Đề khảo sát học sinh giỏi - Môn: Toán 6

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi - Môn: Toán 6

1. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 -2016 TIỀN HẢI m¤N: TOÁN 6 (Thời gian làm bài 120 phút) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (5,0 điểm) 11.329 915 a) Tính giá trị biểu thức: A 2 . 2.314 b) Tìm số nguyên x, biết: (x 5) (x 10) (x 15) (x 60) 450 . c) Cho S 1 32 34 36 398 . Tính S và chứng minh S chia hết cho 10. Bài 2: (4,0 điểm) a) Cho hai số tự nhiên có tổng bằng 162 và ƯCLN của chúng là 18. Tìm hai số đó. b) Tìm số nguyên tố p sao cho: p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố. Bài 3: (4,0 điểm) a) Tìm tất cả các chữ số a, b, c thỏa mãn: abc cba 6b3 . b) Chứng minh rằng: Nếu ab cd eg 11 thì abcdeg11 . Bài 4: (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM. a) Tính BN khi BM = 2cm. b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax và Ay sao cho B· Ax 400 , B· Ay 1100 . Tính y· Ax, N· Ay . c) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn nhất. Bài 5: (2,0 điểm) a) Cho 1000 điểm phân biệt, trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo bởi hai trong 1000 điểm đó? b) Tìm số tự nhiên n biết: n S(n) 2016 , trong đó S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng 1
2. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 TIỀN HẢI ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM m¤N: TOÁN 6 (Đáp án và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Bài 1 (5,0 điểm) 11.329 915 a) Tính giá trị biểu thức: A 2 2.314 b) Tìm số nguyên x, biết:. (x 5) (x 10) (x 15) (x 60) 450 c) Cho S 1 32 34 36 398 . Tính S và chứng minh S chia hết cho 10. Câu Nội dung Điểm 29 2 15 11.3 3 11.329 330 A 0.5đ 2.314.2.314 22.328 a) 1.5đ 11 3 .329 8.329 A 0.5đ 22.328 22.328 A 6 0.5đ (x+ 5)+ (x+ 10)+ (x+ 15)+ + (x+ 60)= 450 0.5đ Þ (1x44+44x42+4.4.+444x3)+ (5+ 10+ 15+ + 60)= 450 b) 12soá x 1.5đ (5+ 60).12 Þ 12.x- = 450 0.5đ 2 12x 390 450 x 5 . 0.5đ Cho S 1 32 34 36 398 . Tính S và chứng minh S chia hết cho 10. +) Ta có S 1 32 34 36 398 0.5đ 32.S 32 34 36 3100 32.S S (32 34 36 3100 ) (1 32 34 398 ) c) 3100 1 2.0đ 8S 3100 1 S 0.5đ 8 +) Ta có S (1 32 ) (34 36 ) (396 398 ) 0.5đ S 10 34.10 396.10 0.5đ + Suy ra S chia hết cho 10. Bài 2: (4,0 điểm) a) Cho hai số tự nhiên có tổng bằng 162 và ƯCLN của chúng là 18. Tìm hai số đó. b) Tìm số nguyên tố p sao cho: p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố. 2
3. Câu Nội dung Điểm Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a và b, giả sử a b Vì ƯCLN(a, b) = 18 nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho: 0.5đ a = 18m; b = 18n và ƯCLN(m, n) = 1, m n (1) Ta có a b 18m 18n 162 m n 9 (2) 0.5đ Từ (1) và (2) suy ra ta chọn các cặp số nguyên tố cùng nhau m, n có tổng a) bằng 9 và m n như sau: 2.0đ m n a b 1 8 18 144 2 7 36 126 0.75đ 4 5 72 90 Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: 18 và 144; 36 và 126; 72 và 90 0.25đ + Với p = 2 p 2 4; p 4 6 p + 2 và p + 4 là các hợp số. p = 2 không thỏa mãn 0.5đ + Với p = 3 p + 2 = 5 là số nguyên tố p + 4 = 7 là số nguyên tố p = 3 thỏa mãn b) + Với p là số nguyên tố và p > 3 2.0đ p chỉ có thể có dạng p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k N* ) 0.5đ * Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 3 và p + 2 > 3 p + 2 là hợp số (trái với đề bài) * Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 3 và p + 4 > 3 0.5đ p + 4 là hợp số (trái với đề bài) Vậy p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố. 0.5đ Bài 3 (4,0 điểm) a) Tìm tất cả các chữ số a, b, c thỏa mãn: abc cba 6b3 b) Chứng minh rằng: Nếu ab cd eg 11 thì abcdeg11 Câu Nội dung Điểm Điều kiện a 0,c 0 Vì abc cba 6b3 100a 10b c 100c 10b a 6b3 0.5đ 99 a c 6b3 6b399 b 9 0.5đ a) a c 693:99 7 2.0đ a 7 c 0.5đ Do 0 a 9 0 c 7 9 c 1 hoặc c 2 (vì c 0 ) Với c = 1 suy ra a = 8 Với c = 2 suy ra a = 9 0.5đ Vậy a = 9, b = 9, c = 2 hoặc a = 8, b = 9, c = 1 Ta có: abcdeg 10000.ab 100.cd eg 0.5đ b) = (9999.ab 99.cd) (ab cd eg) 0.5đ 2.0đ Do (9999.ab 99.cd)11 và theo bài ra (ab cd eg)11 0.5đ 3
4. Suy ra: abcdeg11 0.5đ Bài 4 (5,0 điểm): Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM. a) Tính BN khi BM = 2cm. b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax và Ay sao cho B· Ax 400 , B· Ay 1100 . Tính y· Ax, N· Ay . c) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn nhất. Câu Nội dung Điểm y Vẽ hình x 0.5đ 40 N A M B Vì M thuộc AB nên AM + MB = AB a) Þ AM + 2 = 5 AM = 3 cm 0.5đ 1.0đ Có AN = AM AN = 3 cm Do N thuộc tia đối của tia AB nên điểm A nằm giữa N và B 0.5đ BN = AB + AN = 5 + 3 = 8 cm + Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia AB có: B· Ax B· Ay(400 1100 ) Þ Tia Ax nằm giữa hai tia AB và Ay nên ta có: 0.5đ B· Ax x· Ay B· Ay 0 · 0 · 0 0 0 b) hay 40 + xAy = 110 Þ xAy = 110 - 40 = 70 0.5đ 2.0đ + Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB, ta có B· Ay và N· Ay là hai góc kề bù . 0.5đ Þ B·Ay + N· Ay = 1800 hay 1100 + N· Ay = 1800 Þ N· Ay = 1800 - 1100 = 700 0.5đ Vì BN = AB + AN = 5 + AN Suy ra BN có độ dài lớn nhất khi AN có độ dài lớn nhất 0.5đ c) Mà AN = AM BN có độ dài lớn nhất khi AM có độ dài lớn nhất 0.5đ 1.5đ Có AM AB AM lớn nhất khi AM = AB khi đó điểm M trùng với điểm B. 0.5đ Vậy khi điểm M trùng với điểm B thì BN có độ dài lớn nhất. Bài 5 (2,0 điểm): 4
5. a) Cho 1000 điểm phân biệt, trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo bởi hai trong 1000 điểm đó? b) Tìm số tự nhiên n biết: n S(n) 2016 , trong đó S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n. Câu Nội dung Điểm 1000.999 Số đường thẳng tạo bởi 1000 điểm phân biệt là: đường thẳng 0.5đ 2 3.2 Số đường thẳn tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng là: 3 đường thẳng a) 2 1.0đ Theo bài ra vì có 3 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là: 0.5đ 3 – 1 = 2 đường thẳng. 1000.999 Vậy số đường thẳng tạo thành là: 2 499498 ( đường thẳng) 2 Nếu n là số ít hơn 4 chữ số suy ra n 999 và S(n) 27 n S(n) 1026 2016 (không thỏa mãn) Vì n n S(n) 2016 n 2016 n không có 5 chữ số Vậy n có 4 chữ số. Suy ra S(n) 9.4 36 n 2016 36 1980 Vì 1980 n 2016 nên n 19ab hoặc n 20cd b) +) Với n 19ab 19ab 1 9 a b 2016 1.0đ 1.0đ 11a 2b 106 (1) a2 Vì 11a = 106 – 2b 106 – 2.9 = 88 8 a 9 và a2 a 8 , thay a = 8 vào (1) được b = 9 +) Tương tự n 20cd suy ra c = 0 và d = 7 Vậy số cần tìm là 1989 hoặc 2007. *) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm. *) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất. *) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn. 5