Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi - Môn: Toán lớp 8

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi - Môn: Toán lớp 8

1. UBND HUYỆN NHO QUAN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học: 2014-2015 MÔN: TOÁN LỚP 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1. (5,0 điểm) 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)a3 a2 4a 4 b)2a3 7a2b 7ab2 2b3 1 2 5 x 1 2x 2. Cho biểu thức : A 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị nguyên của x để bểu thức Anhận giá trị nguyên c) Tìm x để A A 0 Câu 2. (3,0 điểm) Giải các phương trình sau: 15x 12 4 a) x 2 x 1 x 1 x 2 4 b) 1 x2 3x 4 x 4 x 1 Câu 3. (4,0 điểm) 1. Cho a,b,c là các số hữu tỷ thỏa mãn điều kiện ab bc ac 1.Chứng minh rằng biểu thức Q a2 1 b2 1 c2 1 là bình phương của một số hữu tỷ 2. Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 4xy 5y2 16 0 3. Cho các số nguyên a,b,cthỏa mãn a b 3 b c 3 c a 3 210 Tính giá trị của biểu thức B a b b c c a Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC,M là một điểm thuộc cạnh BC ( M khác B, M khác C). Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC, AB chúng cắt AB, AC lần lượt tại D và E a) Chứng minh tứ giác ADME là hình bình hành. Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC để hình bình hành ADME là hình thoi b) Chứng minh rằng BD.EC DM.AE 2 2 c) Cho SBDM 9cm ,SCME 16cm . Tính SABC (ký hiệu S là diện tích tam giác) d) Chứng minh rằng AM.BC AC.BM AB.CM Câu 5. (2,0 điểm) Cho số thực x thỏa mãn điều kiện 0 x 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ x2 1 x2 nhất của biểu thức P 2 x2 1 x2
2. ĐÁP ÁN Câu 1. 1) a) a3 a2 4a 4 a2 a 1 4 a 1 a 1 a 2 a 2 b)2a3 7a2b 7ab2 2b3 2 a b a2 ab b2 7ab a b a b 2a2 2b2 5ab 2 2 a b 2a 4ab 2b ab a b 2a a 2b b b 2a a b 2a b a 2b 1 2 5 x 1 2x 2) a)A 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 1 ĐKXĐ: x 1; x 2 1 2 5 x 1 2x x 1 2 1 x 5 x x2 1 A 2 : 2 2 . 1 x x 1 1 x x 1 1 x 1 2x 2 x2 1 2 . 1 x2 1 2x 1 2x 2 b) Để A nguyên thì ¢ 1 2x U (2) 1; 2 1 2x 3 *)1 2x 2 x (ktm) 2 *)1 2x 1 x 1(ktm) *)1 2x 1 x 0(tm) 1 *)1 2x 2 x (ktm) 2 Vậy x 0 thì A nhận giá trị nguyên 1 c) A A 0 A A A 0 1 2x 0 2x 1 x 2 1 Đối chiếu với ĐKXĐ ta có x là giá trị cần tìm 2
3. Câu 2. a) Nếu x 2 , phương trình đã cho trở thành x 2 x 1 x 1 x 2 4 x2 1 x2 4 4 x4 5x2 0 x 0(ktm) 2 2 x x 5 x 5(tm) x 5(ktm) *) Nếu x 2 , phương trình đã cho trở thành 2 x x 1 x 1 x 2 4 x 2 x 1 x 1 x 2 4 2 2 2 4 2 2 5 7 x 1 x 4 4 x 5x 8 0 x 0(VN) 2 4 Vậy S 5 b) ĐKXĐ: x 4; x 1 15x 12 4 15x 12 4 1 1 x2 3x 4 x 4 x 1 x 4 x 1 x 4 x 1 15x 12 x 1 4 x 4 x2 3x 4 x2 4x 0 x x 4 0 x 0 (tm) x 4(ktm) Vậy S 0
4. Câu 3. 1) Vì ab ac bc 1 nên a2 1 a2 ab bc ca a b a c Tương tự: b2 1 a b b c c2 1 b c c a 2 2 2 2 Do đó: Q a 1 b 1 c 1 a b b c c a dfcm 2) x2 4xy 5y2 16 0 x 2y 2 16 y2 (1) Từ 1 suy ra 16 y2 0 y2 16 y2 0;4;9;16 *)y2 0 y 0 x 4 *)y2 4 y 2 x ¢ (ktm) *)y2 9 y 3 x ¢ (ktm) *)y2 16 y 4 x 8 Vậy phương trình đã cho có các cặp nghiệm nguyên là 4;0 ; 4;0 ; 8;4 ; 8; 4 3) Đặt a b x;b c y;c a z x y z 0 z x y , Ta có: x3 y3 z3 210 x3 y3 x y 3 210 3xy x y 210 xyz 210 Ta có: x3 y3 z3 210 x3 y3 x y 3 210 3xy x y 210 Do x, y, z la số nguyên có tổng bằng 0 và xyz 70 2 . 5 .7 nên x; y; z 2; 5;7 A a b b c c a 14
5. Câu 4. A D E C B M a) Ta có ME / / AB,MD / / AC(gt) nên tứ giác ADME là hình bình hành Để hình bình hành ADME là hình thoi thì đường chéo AM là phân giác của D· AE M là chân đường phân giác của B· AC b) Xét BDM và MEC có D· BM E· MC,D· MB E· CM (vì đồng vị) BD DM BDM : MEC(g.g) BD.EC DM.ME ME EC c) Từ BDM : MEC(cmt) 2 2 SBDM MB 3 MB 3 SMEC MC 4 MC 4 MB 3 MB 3 MB MC 4 3 BC 7 2 2 SBDM MB 3 Mặt khác do MD / / AC BDM : BAC SBAC BC 7 49 2 SBAC .9 49 cm 9 d) Theo chứng minh trên ADME là hình bình hành DM AE
6. ME CM ME / / AB ME.CB AB.CM (1) AB CB MD BM MD / / AC MD.BC AC.BM (2) AC BC Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được: BC ME MD CM.AB AC.BM BC. ME AE CM.AB AC.BM Lại có AM ME AE BC.AM BC. ME AE CM.AB AC.BM Câu 5. Đặt x2 a,0 a 1.Biểu thức đã cho trở thành: a 1 a a 1 a 2 2 P 1 1 2 2 2 a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 3 3 2 1 2 1 2 a 1 a 2 a 1 a 3 *) Vì 0 a 1. P 2 1 1 2 a 0 x 0 x 0 Đẳng thức xảy ra khi .Vậy MinP 1 a 1 x 1 x 1 0 a 1nên a và 1 a là hai số không âm a 1 a 1 3 2 Áp dụng BĐT Cô si ta có: a 1 a P 2 1 1 4 4 2 3 4 1 1 1 Đẳng thức xảy ra khi a 1 a a hay x2 x 2 2 2 2 1 Vậy MaxP x 3 2