Đề kiểm tra học sinh giỏi - Môn Toán 8

Nội dung text: Đề kiểm tra học sinh giỏi - Môn Toán 8

1. ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI Năm học 2011-2012 Bài 1. (6 điểm) Cho biểu thức: 2x 3 2x 8 3 21 2x 8x2 P 2 2 : 2 1 4x 12x 5 13x 2x 20 2x 1 4x 4x 3 a) Rút gọn P 1 b) Tính giá trị của P khi x 2 c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P 0 Bài 2. (3 điểm) Giải phương trình: 15x 1 1 a) 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3 148 x 169 x 186 x 199 x b) 10 25 23 21 19 c) x 2 3 5 Bài 3. (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Một người đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm 5km / h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó. Bài 4. (7 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của C qua P. a) Tứ giác AMDB là hình gì ? b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lân AB, AD. Chứng minh EF / / AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P PD 9 d) Giả sử CP  BD và CP 2,4cm, . Tính các cạnh của hình chữ nhật PB 16 ABCD. Bài 5. (2 điểm) a) Chứng minh rằng: 20092008 20112010 chia hết cho 2010 b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy
2. ĐÁP ÁN Bài 1. 1 5 3 7 ĐKXĐ: x ; x ; x ; x ; x 4 2 2 2 4 2x 3 a) Rút gọn P 2x 5 1 x 1 2 b) x 2 1 x 2 1 1 1 2 )x P ; )x P 2 2 2 3 2x 3 2 c) P 1 ¢ x 5 U (2) 2; 1;1;2 2x 5 x 5 x 5 2 x 3(tm) x 5 1 x 4(ktm) x 5 1 x 6(tm) x 5 2 x 7(tm) Kết luận: x 3;6;7 thì P nhận giá trị nguyên 2x 3 2 d) P 1 2x 5 x 5 Ta có: 1 0 2 Để P 0 thì 0 x 5 0 x 5 x 5 Với x 5 thì P 0 Bài 2. a) 15x 1 1 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3 15x 1 1 1 12. DK : x 4; x 1 x 4 x 1 x 4 3 x 1
3. 3.15x 3 x 4 x 1 3.12 x 1 12 x 4 3x 0 x 0 (TM ) 3x x 4 0 x 4 0 x 4(KTM ) S 0 b) 148 x 169 x 186 x 199 x 10 25 23 21 19 148 x 169 x 186 x 199 x 1 2 3 4 0 25 23 21 19 1 1 1 1 123 x 0 123 x 0 x 123 25 23 21 19 S 123 c) x 2 3 5 Ta có: x 2 0x x 2 3 0 nên x 2 3 x 2 3 Phương trình được viết dưới dạng: x 2 3 5 x 2 5 3 x 2 2 x 2 2 x 4 x 2 2 x 0 Vậy S 0;4 Bài 3. Gọi khoảng cách giữa A và B là x(km) (x 0) x 3x 1 Vận tốc dự định của người đi xe gắn máy là: (km / h) 3h20' 3 (h) 1 3 10 3 3 3x Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên 5km / h là: 5(km / h) 10 3x Theo đề bài ta có phương trình: 5 .3 x x 150(tm) 10 Vậy khoảng cách giữa A và B là 150km 3.150 Vận tốc dự định là: 45(km / h) 10
4. Bài 4. D C P M F I E A B a) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD PO là đường trung bình tam giác CAM AM / /PO AMDB là hình thang b) Do AM / /BD nên O· BA M· AE (đồng vị) Tam giác AOB cân ở O nên O· BA O· AB Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì AIE cân ở I nên I·AE I·EA Từ chứng minh trên : có F· EA O· AB, do đó: EF / / AC (1) Mặt khác IP là đường trung bình của MAC nên IP / / AC (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E,F,P thẳng hàng MF AD c) MAF : DBA(g.g) Không đổi FA AB PD 9 PD PB d) Nếu k PD 9k,PB 16k PB 16 9 16 CP PB Nếu CP  BD thì CBD : DCP(g.g) PD CP Do đó: CP2 PB.PD hay 2,4 2 9.16k 2 k 0,2 PD 9k 1,8(cm); PB 16k 3,2(cm) BD 5(cm) Chứng minh BC 2 BP.BD 16 , do đó: BC 4cm, CD 3cm. Bài 5. a) Ta có: 20092008 20112010 20092008 1 20112010 1 Vì 20092008 1 2009 1 20092007 2010. chia hết cho 2010 (1)
5. Vì 20112010 1 2011 1 20112009 2010. chia hết cho 2010 (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. 1 1 2 b) (1) 1 x2 1 y2 1 xy 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy x(y x) y(x y) 0 1 x2 1 xy 1 y2 (1 xy) y x 2 . xy 1 0 (2) 1 x2 1 y2 (1 xy) Vì x 1; y 1 xy 1 xy 1 0 BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu “=” xảy ra khi x y