Đề kiểm tra học sinh giỏi lớp 8 - Môn: Toán

Nội dung text: Đề kiểm tra học sinh giỏi lớp 8 - Môn: Toán

1. PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 TRƯỜNG THCS CẢNH HÓA Môn: Toán Năm học : 2018-2019 Câu 1. (2,0 điểm) x 2 1 10 x2 Cho biểu thức : A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A 1 b) Tính giá trị của A, biết x 2 c) Tìm giá trị của x để A 0 d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên Câu 2. (2,0 điểm) Giải các phương trình sau: a) 6x 8 6x 6 6x 7 2 72 1 1 1 1 b) x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Câu 3. (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE AF . Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N 1) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật 2) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH.Chứng minh rằng AC 2EF 1 1 1 3) Chứng minh rằng : AD2 AM 2 AN 2 Câu 4. (1,5 điểm) Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3 b c b3 c a c3 a b 2 Câu 5. Cho an 1 2 3 n.Chứng minh rằng an an 1 là một số chính phương. ĐÁP ÁN
2. Câu 1. 1 a) Rút gọn được kết quả : A x 2 1 2 x A 1 2 3 b) x 2 1 2 x A 2 5 c) A 0 x 2 0 x 2 1 d) A ¢ ¢ x 2 U (1) 1 x 1;3 x 2 Câu 2. a) Đặt 6x 7 t . Ta có: t 1 t 1 t 2 72 t 2 1 t 2 72 2 2 x 4 2 t 8(ktm) t 3 3 t t 72 0 t 2 9(tm) t 3 5 x 3 2 5 Vậy x ;  3 3  x2 9x 20 x 4 x 5 ; x2 11x 30 x 6 x 5 ; b) x2 13x 42 x 6 x 7 DKXD : x 4; 5; 6; 7 Phương trình trở thành: 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18
3. 18(x 7) 18(x 4) x 7 x 4 x 13 x 2 0 x 13(tm) x 2(tm) Câu 3. A E B H F D M C N 1) Ta có: D· AM ·ABF (cùng phụ với B· AH ) AB AD (gt);B· AF ·ADM 900 (ABCD là hình vuông) ADM BAF g.c.g DM AF,mà AF AE(gt) nên AE DM Lại có: AE / /DM (vì AB / /DC) Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành . Mặt khác D· AE 900 (gt) Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật 2) Ta có ABH : FAH (g.g)
4. AB BH BC BH hay AB BC; AE AF AF AH AE AH Lại có: H· AB H· BC (cùng phụ với ·ABH ) CBH : AEH (c.g.c) 2 2 SCBH BC SCBH BC 2 2 ,mà 4(gt) 4 BC 2AE SEAH AE SEAH AE BC 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD Do đó: BD 2EF hay AC 2EF(dfcm) 3) Do AD / /CN(gt). Áp dụng hệ quả định lý Ta let ta có: AD AM AD CN CN MN AM MN Lại có: MC / / AB gt . Áp dụng hệ quả định lý Ta let ta có: MN MC AB MC AD MC hay AN AB AN MN AN MN 2 2 2 2 AD AD CN CM CN 2 CM 2 MN 2 2 2 1 AM AN MN MN MN MN (Pytago) 2 2 AD AD 1 1 1 1 2 2 2 (dfcm) AM AN AM AN AD Câu 4. Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi a,b,c ¡ và x, y, z 0 ta có: 2 a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu " "xảy ra x y z Thật vậy, với a,b ¡ và x, y 0 ta có: 2 a2 b2 a b ( ) x y x y a2 y b2 x x y xy(a b)2 bx ay 2 0 (luôn đúng)
5. a b Dấu " "xảy ra x y Áp dụng bất đẳng thức ta có: 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z a b c Dấu " "xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng BĐT (*) ta có : 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vì abc 1) ab ac bc ab ac bc 2 ab bc ac 1 1 1 2 a b c Hay 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3 nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy .(đpcm) a3 b c b3 c a c3 a b 2 Câu 5. a 1 2 3 n n 1 Ta có: n 1 an an 1 2 1 2 3 n n 1 n n 1 2 2. n 1 n2 2n 1 n 1 là một số chính phương. 2