Đề cương ôn tập Học kì 1 môn Toán Lớp 11 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề cương ôn tập Học kì 1 môn Toán Lớp 11 (Có đáp án)

1. Đề ❶ ƠN TẬP KIỂM TRA HỌC KỲ 1 I. PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tìm tổng các nghiệm x [0;2 ) của phương trình 2sin2 x 2 3sin xcos x 4cos2 x 1. 5 A. . B. . C. 2 . D. . 3 3 Câu 2: Hàm số y sinx đồng biến trong khoảng nào sau đây? 5 7 3 3 5 A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . 4 4 4 4 4 4 4 4 Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường trịn C cĩ phương trình (x 1)2 (y 2)2 4. Phép đối xứng tâm I(3;4) biến C thành C ' cĩ phương trình nào sau đây? A. (x 7)2 (y 6)2 4. B. (x 8)2 (y 10)2 4. C. (x 5)2 (y 10)2 4. D. (x 2)2 (y 1)2 4. Câu 4: Hàm số y cos 2x tuần hồn với chu kỳ bằng A. . B. 2 . C. 4 . D. . 2 Câu 5: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 1 2m 2sin2 2x 0 cĩ nghiệm ? A. 3. B. Vơ số. C. 1. D. 2. Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường trịn C : x 1 2 y 2 2 9 . Phép tịnh tiến theo v 1; 2 biến đường trịn C thành đường trịn C cĩ tâm I và bán kính R . Khẳng định nào dưới đây đúng ? A. I 0; 4 và R 3 . B. I 2; 4 và R 3 . C. I 0;0 và R 3 . D. I 0;0 và R 9 . Câu 7: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm ? 2 A. cos x 2 . B. tan x 3. C. cot x 1. D. sin x . 3 Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm A 0;2 , B 2; 1 . Giả sử A , B lần lượt là ảnh của các điểm A , B qua phép đối xứng trục Ox . Độ dài đoạn thẳng A B là A. 11 . B. 12 . C. 13 . D. 10 . Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm M 3;1 . Biết rằng ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ u là điểm M 2; 3 . Tọa độ của vectơ u là A. u 1; 4 . B. u 1;4 . C. u 4; 1 . D. u 4;1 . x Câu 10: Giải phương trình sin 1 ta được nghiệm là 2 A. x k4 ,k ¢ . B. x k2 ,k ¢ . C. x k2 ,k ¢ . D. x k2 ,k ¢ . 2 Câu 11: Cho hai đường thẳng d : x 3y 8 0 và d : 2x 6y 5 0. Phép đối xứng tâm I 0;m biến đường thẳng d thành đường thẳng d . Khi đĩ, giá trị của tham số m là 1
2. 13 15 11 11 A. m . B. m . C. m . D. m . 12 4 4 12 Câu 12: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A. y x3 sin x . B. y x tan x . C. y x cot 2x . D. y x3 cos x . Câu 13: Phương trình 2cos2 x 5cos x 2 0 cĩ bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0; ? A. 3. B. 4 . C. 1. D. 2 . Câu 14: Điều kiện của tham số m để phương trình sin x mcos x 10 vơ nghiệm là m 3 m 3 A. . B. 3 m 3 . C. . D. 3 m 3 . m 3 m 3 Câu 15: Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y 5cos2 x 3sin 2x 3sin2 x lần lượt là 19 3 3 19 3 3 A. M và m . B. M 6 và m 4 . 2 2 C. M 11 và m 5 . D. M 8 và m 6 . Câu 16: Tìm tập xác định D của hàm số y tan x . 6 2   A. D ¡ \ k ,k ¢  . B. D ¡ \ k ,k ¢  . 3  2    C. D ¡ \ k ,k ¢  . D. D ¡ \ k ,k ¢  . 3  6  sin 4x Câu 17: Số nghiệm x 0;2 của phương trình 0 là: cos x 1 A. 5. B. 7 . C. 6 . D. 4 . Câu 18: Gọi x0 là nghiệm của phương trình sin x cos x 4sin 2x 1 thì sin2x0 bằng bao nhiêu? 7 A. 0 . B. 1. C. . D. 1. 12 Câu 19: Giá trị lớn nhất của hàm số y 3 2sin 3x bằng: A. 1. B. 5. C. 1. D. 3. 5x x Câu 20: Phương trình cos .cos x 1 sin 4x.sin 2x cĩ bao nhiêu nghiệm x  4 ;4  ? 2 2 A. 10. B. 13. C. 11. D. 12. Câu 21: Đồ thị hàm số nào dưới đây nhận trục tung làm trục đối xứng? A. y sin x cos x . B. y 2sin x . C. y 2sin x . D. y 2cos x . Câu 22: Cho tam giác đều ABC cĩ trọng tâm G . Phép quay nào sau đây biến tam giác ABC thành chính nĩ? 3 2 A. Phép quay tâm G gĩc quay . B. Phép quay tâm G gĩc quay . 2 3 5 C. Phép quay tâm G gĩc quay . D. Phép quay tâm G gĩc quay . 3 2 Câu 23: Hỏi cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên cĩ 4 chữ số sao cho trong mỗi số đĩ, chữ số hàng nghìn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị. A. 211. B. 126. C. 210 . D. 215 . Câu 24: Từ các chữ số 0,1,2,7,8,9 tạo được bao nhiêu số tự nhiên lẻ cĩ 5 chữ số đơi một khác nhau? A. 312 . B. 600 . C. 288 . D. 360 . 2
3. 2 Câu 25: Tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng 0;360 của phương trình sin x 45 bằng 2 A. 90 . B. 450. C. 540 . D. 180 . II. PHẦN TỰ LUẬN 3sin x 2cos x Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số y . sin 2x sin x 3 sin x cos x 1 Bài 2: Giải phương trình: 0 sin 2x Bài 3. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau cĩ nghiệm x ; ? 3 3 cos 2x 2sin x m 0. 3 3 Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho u 2; 1 và đường thẳng d : x 2y 3 0 . Viết phương trình đường thẳng d là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo u . Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD cĩ tâm trùng gốc tọa độ O . Biết B nằm trên đường trịn C : x2 y 3 2 1. Chứng minh rằng điểm D luơn nằm trên một đường trịn cố định và tính bán kính đường trịn đĩ. HẾT BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.C 7.A 8.C 9.A 10.A 11.D 12.D 13.C 14.D 15.B 16.C 17.B 18.A 19.B 20.B 21.D 22.B 23.B 24.C 25.B Câu 1: Tìm tổng các nghiệm x [0;2 ) của phương trình 2sin2 x 2 3sin xcos x 4cos2 x 1. 5 A. . B. . C. 2 . D. . 3 3 Lời giải Chọn A Ta thấy cosx=0 khơng là nghiệm của phương trình 2sin2 x 2 3 sin x cos x 4cos2 x 1 1 . 1 2sin2 x 2 3 sin x cos x 4cos2 x 1.(sin2 x cos2 x) sin2 x 2 3 sin x cos x 3cos2 x 0. Chia cả hai vế 1 cho cos2 x ta được: tan2 x 2 31tan x 3 0 tanx= 3 x k . 3 k 0 x 1 5 1 3 5 x [0;2 ) 0 k 2 k x x . 3 3 3 4 1 2 3 k 1 x 2 3 Câu 2: Hàm số y sinx đồng biến trong khoảng nào sau đây? 3
4. 5 7 3 3 5 A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . 4 4 4 4 4 4 4 4 Lờigiải ChọnB Hàm số y sin x đồng biến khi x thuộc gĩc phần tư thứ I và thứ IV, nghịch biến khi x thuộc gĩc phần tư thứ II và thứ III. Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường trịn C cĩ phương trình (x 1)2 (y 2)2 4. Phép đối xứng tâm I(3;4) biến C thành C ' cĩ phương trình nào sau đây? A. (x 7)2 (y 6)2 4. B. (x 8)2 (y 10)2 4. C. (x 5)2 (y 10)2 4. D. (x 2)2 (y 1)2 4. Lời giải Chọn C Ta cĩ C cĩ tâm J (1; 2), bán kính 2. Gọi C' là ảnh của C qua phép đối xứng tâm I(3;4). Ta cĩ I(3;4) là trung điểm của JJ ' (trong đĩ J ' là tâm của đường trịn C' ). Suy ra J '(5;10) , do đĩ 2 2 C' cĩ tâm J '(5;10) và bán kính 2 nên suy ra C' : (x 5) (y 10) 4. Câu 4: Hàm số y cos 2x tuần hồn với chu kỳ bằng A. . B. 2 . C. 4 . D. . 2 Lời giải Chọn D Câu 5: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 1 2m 2sin2 2x 0 cĩ nghiệm ? A. 3. B. Vơ số. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn C 1 2m Ta cĩ 1 2m 2sin2 2x 0 sin2 2x . 2 1 2m 1 1 Phương trình cĩ nghiệm 0 1 0 1 2m 2 m . 2 2 2 Do m ¢ nên chỉ cĩ một giá trị thỏa mãn. Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường trịn C : x 1 2 y 2 2 9 . Phép tịnh tiến theo v 1; 2 biến đường trịn C thành đường trịn C cĩ tâm I và bán kính R . Khẳng định nào dưới đây đúng ? A. I 0; 4 và R 3 . B. I 2; 4 và R 3 . C. I 0;0 và R 3 . D. I 0;0 và R 9 . Lời giải Chọn C Đường trịn C cĩ tâm I 1;2 và bán kính R 3. Qua phép tịnh tiến v 1; 2 , ta cĩ I 0;0 và R 3 . Câu 7: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm ? 2 A. cos x 2 . B. tan x 3. C. cot x 1. D. sin x . 3 Lời giải Chọn A 4
5. Do 1 cos x 1 với mọi x ¡ nên phương trình cos x 2 vơ nghiệm. Gọi H là trung điểm AB . Theo giả thiết, ta cĩ SH  AB . Do SAB  ABC nên SH  ABC . 2a . 3 Tam giác SAB đều, cạnh bằng 2a nên SH a 3 . 2 1 AB2 Tam giác ABC vuơng cân tại B nên S  AB  AC 2a2 . ABC 2 2 1 2a3 3 Vậy V  SH  S . S.ABC 3 ABC 3 Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm A 0;2 , B 2; 1 . Giả sử A , B lần lượt là ảnh của các điểm A , B qua phép đối xứng trục Ox . Độ dài đoạn thẳng A B là A. 11 . B. 12 . C. 13 . D. 10 . Lời giải Chọn C 2 2 Ta cĩ AB 2 0 1 2 13 . Phép đối xứng trục biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nĩ nên ta cĩ A B AB . Vậy A B 13 . Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm M 3;1 . Biết rằng ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ u là điểm M 2; 3 . Tọa độ của vectơ u là A. u 1; 4 . B. u 1;4 . C. u 4; 1 . D. u 4;1 . Lời giải Chọn A  Ta cĩ Tu M M MM u .  Vậy u MM 1; 4 . x Câu 10: Giải phương trình sin 1 ta được nghiệm là 2 A. x k4 ,k ¢ . B. x k2 ,k ¢ . C. x k2 ,k ¢ . D. x k2 ,k ¢ . 2 Lời giải Chọn A x x Ta cĩ sin 1 k2 x k4 . 2 2 2 5
6. x Vậy, phương trình sin 1 cĩ các nghiệm là x k4 ,k ¢ . 2 Câu 11: Cho hai đường thẳng d : x 3y 8 0 và d : 2x 6y 5 0. Phép đối xứng tâm I 0;m biến đường thẳng d thành đường thẳng d . Khi đĩ, giá trị của tham số m là 13 15 11 11 A. m . B. m . C. m . D. m . 12 4 4 12 Lời giải Chọn D Lấy điểm M 8;0 d . Gọi M x ; y là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I . Ta cĩ: x 2xI xM x 2.0 8 8 M 8;2m . y 2yI yM y 2.m 0 2m Vì M d nên M d . 11 2. 8 6.2m 5 0 m . 12 Câu 12: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A. y x3 sin x . B. y x tan x . C. y x cot 2x . D. y x3 cos x . Lời giải Chọn D Xét hàm số y f x x3 cos x . Tập xác định: D ¡ . x D x D . Ta cĩ: f x x 3 cos x x3 cos x f x . Vậy hàm số y f x x3 cos x là hàm số lẻ. Câu 13: Phương trình 2cos2 x 5cos x 2 0 cĩ bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0; ? A. 3. B. 4 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn C Ta cĩ: cos x 2 (vo ânghiệm) 1 2cos2 x 5cos x 2 0 1 cos x x k2 , k ¢ . cos x 2 3 2 Trên khoảng 0; phương trình cĩ một nghiệm x . 3 Câu 14: Điều kiện của tham số m để phương trình sin x mcos x 10 vơ nghiệm là m 3 m 3 A. . B. 3 m 3 . C. . D. 3 m 3 . m 3 m 3 Lời giải Chọn D 2 Phương trình vơ nghiệm a2 b2 c2 12 m 2 10 . m2 9 0 3 m 3. Câu 15: Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y 5cos2 x 3sin 2x 3sin2 x lần lượt là 6
7. 19 3 3 19 3 3 A. M và m . B. M 6 và m 4 . 2 2 C. M 11 và m 5 . D. M 8 và m 6 . Lời giải Chọn B Ta cĩ y 5cos2 x 3sin 2x 3sin2 x y 8cos2 x 3sin 2x 3 4 1 cos 2x 3sin 2x 3 4cos 2x 3sin 2x 1 4cos 2x 3sin 2x y 1. Hàm số cĩ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 4cos 2x 3sin 2x y 1 cĩ nghiệm 42 3 2 y 1 2 y2 2y 24 0 4 y 6 . Vậy M 6 và m 4 . Câu 16: Tìm tập xác định D của hàm số y tan x . 6 2   A. D ¡ \ k ,k ¢  . B. D ¡ \ k ,k ¢  . 3  2    C. D ¡ \ k ,k ¢  . D. D ¡ \ k ,k ¢  . 3  6  Lời giải Chọn C Điều kiện cos x 0 x k x k ,k ¢ . 6 6 2 3  Vậy tập xác định D ¡ \ k ,k ¢  . 3  sin 4x Câu 17: Số nghiệm x 0;2 của phương trình 0 là: cos x 1 A. 5. B. 7 . C. 6 . D. 4 . Lời giải Chọn B Điều kiện xác định cos x 1 x k2 . Phương trình tương đương sin 4x 0 4x m x m . 4 3 5 3  x 0;2 nên x 0, , , , , ,  . 4 2 4 4 2  Vậy số nghiệm thỏa mãn phương trình là 7 . Câu 18: Gọi x0 là nghiệm của phương trình sin x cos x 4sin 2x 1 thì sin2x0 bằng bao nhiêu? 7 A. 0 . B. 1. C. . D. 1. 12 Lời giải Chọn B Do x0 là nghiệm phương trình nên sin x0 cos x0 4sin 2x0 1 1 . Đặt t sin x0 cos x0 t 2 sin x0 khi đĩ 0 t 2 . 4 2 t 1 sin 2x0 . 7
8. t 1 Khi đĩ 1 trở thành t 4 1 t 2 1 4t 2 t 3 0 3 . t L 2 Khi t 1 sin2x0 0. Câu 19: Giá trị lớn nhất của hàm số y 3 2sin 3x bằng: A. 1. B. 5. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn B Ta cĩ 1 sin 3x 1 2 2sin 3x 2 1 3 2sin 3x 5 hay 1 y 5. 2 y 5 khi sin 3x 1 x k . 6 3 Vậy Maxy 5 . ¡ 5x x Câu 20: Phương trình cos .cos x 1 sin 4x.sin 2x cĩ bao nhiêu nghiệm x  4 ;4  ? 2 2 A. 10. B. 13. C. 11. D. 12. Lời giải Chọn B 5x x 1 1 1 1 cos .cos x 1 sin 4x.sin 2x cos3x cos 2x 1 cos 2x cos6x 2 2 2 2 2 2 3 cos3x cos6x cos3x 2 0 2cos2 3x cos3x 3 0 2 . cos3x 1 3  cos3x vơ nghiệm. 2 k2  cos3x 1 3x k2 x k ¢ . 3 k2 Với 4 x 4 4 4 6 k 6 . 3 Vì k ¢ và 6 k 6 nên k 6; 5; ;6 Vì cĩ 13 giá trị của tham số k nên phương trình đã cho cĩ 13 nghiệm. Câu 21: Đồ thị hàm số nào dưới đây nhận trục tung làm trục đối xứng? A. y sin x cos x . B. y 2sin x . C. y 2sin x . D. y 2cos x . Lời giải Chọn D Ta cĩ hàm số y 2cos x là hàm số chẵn nên cĩ đồ thị đối xứng qua trục tung. Câu 22: Cho tam giác đều ABC cĩ trọng tâm G . Phép quay nào sau đây biến tam giác ABC thành chính nĩ? 3 2 A. Phép quay tâm G gĩc quay . B. Phép quay tâm G gĩc quay . 2 3 5 C. Phép quay tâm G gĩc quay . D. Phép quay tâm G gĩc quay . 3 2 Lời giải Chọn B 8
9. Vì tam giác ABC đều cĩ G là trọng tâm nên G cũng là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC . Suy ra GA GB GC và OA, OB OB, OC OC, OA 120 . 2 Vậy phép quay tâm G gĩc quay biến tam giác ABC thành chính nĩ. 3 Câu 23: Hỏi cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên cĩ 4 chữ số sao cho trong mỗi số đĩ, chữ số hàng nghìn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị. A. 211. B. 126. C. 210 . D. 215 . Lời giải Chọn B Giả sử số cần lập cĩ dạng abcd . Theo đề bài ta cĩ 1 a b c d 9 . Do đĩ, cứ mỗi cách chọn 4 chữ số trong các chữ số từ 1 đến 9 cho ta 1 số thỏa mãn 4 Vậy, số các số cĩ thể lập là C9 126 . Câu 24: Từ các chữ số 0,1,2,7,8,9 tạo được bao nhiêu số tự nhiên lẻ cĩ 5 chữ số đơi một khác nhau? A. 312 . B. 600 . C. 288 . D. 360 . Lời giải Chọn C Giả sử số cần lập cĩ dạng abcde . Cĩ 3 cách chọn vị trị chữ số e. Cĩ 4 cách chọn vị trí chữ số a. 3 Cĩ A4 24 cách chọn 3 chữ số cịn lại. Vậy cĩ 3.4.24 288 số thỏa mãn. 2 Câu 25: Tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng 0;360 của phương trình sin x 45 bằng 2 A. 90 . B. 450. C. 540 . D. 180 . Lời giải Chọn B 2 x 45 45 k360 sin x 45 sin x 45 sin 45 2 x 45 225 k360 x 90 k360 x 180 k360 Suy ra trong khoảng 0;360 cĩ hai nghiệm thỏa mãn là x 180 và x 270 . Vậy tổng các nghiệm thỏa mãn là 180 270 450 . II. PHẦN TỰ LUẬN 9
10. 3sin x 2cos x Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số y . sin 2x sin x Lời giải Hàm số xác định khi sin x 0 x k sin 2x sin x 0 sin x 2cos x 1 0 1 2 k ¢ . cos x x k2 2 3 2  Vậy tập xác định của hàm số là D ¡ \ k , k2 | k ¢ . 3  3 sin x cos x 1 Bài 2: Giải phương trình: 0 sin 2x Lời giải k Điều kiện: sin 2x 0 2x k x , k ¢ . 2 3 sin x cos x 1 Với điều kiện trên, phương trình 0 3 sin x cos x 1 0 sin 2x 3 1 1 1 sin x cos x sin x.cos cos x.sin 2 2 2 6 6 2 x k2 6 6 x k2 sin x sin 3 , k ¢ . 6 6 5 x k2 x k2 6 6 Kết hợp điều kiện, suy ra phương trình cĩ nghiệm x k2 , k ¢ . 3 Bài 3. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau cĩ nghiệm x ; ? 3 3 cos 2x 2sin x m 0. 3 3 Lời giải cos 2x 2sin x m 0 cos 2 x 2cos x m 0 3 3 6 6 2 2cos x 2cos x m 1 0 . 6 6 3 Đặt t cos x , x ; t 0; . 6 3 3 2 Ta được phương trình: 2t 2 2t m 1 0 m 2t 2 2t 1. 2 1 3 Xét f t 2t 2t 1 là Parabol (P) cĩ đỉnh là I ; . 2 2 Bảng biến thiên: a 2 0 10
11. 3 Dựa vào bảng biến thiên ta được m ; 1 . 2 Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho u 2; 1 và đường thẳng d : x 2y 3 0 . Viết phương trình đường thẳng d là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo u . Lời giải Gọi M x ; y d là ảnh của M x; y d qua phép tịnh tiến theo u . x x 2 x x 2 Khi đĩ . y y 1 y y 1 Thay x, y vào d : x 2y 3 0 , ta được: x 2 2 y 1 3 0 x 2y 1 0 . Vậy M x ; y d : x 2y 1 0. Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD cĩ tâm trùng gốc tọa độ O . Biết B nằm trên đường trịn C : x2 y 3 2 1. Chứng minh rằng điểm D luơn nằm trên một đường trịn cố định và tính bán kính đường trịn đĩ. Lời giải Đường trịn C cĩ tâm I 0 ; 3 bán kính R 1. Vì gốc tọa độ O là tâm hình bình hành ABCD nên O là trung điểm BD. Do đĩ qua phép đối xứng tâm O điểm B biến thành điểm D . Mà B C nên D C (với C ' là ảnh của đường trịn C qua phép đối xứng tâm O ). Theo tính chất của phép đối xứng tâm thì C cĩ bán kính R R 1. Vậy điểm D luơn nằm trên một đường trịn C (với C ' là ảnh của đường trịn C qua phép đối xứng tâm O ) cố định và bán kính R 1. 11