Đề giao lưu các câu lạc bộ - Môn: Toán 8

Nội dung text: Đề giao lưu các câu lạc bộ - Môn: Toán 8

1. PHÒNG GD&ĐT QUẢNG XƯƠNG ĐỀ GIAO LƯU CÁC CÂU LẠC BỘ ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2019 – 2020 (Đề thi gồm 01 trang) Môn: Toán 8 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1. (4 điểm) x2 6 1 10 x2 Cho biểu thức A 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A . b) Tìm số nguyên x để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất. Câu 2. (4 điểm) a) Một nhóm gồm 41 bạn học sinh tổ chức đi dã ngoại, chi phí cho chuyến đi được chia đều cho tất cả mọi người. Sau khi hợp đồng xong, gần đến giờ lên đường thì có 4 bạn do có việc đột xuất không thể tham gia nên không đóng tiền. Vì vậy, mỗi bạn còn lại đóng thêm 20000đ để bù vào chỗ thiếu. Hãy tính tổng chi phí của chuyến đi. 2 b) Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm dương: 4 m x 1 Câu 3. (3 điểm) a) Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên x thì giá trị biểu thức sau luôn là một số chính phương: A x4 6x3 7x2 6x 1 3 3 3 b) Cho A n1 n2 nk và B n1 n2 nk (n1;n2 ; ;nk là các số nguyên). Chứng minh A chia hết cho 6 nếu B chia hết cho 6. Câu 4. (6 điểm) Cho ABC vuông cân tại A . Trên AB lấy M , kẻ BD vuông góc với CM , tia BD cắt đường thẳng CA ở E . a) Chứng minh: EB.ED EA.EC . b) Chứng minh: BD.BE CA.CE BC 2 và ·ADE không đổi khi M thay đổi vị trí trên AB . c) Gọi K là hình chiếu của M trên BC . Kẻ KI vuông góc với AB và KH vuông góc với AC . Tìm vị trí của điểm M để diện tích AIKH lớn nhất. Câu 5. (3 điểm) a) Mỗi cạnh của tam giác đều được chia thành n phần bằng nhau. Từ các điểm chia kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác thu được n2 các tam giác đều nhỏ không có điểm trong chung. Người ta xâu chuỗi các tam giác nhỏ theo cách không có tam giác nhỏ nào có mặt 2 lần trong chuỗi và mỗi tam giác tiếp theo trong chuỗi có chung cạnh với tam giác trước đó. Hỏi số lượng lớn nhất các tam giác nhỏ trong một chuỗi có thể là bao nhiêu? y2 2x 4 b) Cho các số dương x , y thỏa mãn: . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 4x2 12x 9 y 1
2. thức: Q xy 3y 2x 3 .  HẾT  HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ GIAO LƯU CÁC CÂU LẠC BỘ MÔN TOÁN 8 (2019 – 2020) x2 6 1 10 x2 Câu 1. Cho biểu thức A 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A . b) Tìm số nguyên x để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất. Lời giải a) ĐK: x { 2;0;2} x2 6 1 x2 4 10 x2 A : x(x 2)(x 2) 3(x 2) x 2 x 2 x 2 1 6 x 2(x 2) x 2 6 : : (x 2)(x 2) x 2 x 2 x 2 (x 2)(x 2) x 2 x 2x 4 x 2 x 2 6 x 2 1 1 . . . (x 2)(x 2) 6 (x 2)(x 2) 6 x 2 2 x 1 b) Ta có A . 2 x Để A đạt GTLN thì A 0 2 – x 0 . 1 Khi đó: max 2 x min . 2 x Ta có: x Z 2 x Z . Mà 2 x 0 . Nên 2 x 1 x 1 Vậy Amax 1 khi x 1 . Câu 2. a) Một nhóm gồm 41 học sinh tổ chức đi dã ngoại, chi phí cho chuyến đi được chia đều cho tất cả mọi người. Sau khi hợp đồng xong, gần đến giờ lên đường thì có 4 bạn do có việc đột xuất không thể tham gia nên không đóng tiền. Vì vậy, mỗi bạn còn lại đóng thêm 20000đ để bù vào chỗ thiếu. Hãy tính tổng chi phí của chuyến đi. 2 b) Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm dương: 4 m x 1 Lời giải a) Gọi số tiền mỗi học sinh phải đóng là x (nghìn đồng, x 0 ) Khi đó tổng chi phí của chuyến đi cho 41 học sinh là 41x (nghìn đồng) Vì sau đó chỉ có 37 học sinh tham gia và mỗi bạn phải đóng thêm 20000 nên tổng chi phí lúc đó là 37x 37.20 37x 740 (đồng) Như vậy ta có phương trình: 41x 37x 740 Giải phương trình thu được x 185 nghìn đồng Tổng chi phí của chuyến đi là 185000.41 6845000 đồng.
3. b) TH1: m 4 phương trình đã cho vô nghiệm 2 2 m 2 TH2: m 4 khi đó ta có: x 1 x 1 x 4 m 4 m 4 m m 2 m 2 Phương trình có nghiệm dương 0 0 * 4 m m 4 Khi đó : m 2 và m 4 trái dấu. m 4 0 m 4 Mà: m 4 m 2 nên * 2 m 4 . m 2 0 m 2 Vậy 2 m 4 . Câu 3. a) Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên x thì giá trị biểu thức sau luôn là một số chính phương A x4 6x3 7x2 6x 1 3 3 3 b) Cho A n1 n2 nk và B n1 n2 nk (n1;n2 ; ;nk là các số nguyên). Chứng minh A chia hết cho 6 nếu B chia hết cho 6. Lời giải a) Ta có: A x4 6x3 7x2 6x 1 x4 6x3 9x2 2x2 6x 1 2 x2 3x 2 x2 3x 1 2 x2 3x 1 . Suy ra với mọi số tự nhiên x thì giá trị biểu thức A luôn là một số chính phương. 3 3 3 b) Xét hiệu: A B n1 n2 nk n1 n2 nk 3 3 3 n1 n1 n2 n2 nk nk 2 2 2 n1. n1 1 n2. n2 1 nk . nk 1 n1. n1 1 . n1 1 n2. n2 1 . n2 1 nk . nk 1 . nk 1 . Mà n là số nguyên nên n . n 1 . n 1 là tích của 3 số nguyên liên tiếp. 1 1 1 1 Do đó: n . n 1 . n 1 chia hết cho 2 và 3 hay n . n 1 . n 1 6 1 1 1 1 1 1 Tương tự: n2. n2 1 . n2 1 6 nk . nk 1 . nk 1 6 Suy ra: (A B)6 Nếu B6 thì A6 (đpcm). Câu 4. Cho ABC vuông cân tại A . Trên AB lấy M , kẻ BD vuông góc với CM , tia BD cắt đường thẳng CA ở E . a) Chứng minh: EB.ED EA.EC .
4. b) Chứng minh: BD.BE CA.CE BC 2 và ·ADE không đổi khi M thay đổi vị trí trên AB . c) Gọi K là hình chiếu của M trên BC . Kẻ KI vuông góc với AB và KH vuông góc với AC . Tìm vị trí của điểm M để diện tích AIKH lớn nhất. Lời giải a) Xét EAB và EDC có: B · K BEA chung I E· AB E· DC 90 D M EAB ∽ EDC (g g) EA EB EA.EC EB.ED ED EC C E A H b) EBC có CD và BA là hai đường cao cắt nhau tại M nên M là trực tâm của EBC . EM  BC tại K . +) Xét BKE và BDC có: D· BC chung E· KB B· DC 90 BK BE Nên: BKE ∽ BDC (g g) BD.BE BK.BC 1 BD BC +) Xét CKE và CAB có: B· CE chung E· KC B· AC 90 CK CE Nên: CKE ∽ CAB (g g) CA.CE CK.CB 2 CA CB Từ 1 và 2 suy ra: B BD.BE CA.CE BK.BC CK.BC BC 2 K I · ED EA +) Xét EDA và ECB có: DEA chung; (vì D EC EB M ED.EB EA.EC ) EDA∽ ECB (c g c) ·ADE B· CE 45 không đổi. c) Ta có AIKH là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông) C E A H BKI vuông tại I có I·BK 45 nên là tam giác vuông cân tại I IK IB SAIKH AI.IK AI.BI Theo BĐT Cô–si ta có: AI IB 2 AI.IB
5. AB2 AB 2 AI.IB AI.IB không đổi 4 Dấu “=” xảy ra khi AI IB Mà IB IM ( BKM vuông cân tại K ) Suy ra : IA IM . Mặt khác M , A nằm cùng phía với I . M trùng với A Vậy M trùng A thì diện tích AIKH lớn nhất. Câu 5. a) Mỗi cạnh của tam giác đều được chia thành n phần bằng nhau. Từ các điểm chia kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác thu được n2 các tam giác đều nhỏ không có điểm trong chung. Người ta xâu chuỗi các tam giác nhỏ theo cách không có tam giác nhỏ nào có mặt 2 lần trong chuỗi và mỗi tam giác tiếp theo trong chuỗi có chung cạnh với tam giác trước đó. Hỏi số lượng lớn nhất các tam giác nhỏ trong một chuỗi có thể là bao nhiêu? y2 2x 4 b) Cho các số dương x , y thỏa mãn: . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 4x2 12x 9 y 1 thức: Q xy 3y 2x 3 Lời giải a) Nối các đỉnh tam giác có thể xâu liên tiếp nhau ta có đồ thị G như hình vẽ dưới. 3n. n 1 Số các đoạn nối là 3 6 9 3n 3 n 2 * 2 Yêu cầu bài toán trở thành ta vẽ một đường liền H đi qua các đỉnh của đồ thị G nối các đỉnh. Vì mỗi đỉnh chỉ có một đường đến và đi nên sẽ có một số đoạn nối ở các đỉnh bậc 3 (có 3 đoạn nối) không thuộc H . Ta có thể bỏ các đoạn nối này đi mà không ảnh hưởng đến H . n. n 1 Ta chứng minh cho số đoạn bỏ đi này không thể nhỏ hơn 1 n 1 n 2 1 2 Dễ thấy 1 đúng với n 2 .
6. Giả sử 1 đúng với n k ta chứng minh 1 đúng với n k 1 Thật vậy với n k 1 ta thêm vào so với hình n k một phần như hình vẽ bên dưới (phần đánh dấu trong hình chữ nhật). Khi đó ta có thêm 2k 3 các đỉnh bậc 3. Số đoạn bỏ đi ít nhất khi và chỉ khi đoạn đó nối hai đỉnh bậc 3 với nhau ta bỏ đi được k 2 đoạn này. Khi đó ở hàng dưới cùng ta phải bỏ đi ít nhất hai đoạn nữa (vì có hai đỉnh bậc 3 không nối với các đỉnh bậc 3 khác). Sau khi thực hiện bước này thì phần đồ thị hình n k không có đỉnh bậc 3 nào thừa so với hình giả thiết. k. k 1 Vậy số đoạn bỏ đi của phần này là 2 k. k 1 k. k 1 Suy ra tổng số đoạn phải bỏ đi là k ( dpcm) 2 2 3n. n 1 n. n 1 Từ * ; 1 đường liền H có tối đa n2 n đoạn. 2 2 Vậy H đi qua tối đa n2 n 1 đỉnh hay chuỗi các tam giác có tối đa n2 n 1 tam giác. Một ví dụ cho trường hợp n 4 . y2 2x 4 y2 2x 4 b) Ta có: 4x2 12x 9 y 1 (2x 3)2 y 1 Đặt a y ; b 2x 3 a 0;b 3 a2 b 1 Ta được: a3 a b3 b (a b)(a2 ab b2 a b) 0 1 b2 a 1 Vì a 0;b 3 nên a2 ab b2 a b 0 . Do đó : 1 a b . Suy ra: y 2x 3 . Nên : Q x(2x 3) 3(2x 3) 2x 3 2 2 2 5 5 121 Q 2x 5x 12 2(x x 6) 2 x . 2 4 16 2 5 121 121 Q 2 x . 4 8 8 5 11 Dấu " " xảy ra khi: x ; y (thỏa mãn). 4 2
7. 121 5 11 Vậy GTNN của Q là tại x ; y . 8 4 2  HẾT 