Đề chọn học sinh giỏi lớp 8 - Môn: Toán

Nội dung text: Đề chọn học sinh giỏi lớp 8 - Môn: Toán

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LẬP THẠCH ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Câu 1: ( 2,5 điểm) 2 a) Chứng minh rằng: A n3 n2 7 36n M7 n ¢ b) Cho P n4 4 . Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố. Câu 2: (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên a thỏa mãn 20202020 1 chia hết a3 2021a b) Cho đa thức F x x3 ax b với a,b R . Biết đa thức F x chia cho x 2 thì dư 12, F x chia cho x 1 dư 6 . Tính giá trị của biểu thức: B 6a 3b 11 26 5a 5b Câu 3: (1.5 điểm) Cho các số a,b,c,d nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn: 2a b 2b c 2c d 2d a 6 a b b c c d d a Chứng minh A abcd là số chính phương. Câu 4: (2 điểm) Chứng minh rằng a b c b c a 2 c a b a b c 2 b a c a c b 2 . Câu 5: (2 điểm) x y 2 x y Cho x y 1, xy 0 . Tính P . y3 1 x3 1 x2 y2 3 y 2y2 4y4 8y8 x Câu 6: (1,5 điểm) Cho x y và 2020 . Tính tỉ số ?. x y x2 y2 x4 y4 x8 y8 y Câu 7: (2 điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Câu 8: (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B xy(x 2)(y 6) 12x2 24x 3y2 8y 2050 . Câu 9: (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD , M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD . Kẻ ME  AB, MF  AD a) Chứng minh DE CF . b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF,CM đồng quy.
2. c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 10: (1 điểm) Cho 1 lưới ô vuông có kích thước 5x5. Người ta điền vào mỗiô của lưới 1 trong các số -1, 0, 1. Xét tổng các số theo từng cột, theo từng hàng và theo từng hàng chéo. Chứng minh rằng trong tất cả các tổng luôn tồn tại 2 tổng có giá trị bằng nhau. HẾT
3. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 8 HUYỆN LẬP THẠCH Năm học: 2020-2021 Câu 1: ( 2,5 điểm) 2 a) Chứng minh rằng: A n3 n2 7 36n M7 n ¢ b) Cho P n4 4 . Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố. Lời giải 2 2 2 a) A n3 n2 7 36n n n2 n2 7 62 n n3 7n 62 A n n3 7n 6 n3 7n 6 n n 2 n 1 n 3 n 1 n 3 n 2 Tích của 7 số liên tiếp nên AM7 b) Cho P n4 4 . Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố. Nếu n 1 P 1 4 5 là số nguyên tố ( thỏa mãn) n 5 P 54 4 629 không phải là số nguyên tố ( loại) Nếu n 5,n 1 thì n có dạng: n 5k 1 k 1 n 5k 1 P 5k 4 4. 5k 3 6. 5k 2 4. 5k 1 4 P n4 4 5k 1 4 4 5k 4 4. 5k 3 6 5k 2 4.5k 5 P không phải số nguyên tố do các thừa số đều chia hết cho 5 nên P chia hết cho 5 n 5k 2 P 5k 4 4. 5k 3 .2 6. 5k 2 .22 4. 5k .23 24 4 4 3 2 P 5k 4. 5k .2 6. 5k .22 4. 5k .23 20 P không phải số nguyên tố do các thừa số đều chia hết cho 5 nên P chia hết cho 5 n 5k 3 P 5k 4 4. 5k 3 .3 6. 5k 2 .32 4. 5k .33 34 4 P n4 4 5k 3 4 4 5k 4 4. 5k 3 .3 6 5k 2 .32 4.5k.33 85 P không phải số nguyên tố do các thừa số đều chia hết cho 5 nên P chia hết cho 5 n 5k 4 P 5k 4 4. 5k 3 .4 6. 5k 2 .42 4. 5k .43 44 4 P 5k 4 4. 5k 3 .4 6. 5k 2 .42 4. 5k .43 260
4. P không phải số nguyên tố do các thừa số đều chia hết cho 5 nên P chia hết cho 5 Vậy n 1 Câu 2: (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên a thỏa mãn 20202020 1 chia hết a3 2021a b) Cho đa thức F x x3 ax b với a,b R . Biết đa thức F x chia cho x 2 thì dư 12, F x chia cho x 1 dư 6 . Tính giá trị của biểu thức: B 6a 3b 11 26 5a 5b Lời giải a) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên a thỏa mãn 20202020 1 chia hết a3 2021a Nếu a chẵn: Có a3 2021a a a2 2021 20202020 1 Ma Mà 20202020 1 là số lẻ vô lý. +Nếu a lẻ Có a3 2021a a a2 2021 20202020 1 M a2 2021 Mà a2 2021 là số chẵn vô lý. Vậy không tồn tại số nguyên a b) Cho đa thức F x x3 ax b với a,b R . Biết đa thức F x chia cho x 2 thì dư 12. F x chia cho x 1 dư 6 . Tính giá trị của biểu thức: B 6a 3b 11 26 5a 5b x3 ax b x 2 x2 2x a 4 b 2 a 4 x3 ax b x 1 x2 x a 1 b a 1 b 2 a 4 12 a b 5 a 3 b a 1 6 2a b 4 b 2 B 6a 3b 11 26 5a 5b 6.3 3.2 11 26 5.3 5.2 1. Vậy B 1 . Câu 3: (1.5 điểm) Cho các số a,b,c,d nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn: 2a b 2b c 2c d 2d a 6 a b b c c d d a Chứng minh A abcd là số chính phương. Lời giải
5. 2a b 2b c 2c d 2d a 6 a b b c c d d a a b c d 2 a b b c c d d a a b c d 1 1 0 a b b c c d d a b c a d a c 0 a b b c c d d a b c a c d d a d c a a b b c 0 b c d d a d a b b c 0 (do a c) bca bd 2 db2 adc 0 b d ac bd 0 ac bd abcd bd 2 Vậy A abcd là số chính phương. Câu 4: (2 điểm) Chứng minh rằng a b c b c a 2 c a b a b c 2 b a c a c b 2 . Lời giải Xét a b c b c a 2 c a b a b c 2 b a c a c b 2 ab b c a 2 ac b c a 2 ac a b c 2 bc a b c 2 ab a c b 2 bc a c b 2 ab b c a 2 a c b 2 ac a b c 2 b c a 2 bc a c b 2 a b c 2 4abc b a 4abc a c 4abc c b 0 Câu 5: (2 điểm) x y 2 x y Cho x y 1, xy 0 . Tính P . y3 1 x3 1 x2 y2 3 Lời giải Từ giả thiết ta có y 1 x; x 1 y . Khi đó x x x 1 y3 1 y 1 y2 y 1 x y2 y 1 y2 y 1 y y y 1 x3 1 x 1 x2 x 1 y x2 x 1 x2 x 1 Hơn nữa, kết hợp giả thiết x y 1 ta có y2 y 1 x2 x 1 x2 y2 xy2 y2 x2 y xy y x2 x 1 2 2 2 2 x y xy x y x y xy x y 1
6. x2 y2 x y 2 x y 1 x2 y2 3 1 1 2 x y Khi đó P y2 y 1 x2 x 1 y2 y 1 x2 x 1 x2 x 1 y2 y 1 2x 2y y2 y 1 x2 x 1 y2 x2 x y y x y x x y y x x y 0 0 y2 y 1 x2 x 1 y2 y 1 x2 x 1 y2 y 1 x2 x 1 y2 y 1 x2 x 1 Vậy P 0. y 2y2 4y4 8y8 x Câu 6: (1,5 điểm) Cho x y và 2020 . Tính tỉ số ? x y x2 y2 x4 y4 x8 y8 y Lời giải Xét y 0 không thoả mãn giả thiết. Vậy y 0 y 2y2 4y4 8y8 Ta có 2020 x y x2 y2 x4 y4 x8 y8 y 2y2 4y4 8y8 2 2 4 4 8 8 2020 x y x y x y x y 4 4 4 8 y 2y2 4y x y 8y 2020 x y x2 y2 4 4 4 4 x y x y 4 4 4 y 2y2 4y x y 2020 x y x2 y2 x4 y4 x4 y4 y 2y2 4y4 2020 x y x2 y2 x4 y4 y 2y2 4y4 2 2 4 4 2020 x y x y x y 2 2 2 4 y 2y x y 4y 2020 x y x2 y2 x2 y2 y 2y2 2020 x y x2 y2 y x y 2y2 2020 x y x y xy y2 2020 x y x y y 2020 x y
7. x y 2020 y x 1 2020 y x 1 2021 1 y 2020 2020 x 2021 Vậy . y 2020 Câu 7: (2 điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Lời giải Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z trong đó cạnh huyền là z (x, y, z là các số nguyên dương). Ta có xy 2 x y z 1 và x2 y2 z2 2 2 Từ 2 suy ra z2 x y 2xy , thay 1 vào ta có z2 x y 2 4 x y z z2 4z x y 2 4 x y z2 4z 4 x y 2 4 x y 4 z 2 2 x y 2 2 z 2 x y 2 (do z 2 3 , x 1, y 1 x y 2 0 ). z x y 4 , thay vào 1 ta được xy 2 x y x y 4 xy 4x 4y 8 x 4 y 4 8 1.8 2.4 Từ đó tìm được các giá trị của x, y, z là x 5, y 12, z 13 ; x 12, y 5, z 13 ; x 6, y 8, z 10 ; x 8; y 6; z 10 . Câu 8: (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B xy(x 2)(y 6) 12x2 24x 3y2 18y 2050 . Lời giải Ta có:
8. B xy(x 2)(y 6) 12x2 24x 3y2 18y 2050 B x2 y 2xy y 6 12x2 24x 3y2 18y 2050 B x2 y2 6x2 y 2xy2 12xy 12x2 24x 3y2 18y 2050 B x2 y2 2xy2 y2 6x2 y 12xy 6y 12x2 24x 12 2y2 12y 18 2020 B y2. x 1 2 6y. x 1 2 12 x 1 2 2 y 3 2 2020 B x 1 2 y2 6y 12 2 y 3 2 2020 B x 1 2 y 3 2 3 2 y 3 2 2020 Vì x 1 2 0  2 y 3 0  B 2020 y 3 2 3 3  Dấu ‘=” xảy ra khi x 1 ; y 3 . Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 2020 khi x 1 ; y 3 . Câu 9: (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD , M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD . Kẻ ME  AB, MF  AD a) Chứng minh DE CF . b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF,CM đồng quy. c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Lời giải a) Chứng minh DE CF . Ta có ADE DCF (c.g.c) DE CF . b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF,CM đồng quy. Gọi giao điểm của ME, MF,CM với DC,CB, EF lần lượt là K, I, H Có EMF CMK (c.g.c) M· EF M· CK
9. M· EF H· ME M· CK H· ME M· CK K· MC 90 CM  EF Có ADE DCF A· DE D· CF A· DE D· FC D· CF D· FC 90 DE  CF Chứng minh tương tự ta có BF  CE Vậy DE, BF,CM đồng quy. c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Gọi độ dài cạnh hình vuông là a và độ dài ME là x 2 x a x a2 Ta có S x a x AEMF 4 4 a2 a Vậy diện tích AEMF lớn nhất là khi x hay M là trung điểm của BD. 4 2 Câu 10: (1 điểm) Cho 1 lưới ô vuông có kích thước 5x5. Người ta điền vào mỗiô của lưới 1 trong các số -1, 0, 1. Xét tổng các số theo từng cột, theo từng hàng và theo từng hàng chéo. Chứng minh rằng trong tất cả các tổng luôn tồn tại 2 tổng có giá trị bằng nhau. Lời giải Có tất cả 12 tổng gồm 5 tổng theo cột, 5 tổng theo hàng và 2 tổng theo đường chéo. Mỗi tổng gồm 5 số hạng mà mỗi số hạng nhận 1 trong 3 số là 1, -1, 0. Nên mỗi tổng là 1 số nguyên. Gọi các tổng là Si với i 1,2,3, ,12. thỏa mãn 5 Si 5 . Si sẽ nhận 11 giá trị từ -5, -4, -3, , 3, 4, 5. Mà ta lại có 12 Si nên sẽ luôn tồn tại 2 tổng có giấ trị bằng nhau. HẾT