thang ABCD (AB / /CD, AB CD ). Gọi N và M theo thứ tự là trung điểm của các đường chéo AC,BD.Chứng minh rằng: 1) MN / / AB CD AB 2) MN 2 Lời giải
A B P N M Q D C 1) Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD và BC AP AN Chứng minh được PN / / AB (định lý Talet đảo) AD AC Mà PM / / AB (đường trung bình) P,M,N thẳng hàng (Tiên đề Ơ clit) Vậy MN / / AB 2) Tương tự P,M , N,Q thẳng hàng AB CD AB AB Rút ra ta được: PQ (1);PM (2); NQ (3) 2 2 2 CD AB Từ 1 , 2 , 3 suy ra MN PQ PM NQ 2 Bài 142: Cho hình thang ABCD (AB / /CD và AB CD) ; Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC, BD.Đường thẳng qua A và song song với BC cắt BD tại E, cắt CD tại A’ ; đường thẳng qua B và song song với AD cắt AC tại F, cắt CD tại B' . Gọi diện tích các tam giác OAB,OCD, ACD, ABC lần lượt là S1,S2 ,S3,S4 . Chứng minh: a) EF / / AB AB BE b) và AB2 EF.CD CD BD S S c) 1 2 1 S4 S3
Lời giải A B O E F C D B' A' OE OA a) AE / /BC OB OC OF OB BF / / AD OA OC OA OB OE OF AB / /CD EF / / AB (Ta let đảo) OC OD OB OA EB AB EB AB b) AB / /DA' ED DA' ED EB AB DA' EB AB AB EF AB EF AB A'C được: (Do AB DB') BD BD DC DB' DC AB AB2 EF.DC S OA S OA c) OAB (1); OCD (2) SABC AC SADC AC (Tỷ số DT hai tam giác có cùng đáy bằng tỉ số đường cao) Cộng (1) (2) vế theo vế ta có : đpcm Bài 143: Cho hình bình hành ABCD.Với AB a, AD b.Từ đỉnh A, kẻ một đường thẳng a bất kỳ cắt đường chéo BDtại E, cắt cạnh BC tại F và cắt tia DC tại G. a) Chứng minh : AE 2 EF.EG b) Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi
Lời giải A B E F G D C EA EB AB a) Do AB / /CD nên ta có: (1) EG ED DG EF EB AD Do BF / / AD nên ta có: (2) EA ED FB EA EF Từ (1) và (2) hay AE 2 EF.EG EG EA AB FB b) Từ (1) và (2) BF.DG AB.AD a.b (không đổi) DG AD Bài 144: Cho hình thang ABCD (AB / /CD) có AB CD. Qua A và Bkẻ các đường thẳng song song với BC và AD lần lượt cắt CD ở K và I. Gọi E là giao điểm của AK và BD, F là giao điểm của BI và AC. Chứng minh rằng: a) EF / / AB b) AB2 CD.EF Lời giải
A B E F D K I C a) Ta có: AB//CD nên theo hệ quả Ta let ta có: AF AB AE AB (1) (2) FC IC EK DK Mặt khác ta có: Tứ giác ABCK là hình bình hành (do AB / /CD,BC / / AK) nên AB = CK (3) Tứ giác ABID là hình bình hành (do AB / /CD,BI / / AD) nên AB DI(4) Từ (3) (4) suy ra CK DI IC DK 5 AF AE Từ (1) (2) (5) suy ra EF / /DC EF / / AB FC EK b) Ta có: AB // CD AB AF (*) (Do AB DI nên AB CI DI CI CD) CI CF Mặt khác AEF : AKC(EF / /KC) AF EF AF EF mà KC AB AC KC AC AB AB EF Từ (*) và ( ) suy ra hay AB2 EF.CD (đpcm). CD AB Bài 145: Cho tam giác ABC vuông tại A,D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E,Flần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải
C F D A E B a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì Eµ µA Fµ 900 ) Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của B· AC b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD EF 3AD 4EF 7AD 3AD 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất D là hình chiếu vuông góc của A lên BC Bài 146: Trong tam giác ABC, các điểm A,E,F tương ứng nằm trên các cạnh BC,CA, AB sao cho ·AFE B· FD;B· DF C· DE;C· ED ·AEF a) Chứng minh rằng: B· DF B· AC b) Cho AB 5,BC 8,CA 7. Tính độ dài đoạn BD. Lời giải
A E F O B D C a) Đặt ·AFE B· FD ,B· DF C· DE ;C· ED ·AEF  Ta có: B· AC   1800 * Qua D,E,F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, ABcắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF O· FD O· ED O· DF 900 (1) Ta có: O· FD  O· ED  O· DF 2700 (2) 1 & 2   1800 Từ * & B· AC B· DF b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:
Bµ ,Cµ  AEF : DBF : DEC : ABC BD BA 5 5BF 5BF 5BF BD BD BD BF BC 8 8 8 8 CD CA 7 7CE 7CE 7CE CD CD CD CE CB 8 8 8 8 AE AB 5 7AE 5AF 7 7 CE 5 5 BF 7CE 5BF 24 AF AC 7 CD BD 3 (3) Ta lại có: CD BD 8 (4) Từ (3) và (4) BD 2,5 Bài 147: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi Lời giải Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z trong đó cạnh huyền là z (x, y, z là các số nguyên dương) Ta có: xy 2 x y z 1 và x2 y2 z2 (2) 2 Từ (2) suy ra z2 x y 2xy, thay (1) vào ta có: z2 x y 2 4 x y z z2 4z x y 2 4 x y z2 4z 4 x y 2 4 x y 4 z 2 2 x y 2 2 Suy ra z 2 x y 2 z x y 4; thay vào 1 ta được: xy 2 x y x y 4 xy 4x 4y 8 x 4 y 4 8 1.8 2.4 Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là: x; y; z 5;12;13 ; 12;5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10  Bài 148: Cho tam giác ABC,đường cao AH, vẽ phân giác Hx của góc ·AHB và phân giác Hy của ·AHC . Kẻ AD vuông góc với Hx , AE vuông góc với Hy Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình vuông.
Lời giải A x y D E B H C Tứ giác ADHE là hình vuông Hx là phân giác của ·AHB;Hy là phân giác của ·AHC mà ·AHB và ·AHC là hai góc kề bù nên Hx  Hy Hay D· HE 900 , mặt khác: ·AHD ·AEH 900 nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật (1) ·AHB 900 ·AHC 900 ·AHD 450 , Do ·AHE 450 2 2 2 2 Hay HA là phân giác D· HE (2) Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông. Bài 149: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD.Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Vì sao ? b) Chứng minh rằng : CH.CD CB.CK c) Chứng minh rằng: AB.AH AD.AK AC 2 Lời giải
H B C F O E A D K a) Ta có BE  AC(gt);DF  AC(gt) BE / /DF Chứng minh BEO DFO(g.c.g) BE DF Suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành b) Ta có : ·ABC ·ADC H· BC K· DC CH CK Chứng minh CBH : CDK(g.g) CH.CD CK.CB CB CD AF AK c) Chứng minh AFD : AKC g.g AD.AK AF.AC AD AC CF AH Chứng minh CFD : AHC(g.g) CD AC CF AH Mà CD AB AB.AH CF.AC AB AC Suy ra AB.AH AB.AH CF.AC AF.AC CF AF .AC AC 2 Bài 150: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của BD,BC,DC a) Chứng minh APQR là hình thang cân b) Biết AB 6cm, AC 8cm. Tính độ dài của AR Lời giải
A D P R C B Q a)PQ là đường trung bình tam giác BDC, suy ra PQ / / AR nên APQR là hình thang. 1 AQ BC (trung tuyến tam giác vuông ABC) 2 1 PR BC (đường trung bình tam giác DBC) 2 Suy ra AQ PR APQR là hình thang cân b) Tính được BC 10cm Tính chất đường phân giác trong của ABC DA BA DA BA DC BC AC BC BC Thay số tính đúng AD 3cm,DC 5cm,DR 2,5cm Kết quả AR 5,5cm Bài 151: Cho hình bình hành ABCD.Một đường thẳng qua B cắt cạnh CD tại M, cắt đường chéo AC tại N và cắt đường thẳng AD tại K. Chứng minh: 1 1 1 BN BM BK Lời giải A B N D M C K AB//AC (hai cạnh đối diện hình bình hành). Theo định lý Talet có:
MN NC MN MC AB MN NB BM (1) AB AN NB AB BN BN KM KD MD BK KM AB MD BM AB MD (2) BK KA AB BK AB BK AB BM BM AB MC AB MD MC MD Từ (1) và (2) BN BK AB AB AB BM BM Mà MC MD CD AB nên 1(Điều phải chứng minh) BN BK Bài 152: Cho tam giác ABC phân giác AD. Trên nửa mặt phẳng không chứa Abờ BC, vẽ tia Cx 1 sao cho B· Cx B· AC. Cx cắt AD tại E; I là trung điểm DE. Chứng minh rằng: 2 e) ABD : CED f) AE 2 AB.AC g) 4AB.AC 4AI 2 DE 2 h) Trung trực của BC đi qua E Lời giải A C B D I E · · 1 · · · a) Xét ABD và CED có: BAD BCE BAC ; ADB CDE (đối đỉnh) 2 ABD : CED g.g b) Xét ABD và AEC có:
· · 1 · · · BAD EAD BAC ; ABD AEC ABD CED ABD : AEC g.g 2 AB AE AB.AC AD.AE AE 2 AD AE AD AC Vậy AE 2 AB.AC c) Ta có: 4AI 2 DE 2 4AI 2 4DI 2 4. AI DI AI DI 4AD. AI IE 4AD.AE Mà AD.AE AB.AC (câu b) 4AB.AC 4AI 2 DE 2 d) ) ABE : ADC AB AD Vì B· AD D· AC; AD.AE AB.AC AE AC ABE : ADC(c.g.c) ·AEB ·ACB Xét BDE và ADC có: B· DE ·ADC (đối đỉnh); B· ED ·ACD BDE : ADC(g.g) D· BE D· AC B· CE BEC cân tại E Trung trực BC qua E Bài 153: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C, vẽ hình vuông AHKE. Gọi P là giao điểm của AC và KE a) Chứng minh ABP vuông cân b) Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh H, I, E thẳng hàng c) Tứ giác HEKQ là hình gì? Chứng minh Lời giải a/ CM được BHA PEA (g.c.g) AB = AP mà B· AP 900 (gt) A E Vậy BPA vuông cân b/Ta có : HA = HK P B I C H nằm trên đường trung trực của AK H K Ta có : AE = KE E nằm trên đường trung trực của KA Q PBK vuông có IB = IP (t/c đ/c hbh ABQP) IK IP IB (*) Ta có ABQP là hbh(gt), có BA= AP ( BPA vuông cân tại A) APQB là hình thoi, mà B· AP 900 (gt) APQB là hình vuông nên PI = IA( ). Từ (*) và( ) suy ra IK = IA nên I nằm trên đường trung trực của AK Vậy H, I, E thẳng hàng. c/ Ta có APQB là hình vuông (cmt) nên AP = BQ
PB AQ mà IK = IK 2 2 AKQ có AI = IQ(t/c đ/c hv) AQ Mà IK (cmt) AKQ vuông ở K 2 AK  KQ mà AK  HE (EAHK là hv) QK // HE Vậy HEKQ là hình thang Bài 154: Tính diện tích hình thang ABCD ( AB // CD), biết AB = 42cm, µA 450 ; Bµ 600 và chiều cao của hình thang bằng 18m Lời giải Qua A và B kẻ AA’ và BB’ vuông góc với CD. Tứ giác ABB’A’là hcn và A’A = BB’ = 18m ·A' AB 900 , D· AB 450 ·A' AD 450 D C Do đó V A’AD vuông cân A' B' A’D = A’A = 18m 0 0 0 B· ' BA 90 ,C· BA 60 B· ' BC 30 A B vì thế trong tam giác vuông B’BC BC ta có B’C = . Theo định lí Pi ta go, ta có: 2 B’C2 = BC2 – B’B2 B’C2 = 4B’C2 – B’B2 3B’C2 = B’B2 B ' B 18 B’C = (cm) 3 3 Suy ra : 18 18 CD = A’B’ – A’D – B’C = 42 – 18 - 24 (cm) 3 3 1 1 18 2 Vậy SABCD = AB CD .A' A 42 24 18 498,6 (cm ) 2 2 3 Bài 155: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ; CM và NP. Chứng minh rằng c)DE song song với AC d) DE DF; AE AF Lời giải
A M N F E 2 1 C B Q D P BE BQ BQ AB BD a) Chứng minh được DE / /NC hay DE / / AC EN QP MQ AC DC DE BD BD b) Do DE / / AC DE .CN (1) CN BC BC CD Tương tự: DF .BM (2) BC DE BD CN Từ (1) và (2) suy ra . DF CD BM BD AB CN AC DE Mà và nên 1 DE DF CD AC BM AB DF µ · · ¶ Ta có: D1 DAC DAB D2 ADE ADF AE AF Bài 156: Cho tam giác vuông cân ABC(AB AC).M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM MA;CN cắt ABtại E. Chứng minh : c) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN NC NB d) 1 AN AB Lời giải
C F M N A E B a) ANC vuông tại N (vì AM MC MN) C· NM M· NA 900 & B· AN N· AC 900 Mà M· NA N· AC C· NM B· AN Mặt khác C· NM B· NE (đối đỉnh) B· NE B· AN BNE : BAN b) Trên tia đối tia MN lấy điểm F sao cho FM MN Tứ giác ANCF là hình chữ nhật (vì có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) CE / / AF ·AFB E· NB (đồng vị) BAN : BFA FA BF NC AB NB NC NB 1(dfcm) AN BA AN AB AN AB Bài 157: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên AC. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BAtại O. Chứng minh rằng: a)OA.OB OC.OH b) O· HA có số đo không đổi c) Tổng BM.BH CM.CA không đổi Lời giải
O A H M C B K OB OH a) BOH : COA g.g OA.OB OH.OC OC OA OB OH OA OH b) và Oµ chung OHA : OBC OC OA OC OB O· HA O· BC (không đổi) c) Vẽ MK  BC; BKM : BHC(g.g) BM BK BM.BH BK.BC (3) BC BH CM CK CKM : CAB g.g CM.CA BC.CK(4) CB CA Cộng từng vế của (3) và (4) ta có: BM.BH CM.CA BK.BC BC.CK BC. BK KC BC 2 (Không đổi) Bài 158: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường caao BD,CE cắt nhau tại H a) Chứng minh ABD : ACE b) Chứng minh BH.HD CH.HE c) Nối D với E, cho biết BC a, AB AC b. Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a Lời giải
A D E B C a) Xét ABD và ACE có: µA chung; ·ADB ·AEC 900 ABD : ACE g.g b) Xét BHE và CHD có: B· EH C· DH 900;B· HE C· HD (đối đỉnh) BH HE BHE : CHD(g.g) BH.HD CH.HE CH HD A D E H C F B c) Khi AB AC b thì ABC cân tại A DE AD AD.BC Suy ra được DE / /BC DE BC AC AC a Gọi giao điểm của AH và BC là F AF  BC,FB FC 2
DC BC BC.FC a2 DBC : FAC DC FC AC AC 2b a2 b .a 2 2 AD.BC AC DC .BC 2b a 2b a DE AC AC b 2b2 Bài 159: Cho hình bình hành ABCD(AC BD).Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của C lên AB và AD. Chứng minh c) ABC : HCG d) AC 2 AB.AG AD.AH Lời giải G B C F E A D H CG BC BC a) Chứng tỏ được CBG : CDH CH DC BA Và ·ABC H· CG (cùng bù với B· AD) ABC : HCG b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B,D trên AC. AF AD AFD : AHC AF.AC AD.AH AH AC AE AB AEB : AGC AE.AC AG.AB AG AC Cộng được : AF.AC AE.AC AD.AH AG.AB
AC. AF AE AD.AH AG.AB Chứng tỏ được: AE FC. Thay được: AC. AF FC AD.AH AG.AB AC 2 AD.AH AG.AB Bài 160: Cho hình vuông ABCD,M là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C dựng hình vuông AMHN. Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt ởA E,H cắt DC ở F. e) Chứng minh rằng BM ND f) Chứng minh rằng N,D,C thẳng hàng g)EMFN là hình gì ? h) Chứng minh: DF BM FM và chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi vị trí trên BC. Lời giải A B d E M N D F C H µ · 0 a)ABCD là hình vuông (gt) A1 MAD 90 (gt) (1) µ · 0 Vì AMHN là hình vuông (gt) A2 MAD 90 (2) µ µ Từ (1) và (2) suy ra A1 A2 µ µ 0 Ta có: AND AMB(c.g.c) B D1 90 và BM ND
¶ 0 µ ¶ · · 0 0 0 b)ABCD là hình vuông D2 90 D1 D2 NDC NDC 90 90 180 N;D;C thẳng hàng c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AH và MN của hình vuông AMHN O là tâm đối xứng của hình vuông AMHN AH là đường trung trực của đoạn MN, mà E;F AH EN EM và FM FN (3) Tam giác vuông tam giác vuông ¶ ¶ EOM FON OM ON; N1 M 3 µ ¶ O1 O2 EM NF 4 Từ (3) và (4) EM NE NF FM MENF là hình thoi (5) d) Từ (5) FM FN FD DN mà DN MB(cmt) MF DF BM Gọi chu vi tam giác MCF là p và cạnh hình vuông ABCD là a P MC CF MF MC CF BM DF(ViMF DF MB) (MC MB) CF FD BC CD a a 2a Hình vuông ABCD cho trước a không đổi p không đổi Bài 161: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của C qua P. e) Tứ giác AMDB là hình gì ? f) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lân AB, AD. Chứng minh EF / / AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng g) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P PD 9 Giả sử CP  BD và CP 2,4cm, . Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD PB 16 Lời giải D C P M F I E A B a) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD PO là đường trung bình tam giác CAM AM / /PO AMDB là hình thang
b) Do AM / /BD nên O· BA M· AE (đồng vị) Tam giác AOB cân ở O nên O· BA O· AB Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì AIE cân ở I nên I·AE I·EA Từ chứng minh trên : có F· EA O· AB, do đó: EF / / AC (1) Mặt khác IP là đường trung bình của MAC nên IP / / AC (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E,F,P thẳng hàng MF AD c) MAF : DBA(g.g) Không đổi FA AB PD 9 PD PB d) Nếu k PD 9k,PB 16k PB 16 9 16 CP PB Nếu CP  BD thì CBD : DCP(g.g) PD CP 2 Do đó: CP2 PB.PD hay 2,4 9.16k 2 k 0,2 PD 9k 1,8(cm); PB 16k 3,2(cm) BD 5(cm) Chứng minh BC 2 BP.BD 16 , do đó: BC 4cm, CD 3cm. Bài 162: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết CD 2AB 2AD và BC a 2 .Gọi E là trung điểm của CD. d) Tứ giác ABED là hình gì ? Tại sao ? e) Tính diện tích hình thang ABCD theo a f) Gọi I là trung điểm của BC,H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC. Tính góc H· DI Lời giải A B H I D E C a) Chỉ ra ABED là hình bình hành AB / /DE, AB DE Chỉ ra ABED là hình thoi (AB=AD)
Chỉ ra ABED là hình vuông B· AD 900 b) Chỉ ra BEC vuông cân Từ đó suy ra AB AD a,DC 2a AB CD .AD a 2a .a 3a2 Diện tích của hình thang ABCD là : S 2 2 2 c)·ACH ·ACD (1) (cùng phụ với góc HDC) Xét ADC và IBD vuông tại D và B có: AD IB 1 ADC : IBC DC BD 2 Suy ra ·ACD B· DI 2 Từ 1 và 2 suy ra ·ADH B· DI Mà ·ADH B· DI 450 B· DI B· DH 450 hay H· DI 450 Bài 163: Cho tam giác ABC.Gọi I là một điểm di chuyển trên cạnh BC. Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh ACcắt cạnh ABtại M. Qua I , kẻ đường thẳng song song với cạnh ABcắt cạnh AC tại N 4) Gọi O là trung điểm của AI . Chứng minh rằng ba điểm M ,O, N thẳng hàng 5) Kẻ MH, NK, AD vuông góc với BC lần lượt tại H,K,D.Chứng minh rằng MH NK AD 6) Tìm vị trí của điểm I để MN song song với BC. Lời giải
A M O N B H D E I K C 1) Ta có: IM / /AC,IN / /AB AMIN là hình bình hành MN cắt AI tại trung điểm mỗi đường. Mà O là trung điểm AI M,O,N thẳng hàng (đpcm) 2) Kẻ OE vuông góc với BC.Chứng minh MHKN là hình thang vuông. Ta có: O là trung điểm MN mà OE / /MH / /NK . Suy ra OE là đường trung bình của hình thang vuông MNKH nên MH NK 2OE (1) Xét ADI có O là trung điểm của AI và OE / / AD. Suy ra OE là đường trung bình của ADI nên AD 2OE (2) Từ (1) và (2) ta có: MH NK AD (dfcm) 3) Ta có: MN / /BC MN là đường trung bình của ABC (do O là trung điểm AI) I là trung điểm BC (Vì MI / / AC,MA MB) Vậy để MN song song với BC thì I là trung điểm BC. Bài 164: Cho tam giác ABC, các góc B và C nhọn. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: d) AB.AF AC.AE e) AEF : ABC f) BH.BE CH.CF BC 2 Lời giải
A E F H B D C AB AE a) ABE : ACF(g.g) AB.AF AC.AE AC AF AB AE AE AF b) AC AF AB AC AE AF AEF, ABC có µA chung và AEF : ABC(c.g.c) AB AC c) Vẽ HD  BC BH BD BHD : BCE g.g BH.BE BC.BD (1) BC BE CH CD CHD : CBF g.g CH.CF BC.CD (2) BC CF Cộng từng vế (1) và (2) ta được: BH.BE CH.CF BC. BD CD BC.BC BC 2 Bài 165: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéoAC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M 0 MB MA và trên cạnh BC lấy N sao cho M· ON 900.Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE. a) Chứng minh MON vuông cân b) Chứng minh MN song song với BE c) Chứng minh CK vuông góc với BE KC KN CN d)Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H. Chứng minh: 1 KB KH BH Lời giải
A M B O N K D C E H a) Ta có : B· OC 900 C· ON B· ON 900 ; vì M· ON 900 B· OM B· ON 900 B· OM C· ON B· OC Ta có BD là phân giác ·ABC M· BO C· BO 450 2 B· OC Tương tự ta có: N· CO D· CO 450 . Vậy ta có : M· BO N· CO 2 Xét OBM và OCN có OB OC;B· OM C· ON;M· BO N· CO OBM OCN OM ON Xét MON có M· ON 900;OM ON MON vuông cân b) OBM OCN MB NC mà AB BC AB MB BC NC AM BN AM BM MB NC AN BN Ta có: AB / /CD AM / /CE NE NC AM AN Vậy ta có: MN / /BE (Theo định lý Talet đảo) MB NE c) Vì MN / /BE B· KN M· NO 450 (đồng vị và có tam giác MON vuông cân) NB NO BNK : ONC (vì có B· NK O· NK;B· KN O· CN 450 ) NK NC NB NO Xét BNO; KNC có B· NO C· NK; BNO : KNC NK NC N· KC N· BO 450
Vậy ta có: B· KC B· KN C· KN 450 450 900 CK  BE d) Vì KH / /OM mà MK  OK MK  KH N· KH 900 mà N· KC 450 C· KH 450 B· KN N· KC C· KH 450 Xét BKC có B· KN N· KC KN là phân giác trong của BKC , mà KH  KN KC HC KH là phân giác ngoài của BKC KB HB KN BN Chứng minh tương tự ta có : KH BH KC KN NC HC BN CN BH Vậy ta có 1 KB KH BH HB BH BH BH Bài 166: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD; I và J thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng DH và BC. Tính số đo của góc ·AIJ b) Cho tam giác ABC nhọn trực tâm H, trên đoạn BH lấy điểm M và trên đoạn CH lấy điểm N sao cho ·AMC ·ANB 900 . Chứng minh rằng AM AN Lời giải a) A B P J H D I C Gọi P là trung điểm của AH PI là đường trung bình của tam giác AHD PI / / AD Mà AD  AB nên IP  AB và P là trực tâm ABI Từ đó ta có tứ giác BPIJ là hình bình hành BP / /IJ Mà BP  AI nên JI  AI Bài 167: Cho hình bình hành ABCD AC BD , hình chiếu vuông góc của C lên AB, ADlần lượt là E và F. Chứng minh: 1) CE.CD CB.CF và ABC đồng dạng với FCE 2) AB.AE AD.AF AC 2 Lời giải
E B C H K A D F CE BC CE BC 1) Chứng minh EBC : FDC(g.g) ,DC AB CF DC CF BA Chứng minh ·ABC F· CE ABC : FCE 2) H, K là hình chiếu vuông góc của D,B lên AC Chứng minh AB.AE AK.AC; AD.AF AH.AC Chứng minh KC AH AB.AE AD.AF AC 2 Bài 168: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhâu tại O. Một đường thẳng kẻ qua Acắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CDtại N. Gọi K là giao của OM và DN.Chứng minh CK vuông góc với BN. Lời giải A I B O K M D C N Trên cạnh ABlấy I sao cho IB CM. Xét IBO và MCO có: IB CM ;I·BO M· CO 450;BO CO IBO MCO(c.g.c) OI OM ,I·OB M· OC B· OI B· OM B· OM M· OC 900 M· OI 900 MOI vuông cân tại O nên O· MI O· IM 450
BI CM CM NM Vì IB CM, AB CB nên (1) và AB / /CN nên (2) BA CB CB NA BI NM Từ (1) và (2) IM / /BN (Talet đảo) do đó O· KB O· MI 450 (đồng vị) BA NA MC MO OMC : BMK(g.g) MK MB MC MO Xét CMK và OMB có: cmt và C· MK O· MB (đối đỉnh) MK MB CMK : OMB(c.g.c) M· KC M· OB mà M· BO 450 M· KC 450 C· KB M· KB M· KC 450 450 900 Vậy CK vuông góc với BN Bài 169: Cho tam giác nhọn ABC . Các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b) BH.BE CH.CF BC 2 BC 2 c) AD.HD 4 d) Gọi I, K,Q, R lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ E xuống AB, AD ,CF, BC . Chứng minh bốn điểm I, K,Q, R cùng nằm trên một đường thẳng. Lời giải A I K E F Q B D R C AE AB a) Ta có: AEB : AFC(g.g) AF AC Từ đó suy ra AEF : ABC c.g.c BD BH b) BDH : BEC(g.g) BH.BE BC.BD (1) BE BC
CD CH CDH : CFB(g.g) CH.CF BC.CD (2) CF BC Từ (1) và (2) suy ra BH.BE CH.CF BC.BD BC.CD BC 2 DH DB c) Chứng minh được DBH : DAC(g.g) DH.DA DC.DB DC DA 2 DC DB BC 2 Lại có: DC.DB 4 4 BC 2 Do đó: AD.HD 4 a) Từ giả thiết suy ra EI / /CF,EK / /BC,EQ / / AB,ER / / AD Áp dụng định lý Talet ta có: AI AE AK * IK / /DF (3) AF AC AD BF BH BD * IR / /DF (4) BI BE BR CR CE CQ * RQ / /DF (5) CD CA CF Từ 3 ; 4 ; 5 suy ra bốn điểm I,K,Q,R thẳng hàng Bài 170: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của các tia BA,CAlấy theo thứ tự các điểm D,E sao cho BD CE BC.Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh AB CK Lời giải A K 1 B 1 C 1 O 1 M E D Vẽ hình bình hành ABMC AB CM 1 1 1 Ta có: Bµ Cµ C· MB nên BO là tia phân giác của C· BM 1 2 1 2 Tương tự CO là tia phân giác của B· CM Do đó MO là tia phân giác của B· MC Suy ra OM song song với tia phân giác của µA , suy ra K,O,M thẳng hàng
1 1 Ta có: M¶ B· MC B· AC K¶ 1 2 2 1 Nên tam giác KMC cân tại C CK CM (2) Từ (1) và (2) suy ra CK AB Bài 171: Cho tam giác ABC nhọn, BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng: HED : HBC b) Chứng minh rằng: ADE : ABC c) Gọi M là trung điểm của BC, qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB tại I, cắt AC tại K. Chứng minh tam giác IMK là tam giác cân Lời giải O A N D K E H I F C B M HE HD a) BHE : CHD g.g HED : HBC(c.g.c) HB HC AD AB b) ABD : ACE(g.g) ADE : ABC(c.g.c) AE AC c) Kẻ KF  CE.Gọi O là giao điểm của KF và HD O là trực tâm tam giác CHO HK  CO MH là đường trung bình của tam giác BCO HB HO BEH OFH (cạnh huyền – góc nhọn) HE HF HEI HFK gcg HI HK MIK cân tại M (vì có đường cao đồng thời là đường trung tuyến) Bài 172: Cho tam giác ABC có B· AC 1200. Các phân giác AD, BE và CF 1 1 1 a) Chứng minh rằng AD AB AC b)Tính F· DE Lời giải
A E F I C D B K a) Từ B kẻ BK / / AC cắt AD tại K, ta có tam giác ABK đều Do đó: AB DB DK AB AD 1 1 1 AC. AB AD AC DC DA AD AD AB AC BC.AB b) Áp dụng tính chất đườn phân giác tính được BD AB AC AB.AC Từ (a) suy ra AD AB AC DA CA EA Suy ra nên DE là phân giác của B· DA DB CB EB Chứng minh tương tự được DF là phân giác ·ADC Từ đó suy ra E· DF 900 Bài 173: Cho tam giác vuông cân ABC AB AC . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM 2MA , trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đường thẳng Bx vuông góc với 1 AB,trên Bx lấy điểm N sao cho BN AB . Đường thẳng MC cắt NAtại E, đường thẳng BEcắt 2 đường thẳng AC tại F. a) Chứng minh AF AM. b) Gọi H là trung điểm của FC.Chứng minh EH BM Lời giải
K F A E M N B C a) Đường thẳng EC cắt đường thẳng BN tại K. Ta có: AC  AB gt ,KB  AB gt FC / /KB AF AE  NB EN AF AC AF AC AB2  AF 1 AC AE NB NK AB NK 2NK NK EN  AC AM 1 AC 1 AB 1 AB BK MB 2 KN NB 2 KN 2 2 2AB 1 3 4AB 2KN AB KN AB (2) 2KN AB 2 2 AB2 AB Từ (1) và (2) AF AF AM (Đpcm) 3AB 3 b) Từ chứng minh trên suy ra AFB AMC ·ABF ·ACM Mà ·ABF ·AFB 900 ·ACM ·AFB 900 FC F· EC 900 EH FH 2 AC AC 2AC Mà FH FA AH BM EH BM dfcm 3 3 3 Bài 174: Chứng minh rằng trong một hình bình hành, khoảng cách từ một điểm trên đường chéo đến hai cạnh kể (hai cạnh kề và đường chéo cùng đi qua một đỉnh của hình bình hành), tỉ lệ nghịch với hai cạnh ấy. Lời giải
A B H M P D N K C Kẻ PH  AD; PK  CD; PM / /CD; PN / / AD Chứng minh HMP : KNP(g.g) PH PM PH DN (do PMDN là hình bình hành) PK PN PK PN DN PN Chứng minh DNP : DCB g.g DC BC DN DC PH DC (dfcm) PN BC PK BC Bài 175: Gọi M là diểm nằm trong x· Oy m0 (0 m 90).Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M trên Ox,Oy.Gọi H, K lần lượt là trung điểm của OM , PQ a) Chứng minh HK  PQ b) Tính số đo H· PQ theo m Lời giải x P M K H Q y O 1 a) MPO vuông tại P, đường trung tuyến PH OM 2 1 MQO vuông tại Q, đường trung tuyến QH OM 2 PH QH HPQ cân tại H HK  PQ b) M· HQ 2M· OQ;M· HP 2M· OP PHQ 2.P· OQ 2.m0 P· HK m0 H· PQ 900 m0
Bài 176: Cho tam giác ABC vuông tại A AC AB . Vẽ đường cao AH H BC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P. a) Chứng minh : Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC b) Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC. AH BC c) Tia AQ cắt BC tại I. Chứng minh 1 . HB IB Lời giải I K 1 B H Q 1 P A C CK CA a) PK / / AH CKP : CAB CP CB Suy ra AKC : BPC c.g.c (1) ¶ 0 ¶ µ 0 b) AKH vuông cân tại H K1 45 .Từ (1) K1 P1 45 BAP vuông cân tại A BP AB 2 BH AB Chứng minh BHA : BAC AB BC BH 2AB BH AB BH 2AB AB 2BC 2AB 2BC 2AB 2BC BH BP BH BQ BP 2BQ BP 2BC BP BC BH BQ BHQ và BPC có: ; P· BC chung BHQ : BPC c.g.c BP BC c) BAP vuông cân tại A, AQ là trung tuyến nên cũng là phân giác AI là phân giác ngoài của IC AC ABC (2) IB AB AC AH ABC : HBA (3) AB HB Từ (2) và (3) ta có: IC AH IB BC AH BC AH 1 IB HB IB HB IB HB AH BC 1 dfcm HB IB
Bài 177: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC AB), đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C, vẽ hình vuông AHKE.Gọi P là giao điểm của AC và KE a) Chứng minh ABP vuông cân b) Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB,gọi I là giao điểm của BP và AQ.Chứng minh H, I, E thẳng hàng. c) Tứ giác HEKQ là hình gì ? Lời giải A E P I B H K C Q a) Chứng minh được: BHA PEA(g.c.g) AB AP mà B· AP 900 (gt) vậy BPA vuông cân b) Ta có: HA HK H nằm trên đường trung trực của AK Ta có: AE KE E nằm trên dường trung trực của KA PBK vuông có IB IP (tính chất đường chéo hình bình hành ABQP) IK IP IB * Ta có ABQP là hình bình hành (giả thiết), có BA AP ( BPA vuông cân tại A) APQB là hình thoi, mà B· AP 900 gt APQB là hình vuông nên PI IA Từ * suy ra IK IA nên I nằm trên đường trung trực của AK Vậy H, I, E thẳng hàng PB AQ c) Ta có: APQB là hình vuông cmt nên AP BQ mà IK IK 2 2 AKQ có AI IQ (tính chất đường chéo hình vuông) AQ Mà IK (cmt) AKQ vuông ở K 2 AK  KQ mà AK  HE (EAHK là hình vuông) QK / /HE Vậy HEKQ là hình thang
Bài 178: Tính diện tích hình thang ABCD AB / /CD , biết AB 42cm, µA 450 ; Bµ 600 , chiều cao của hình thang bằng 18cm Lời giải A' D C B' A B Qua A và B kẻ AA' và BB' vuông góc với CD. Tứ giác ABB ' A' là hình chữ nhật và AA' BB ' 18cm, ·A' AB 900 D· AB 450 ·A' AD 450 . Do đó A' AD vuông cân A'D A' A 18cm B· ' BA 900 ,C· BA 600 B· ' BC 300 BC vì thế trong tam giác vuông B'BC ta có B 'C . 2 Theo định lý Pytago ta có: B 'C 2 BC 2 B ' B2 B 'C 2 4B 'C 2 B ' B2 3B 'C 2 B ' B2 B ' B 18 B 'C (cm) 3 3 Suy ra : 18 18 CD A' B ' A' D B 'C 42 18 24 (cm) 3 3 1 1 18 2 Vậy SABCD AB CD .A' A . 42 24 .18 498,6 cm 2 2 3 Bài 179: Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CDlấy điểm M bất kỳ CM CD , vẽ hình vuông CMNP (P nằm giữa B và C), DPcắt BM tại H, MP cắt BD tại K. a) Chứng minh: DH vuông góc với BM. PC PH KP b) Tính Q BC DH MK c) Chứng minh: MP.MK DK.BD DM 2 Lời giải
A B K H N P D C M a) Chứng minh được : DH vuông góc với BM Chứng minh được: CD BC; PC CM ; D· CB B· CM 900 DPC BMC c.g.c B· HP 900 1 DM.PC PC S b) Chứng minh được: MP  BD 2 PDM BC 1 S DM.BC BDM 2 1 1 .DB.KP DB.KP PH S PH S Tương tự 2 PBM ; 2 PBD DH 1 S DH 1 S .DB.MK BDM DB.MK BDM 2 2 S S S Q PDM PBM PBD 1. SBDM c) Chứng minh: MCP : MKD g.g MP.MK MC.MD (1) Chứng minh: DBC : DKM (g.g) DK.BD DC.DM 2 Từ 1 & 2 MP.MK DK.BD DM. MC DC MP.MK DK.BD DM 2 Bài 180: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.M là giao điểm của CE và DF. a) Chứng minh CE vuông góc với DF CM.CE b) Chứng minh a CF c) Tính diện tích MDC theo a Lời giải
A B E F M D C a) BEC CFD c.g.c E· CB F· DC CDF vuông tại C D· FC F· DC 900 D· FC E· CB 900 CMF vuông tại M Hay CE  DF b) Xét CMF và CBE có: C· MF C· BE 900 ; M· CF chung CMF : CBE(g g) CM CF CM.CE BC BC CE CF CM.CE Mà BC a do đó: a CF CD CM c) CMD : FCD(g.g) FD FC 2 2 S CMD CD CD Do đó: S CMD .S FCD S FCD FD FD 1 1 Mà: S .CF.CD CD2 FCD 2 4 CD2 1 Vậy: S . .CD2. CMD FD2 4 Trong DCF theo Pitago ta có: 2 2 2 2 1 2 2 1 2 5 2 DF CD CF CD BC CD CD .CD 2 4 4 CD2 1 1 1 Do đó: S . CD2 CD2 a2 MCD 5 CD2 4 5 5 4 Bài 181: Cho tam giác ABC có AB 2a; AC 3a;BC 4a.Đường phân giác AD và BEcắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của AC, G là trọng tâm tam giác ABC a) Tính độ dài đoạn thẳng BD theo a b) Chứng minh IG / / AC c) Tính tỉ số diện tích của tứ giác EIGM và ABC Lời giải
A H E M K I G B BD DC D C a) AB AC BD DC BD DC BC 4a 4 8a BD AB AC AB AC AB AC 5a 5 5 EA EC EA EC AC 3a 1 b) AB BC AB BC AB BC 6a 2 EA a;EC 2a IE EA a 1 IB AB 2a 2 GM 1 G là trọng tâm ABC GB 2 GM IE 1 IG / /EM (ta let đảo ) IG / / AC GB IB 2 2 SBIG 2 4 c) SBEM 3 9 S 0,5a 1 S S S 4 1 2 Tính EM 0,5a; BEM ; BIG BIG . BEM . SABC 3a 6 SABC SBEM SABC 9 6 27 S S S 1 2 5 EIGM BEM AIG SABC SABC 6 27 54 Bài 182: Cho hình bình hành ABCD có AB 2BC, đường phân giác các góc C và D cắt nhau tại M. Chứng minh A,M,B thẳng hàng Lời giải
A N B M D P C Gọi N là trung điểm AB, P là trung điểm CD Chứng minh ANPD và NBCP là các hình thoi Suy ra N là giao điểm của phân giác các góc C và D Suy ra N trùng với M Vậy A,M,B thẳng hàng Bài 183: Cho tam giác ABC đều. Một đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DE và BE.Gọi O là trọng tâm của tam giác ADE. a) Chứng minh OMN : OEC b) Chứng minh ON vuông góc với NC. Lời giải A O D E M N B C
OM 1 OM 1 a)OA OE, OA 2 OE 2 MN 1 MN 1 BD EC; BD 2 EC 2 MN OM O· MN O· EC 1500 OMN : OEC c.g.c EC OE b) ON OC Từ OMN : OEC , ta có: O· NM O· CE;M· ON E· OC và OM OE M· ON E· OC N· OC M· OE ONC : OME c.g.c O· NC O· ME 900 Suy ra ON  NC Bài 184: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 8cm, AD 6cm.Gọi H là hình chiếu của A trên BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DH, BC e) Tính diện tích tứ giác ABCH f) Chứng minh AM  MN. Lời giải A B K N H M D C c) ABH : DBA Tính AH 4,8cm; BH 6,4cm Kẻ KC  BD. C / m KC AH 4,8cm 1 1 2 SABCH SABH SBHC AH.HB CK.HB 30,72 cm 2 2 AH AD HD d) AHD : ABC . AB AC BC
AD DM AD AM ; ADM : ACN AC CN AC AN AD AM M· AD N· AC N· AM C· AD; AC AN ADC : AMN(cgc) AM  MN Bài 185: Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, I, C thẳng hàng Lời giải E I B C F O A D a) Chứng minh EDF vuông cân Ta có ADE CDF (c.g.c) EDF cân tại D Mặt khác ADE CDF (c.g.c) B· ED B· FD Mà B· ED D· EF B· FE 900 B· FD D· EF B· FE 900 E· DF 900 Vậy EDF vuông cân b) Chứng minh O, C, I thẳng hàng Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD 1 Mà EDF vuông cân DI EF 2 1 Tương tự BI EF DI BI 2 I thuộc đường trung trực của DB, nên I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng. Bài 186: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí điểm D, E sao cho
a) DE có độ dài nhỏ nhất b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất Lời giải B D A E C a) DE có độ dài nhỏ nhất Đặt AB = AC = a không đổi ; AE BD x (0 x a) Áp dụng định lý Pytago với ADE vuông tại A có: DE 2 AD2 AE 2 a x 2 x2 2x2 2ax a2 2 x2 ax a2 2 a2 a2 a2 2 x 4 2 2 a a Ta có DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x BD AE 2 2 Nên D, E là trung điểm AB, AC b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất 1 1 1 1 2 Ta có: SADE .AD.AE AD.BD AD. AB AD AD AB.AD 2 2 2 2 2 2 1 2 AB AB AB AD 2. .AD 2 2 4 8 2 1 AB AB2 AB2 AD 2 4 2 8 AB2 AB2 3 Vậy S S S AB2 không đổi BDEC ABC ADE 2 8 8 3 Do đó min S AB2 khi D,E lần lượt là trung điểm AB, AC BDEC 8 Bài 187: Cho ABC vuông tại A, có AB 15 cm, AC 20cm.Kẻ đường cao AH và trung tuyến AM a) Chứng minh ABC : HBA
b) Tính BC; AH; BH; CH c) Tính diện tích AHM Lời giải A C B H M a) Xét ABC và HBA có: µA Hµ 900 ;Bµ chung ABC : HBA(g.g) b) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC có BC AB2 AC 2 152 202 625 25(cm) AB AC BC 15 20 25 Vì ABC : HBA nên hay HB HA BA HB HA 15 20.15 15.15 AH 12(cm) ; BH 9(cm); HC BC BH 25 9 16(cm) 25 25 BC 25 c) HM BM BH BH 9 3,5(cm) 2 2 1 1 S AH.HM .12.3,5 21(cm2 ) AHM 2 2 Bài 188: Cho tam giác ABC vuông tại A AC  AB . Vẽ đường cao AH H BC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P. a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC. b. Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK. Lời giải
I K 1 B H Q P 1 A C a) Chứng minh: ABC  KPC ( g.g) b) Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK. PB Ta có: AQ KQ (Trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền trong tam giác vuông). 2 Lại có: HK HA (Giả thiết). Do đó: QH là đường trung trực của AK. Bài 189: Cho tam giác ABC có Aˆ Bˆ . Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho HAˆC ABˆC . Đường phân giác của góc BAˆH cắt BH ở E. Từ trung điểm M của AB kẽ ME cắt đường thẳng AH tại F. Chứng minh rằng: CF // AE. Lời giải Ta có: CEˆA Bˆ BAˆE HAˆC EAˆH CAˆE CAE cân ở C CA = CE (1) Qua H kẽ đường thẳng song song với AB cắt MF ở K. Ta có: BE MB MA FA (2) EH KH KH FH BE AB AE là phân giác của ABH (3) EH AH AB CA CE CAH và CBA đồng dạng (theo (1)) (4) AH CH CH FA CE AH EH Từ (2), (3), (4) hay AE PCF (đpcm) FH CH FH CH
Bài 190: Từ đỉnh A của ABC ta hạ các đường vuông góc AM, AN với phân giác trong và ngoài tương ứng của góc B. Hạ các đường vuông góc AP, AQ với phân giác trong và ngoài tương ứng của góc C. a. Chứng minh rằng 4 điểm MNPQ thẳng hàng b. Cho QN = 10 cm tính chu vi tam giác ABC c. Cho điểm O chuyển động trên BC tìm vị trí của O sao cho tích khoảng cách từ O đến AB và AC đạt giá trị lớn nhất. Lời giải a) Gọi E = AB  MN và F = AC  PQ ta thấy tứ giác AQCP và AMBN là hình chữ nhật E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC EF // BC · ¶ ¶ Mà QPC C4 (vì cùng bằng C3 ) nên PQ // BC PQ thuộc EF (1) Tương tự M,N thuộc đường thẳng EF (2) Từ (1) và (2) suy ra M, N, P, Q thẳng hàng. b) Ta có QN = QF + EF + EN (1) Theo tính chất hình chữ nhật ta có 1 QF = AC (tính chất) (2) 2 1 NE = BC (tính chất) (3) 2 1 EF = BC (Tính chất đường trung bình tam giác) (4) 2 1 Từ (1) (2) (3) và (4) ta có QN = (AB + BC + CA) 2 Vậy QN = 10 cm thì chu vi của ABC = 2QN = 20 cm C) Kẻ BI vuông góc với AC và CJ vuông góc với AB Vì OH // CJ, OK // BI nên theo định lí ta lét ta có OH OK BO CO 1 CJ BI BC BC Đặt OH = x, BI = p và CJ = q x OK Ta có 0 x q ; 0 OK p và 1 q p 2 2 2 q 2 q q q Do đó .OH.OK x(q x) x qx x p 2 4 4 pq OH. OK 4
pq q Vậy OH . OK đạt giá trị lớn nhất là khi và chỉ khi x = hay O là trung điểm của BC 4 2 A J P E N Q M F H I K 3 2 3 2 1 4 1 4 C O B Bài 191: Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M bất kỳ trên cạnh BC (M khác B và C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K. 1. Chứng minh KM vuông góc với DB. 2. Chứng minh rằng: KC.KD = KH.KB. 3. Ký hiệu SABM , SDCM lần lượt là diện tích các tam giác ABM và DCM. a) Chứng minh tổng (SABM SDCM ) không đổi. 2 2 b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để (S ABM S DCM ) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a. Lời giải A B H M D C K 1. Vì BM  DK, DM  BK nên M là trực tâm BDK do đó KM  DB 2. Xét KHD và KCB có Kµ chung và K· HD K· CB 900
KH KD KHD : KCB(gg) KC.KD KH.KB KC KB 3a) 1 1 1 1 S S AB.BM CD.CM a.BM a.CM ABM DCM 2 2 2 2 1 1 a(BM CM ) a2 2 2 Vậy S S không đổi ABM DCM 3b) Với hai số thực x , y bất kỳ ta có 2(x2 y2 ) (x y)2 (x y)2 (x y)2 1 x2 y2 (x y)2 . 2 Dấu bằng xảy ra khi x = y 1 a4 Áp dụng ta có S 2 S 2 (S S )2 ABM CDM 2 ABM DCM 8 Đẳng thức xảy ra khi SABM SDCM BM CM M là trung điểm của BC a4 Vậy min(S 2 S 2 ) . Khi M là trung điểm của BC ABM CDM 8 Bài 192: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N. a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật. b) Chứng minh ΔCBH đồng dạng với ΔEAH c) Biết diện tích ΔCBH gấp bốn lần diện tích ΔEAH .Chứng minh rằng: AC = 2EF. 1 1 1 d) Chứng minh rằng: = + . AD2 AM2 AN2 Lời giải
E A B H F C D M N a) Ta có D· AM = A· BF (cùng phụ B· AH ) AB = AD ( gt) B· AF = A· DM = 900 (ABCD là hình vuông) ΔADM= ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên. AE = DM Lại có AE // DM ( vì AB // DC ) Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành Mặt khác.D· AE = 900 (gt) Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật b) Ta có ΔABH : ΔFAH (g.g) AB BH BC BH = hay = ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH Lại có H· AB = H· BC (cùng phụ A· BH ) ΔCBH : ΔEAH (c.g.c) c) Từ ΔCBH : ΔEAH ( cmt) 2 2 SΔCBH BC SΔCBH BC 2 2 = , mà = 4 (gt) = 4 nên BC = (2AE) SΔEAH AE SΔEAH AE BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) d) Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: AD AM AD CN = = CN MN AM MN
Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: MN MC AB MC AD MC = = hay = AN AB AN MN AN MN 2 2 2 2 AD AD CN CM CN2 + CM2 MN2 + = + = 2 = 2 = 1 AM AN MN MN MN MN 2 2 AD AD 1 1 1 + = 1 2 2 2 (đpcm) AM AN AM AN AD Bài 193: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a) Chứng minh rằng OM = ON. 1 1 2 b) Chứng minh rằng . AB CD MN 2 2 c) Biết SAOB= 2015 (đơn vị diện tích); SCOD= 2016 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. Lời giải A B O M N D C OM OD ON OC a) Lập luận để có , AB BD AB AC OD OC Lập luận để có DB AC OM ON OM = ON AB AB OM DM OM AM b) Xét ABD để có (1), xét ADC để có (2) AB AD DC AD 1 1 AM DM AD Từ (1) và (2) OM.( ) 1 AB CD AD AD 1 1 Chứng minh tương tự ON. ( ) 1 AB CD 1 1 1 1 2 từ đó có (OM + ON).( ) 2 AB CD AB CD MN c) Từ ΔCBH : ΔEAH ( cmt)
2 2 SΔCBH BC SΔCBH BC 2 2 = , mà = 4 (gt) = 4 nên BC = (2AE) SΔEAH AE SΔEAH AE BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD Chứng minh được SAOD SBOC 2 S AOB .S DOC (S AOD ) 2 2 2 Thay số để có 2015 .2016 = (SAOD) SAOD = 2015.2016 2 2 2 2 Do đó SABCD= 2015 + 2.2015.2016 + 2016 = (2015 + 2016) = 4031 (đơn vị DT) Bài 194: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC). Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HD = HA. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E. 1.Chứng minh CD.CB = CA.CE 2. Tính số đo góc BEC. 3. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Tia AM cắt BC tại G. GB HD Chứng minh: BC AH HC Lời giải a) Xét ABC và DEC Có  BAC =  EDC = 900  C chung ABC đồng dạng với DEC (g.g) CA CD CB CE CD.CB = CA.CE (Đpcm) b) Xét ADC và BEC có: CD CA (Chứng minh trên) CE CB  C chung ADC đồng dạng với BEC (c.g.c)  BEC =  ADC ( cặp góc tương ứng) (1)
Lại có: HA = HD (gt) AHD vuông cân tại H  ADH = 450  ADC = 1350 (2) Từ (1) và (2)  BEC = 1350 c) Ta có :  BEC = 1350 (cm ý b) Mà  BEC +  BEA =1800  BEA = 450 ABE vu«ng c©n t¹i A. Mà M là trung điểm của BE nên tia AM là tia phân giác của góc BAC GB AB Suy ra: (t/c đường phân giác của tam giác) (3) GC AC Mà ABC đồng dạng với DEC (cm ý a) AB ED (4) AC DC Lại có ED // AH (Cùng vuông góc với BC) AH ED (hệ quả định lí Talet) HC DC Mặt khác AH = HD (gt) AH ED HD = (5) HC DC HC GB HD GB HD GB HD Từ (3), (4) và (5) GC HC GB GC HD HC BC AH HC Bài 195: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB AC ), kẻ đường cao AH và đường trung tuyến AM ( H, M BC ). Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC . 1. Chứng minh rằng: a) DE 2 BH.HC . b) AH 2 AD.DB AE.EC c) DE vuông góc với AM . 2. Giả sử diện tích tam giác ABC bằng 2 lần diện tích tứ giác ADHE. Chứng minh tam giácABC vuông cân. Lời giải
A E O D B H M C 1. a) Chứng minh: .DE 2 BH.HC Xét AHB và CHA Có ·AHB ·AHC 900 , Bµ C· AH (vì cùng phụ với B· AH AH HB AHB  CHA (g-g) AH 2 BH.CH CH HA Lại có AH  BC, HE  AC, HD  AB nên Dµ Hµ Eµ 900 Tứ giác ADHE là hình chữ nhật DE AH DE 2 DH.CH b. Chứng minh: AH 2 AD.DB AE.EC Chứng minh HDB  ADH HD2 AD.DB Chứng minh AHE  ACH HE 2 AE.EB Mà tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên DH AE . Do đó HD2 HE 2 AE 2 HE 2 = AH 2 = AD.DB AE.EC ( Định lý Pytago áp dụng vào tam giác vuông AEH ). c) Chứng minh: .DE  AM Gọi O là giao điểm của AH và DE , Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên OA OE OAE cân tại O H· AE ·AED ABC vuông tại A , cóM là trung điểm của BC nên MA MB MC MAC cân tại M M· AC M· CA ·AED M· AC H· AE M· CA 900 DE  AM SAED 1 2. Theo giả thiết SABC 2SADHE 4SADE hay (1) SABC 4 4 SAED AE.AD (AE.AC).(AD.AB) AH Ta có 2 2 SABC AB.AC (AB.AC) (AB.AC)
AH 4 AH 2 AM 2 1 (2) (AH.BC)2 BC 2 BC 2 4 AH 2 AM 2 Từ (1) và (2) AH AM H  M nên ABC vuông cân tại A . BC 2 BC 2 Bài 196: Cho hình chữ nhật ABCD,AB 2AD. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm P sao cho AM CP.Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi Q là trung điểm của CH,đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC tại N. a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành b) Khi M là trung điểm của AD. Chứng minh BQ vuông góc với NP 1 1 1 c) Đường thẳng AP cắt DC tại điểm F. Chứng minh rằng AB2 AP2 4AF2 Lời giải A B K M N E P H Q D C a) Chứng minh được DH / /BK(1) Chứng minh được AHD CKB DH BK (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành. b) Gọi E là trung điểm BK, chứng minh được QE là đường trung bình KBC nên 1 1 QE / /BC QE  AB(vì BC  AB) và QE BC AD 2 2 Chứng minh AM QE và AM / /QE AMQE là hình hành Chứng minh AE / /NP / /MQ 3 . Xét AQB có BK và QE là hai đường cao của tam giác nên E là trực tâm của tam giác nên AE là đường cao thứ ba của tam giác AE  BQ BQ  NP c)
A B P G D C F Vẽ tia Ax vuông góc với AF. Gọi giao của Axvới CD là G. · Chứng minh G· AD B· AP (cùng phụ với PAD) ABP g.g AP AB 1 2 AG AP AG AD 2 Ta có: AGF vuông tại A có AD  GF nên AG.AF AD.GF 2SAGF AG2 .AF2 AD2 .GF2 1 Ta chia hai vế của (1) cho AD2.AG2.AF2 mà AG2 AF2 GF2 (đl Pytago) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 AD AG AF 1 1 AF AB AP 2 2 4 4 1 1 1 1 AB2 AP2 AF2 AB2 AP2 4AF2 Bài 197: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BMtại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh : EA.EB ED.EC b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD CM.CA có giá trị không đổi c) Kẻ DH  BC H BC . Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH,CH. Chứng minh CQ  PD Lời giải E A D M Q B P I H C
EB ED d) Chứng minh EBD : ECA g g EA.EB ED.EC EC EA e) Kẻ MI  BC I BC . Ta có : BIM : BDC g.g BM BI BM.BD BI.BC (1) BC BD CM CI Tương tự: ACB : ICM g g CM.CA CI.BC (2) BC CA Từ (1) và (2) suy ra BM.BD CM.CA BI.BC CI.BC BC. BI CI BC2 (Không đổi) f) BHD : DHC(g.g) BH BD 2BP BD BP BD DH DC 2DQ DC DQ DC Chứng minh được: DPB : CQD g.g B· DP D· CQ Mà B· DP P· DC 900 D· CQ P· DC 900 CQ  PD Bài 198: Cho tam giác ABC vuông ở A có AM là phân giác M BC . Đường thẳng qua M và vuông góc với BC cắt đường thẳng ABtại N. Chứng minh rằng MN MC Lời giải N A K H C B M Kẻ MH  ABtại H , MK  ACtại K AHMK là hình vuông MH MK (1) Ta có: M· CA M· NA (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) (2) Từ (1) và (2) MHN MKC ch cgv MN MC
Bài 199: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 20cm. Trên cạnh CD lấy điểm M.Đường thẳng vuông góc với BMtại M cắt ADtại N. a) Cho MC 15cm. Tính diện tích tam giác BMN b) Xác định vị trí của M trên cạnh CDđể ND có độ dài lớn nhất. Lời giải A B N D M C a) Hai tam giác vuông BCM và MDN có: C· BM D· MN (cùng phụ với B· MC) ND MD BCM : MDN (*) MC BC MC.MD 15. 20 15 ND 3,75 cm BC 20 AN AD ND 20 3,75 16,25 cm Ta có: S BMN SABCD SBCM SDMN SABN 1 1 1 202 .20.15 .5.3,75 .20.16,25 78,125(cm2 ) 2 2 2 b) Đặt MC x 0 x 20 2 MC.MD x. 20 x 20x x2 x 10 Từ * ND 5 5 BC 20 20 20 Độ dài ND lớn nhất là ND 5cm khi x 10 hay M là trung điểm của CD Vậy để độ dài ND lớn nhất thì vị trí của M là trung điểm của CD. Bài 200: Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC M B,C . Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE CM. a) Chứng minh : OEM vuông cân
b) Chứng minh: ME / /BN c) Từ C kẻ CH  BN H BN . Chứng minh rằng ba điểm O,M,H thẳng hàng. Lời giải A E B 1 2 O 3 M H 1 D C N a) Xét OEB và OMC Vì ABCD là hình vuông nên ta có: OB=OC µ ¶ 0 Và B1 C1 45 ,BE CM(gt) OEB OMC c.g.c ¶ ¶ OE OMvà O1 O 3 ¶ ¶ · 0 Lại có: O2 O3 BOC 90 vì tứ giác ABCD là hình vuông ¶ ¶ · 0 O 2 O1 EOM 90 kết hợp với OE OM OEM vuông cân tại O b) Từ giả thiết tứ giác ABCD là hình vuông AB / /CD và AB = CD AM BM +) AB / /CD AB / /CN (định lý Ta let) (*) MN MC Mà BE CM(gt) và AB Cd AE BM thay vào * AM AE Ta có: ME / /BN (Ta let đảo) MN EB c) Gọi H' là giao điểm của OM và BN Từ ME / /BN O· ME O· H'E (cặp góc so le trong) Mà O· ME 450 vì OEM vuông cân tại O · 0 ¶ MH' B 45 C1 OMC : BMH'(g.g)
OM MH' , kết hợp O· MB C· MH' (hai góc đối đỉnh) OB MC OMB : CMH'(c.g.c) O· BM M· H'C 450 Vậy B· H 'C B·H 'M M· H 'C 900 CH '  BN Mà CH  BN H BN H  H' hay 3 điểm O,M,H thẳng hàng (đpcm) Bài 201: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) . Các đường cao AE,BF,CG cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB,AC lần lượt tại I và K a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác EFC b) Qua Ckẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK,bcắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh NC ND,HI HK AH BH CH c) Chứng minh 6 HE HF HG Lời giải A F G K I H B E M C N D CE CA a) Ta có AEC : BFC(g.g) CF CB CE CA Xét ABC và EFC có , Cµ chung CF CB ABC : EFC(cgc) b) Vì CN / /IK,HM  IK HM  CN M là trực tâm HNC MN  CHmà CH  AD (H là trực tâm ABC) MN / /AD
Do M là trung điểm BC NC ND IH AH HK AH (Vi IH / /DN) (Vi KH / /CN) DN AN CN AN IH IK AH S S S S S S c) Ta có: AHC ABH AHC ABH AHC ABH HE SCHE SBHE SCHE SBHE SBHC BH S S CH S S Tương tự ta có: BHC BHA ; BHC AHC HF SAHC HG SBHA AH BH CH S S S S S S AHC ABH BHC BHA BHC AHC 6 HE HF HG SBHC SBHC SAHC SAHC SBHA SBHA Dấu " " xảy ra khi ABCđều mà theo gt AB AC nên không xảy ra dấu bằng. Bài 202: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA',BB',CC',H là trực tâm. HA' HB' HC ' a) Tính tổng AA' BB' CC ' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC;IM,INthứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM BN.IC.AM AB BC CA 2 c) Chứng minh rằng: 4 AA'2 BB'2 CC '2 Lời giải x A B' C' M N C D I B A' 1 S HA'.BC HA' a) HAB 2 S 1 AA' ABC .AA'.BC 2
S HC ' S HB' Tương tự: HAB ; HAC SABC CC ' SABC BB' HA' HB' HC ' S S S HBC HAB HAC 1 AA' BB' CC ' SABC SABC SABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC : BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC . . . . . 1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI.AN.CM BN.IC.AM c) Vẽ Cx  CC '.Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx Chứng minh được góc BAD vuông, CD AC, AD 2.CC' Xét 3 điểm B,C,D ta có : BD BC CD BADvuông tại A nên : AB2 AD2 BD2 AB2 AD2 BC CD 2 AB2 4CC '2 BC AC 2 4CC '2 BC AC 2 AB2 Tương tự: 4AA'2 AB AC 2 BC 2 4BB'2 AB BC 2 AC 2 2 Chứng minh được: 4 AA'2 BB'2 CC '2 AB BC AC AB BC AC 2 4 AA'2 BB'2 CC '2 Đẳng thức xảy ra BC AC, AC AB, AB BC AB AC BC ABC đều Bài 203: 1) Cho hình vuông ABCD , gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C, dựng hình vuông AMHN. Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH tại E.Đường thẳng AH cắt DC tại F. d) Chứng minh rằng BM ND. e) Tứ giác EMFN là hình gì f) Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi trên BC 2) Cho tam giác ABC có B· AC 900 , ·ABC 200. Các điểm E và F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho ·ABE 100 và ·ACF 300. Tính C· FE Lời giải
A B 1 d 2 E 3 M 1 2 O 1 2 N D F C H 4.1 µ · 0 a) Do ABCD là hình vuông nên A1 MAD 90 (1) µ · 0 mà AMHN là hình vuông A2 MAD 90 (2) µ µ Từ 1 ; 2 suy ra A1 A2 µ µ 0 Do đó, AND AMB c.g.c B D1 90 và BM ND ¶ 0 b) Do ABCD là hình vuông D2 90 · µ ¶ 0 0 0 NDC D1 D2 90 90 180 N,D,C thẳng hàng Gọi O là giao điểm hai đường chéo AH,MN của hình vuông AMHN. O là tâm đối xứng của hình vuông AMHN AH là đường trung trực đoạn MN, mà E,F AH EN EM và FM FN (3) ¶ ¶ µ ¶ EOM FON OM ON; N1 M 3 O1 O2 EM FN (4)
Từ 3 ; 4 EM NE NF FM MEMF là hình thoi (5) c) Từ (5) suy ra FM FN FD DN Mà DN MB MF DF BM Gọi chu vi tam giác MCF là p và cạnh hình vuông là a Ta có: P MC CF MF MC CF BM DF (Vì MF DF MB) MC MB CF FD BC CD a a 2a Do đó, chu vi tam giác MCF không đổi khi M thay đổi trên BC 4.2 Xét ABC có B· AC 900 , ·ABC 200 ·ACB 700 ACF có C· AF 900 , ·ACF 300 FC 2.AF Gọi D là trung điểm của BC và G là điểm trên AB sao cho GD  BC. BD BA Khi đó, ABC : DBG BG BC G· CB G· BC 200 G· CF 200 Do đó CG và BE lần lượt là tia phân giác của B· CF và ·ABC nên: FC BC BA AE ; FG BG BC EC 1 1 AF FC BC BD BA AE AF AE Do đó, 2 2 FG FG BG BG BC EC FG EC Từ đó suy ra CG / /EF (Định lý Talet đảo) C· FE G· CF 200 Bài 204: Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC có AD là tia phân giác của B· AC . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC,E là giao điểm của BN và DM , F là giao điểm của CM và DN. 1) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và EF / /BC. 2) Gọi H là giao điểm của BN và CM.Chứng minh ANBđồng dạng với NFA và H là trực tâm AEF 3) Gọi giao điểm của AH và DM là K, giao điểm của AH và BC là O, giao điểm của BK và BI AO DM AD là I. Chứng minh : 9 KI KO KM
Lời giải A N M H E L F K B O D C 1) *Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông +) Chứng minh ·AMD 900; ·AND 900;M· AN 900 Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật +)Hình chữ nhật AMDN có AD là phân giác của M· AN nên tứ giác AMDN là hình vuông. *Chứng minh EF // BC FM DB +) Chứng minh : (1) FC DC DB MB Chứng minh: (2) DC MA MB MB Chứng minh AM DN (3) MA DN MB EM Chứng minh (4) DN ED EM FM Từ 1 , 2 , 3 , 4 suy ra EF / /BC ED FC 2) Chứng minh ANB : NFA AN DN Chứng minh AN DN. suy ra (5) AB AB DN CN Chứng minh (6) AB CA CN FN Chứng minh (7) CA AM FN FN Chứng minh AM AN. Suy ra (8) AM AN
AN FN Từ (5) (6) (7) (8) suy ra ANB : NFA c.g.c AB AN *chứng minh H là trực tâm tam giác AEF Vì ANB : NFA nên N· BA F· AN Mà B· AF F· AN 900 N· BA B· AF 900 Suy ra EH  AF , Tương tự: FH  AE , suy ra H là trực tâm AEF 3) Đặt S AKD a, S BKD b, S AKB c. Khi đó: S S S a b c a b c a b c ABD ABD ABD SAKD SBDK SAKB a b c b a a c b c 3 a b c a c b b a Theo định lý AM-GM ta có: 2 a b a c b c Tương tự : 2 ; 2 c a c b BI AO DM Suy ra 9 KI KO KM Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi ABD là tam giác đều, suy ra trái với giả thiết.