Đề cương ôn tập cả năm môn Toán Lớp 8

Nội dung text: Đề cương ôn tập cả năm môn Toán Lớp 8

1. ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 CẢ NĂM CHƯƠNG 1: TỨ GIÁC BÀI 1. TỨ GIÁC LÝ THUYẾT Mọi tam giác có tổng các góc trong bằng 1800. Còn tứ giác thì sao? B A A A A B D C B A C D B C D C D B C D (H.1) (H.2) (H.3) (H.4) (H.5) Mỗi hình trên đây đều gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA nhưng chỉ có H.1, H.3, H.5 là tứ giác. Em hãy thử định nghĩa tứ giác ABCD 1. Định nghĩa Tứ giác ABCD là hình gồm AB, BC, CD, DA, trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không * Lưu ý * Còn có thể gọi tên tứ giác ABCD và ADCB, BCDA, * Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh của tứ giác ABCD * Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA gọi là các cạnh của tứ giác ABCD Hãy áp lề thước thẳng lần lượt trùng với các cạnh của tứ giác ABCD trong các hình 1, 3, 5. Tứ giác nào luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác? Tứ giác như vậy gọi là tứ giác lồi Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng bất kỳ cạnh nào của tứ giác * Chú ý Từ nay khi nói đến tứ giác mà không ghi chú gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi 1. Quan sát hình sau, điền vào chỗ trống và thử định nghĩa: B A E P N Q F D C a) P nằm ngoài tứ giác, điểm ngoài tứ giác ABCD; P, Điểm thuộc tứ giác ABCD: A, F nằm trong tứ giác, điểm trong của tứ giác ABCD: F, b) Hai đỉnh kề nhau: A và B, Trong một tứ giác, hai đỉnh kề nhau là 2 đỉnh Hai đỉnh đối nhau: A và C, Trong một tứ giác, hai đỉnh đối nhau là 2 đỉnh c) Hai cạnh kề nhau: AB và BC, Trong một tứ giác, hai cạnh đối nhau là 2 cạnh
2. Hai cạnh đối nhau: AB và CD, Trong một tứ giác, hai cạnh đối nhau là hai cạnh d) Đường chéo: đoạn thẳng AC, Trong một tứ giác, đường chéo là đoạn thẳng e) Hai góc kề nhau: Aˆ và Bˆ , Trong một tứ giác, hai góc kề nhau là hai góc Hai góc đối nhau: Aˆ và Cˆ , Trong một tứ giác, hai góc đối nhau là hai góc 2. Tổng các góc của một tứ giác Dựa vào định lý về tổng ba góc của một tam giác, hãy tính tổng Aˆ Bˆ Cˆ Dˆ B C A D Định lý: Tổng các góc trong của một tứ giác bằng BÀI TẬP Bài 1. a) Tính các góc của tứ giác ABCD b) Góc kề bù với một góc của tứ giác gọi là góc ngoài của tứ giác. Tính tổng 4 góc ngoài tại 4 đỉnh của tứ giác ABCD Bài 2. Tứ giác ABCD có Aˆ 600 ;Bˆ 900 . Tính góc C, góc D và góc ngoài của tứ giác tại đỉnh C nếu: 3 a) Cˆ Dˆ 200 b) Cˆ Dˆ 4 Bài 3. Cho tứ giác MNPQ CÓ MN = MQ, PN = PQ, Pˆ 900 , Mˆ 520 . Chứng minh MP  NQ và tính góc ngoài tại đỉnh Q Bài 4. Tứ giác ABCD không có hai góc nào bằng nhau. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất một góc nhọn, một góc tù Bài 5. Cho tứ giác ABCD có AB = AD; Bˆ 900 ;Dˆ 1350 ; góc ngoài tại đỉnh A bằng 1200 a) Chứng minh rằng: BD = BC b) Kẻ AE  CD tại E. Tính DAˆ E Bài 6. Cho tứ giác ABCD có góc Aˆ Cˆ 900 , tia phân giác của góc B cắt đường thẳng AD ở E; tia phân giác của góc D cắt đường thẳng BC ở F. Chứng minh rằng: BE // DF Bài 7. Cho tứ giác ABCD có M là một điểm nằm trong tứ giác. Xác định vị trí của M để tổng MA MB MC MD nhỏ nhất Bài 8. Tứ giác ABCD có đường chéo AC và cạnh AD có độ dài bằng nhau. Chứng minh rằng: BC < BD Bài 9. a) Chứng minh rằng độ dài một cạnh của tứ giác nhỏ hơn tổng độ dài 3 cạnh còn lại của tứ giác b) Chứng minh rằng tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác: i) Lớn hơn tổng độ dài hai cạnh đối ii) Lớn hơn nửa chu vi tứ giác iii) Nhỏ hơn chu vi tứ giác Bài 10. Cho tứ giác ABCD có AB = BC, Aˆ Cˆ 1800 . Chứng minh DB là phân giác của ADˆ C
3. Bài 11. Cho tứ giác ABCD. Các phân giác trong của các góc A và B cắt nhau ở I, các phân giác của các góc ngoài tại đỉnh A và đỉnh B cắt nhau ở J. Chứng minh: Cˆ Dˆ Aˆ Bˆ a) AˆIB b) AJˆB 2 2 BÀI 2. HÌNH THANG LÝ THUYẾT Theo em, tại sao người ta lại gọi là “hình thang” (cũng như sau này em sẽ học hình “chữ nhật”. Tại sao lại là “chữ nhật”) 1. Định nghĩa Hình thang là tứ giác (lồi) có hai cạnh song song Trong hình thang ABCD: AB // CD * Các cạnh đáy: AB và * Các cạnh bên: AD và (nếu AB < CD người ta gọi AB là đáy nhỏ, CD là đáy lớn) * Các góc kề đáy AB là * Các đoạn thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với đường thẳng chứa cạnh đáy đối diện gọi là các đường cao. Trong hình, các đoạn AH, BK là các đường cao a) Trong các hình dưới đây, tìm các tứ giác là hình thang: N E F M A B 600 1000 600 Q 760 D C H G P Có nhận xét gì về hai góc kề một cạnh bên của hình thang? Hai góc kề một cạnh bên của hình thang thì . b) Hãy chứng minh các tính chất sau: Cho hình thang ABCD, đáy AB và CD: A B D C i) Nếu AD//BC thì AD = BC, AB = CD ii) Nếu AB = CD thì AD//BC và AD = BC Chứng minh: . . . . .
4. . . . . . . . Vậy: * Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau * Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau 2. Hình thang vuông M N 1400 400 Q MN // QP P Trong các hình thang cho ở trên, ngoại trừ MNPQ, các hình thang còn lại đều là hình thang vuông. Em hãy thử định nghĩa: Hình thang vuông là hình thang BÀI TẬP Bài 12. Cho tứ giác ABCD có Bˆ Cˆ 900 a) Tứ giác ABCD là hình gì? b) Tính số đo các góc Aˆ và Dˆ , biết Aˆ 8x 60 ,Dˆ 3x 90 Bài 13. Cho ∆ABC. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC. Tứ giác BECD là hình gì? Chứng minh Bài 14. Cho tứ giác ABCD có AB = BC và AC tia phân giác của góc A. Tứ giác ABCD là hình gì? Chứng minh Bài 15. Cho ∆ABC vuông cân tại A. Ở phía ngoài ∆ABC và ∆BCD vuông cân tại B. Tứ giác ABDC là hình gì? Chứng minh ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 Bài 16. Cho tứ giác ABCD có D 2x 9 ,A 8x 9 và góc ngoài tại đỉnh A là A1 3x 9 a) Tứ giác ABCD là hình gì? Chứng minh b) Phân giác của góc Bˆ và góc Cˆ cắt nhau ở I. Cho biết góc B lớn hơn góc C 320. Tính các góc của ∆BIC Bài 17. Cho ∆ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt các cạnh AB và AC ở D và E a) Tìm các hình thang có trong hình (giải thích) b) Chứng minh rằng hình thang BDEC có một cạnh đáy bằng tổng hai cạnh bên Bài 18. Cho tứ giác EFGH và cho biết: Eˆ 6x 40 ,Hˆ 3x 220 ,Gˆ 5x 140 ,Fˆ 5x 140 a) Tứ giác EFGH là hình gì? Chứng minh b) Từ F kẻ đường thẳng song song với EH, cắt GH tại I. Chứng minh EF = HI, EH = FG và EG = HF
5. Bài 19. Cho hình thang ABCD, có đáy AB = 4cm, CD = 8cm, BC = 5cm, AD = 3cm. Chứng minh ABCD là hình thang vuông Bài 20. Chứng minh rằng: a) Tổng hai cạnh bên của hình thang lớn hơn hiệu hai đáy b) Hiệu hai cạnh bên của hình thang bé hơn hiệu hai đáy Bài 21. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có M là trung điểm của BC và AMˆ D 900 . Chứng minh DM là phân giác của ADˆ C Bài 22. Cho hình thang ABCD (AB // CD) a) Phân giác của góc A và góc D cắt nhau tại điểm I trên cạnh BC. Chứng minh AD = AB + CD b) Đảo lại, cho AD = AB + CD. Chứng minh phân giác của góc A và góc D cắt nhau tại điểm I trên cạnh BC BÀI 3. HÌNH THANG CÂN LÝ THUYẾT B E F I J A M N (2) (4) (5) (1) (3) Q P L K C H G D AB//CD MN//PQ EF//HG IJ//KL Trong 5 hình thang trên, chỉ có các hình thang số 1, số 2 và số 5 là hình thang cân. Vậy hình thang như thế nào là hình thang cân? I. Định nghĩa Hình thang cân là hình thang AB//CD * Tứ giác ABCD là hình thang cân ˆ ˆ ˆ ˆ C D;A B 1. a) Tìm các hình thang cân trong hình dưới đây: F M A B 750 E 1160 P 800 800 1050 740 0 100 0 G 75 N 740 D C H Q Các hình thang cân trong hình là b) Tính và điền số đo các góc còn lại vào các hình thang cân ấy c) Có nhận xét gì về các góc đối của hình thang cân: Các góc đối của một hình thang cân thì II. Tính chất Quan sát và dự đoán tính chất của 2 cạnh bên và 2 đường chéo từ 2 trường hợp hình thang cân sau:
6. A B E F D C H G (2 cạnh bên AD, BC (2 cạnh bên EH, FG song song với nhau) không song song với nhau) Trong hình thang cân, hai cạnh bên hai đường chéo * ABCD là hình thang cân (AB//CD) AD = BC (cạnh bên) và AC = BD (đường chéo) 2) Em hãy chứng minh các tính chất trên III. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân Cho biết AB//CD, AD//BC A B D C a) ABCD có phải là hình thang không? (phải/không phải?) b) Có nhận xét gì về 2 cạnh bên? * Nếu đáy là AB, CD: . = * Nếu đáy là AD; BC: . = c) ABCD có là hình thang cân không? Vì sao? . 4) E F E F H G H G EF//GH, EG = FH AB//CD, AC = BD Các hình thang ABCD, EFGH có gì đặc biệt? Dấu hiệu nhận biết hình thang cân: * Hình thang có là hình thang cân * Hình thang có là hình thang cân BÀI TẬP Bài 23. Cho hình thang ABCD cân có AB//CD và AB < CD. Kẻ các đường cao AE, BF a) Chứng minh DE = CF b) Gọi I là giao điểm của 2 đường chéo hình thang ABCD. Chứng minh: IA = IB c) Tia DA và tia CB cắt nhau tại O. Chứng minh OI vừa là trung trực của AB vừa là trung trực của DC
7. d) Tính các góc của hình thang ABCD nếu biết ABˆ C ADˆ C 800 Bài 24. Cho ∆MNK cân tại M có đường phân giác MH. Gọi I là một điểm nằm giữa M và H. Tia KI cắt MN tại A, tia NI cắt MK tại B a) Chứng minh ABKN là hình thang cân b) Chứng minh MI vừa là đường trung trực của AB vừa là đường trung trực của KN Bài 25. Cho ∆ABC cân tại A (Aˆ 400 ) có BM, CN là hai đường phân giác của ∆ABC a) Chứng minh BCMN là hình thang cân b) BE, CF là hai đường cao của ∆ABC. Chứng minh EMNF là hình thang cân c) Chứng minh: MC + NB CD) có: Aˆ Bˆ Cˆ Dˆ và AC  BC 2 a) Chứng minh AC là phân giác của góc DAB b) Cho biết CD = a. Tính chu vi và diện tích của hình thang theo a Bài 31. Tứ giác ABCD có Aˆ Bˆ ,BC AD a) Chứng minh ABCD là hình thang cân b) Cho biết AC  BD và đường cao AH = 4cm. Tính AB + CD Bài 32. a) Tứ giác ABCD có AB = CD, AC = BD. Chứng minh ABCD là hình thang cân b) Tứ giác ABCD có AD = AB = BC và Aˆ Cˆ 1800 . Chứng minh ABCD là hình thang cân Bài 33. Trên đoạn thẳng AE lấy điểm C (CA > CE). Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AE, vẽ các tam giác đều ABC, CDE. Gọi M, N, I, K theo thứ tự là trung điểm của BC, BE, DC, DA a) Chứng minh ∆KCN đều b) Chứng minh MK//AB và BD = 2KN Bài 34. Cho hình thang ABCD (BC//AD) có Aˆ Dˆ . Chứng minh BD < AC BÀI 4. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG LÝ THUYẾT I. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC Trong hình vẽ sau, người ta gọi các đoạn thẳng MN, NP, PM là đường trung bình của ∆ABC. Em hãy thử định nghĩa đường trung bình của một tam giác
8. A M N B C 1. Định nghĩa Đường trung bình của tam giác là Quan sát hình vẽ trên và cho nhận xét MN BC và MN = BC; MP AC và MP = AC; NP AB và NP = AB 2. Định lý Ta chứng minh được các định lý sau: * Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba * Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy BC (MN//BC và MN ) 2 II. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG A A D M N M N B C B C E (H.1) (H.2) Cho ∆ABC (H.1). Đoạn MN gọi là của ∆ABC Bây giờ ta kéo đều đoạn AC theo “hướng song song với BC” và ta có (H.2). Thử dự đoán và điền vào chỗ trống: * ABED là hình cạnh bên là * Đoạn thẳng MN gọi là của hình 1. Định nghĩa Đường trung bình của hình thang là Dựa vào sự quan hệ giữa đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang, em hãy thử điền vào các định lý về đường trung bình của hình thang sau: 2. Định lý * Đường thẳng đi qua trung điểm . của . và . thì đi qua . . * Đường trung bình của hình thang thì . . . . AD BE (MN//AD//BE và MN ) 2 BÀI TẬP A. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC
9. Bài 35. Cho ∆ABC có đường cao AH. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC, HC. Vẽ DK  BC tại K. Chứng minh tứ giác DEFK có: DE//KF, DK//EF, DK = EF, DE = KF, DF = EK Bài 36. Cho ∆ABC có AB < AC, AH là đường cao. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC a) Chứng minh MNKH là hình thang cân b) Trên tia AH và AK lần lượt lấy điểm E và D sao cho H là trung điểm của AE và K là trung điểm của AD. Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân Bài 37. Cho ∆ABC có Aˆ 900 . Bên ngoài ∆ABC, vẽ ∆ABD và ∆ACE vuông cân tại A a) Chứng minh CD = BE b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BD, CE, BC. Chứng minh ∆MNP là tam giác vuông cân Bài 38. Cho ∆ABC có trung tuyến AM, I là một điểm thuộc đoạn thẳng AM, BI cắt AC ở D 1 a) Nếu AD DC . Khi đó hãy chứng minh I là trung điểm của AM 2 1 1 b) Nếu I là trung điểm của AM. Khi đó hãy chứng minh AD DC và ID BD 2 4 1 c) Nếu AD DC . Khi đó trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AB = 3AE. Chứng minh BD, CE, AM đồng 2 qui Bài 39. Cho ∆MNP. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh NP, PM, MN. Gọi O là giao điểm của MD và EF a) Chứng minh O là trung điểm của MD và EF b) Cho chu vi ∆DEF là 12cm. Tính chu vi ∆MNP c) Gọi I là trung điểm của MF, IE cắt đường thẳng NP tại K. Chứng minh PD = PK Bài 40. Cho ∆ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm D và trên tia đối của tia CA lấy điểm E, sao cho BD = CE. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh B, M, C thẳng hàng Bài 41. Cho hình thang ABCD, có AB//CD và AB < CD. Gọi M là giao điểm của AD và BC. Gọi H, E, F, G lần lượt là trung điểm của AM, BM, AC, BD. Chứng minh HEFG là hình thang Bài 42. Dùng tính chất đường trung bình của tam giác chứng minh trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền Bài 43. Cho ∆ABC có D là trung điểm của AB. Trên cạnh BC lấy 2 điểm E, F sao cho BE = EF = FC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm H sao cho BH = BD. Chứng minh CD, HE, AF đồng qui Bài 44. Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC) có Ax là tia phân giác của góc A. Vẽ BD vuông góc với Ax tại D và CE vuông góc với Ax tại E. Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của ∆DME Bài 45. Cho ∆ABC có BD và CE lần lượt là tia phân giác của góc B và góc C (D AC, E AB), BD và CE cắt nhau tại I. Gọi S là trung điểm của BC và cho biết BˆIS 900 ,BI 2IS ID CD a) Chứng minh ∆ABC vuông b) Chứng minh IB CB Bài 46. a) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AC, BD và I là trung điểm của MN, AI cắt CN tại G. Chứng minh G là trọng tâm của ∆BCD b) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AD, BC và I là trung điểm của MN. Gọi G là trọng tâm của ∆BCD. Chứng minh A, I, G thẳng hàng