Đề giao lưu học sinh giỏi lớp 6, 7, 8 cụm THCS - Môn Toán học 8

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi lớp 6, 7, 8 cụm THCS - Môn Toán học 8

1. UBND HUYỆN VĨNH LỘC KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CỤM THCS PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học : 2014-2015 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ GIAO LƯU MễN: TOÁN LỚP 8 Bài 1. (4,0 điểm) 1 x3 1 x2 Cho biểu thức : A x : 2 3 với x khỏc 1 và 1 1 x 1 x x x 1) Rỳt gọn biểu thức A 2 2) Tớnh giỏ trị của biểu thức A tại x 1 3 3) Tỡm giỏ trị của x để A 0 Bài 2. (4,0 điểm) 1 2 6 a) Giải phương trỡnh sau: x2 2x 2 x2 2x 3 x2 2x 4 b) Cho x là số nguyờn. Chứng minh rằng biểu thức: M x 1 x 2 x 3 x 4 1là bỡnh phương của một số nguyờn. Bài 3. (4,0 điểm) a) Cho x, y, z là cỏc số nguyờn thỏa món x y z chia hết cho 6. Chứng minh M x y y z x z 2xyz chia hết cho 6 b) Cho a,b,c là cỏc số khỏc 0 thỏa món: a3b3 b3c3 c3a3 3a2b2c2 / a b c Tớnh giỏ trị biểu thức P 1 1 1 b c a Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giỏc nhọn ABC AB AC , cú đường cao AH sao cho AH HC. Trờn AH lấy một điểm I sao cho HI BH.Gọi P và Q là trung điểm của BI và AC. Gọi N và M là hỡnh chiếu của H trờn AB và IC;K là giao điểm của đường thẳng CI với AB; D là giao điểm của đường thẳng BI với AC a) Chứng minh I là trực tõm của tam giỏc ABC b) Tứ giỏc HNKM là hỡnh vuụng c) Chứng minh bốn điểm N,P,M ,Q thẳng hàng. Bài 5. (2,0 điểm) Cho x, y, z là cỏc số dương thỏa món điều kiện: x2015 y2015 z2015 3 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : x2 y2 z2
2. ĐÁP ÁN Bài 1. 1.1) Với x khỏc 1 và – 1 thỡ 1 x3 x x2 1 x 1 x A : 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x : 1 x 1 x 1 2x x2 1 1 x2 : 1 x2 1 x 1 x 2 2 5 5 5 2 1.2) Tại x 1 thỡ A 1 1 10 3 3 3 3 27 1.3) Với x khỏc 1 và – 1 thỡ A 0 1 x2 1 x 0 1 x 0 x 1 Bài 2. 1 2 6 a) x2 2x 2 x2 2x 3 x2 2x 4 Đặt t x2 2x 3 x 1 2 2 t 2 Phương trỡnh đó cho trở thành: 1 2 6 t 1 t t 1 t 2(TM ) 2 3t 7t 2 1 t (KTM ) 3 Do đú: x 1 2 2 2 x 1 2 0 x 1 b) Ta cú: M x 1 x 2 x 3 x 4 1 x2 5x 4 x2 5x 6 1 Đặt t x2 x 5 Khi đú: M t 1 t 1 1 t 2 1 1 t 2 Vỡ x là số nguyờn nờn t là số nguyờn . Vậy M lầ bỡnh phương của một số nguyờn. Bài 3. a) Ta cú: M x y x z y z 2xyz Học sinh biến đổi được:
3. M x y z xy yz zx 3xyz Vỡ x, y, z là cỏc số nguyờn thỏa món x y z chia hết cho 6 nờn x y z xy yz xz chia hết cho 6 Trong 3 số x, y, z tồn tại ớt nhất một số chia hết cho 2. Suy ra 3xyz6 Do đú, x y z xy yz xz 3xyz chia hết cho 6 . Vậy M 6 b) Đặt ab x;bc y;ca z Ta cú: x3 y3 z3 3xyz Học sinh chứng minh : x y z 0 hoặc x2 y2 z2 xy yz xz 0 TH1: x y z 0 Sử dụng hằng đẳng thức : x y z 3 x3 y3 z3 3 x y z x z xyz x y y z x z Ta cú: a2b2c2 ab bc bc ca ca ab abc a b b c c a a b c P 1 1 1 1 b c a TH 2: x2 y2 z2 xy yz xz 0 x y 2 y z 2 z x 2 0 x y z ab bc ca a b c P 8
4. Bài 4. A D K I Q M P N B H C a) Xột tam giỏc BHI cú: BH HI,Hà 900 BHI vuụng cõn tại H IãBH 450 AHC cú AH HC,Hà 900 AHC vuụng cõn tại H ãACH 450 BCD vuụng cõn tại D Tam giỏc ABC cú hai đường cao AH,BD. Vậy I là trực tõm ABC b) Xột tứ giỏc HMKN cú: Mả Nà 900 ,Kà 900 (CK đường cao) Tứ giỏc HMNK là hỡnh chữ nhật (1) Xột MIH và NBH cú: Hã MI Hã NB 900;HB HI(gt);Hã IC Hã BN HMI HNB g.c.g HM HN 2 Từ 1 và 2 : Tứ giỏc HMKN là hỡnh vuụng
5. c) Theo cõu b: Tứ giỏc HMKN là hỡnh vuụng nờn M , N thuộc trung trực đoạn thẳng KH -Xột 2 tam giỏc vuụng AHC và AKC; trung tuyến HQ,KQ. Ta cú: 1 1 HQ AC;KQ AC Q trung trực KH 2 2 Vậy 4 điểm M , N,P,Q thẳng hàng Bài 5. Áp dụng BĐT Cụ si cho 2015 số dương x2015, x2015,1;1;1;1;1;1 1;1. ta được: x2015 x2015 1 1 1 1 1 20152015 x2015.x2015.1.1.1 1 2015x2 2x2015 2013 2015x2 Tương tự ta cũng cú: 2y2015 2013 2015y2 2z2015 2013 2015z2 2 x2015 y2015 z2015 6039 2015. x2 y2 z2 x2 y2 z2 3 Dấu " "xảy ra x y z 1 Vậy Max 3 x y z 1 x2 y2 z2