Đề khảo sát học sinh giỏi - Môn thi: Toán 7

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi - Môn thi: Toán 7

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI KIẾN XƯƠNG MÔN: TOÁN 7 === === (Thời gian làm bài : 120 phút) Bài 1(4 điểm): Tính giá trị biểu thức 0 3 1 3 9 2 3 5 7 19 a) + . 2 . 1 + 2 b) 2 + 2 + 2 + + 2 4 4 16 3 (1.2) (2.3) (3.4) (9.10) Bài 2(3,5 điểm): x y z a) Biết = = ; x 2y + 3z = 51 . Tính giá trị của A = 2x y + z + 1 2 3 7 b) Tìm x biết: x 2013 x 2014 x 2015 = 2 Bài 3(3 điểm): Cho hàm số y = m. x a) Tìm m biết đồ thị hàm số đi qua điểm P( 0,5; 1) b) Với m vừa tìm được, tìm trên đồ thị hàm số những điểm Q(x0; y0) thỏa mãn x0 y0 = 9 Bài 4(3,5 điểm): 3 x 1 4 1 2 1 1 4 2 x a) Cho đa thức M(x) = x + x + x x + x + 2 2 2 3 2 3 Thu gọn và chứng minh M(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x. b) Tìm số nguyên x, y biết 2017x2 + 2018 = y2 Bài 5(6 điểm): Cho ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Kẻ EI vuông góc với AH tại I, tia phân giác của B· AC cắt BE tại M. Chứng minh rằng: 1) ABM vuông cân 2) IE = AH 3) A· HM 450 Họ và tên thí sinh Số báo danh
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7 KIẾN XƯƠNG KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG === === Bài Câu Đáp án Điểm 1. a. 0 2,0đ 3 1 3 9 2 Tính + . - 2 . 1 + - 2 (4,0đ) 4 4 16 3 0,5 3 1 3 25 = + . - 2 . + 1 4 4 16 3 1 5 0,5 = + . - 8. + 1 4 4 4 3 1 0,5 = + .- 10 + 1 4 4 3 1 3 - 9 - 3 0,5 = + . - 9 = + = 4 4 4 4 2 3 5 7 19 2,0đ b. Tính + + + + (1.2)2 (2.3)2 (3.4)2 (9.10)2 3 5 7 19 0,5 = + + + + 1.4 4.9 9.16 81.100 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5 = - + - + - + + - 1 4 4 9 9 16 81 100 1 0,5 = 1 - 100 99 = 0,5 100 2. a. x y z 2,0đ Biết = = ; x - 2y + 3z = 51 . Tính A = 2x - y + z + 1 (3,5đ) 2 3 7 x y z 2y 3z 0,5 Ta có = = = 2 3 7 6 21 áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau có 0,5 x y z 2y 3z x - 2y + 3z 51 = = = = = = 3 2 3 7 6 21 2 - 6 + 21 17 => x = 6; y = 9; z = 21 0,5 => A =2x - y + z + 1 = 25 = 5 0,5
3. b. Tìm x biết: x 2013 x 2014 x 2015 = 2 1,5đ x 2013 - x - 2013 - x - 2013 x Ta có x 2015 x 2015 x x 2014 0x 0,5 x 2013 x 2014 x 2015 2 0,25 x 2013 0 2013 x 2015 x 2015 0 Dấu bằng xảy ra x 2014 x 2014 0 0,5 KL : x 2014 0,25 3. a. Tìm m biết đồ thị hàm số đi qua điểm P(-0,5; 1) 1,5đ (3,0đ) Đồ thị hàm số đi qua điểm P(-0,5; 1) => khi x = -0,5 thì y = 1 0,5 Thay x = - 0,5; y = 1 vào hàm số y = m.x ta được: 0,25 0,5 m.- 0,5 = 1 => m = 2 KL : Vậy m = 2 là giá trị cần tìm 0,25 b. Với m vừa tìm được, tìm trên đồ thị hàm số những điểm Q(x0; y0) 1,5đ thỏa mãn x0 - y0 = - 9 Vì điểm Q(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = 2. x 0,25 => y0 = 2. x0 Từ x0 - y0 = - 9 => x0 - 2.x = - 9 (1) 0 0,25 +) Nếu x0 x0 = - 3(thỏa mãn x0 Q(- 3; 6) 0,25 +) Nếu x0> 0 thì (1) trở thành - x0 = - 9 => x0 = 9(thỏa mãn x0 > 0) => Q(9; 18) 0,25 Vậy tìm được 2 điểm Q thỏa mãn yêu cầu: Q(- 3; 6); Q(9; 18) 0,25 Chú ý: Nếu Hs không đối chiếu với x0 ở 2 trường hợp hoặc xét 1 trường hợp trừ 0,5 điểm ở câu b
4. 4. a. Thu gọn và chứng minh M(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi số 2,5đ (3,5đ) nguyên x x3 x4 x2 x x4 x 0,5 M(x) = - + + + - x2 - 2 2 2 3 2 3 4 4 3 2 x x x x 2 x x 0,5 M(x) = - + + - x + - 2 2 2 2 3 3 x3 x2 0,5 M(x) = - 2 2 x3 x2 1 0,5 Ta có M(x) = - = .x.x.(x - 1) 2 2 2 Vì x là số nguyên => x, x - 1 là hai số nguyên liên tiếp => x.(x - 1) 0,25 chia hết cho 2 => M(x) nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x 0,25 b. Tìm số nguyên x, y biết 2017x2 + 2018 = y2 1đ Có 2016x2 + 2018 = y 2 - x2 = (y + x)(y - x) (*) 0,25 Từ (*) => (y + x)(y - x) chẵn Có y + x + y - x = 2y chẵn 0,25 => y + x; y - x cùng chẵn => (y + x)(y - x)  4 0,25 Mà 2016x2 + 2018 không chia hết cho 4 0,25 Vậy không tìm được số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức trên Bài 5(6 điểm): Cho ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Kẻ EI vuông góc với AH tại I, tia phân giác của B· AC cắt BE tại M. Chứng minh rằng: 1) ABM vuông cân 2) IE = AH 3) A· HM 450 Câu Đáp án Điểm Vẽ hình, ghi GT- KL đúng A I E M B H K C
5. 1) Theo GT ta có B· AC 900 và AB = AE => ABE cân tại A 0,5 2điểm => A· BE 450 0,5 mà M· AB 450 ( vì AM là phân giác B· AC ) 0,5 => ABM cân tại M 0,5 Xét ABH và EAI có: A· HB A· IE 900 H· AB I·EA 900 I·AE 0,5 2) 2điểm AB = AE (GT) => ABH = EAI ( cạnh huyền – góc nhọn ) 1 => AH = EI 0,5 - Vì ABE cân tại A, mà AM là đường phân giác của ABE => AM là trung tuyến của ABE => M là trung điểm của BE 1 Từ đó suy ra AM = BE 2 A 0,5 3) - Kẻ EK vuông góc với BC tại K 2điểm 1 Từ đó suy ra KM = BE => KM = AM 0,5 2 I E - c/m được IHE = KEH (g.cg) M => KH = EI B H K C Mà AH = EI => KH = AH 0,5 - c/m được AHM = KHM (c.c.c) 1 => A· HM K· HM A· HK 450 2 0,5 * Lưu ý: - HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa - Bài hình HS không vẽ hình hoặc hình vẽ không đúng yêu cầu đề bài thì không chấm điểm bài hình - Điểm bài thi là tổng điểm đạt được các bài, không làm tròn.