Đề kiểm tra học sinh giỏi lớp 7 môn Toán năm học 2017-2018 - Trường THCS Cảnh Hóa

Nội dung text: Đề kiểm tra học sinh giỏi lớp 7 môn Toán năm học 2017-2018 - Trường THCS Cảnh Hóa

1. PHềNG GD& ĐT QUẢNG TRẠCH ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 7 TRƯỜNG THCS CẢNH HểA Mụn: Toỏn Năm học 2017-2018 Thời gian:150 phỳt(khụng kể thời gian giao đề) Bài 1 (1,0 điểm). 1 5 1 5 a. Tớnh hợp lý cỏc biểu thức sau: 27  13  4 8 4 8 1 21 b. Tỡm x biết: 3: 2x 1 = 2 22 Bài 2 (1,0 điểm). Tỡm x, y, z biết 2x 3y;5x 7z và 3x-7y+5z=30 Bài 3 (2,5 điểm). Cho tam giỏc ABC vuụng tại A; K là trung điểm của BC. Trờn tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA. a) Chứng minh: CD // AB. b) Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . Chứng minh rằng: ABH = CDH. c) Chứng minh: HMN cõn. Bài 4: (4,5 điểm). a) Chứng minh rằng số cú dạng abcabc luụn chia hết cho 11. b) Chứng minh rằng : n 2 n 2 n n Với mọi số nguyờn dương n thỡ : 3 2 3 2 chia hết cho 10 c) Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng 1 2 Bài 5 (1,0 điểm). Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: B = x x 2 3 Họ và tờn thớ sinh: . Số bỏo danh .
2. PHềNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THCS CẢNH HểA ĐỀ KIỂM TRA HSG NĂM HỌC: 2017 -2018 Mụn:Toỏn Lớp: 7 Bài Nội dung Điểm Bài 1 1 5 1 5 5 1 1 5 35 1,0đ a) 27  13  (27 13 ) 14. (1,0đ) 4 8 4 8 8 4 4 8 4 1 b. Nếu x . Ta cú: (vỡ nếu x = ẵ thỡ 2x – 1 = 0) 2 7 : (2x – 1) = 21 2 22 7 21 7 22 11 14 7 1 2x – 1 = : = . x = : 2 = > 2 22 2 21 3 3 3 2 0,5đ 1 Nếu x . Ta cú: 2 7 21 8 4 1 : (1 - 2x) = x = : (-2) = 2 22 3 3 2 7 4 0,5đ Vậy x = hoặc x = 3 3 x y x y Bài2 Ta cú 2x 3y (1) 3 2 21 14 (1,0đ ) x z x z 5x 7z (2) 7 5 21 15 x y z Từ (1) và (2) 0.5đ 21 14 15 3x 7y 5z 3x 7y 5z 30 3 63 98 75 63 98 75 40 4 x 3 63 x 21 4 4 y 3 21 z 3 45 y ; z 14 4 2 15 4 4 0.5đ 63 21 45 Vậy x ,y ,z . 4 2 4
3. Bài 3 B D (2,5đ) K M N 0.25đ A C H a/ Chứng minh CD song song với AB. Xột 2 tam giỏc: ABK và DCK cú: BK = CK (gt) BKˆ A CKˆ D (đối đỉnh) AK = DK (gt) ABK = DCK (c-g-c) 0,5đ DCˆ K DBˆ K ; mà ABˆ C ACˆ B 900 ACˆ D ACˆ B BCˆ D 900 ACˆ ABD 9//0 0CD B (ABAˆ C  AC và CD  AC). 0,25đ b. Chứng minh rằng: ABH = CDH Xột 2 tam giỏc vuụng: ABH và CDH cú: BA = CD (do ABK = DCK) AH = CH (gt) 0,5đ ABH = CDH (c-g-c) c. Chứng minh: HMN cõn. Xột 2 tam giỏc vuụng: ABC và CDA cú: AB = CD; ACˆ D 900 BAˆ C ; AC cạnh chung: ABC = CDA (c-g-c) 0,5đ ACˆ B CAˆ D mà: AH = CH (gt) và MHˆ A NHˆ C (vỡ ABH = CDH) AMH = CNH (g-c-g) MH = NH. Vậy HMN cõn tại H 0,5đ Bài 4 a) Ta cú: abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c (4,5đ) = a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1) = (103 + 1)( a.102 + b.10 + c) 0.5đ = (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c) 0,5đ = 11.91( a.102 + b.10 + c)  11 Vậy abcabc  11 0,5đ b. 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n
4. =3n (32 1) 2n (22 1) 0,5đ =3n 10 2n 5 3n 10 2n 1 10 = 10( 3n -2n-1) 0,5đ n 2 n 2 n n Vậy 3 2 3 2  10 với mọi n là số nguyờn dương. 0,5đ c. Gọi 3 số nguyên tố phải tìm là; a, b, c ta có: a.b.c = 5(a+b+c) => abc  5 0,25đ Vì a, b, c có vai trò bình đẳng Giả sử: a  5, vì a P => a = 5 Khi đó: 5bc = 5(5+b+c) 5+b+c = bc bc-b-c +1 = 6 0,25đ b(c-1) – (c-1) = 6 (c-1)(b-1) = 6 Do vậy: b-1 = 1 => b = 2 Và c-1 = 6 và c = 7 0,25đ b-1 = 2 => b = 3 (loại vì c = 4 P) và c-1 = 3 và c = 4 Vai trò a, b, c, bình đẳng Vậy bộ số (a ;b ;c) cần tìm là (2 ;5 ;7) 0,25đ 2 2 2 2 7 Bài 5 Với x thỡ x 0 x x thay vào B, ta tớnh được B = (1) 3 3 3 3 6 0,25đ (1đ) 2 2 2 2 Với x thỡ x 0 x x thay vào B, ta tớnh được B = 3 3 3 3 1 2x 6 2 4 1 4 1 7 7 Vỡ x nờn 2x Suy ra 2x Vậy B < (2) 3 3 6 3 6 6 6 0.25đ 7 7 2 Từ (1) và (2) suy ra B . Do đú: max B = khi x 6 6 3 0,5đ HẾT