Đề KSCL học sinh giỏi lớp 8 lần 1 - Môn: Toán

Nội dung text: Đề KSCL học sinh giỏi lớp 8 lần 1 - Môn: Toán

1. PHÒNG GD& ĐT YÊN LẠC ĐỀ KSCL HỌC SINH GIỎI LỚP 8 LẦN 1 TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1:(1.5 điểm)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x4 4 b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020. Câu 2 : (1.5 điểm) Cho a – b = 5 và a.b = 2. Tính : a ) A = a3 – b3 b) B = 3(a4 + b4) + 2(a5 – b5) Câu 3: (2 điểm)Tìm số tự nhiên n để: a ) A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố. b ) B= n5-n+2 là số chính phương. (n N; n 2 ) Câu 4: (1 điểm) a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : a b c 3 b c a a c b a b c b)Cho a > b > 0 so sánh 2 số x , y với : x = 1 a ; y = 1 b 1 a a2 1 b b2 Câu 5: (1,5 điểm) a)Tính tổng: S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + + 32019 – 22019. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 Câu 6 : (2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S. a) Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân. b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. c) Chứng minh P là trực tâm SQR. d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC. e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng. 1
2. PHÒNG GD- ĐT YÊN LẠC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 8 . TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU NĂM HỌC 2020 - 2021 Câu Nội dung Điểm a )x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 = ( x2+2)2- (2x)2 0,5 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) Câu 1 b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020 = x4 x 2020x2 2020x 2020 (1,5đ) 0.5 =x x 1 x2 x 1 2020 x2 x 1 = x2 x 1 x2 x 2020 0,5 a) A = (a – b)(a2 + ab + b2) = 5[(a – b)2 + 3ab] = 5(25 + 3.2) = 155 0,5 b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = [(a – b)2 + 2ab]2 – 2a2b2 = (25 + 2.2)2 – 2.22 = 833 0.25 a5 – b5 = (a2 + b2)(a3 – b3) + a2b3 – a3b2 Câu 2 = [(a – b)2 + 2ab] . (a – b)(a2 + ab + b2) + a2b2(b – a) (1.5đ) = [(a – b)2 + 2ab] . (a – b) [(a – b)2 + 3ab] + a2b2(b – a) = (25 + 4) . 5. (25 + 6) – 4.5 =4475 0,5 Vậy B = 3. 833 + 2 . 4475 = 11449 0,25 a) p = n3 - n2 + n - 1= (n2 + 1)(n - 1) 0.25 +)Nếu n = 0; 1 không thỏa mãn đề bài +)Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = (22 + 1)(2 - 1) = 5 0.5 +)Nếu n > 3 không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1 Câu 3 - Vậy n = 2 thìp = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố 0.25 (2đ) b) B=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 0.5 =n(n-1)(n+1) n 2 4 5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2 mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) 5 (tích của 5số tự nhiên liên tiếp) 0.25 và 5 n(n-1)(n+1) 5 Vậy B chia 5 dư 2 Do đó số B có tận cùng là 2 hoặc 7nên B không phải số chính phương 0.25 Vậy không có giá trị nào của n để B là số chính phương a) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Câu 4 y z x z x y 0,25 (1đ) Từ đó suy ra a=;b ;c ; 2 2 2 2
3. y z x z x y 1 y x x z y z =>A= ( ) ( ) ( ) 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A (2 2 2) hay A 3 2 0.25 b)Ta có x,y > 0 và 1 1 a a2 a2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 x 1 a 1 a y a2 a2 a b2 b 0,5 1 1 1 1 Vì a> b > 0 nên và . Vậy x < y. a2 b2 a b . a)S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + + 32019 – 22019. = (31 + 32 + 33 + + 32019) – (21 + 22 + 23 + + 22019) Đặt A = 31 + 32 + 33 + + 32019, B = 21 + 22 + 23 + + 22019 0.25 A = 31 + 32 + 33 + + 32018 + 32019 3A = 32 + 33 + 34 + + 32019 + 32020 3A – A = 32020 - 31 32020 3 A = 0,25 2 B = 21 + 22 + 23 + + 22018 + 22019 Câu 5 2B = 22 + 23 + 24 + + 22019 + 22020 (1,5 đ) 2B – B = 22020 - 21 B = 22020 – 2 0,25 32020 3 32020 22021 1 Vậy S = 22020 2 0,25 2 2 b )A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 = y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015 = y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015 2 2 = (y + 2x - 1) + (3x - 2) + 2010 0,25 2 1 Chứng tỏ A 2010, dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi (x = ; y = ) 3 3 3
4. 2 1 Vậy min A = 2010 khi (x = ; y = ) 0,25 3 3 Hình vẽ. Vẽ đúng hình, cân đối đẹp. a) ADQ = ABR vì chúng là hai tam giác vuông (2 góc có cạnh t.ư vuông góc) và DA = BD (cạnh hình vuông). Suy ra AQ=AR, nên AQR là tam giác vuông cân. Chứng minh tương tự ta có: ABP = ADS do đó AP =AS và APS là tam giác cân tại A. 0,5 b) AM và AN là đường trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và APS nên AN SP và AM RQ. Mặt khác : P· AN P· AM = 450 nên góc MAN vuông. Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật. 0,5 c) Theo giả thiết: QA RS, RC SQ nên QA và RC là hai đường cao của SQR. Vậy P là trực tâm của SQR. 0,5 d) Xét tam giác vuông cân AQR có MA là trung tuyến nên AM =1 QR 2 MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C. Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông 0,25đ SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trung trực của AC 0,25đ e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C. Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng. 0,5đ Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm bài hình. 4
5. BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MÔN TOÁN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo 0946095198 160 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=110k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 6 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=180k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 7 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 210 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=150k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 8 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 30 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8 HÀ NỘI=50k 265 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 HUYỆN=200k; 230 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CẤP TỈNH=180k 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 HÀ NỘI=80k; 55 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 (2020-2021)=80k; 90 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CÁC HUYỆN CỦA TỈNH VĨNH PHÚC=100k 5