Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2016 -2017 môn Toán 6

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2016 -2017 môn Toán 6

1. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 -2017 TIỀN HẢI m¤N: TOÁN 6 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (4,0 điểm) 1 3 5 19 1) Tính giá trị biểu thức: A 21 23 25 39 x x 1 x 2 18 2) Tìm số tự nhiên x, biết: 5 .5 .5 1000 .0 : 2 18 chữ số 0 Bài 2: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1 2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì 4p + 1 là hợp số? Bài 3: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng số viết bởi 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27. 2) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết rằng n là số chính phương và n là bội của 147. Bài 4: (6,0 điểm) 1) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB, OC sao cho A OB 1200, A OC 800 . Gọi OM là tia phân giác của B OC . a) Tính A OM . b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của C ON . 2) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3, , Oxn sao cho: xOx 2 2xOx1 ; xOx3 3xOx1 ; xOx 4 4xOx1 ; ; xOx n nxOx1 . Tìm số n nhỏ nhất để trong các tia đã vẽ có một tia là tia phân giác chung của 2017 góc. Bài 5: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều tối giản. 7 8 9 100 ; ; ; ; n 9 n 10 n 11 n 102 Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
2. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 TIỀN HẢI ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM m¤N: TOÁN 6 (Đáp án và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Bài 1 (4,0 điểm) 1 3 5 19 1) Tính giá trị biểu thức: A . 21 23 25 39 x x 1 x 2 18 2) Tìm số tự nhiên x, biết: 5 .5 .5 1000 .0 : 2 . 18c/sô0 Câu Nội dung Điểm Ta có : 1 3 5 19 (1 19) (3 17) (5 15) (7 13) (9 11) 0.5đ = 20 20 20 20 20 100 21 23 25 39 (21 39) (23 37) (25 35) (27 33) (29 31 ) a) 0.5đ = 60 60 60 60 60 300 2.0đ 100 Suy ra A = 0.5đ 300 1 Rút gọn A 0.5đ 3 x x 1 x 2 18 5 .5 .5 1000 .0 : 2 18c/sô0 5x x 1 x 2 1018 : 218 0.5đ b) 18 18 3x 3 10 10 10 10 18 2.0đ 5 . 5 0.5đ 218 2 2 2 Suy ra: 3x 3 18 0.5đ Giải ra x = 5 0.5đ Bài 2: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1 2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì 4p + 1 là hợp số? Câu Nội dung Điểm Gọi d là ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) 0.5đ Suy ra: 21n 4d và 14n 3d a) 2.(21n 4)d và 3.(14n 3)d 0.5đ 2.0đ 3.(14n 3) 2.(21n 4)d 0.5đ 1d 0.5đ d 1 VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
3. Vậy ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1 + Vì p là số nguyên tố, p > 3 0.5đ 4p không chia hết cho 3 Ta có 4p + 2 = 2 (2p + 1) Theo bài ra p > 3 2p + 1> 7 và là số nguyên tố 2p + 1 không chia hết 0.5đ b) cho 3. Suy ra 4p + 2 không chia hết cho 3 2.0đ Mà 4p; 4p + 1; 4p + 2 là ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia 0.5đ hết cho 3 do đó 4p + 1 chia hết cho 3. Vì 4p + 1 > 13 nên 4p + 1 là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước. Suy ra 4p + 1 là hợp số. 0.5đ Bài 3 (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng số viết được với 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27. 2) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết rằng n là số chính phương và n là bội của 147. Câu Nội dung Điểm Trước hết ta chứng minh số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27 Thật vậy: 111 .11 1 1 1x1000. 01000. 01 0.5đ 27c/sô 1 9c/sô 1 8c/sô 0 8c/sô 0 Mà 1 1 19 và 1000. 01000. 013 0.5đ 9c/sô 1 8c/sô 0 8c/sô 0 a) 111. 127 27c/sô1 0.5đ 2.0đ Từ đó suy ra nếu một số viết bởi 27 chữ số a thì số đó bằng a. 111. 1 nên 27c/sô1 0.5đ số đó chia hết cho 27. Vì n là số tự nhiên có 4 chữ số nên 1000 n 9999 Theo bài ra n là bội của 147 nên n = 147.k = 72.3k 0.5đ Do n là số chính phương nên khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì lũy thừa các thừa số nguyên tố phải có số mũ chẵn suy ra b) k3 k 3m n 7 2.32.m 441m 2.0đ 1000 441m 9999 0.5đ 2 m 22 Để n là số chính phương thì m là số chính phương m 4;9;16 0.5đ Suy ra các số tự nhiên cần tìm là: 1764; 3969; 7056. 0.5đ Bài 4: (6,0 điểm) 1) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB,OC sao cho A OB 1200, A OC 800 . Gọi OM là tia phân giác của B OC . a) Tính A OM . b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của C ON . VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
4. 2) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3, , Oxn sao cho: xOx 2 2xOx1 ; xOx3 3xOx1 ; xOx 4 4xOx1 ; ; xOx n nxOx1 . Tìm số n nhỏ nhất để trong các tia đã vẽ có một tia là tia phân giác chung của 2017 góc. Câu Nội dung Điểm M C B Vẽ ˆˆ hình O 0.5đ A N Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có A OC A OB (800 < 1200) Þ Tia OC nằm giữa hai tia OA và OB 0.5đ 0 0 0 a) Þ AOC BOC AOB 80 BOC 120 BOC 40 2.0đ BOC 40 0 Vì OM là tia phân giác của B OC B OM C OM 20 0.5đ 2 2 Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OB có B OM B OA (200< 1200) nên tia OM nằm giữa hai tia OA và OB 0.5đ B OM M OA A OB 200 M OA 1200 M OA 1000 0.5đ Vì OM và ON là hai tia đối nhau nên hai góc A OM và A ON là hai góc kề bù. 0.5đ A OM A ON 180 0 0 0 0 0.5đ b) 100 AON 180 AON 80 2.5đ Suy ra A OC A ON ( vì cùng bằng 800) (1) 0.5đ Vì hai tia OM và ON nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là tia 0.5đ OA nên tia OA nằm giữa hai tia OM và ON (2) Từ (1) và (2) suy ra tia OA là tia phân giác của C ON 0.5đ Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3, , Oxn sao cho: c) 0.5đ x Ox 2 2x Ox ; x Ox3 3x Ox ; x Ox 4 4x Ox ; ; x Ox n nx Ox 1.0đ 1 1 1 1 xOx1 x1Ox 2 x 2Ox 3 x n 1Ox n VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
5. Vậy khi n nhỏ nhất là n = 2017.2 = 4034 thì lúc đó Ox 2017 là tia phân giác 0.5đ chung của 2017 góc: xOx 4034 x1Ox 4033 x 2Ox 4032 x 2016Ox 2018 Bài 5 (2,0 điểm): Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều là số tối giản. 7 8 9 100 ; ; ; ; n 9 n 10 n 11 n 102 Câu Nội dung Điểm a Các phân số đã cho đều có dạng: , vì các phân số này đều tối a (n 2) 0.5đ giản nên n + 2 và a phải là hai số nguyên tố cùng nhau. a) Như vậy n + 2 phải nguyên tố cùng nhau với lần lượt các số 7; 8; 9; ; 0.5đ 2.0đ 100 và n + 2 phải là số nhỏ nhất. Þ n + 2 là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 100. 0.5đ Þ n + 2 = 101Þ n = 99 0.5đ *) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm. *) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất. *) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn. VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí