Đề khảo sát học sinh giỏi - Môn: Toán lớp 8

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi - Môn: Toán lớp 8

1. UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC : 2018-2019 Môn : Toán – Lớp 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian :120 phút Bài 1. (2,0 điểm) a) Chứng minh : a2 b2 c2 d 2 ac bd 2 bc ad 2 1 1 1 b) Cho: 2 và x y z xyz ( x, y, z 0) x y z 1 1 1 Chứng minh 2 x2 y2 z2 Bài 2. (2,5 điểm) Giải các phương trình: x 7 x 6 x 5 x 2025 a) 0 2003 2004 2005 5 b) x4 2x2 400x 9999 Bài 3. (2,0 điểm) a) Chứng minh x2 x 1 0 (với mọi x) x2 x 1 1 b) Chứng minh: x2 x 1 3 x2 x 1 c) Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức : A x2 x 1 Bài 4. (3,5 điểm) Cho hình thang ABCD (AB / /CD và AB CD) ; Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC, BD.Đường thẳng qua A và song song với BC cắt BD tại E, cắt CD tại A’ ; đường thẳng qua B và song song với AD cắt AC tại F, cắt CD tại B' . Gọi diện tích các tam giác OAB,OCD, ACD, ABC lần lượt là S1,S2 ,S3,S4 . Chứng minh: a) EF / / AB AB BE b) và AB2 EF.CD CD BD S S c) 1 2 1 S4 S3
2. ĐÁP ÁN Bài 1. a) VT a2c2 a2d 2 b2c2 b2d 2 a2c2 b2d 2 2abcd a2d 2 b2c2 2abcd ac bd 2 bc ad 2 VP b) Bình phương 2 vế ta có: 1 1 1 2 2 2 4 x2 y2 z2 xy xz yz 1 1 1 2z 2y 2x 4 x2 y2 z2 xyz xyz xyz 1 1 1 2 x y z 4 x2 y2 z2 xyz 1 1 1 2xyz 4 (x y z xyz) x2 y2 z2 xyz 1 1 1 2(dfcm) x2 y2 z2 Bài 2. x 7 x 6 x 5 x 2025 a) 0 2003 2004 2005 5 x 7 x 6 x 5 x 2005 1 1 3 0 2003 2004 2005 5 x 2010 x 2010 x 2010 x 2010 0 2003 2004 2005 5 1 1 1 1 x 2010 0 2003 2004 2005 5 x 2010 0 x 2010
3. b)x4 2x2 400x 9999 x4 2x2 1 4x2 400x 10000(thêm 4x2 1 vào 2 vế) 2 x2 1 2x 100 2 x2 1 2x 100 x2 1 2x 100 0 2 VN x 2x 101 0 x 9 2 x 2x 99 0 x 11 Vậy S 11; 9 Bài 3. 2 2 1 3 a) x x 1 x 0(với mọi x) 2 4 b) Từ kết quả câu a, nhân 2 vế của BĐT với số dương 3 x2 x 1 được: 3x2 3x 3 x2 x 1 2x2 4x 2 0 2 x 1 2 0 (luôn đúng) x2 x 1 1 Suy ra: x2 x 1 3 2 2 2 x2 x 1 3 x x 1 x x 1 3 x x 1 c) x2 x 1 x2 x 1 2 2x2 4x 2 2 x 1 3 3 3 x2 x 1 x2 x 1 Vậy MaxA 3 x 1
4. Bài 4. A B O E F C D B' A' OE OA a) AE / /BC OB OC OF OB BF / / AD OA OC OA OB OE OF AB / /CD EF / / AB (Ta let đảo) OC OD OB OA EB AB EB AB b) AB / /DA' ED DA' ED EB AB DA' EB AB AB EF AB EF AB A'C được: (Do AB DB') BD BD DC DB' DC AB AB2 EF.DC S OA S OA c) OAB (1); OCD (2) SABC AC SADC AC (Tỷ số DT hai tam giác có cùng đáy bằng tỉ số đường cao) Cộng (1) (2) vế theo vế ta có : đpcm