Đề khảo sát học sinh giỏi thành phố - Môn: Toán 7

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi thành phố - Môn: Toán 7

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ THÀNH PHỐ THÁI BÌNH NĂM HỌC : 2016 - 2017 MÔN : TOÁN 7 Thời gian làm bài : 120 phút (không kể giao đề) Bài 1 (4.0 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau: 12 7 6 3 3 3 3 2 .5 + 4 .25 1. 1 + 2 +3 - 1,8.3,2 2. 6 85.253 + 22.5 Bài 2 (3.0 điểm) Tìm x, biết: 1. x +1 + x + 2 + x +3 + x + 4 =10x m n 2017 2. x = = = (m, n là hai số thực khác -2017 và m + n 0). n + 2017 m + 2017 m + n Bài 3 (3.0 điểm) 1. Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn: (20a + 7b + 3) . (20a + 20a + b) = 803 2. Cho hàm số (1): y = k|x| - 3x (với k R). Biết đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm Q(-2 ; 8). Tìm k rồi vẽ đồ thị của hàm số (1). Bài 4 (2.0 điểm) Một đội công nhân có 39 người, được chia thành ba nhóm I, II, III. Nếu thêm 1 người vào nhóm I, thêm 2 người vào nhóm II và bớt 3 người của nhóm III thì số công nhân của ba nhóm I, II, III tỉ lệ nghịch với các số 4; 3; 2. Tìm số công nhân của mỗi nhóm. Bài 5 (4.5 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC hai tam giác ABM, ACN vuông cân tại A. Gọi E là giao điểm của BN và CM. 1. Chứng minh ABN = AMC và BN  CM. 2. Cho BM = 5 cm, CN = 7 cm, BC = 3 cm. Hãy tính độ dài đoạn thẳng MN. Bài 6 (3.5 điểm) Cho tam giác DEF có Dµ = 60o . Tia phân giác của góc E cắt cạnh DF ở P. Tia phân giác của góc F cắt cạnh DE ở Q. Gọi O là giao điểm của PE và QF. 1. Tính số đo E· OF và chứng minh OP = OQ. 2. Tìm điều kiện của tam giác DEF để hai điểm P và Q cách đều đường thẳng EF. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG THÀNH PHỐ THÀNH PHỐ THÁI BÌNH NĂM HỌC : 2016 - 2017 MÔN : TOÁN 7 Bài 1 (4.0 điểm) Câu Nội dung Điểm 18.32 1. 13 + 23 +33 - 1,8.3,2 1+8+ 27 - 0.5 100 2.9.2.16 36 - 0.25 100 Câu 1 2 (2.0 đ) 2.3.4 0.25 36 - 10 2.3.4 6- 10 0.5 12 18 6- 5 5 0.5 212.57 + 46.253 212.57 + 212.56 2. 6 15 6 12 6 0,5 85.253 + 22.5 2 .5 + 2 .5 212.56. 5+1 Câu 2 0,5 (2.0 đ) 212.56. 23 +1 212.56.6 0,5 212.56.9 6 2 = = 0,5 9 3 Bài 2 (3.0 điểm) Câu Nội dung Điểm 1. x +1 + x + 2 + x +3 + x + 4 =10x (1) 0.25 - Chứng minh x +1 + x + 2 + x +3 + x + 4 0 x (2) Từ (1) và (2) 10x 0 x 0 0.25 Câu 1 x + 1 > 0, x + 2 > 0, x + 3 > 0, x + 4 > 0 0.25 (1.75 đ) |x + 1| = x + 1, |x + 2| = x + 2, |x + 3| = x + 3, |x + 4| = x + 4 (3) 0.25 Từ (1) và (3) x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 10x 0.25 4x + 10 = 10x 6x = 10 5 5 x = (thỏa mãn x 0). Vậy x = là giá trị cần tìm. 0.5 3 3
3. m n 2017 2. x = = = n + 2017 m + 2017 m + n - Nếu m + n + 2017 0 , áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 0,5 m n 2017 m + n + 2017 1 x = = = = = n + 2017 m + 2017 m + n 2 m + n + 2017 2 Câu 2 m + n = -2017 (1.25 đ) - Nếu m + n + 2017 = 0 m + 2017 = -n 0,25 n + 2017 = -m m n 2017 x = = = = -1 0,25 -m -n -2017 1 Vậy x = khi m + n + 2017 0 2 0,25 x = -1 khi m + n + 2017 = 0. Bài 3 (3.0 điểm) 1. (20a + 7b + 3) . (20a + 20a + b) = 803 Từ đề bài 20a + 7b + 3 và 20a + 20a + b lẻ (vì 803 lẻ) 0,25 Nếu a 0 20a + 20a chẵn. Mà 20a + 20a + b lẻ b lẻ 7b + 3 chẵn 0,25 20a + 7b + 3 chẵn (không thỏa mãn) Vậy a = 0 (7b + 3) . (b + 1) = 803 = 1 . 803 = 11 . 73 Câu 1 Vì b N 7b + 3 > b + 1. Do đó: 0,25 (1.0 đ) 7b +3 = 803 7b +3 = 73 hoặc b +1=1 b +1=11 7b +3 = 803 - Trường hợp không tìm được b thỏa mãn đề bài. b +1=1 7b +3 = 73 0,25 - Trường hợp b = 10. b +1=11 Vậy a = 0, b = 10 thỏa mãn đề bài. 2. Vì đồ thị của hàm số y = k|x| - 3x đi qua điểm Q(-2 ; 8) nên: 0,25 8 = k . |-2| - 3 . (-2) 2k + 6 = 8 k = 1 0,25 Ta có hàm số y = |x| - 3x . Bỏ dấu giá trị tuyệt đối được: y = -2x nếu x 0 0,25 Câu 2 y = -4x nếu x < 0. (2.0 đ) - Với y = -2x (x 0): Cho x = 1 thì y = -2 Điểm A(1 ; -2) thuộc đồ thị hàm số. 0,25 Đồ thị hàm số y = -2x (x 0) là tia OA (như hình vẽ). - Với y = -4x (x< 0): Cho x = -1 thì y = 4 Điểm B(-1 ; 4) thuộc đồ thị hàm số. 0,25 Đồ thị hàm số y = -4x (x < 0) là tia OB, không kể điểm O (như hình vẽ).
4. y B 4 - 1 1 0,75 -1 O x -2 A Vậy đồ thị của hàm số (1) gồm hai tia OA và OB như hình vẽ. Bài 4 (2.0 điểm) Gọi số công nhân của ba nhóm I, II, III lần lượt là x, y, z (người) 0,5 (x, y, z N* và x, y, z < 39). Vì đội công nhân có 39 người x + y + z = 39. 0,25 Nếu thêm 1 người vào nhóm I, thêm 2 người vào nhóm II và bớt 3 người của nhóm III thì số công nhân của ba nhóm I, II, III tỉ lệ nghịch 0,25 (2.0 đ) với các số 4; 3; 2 4(x + 1) = 3(y + 2) = 2(z -3) 4 x +1 3 y + 2 2 z -3 x +1 y + 2 z -3 = = = = = 12 12 12 3 4 6 0,25 x +1+ y + 2+ z -3 x + y + z 39 = = = = 3 0,25 3+ 4+6 13 13 Tìm được x = 8, y = 10, z = 21 (thỏa mãn x, y, z N* và x, y, z < 39) 0,25 Vậy số công nhân của ba nhóm I, II, III lần lượt là 8, 10, 21 (người) 0,25 Bài 5 (4.5 điểm) Câu Nội dung Điểm N 1. - Chứng minh B· AN = M· AC 0,5 1 M - ABN và AMC có: A 3 1 AB = AM ( ABM vuông cân tại A) Câu 1 2 1 (3.0 đ) F · · 1,0 2 BAN = MAC (chứng minh trên) 1 E AN = AC ( ACN vuông cân tại A) 1 ABN = AMC (c.g.c) B C D 60o P Q 1 1 O 4 1 2 3 1 1 E H R K F
5. - Gọi F là giao điểm của BN và AC. ¶ µ o 0,25 AFN vuông tại A N1 + F1 = 90 ¶ µ 0,25 Mà N1 = C1 (vì ABN = AMC) µ µ 0,25 F1 = F2 (hai góc đối đỉnh) µ µ o 0,25 C1 + F2 = 90 µ o 0,25 E1 = 90 (áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào CEF) BN  CM tại E. 0,25 2. Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông tại E là BCE, MNE, BME, CNE ta có: BC2 = BE2 + CE2 ; MN2 = ME2 + NE2 0,5 Câu 2 BM2 = BE2 + ME2 ; CN2 = CE2 + NE2 (1.5 đ) BC2 + MN2 = BM2 + CN2 (cùng = BE2 + CE2 + ME2 + NE2) 0,5 MN2 = BM2 + CN2 - BC2 = 5 + 7 - 3 = 9 0,25 MN = 3 (cm) 0,25 Bài 6 (3.5 điểm) Câu Nội dung Điểm D · · o 1. - Chứng minh DEF + DFE = 120 0,5 60o Eµ + Fµ = 60o (EP và FQ là các tia 1 1 0,25 phân giác của góc E và góc F) P · o Q 1 EOF = 120 (áp dụng định lí tổng ba 0,25 1 Câu 1 O góc của một tam giác vào OEF) 1 4 (2.0 đ) 2 3 - Kẻ OR là tia phân giác của góc EOF. ¶ ¶ o 0,25 1 1 O2 = O3 = 60 E H R K F ¶ ¶ ¶ ¶ o Chứng minh O1 = O2 = O3 = O4 = 60 0,25 Chứng minh OEQ = OER (g.c.g) OQ = OR (hai cạnh tương ứng) 0,25 Chứng minh tương tự có OP = OR OP = OQ (vì cùng bằng OR) 0,25 2. - Vì OQ = OP (câu 1) OPQ cân tại O Pµ = Q¶ = 180o P· OQ : 2 1 1 0,25 · · o µ ¶ o Lại có POQ = EOF = 120 (hai góc đối đỉnh) P1 = Q1 = 30 - Kẻ QH và PK cùng vuông góc với EF (hình vẽ). Câu 2 0,25 Hai điểm P và Q cách đều đường thẳng EF QH = PK (1.5 đ) PQ // EF (tính chất đoạn chắn) 0,25 µ µ o E1 = P1 = 30 (vì hai góc này ở vị trí so le trong) 0,25 o D· EF = 60 (vì EP là tia phân giác của góc DEF) 0,25 o DEF là tam giác đều (vì Dµ = D· EF = 60 ) 0,25 Vậy DEF là tam giác đều thì hai điểm P và Q cách đều đường thẳng EF. Chú ý - Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm điểm theo bước cho một cách giải; Các cách giải chính xác khác, giám khảo cho điểm tương ứng. - Điểm toàn bài thi bằng tổng điểm các câu thành phần (không làm tròn).