Đề khảo sát học sinh giỏi 6, 7, 8 cấp huyện - Môn: Toán 8

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi 6, 7, 8 cấp huyện - Môn: Toán 8

1. UBND HUYỆN QUẾ SƠN KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI 6,7,8 CẤP HUYỆN PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2012-2013 Môn: Toán – Lớp 8 Bài 1. (2,5 điểm) a) Cho ba số a,b,cthỏa mãn a b c 0.Chứng minh rằng ab bc ca 0 b) Cho f (x) ax2 bx c với a,b,c là các số thỏa mãn 13a b 2c 0 Chứng tỏ rằng f 2 . f 3 0 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x2 y2 xy x y 1 Bài 2. (2,0 điểm) Giải các phương trình sau: x 1 x 2 x 3 x 4 3 3 3 a) b) 2x 5 x 2 x 3 2013 2012 2011 2010 Bài 3. (2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD. Hạ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD a) Chứng minh DE  CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE,BF,CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất Bài 4. (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD(AC BD).Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của C lên AB và AD. Chứng minh a) ABC : HCG b) AC 2 AB.AG AD.AH Bài 5. (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì: 5n 5n 1 6n 3n 2n 91
2. ĐÁP ÁN Bài 1. a) Có: a2 b2 2ab;a2 c2 2ac;b2 c2 2ac Cộng được: 2a2 2b2 2c2 2ab 2ac 2bc a2 b2 c2 ab ac bc (1) a b c 0 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 0 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc (2) Cộng 1 với 2 được 3ab 3ac 3bc 0 ab bc ca 0 b) f 2 4a 2b c; f 3 9a 3b c Có f 2 f 3 13a b 2c 0 nên: Hoặc: f 2 0 và f 3 0 f 2 . f 3 0 (1) Hoặc : f 2 và f 3 là hai số đối nhau f 2 . f 3 0 (2) Từ 1 và 2 được f 2 . f 3 0 c) 4M 4x2 4y2 4xy 4x 4y 4 2x y 1 2 3y2 2y 3 2 2 2 1 8 2x y 1 3 y y 3 9 3 2 2 1 8 2x y 1 3 y 3 3 1 y 8 3 Giá trị nhỏ nhất của 4M là nên 3 2 x 3 2 x 2 3 Giá trị nhỏ nhất của M là 3 1 y 3
3. Bài 2. x 1 x 2 x 4 x 3 1 1 1 1 2013 2012 2010 2011 x 2014 x 2014 x 2014 x 2014 a) 2013 2012 2010 2011 1 1 1 1 x 2014 0 2013 2012 2010 2011 x 2014 b) Đặt 2x 5 a; x 2 b a b x 3 Phương trình đã cho trở thành: a3 b3 a b 3 a b a2 ab b2 a b a2 2ab b2 a b a2 ab b2 a2 2ab b2 0 3ab a b 0 5 a 0 x 2 b 0 x 2 a b x 3
4. Bài 3. A E B F M D C a) Chứng tỏ được AE DF (cùng bằng MF) Chứng tỏ được CDF DAE F· CD E· DA Có: E· DA và E· DC phụ nhau E· CD và E· DAphụ nhau hay CF  DE b) Tương tự có CE  BF Chứng minh được CM  EF Gọi G là giao điểm của FM và BC;H là giao điểm của CM và EF. M· CG E· FM (hai HCN bằng nhau) C· MG F· MH (đối đỉnh) M· HF M· GC 900 CM ,FB,ED là ba đường cao của CEF nên chúng đồng quy 2 2 2 AE ME c) AE ME 0 nên AE ME 4AE.ME AE.ME 4 AB2 S .Mà AB là hằng số nên S lớn nhất AE ME AEMF 4 AEMF Lúc đó M là trung điểm của BD
5. Bài 4. G B C F E A D H CG BC BC a) Chứng tỏ được CBG : CDH CH DC BA Và ·ABC H· CG (cùng bù với B· AD) ABC : HCG b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B,D trên AC. AF AD AFD : AHC AF.AC AD.AH AH AC AE AB AEB : AGC AE.AC AG.AB AG AC Cộng được : AF.AC AE.AC AD.AH AG.AB AC. AF AE AD.AH AG.AB Chứng tỏ được: AE FC. Thay được: AC. AF FC AD.AH AG.AB AC 2 AD.AH AG.AB Bài 5. A 5n 5n 1 6n 3n 2n 25n 5n 18n 12n
6. A 25n 18n 12n 5n .Achia hết cho 7 A 25n 12n 18n 5n .Achia hết cho 13 Do 13,7 1 nên A chia hết cho 91