Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 10: Câu đố và trò chơi

Nội dung text: Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 10: Câu đố và trò chơi

1. Chuyên đề 10. CÂU ĐỐ VÀ TRÒ CHƠI A. Một số ví dụ Ví dụ 1: Trong một giải bóng đá, có 4 đội thi đấu vòng tròn một lượt (trong một trận đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm, và đội thua được 0 điểm). Khi kết thúc giải, người ta thấy có 3 đội đạt được tổng số điểm lần lượt là 6 điểm, 5 điểm và 1 điểm. Hãy cho biết đội còn lại của giải có tổng số điểm là bao nhiêu và giải thích tại sao? (Tuyển sinh lớp 10, trường PTNK, ĐHQC TP. Hồ Chí Minh, năm học 2006-2007) Giải Do có 4 đội tham dự nên mỗi đội đấu 3 trận. Theo đề bài đội 6 điểm thắng 2 trận và thua 1 trận, đội 5 điểm thắng 1 trận và hòa 2 trận, đội 1 điểm hòa 1 trận và thua 2 trận. Do đó đội còn lại phải có 1 trận hòa. Vì tổng số trận thắng bằng tổng số trận thua nên đội còn lại phải thua 1 trận và thắng 1 trận. Tổng số điểm của đội còn lại là: 1 + 0 +3 = 4 (điểm) Có thể diễn giải như sau: Giả sử 4 đội bóng đá là A, B, C, D + A thắng C và D, thua B nên được 6 điểm. + B thắng A, hòa C và D nên được 5 điểm. + C thắng D, hòa B thua A nên được 4 điểm. + D hòa B, thua A và C nên được 1 điểm. Ví dụ 2: Một tháng đặc biệt có tới năm ngày thứ 3, trong đó ngày đầu tiên và ngày cuối cùng của tháng không phải là thứ 3. Hỏi ngày cuối cùng của tháng đó là ngày nào? Giải  Tìm cách giải. Nhận thấy một tháng nhiều nhất có 31 ngày, nên nhiều nhất chỉ có 5 ngày thứ ba, khoảng cách giữa hai thứ ba liên tiếp là 7 ngày. Do đó chúng ta có thể tìm được ngày thứ ba đầu tiên trong tháng đó.  Trình bày lời giải. Ngày 2 của tháng là thứ 3, suy ra năm ngày thứ ba là 2, 9, 16, 23, 30. Mà ngày cuối cùng của tháng không phải ngày thứ ba nên suy ra ngày cuối cùng của tháng là 31 ngày và là thứ tư. Ví dụ 3: Có 2020 đồng xu được đánh số thứ tự từ 1 đến 2020, tất cả đều ngửa. Lần 1: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thứ tự là bội của 1. Lần 2: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thứ tự là bội của 2. Lần 3: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thứ tự là bội của 3. Lần 2020: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thứ tự là bội của 2020. Hỏi có bao nhiêu đồng xu ngửa sau lần lật thứ 2020? Giải Trang 1
2. Tại lần lật thứ k, những đồng xu có số thứ tự là bội của k sẽ được lật. Để một đồng xu lúc đầu là ngửa, sau 2020 vòng lật nó vẫn ngửa thì số lần đồng xu đó được lật phải là một số chẵn, tức là số thứ tự của nó phải có số các ước số là chẵn. Ta biết rằng những số chính phương mới có số các ước số là lẻ. Từ 1 đến 2020 có 44 số chính phương là: 1, 4, 9, , 1936. Do đó cuối cùng sau 2020 vòng lật, số đồng xu ngửa là: 2020 – 44 = 1976 (đồng xu). Ví dụ 4:Thiện và Ác chia nhau một đống gồm 2000 đô-la bằng bạc (mỗi đồng trị giá một đô-la), dưới sự giám sát của lão Tà. Đầu tiên, lão Tà bảo Thiện chia thành hai đống, mỗi đống có ít nhất hai đồng. Sau đó Ác chia mỗi đống thành hai đống (mỗi đống có ít nhất 1 đồng), rồi lão ta chọn đống ít nhất và đống nhiều nhất trong bốn đống tạo thành, hai đống còn lại phần của Thiện. Vậy thì, bất chấp lão Ác khôn khéo và tham lam như thế nào, số tiền ớn nhất mà lão Thiện có thể kiếm được là bao nhiêu? Giải Nếu đồng X gồm 2000 đồng đô-la được chia thành hai đống M đồng và N đồng (X = M + N = 2000) sao cho M > N rồi tiếp tục chia mỗi đống thành M; N thành hai đống: M = a + b sao cho a > b và N = c + d sao cho c > d thì trong mọi trường hợp, tổng của đống lớn nhất và đống nhỏ nhất trong bốn đống a, b, c, d (Kí hiệu là T) cũng không vượt quá M. Nếu b nhỏ nhất thì hiển nhiên a lớn nhất. T = a + b = M Nếu d nhỏ nhất thì: hoặc c lớn nhất T = c + d = N < M hoặc a lớn nhất: T = a + d < M. Vậy để nhận được số tiến lớn nhất thì đầu tiên lão Thiện phải chia 2000 đồng đô-la thành hai đống bằng nhau ( M = N). Khi đó dù lão Ác chia thế nào thì cũng luôn nhận được 1000 đô-la, khi đó lão Thiện cũng nhận được 1000 đô-la. Ví dụ 5: Trong một giải đấu vật có 100 người tham dự, tất cả có sức mạnh khác nhau. Người nào khỏe hơn luôn chiến thắng đối thủ yếu hơn. Mỗi đo vật đấu hai lần và người thắng cả hai trận sẽ được tặng thưởng. Hỏi số người ít nhất được tặng thưởng là bao nhiêu? (Kỳ thi Toán quốc tế giữa các thành phố ITOT, Mùa thu 2013, THCS mở rộng) Giải Sắp xếp 100 đô vật theo sức mạnh tăng dần với a1 (người yếu nhất), a2, a3, , a100 (người khỏe nhất) hiển nhiên a100 luôn là người chiến thắng. Ở lượt thứ nhất ta xếp các đồ vật thi đấu theo cặp như sau: a100 với a99, a98 với a97; ;a2 với a1. Khi đó a1; a3; ;a99 là những người thua cuộc. Ở lượt thứ hai, ta xếp các cặp a100 với a1; a99 với a98; .;a3 với a2. Khi đó a1; a2; a4; a6; ; a98 là những người thua cuộc. Do đó chỉ có duy nhất a100 là người thắng cả hai vòng đấu. Ví dụ 6: Nhà trường tổ chức một ngày hội chợ cho học sinh. Trong đó, có trò chơi đoán xem có bao nhiêu viên cẩm thạch đựng trong một lọ kín. Giải thưởng sẽ trao cho ai đoán gần chính xác nhất vào cuối ngày hội chợ. Kết quả là: Giải nhất: Đức Trọng, dự đoán 125 viên. Trang 2
3. Giải nhì: Minh Hạnh, dự đón 140 viên. Giải ba: Trọng Nhân, dự đón 142 viên. Giải tư: Đức Minh, dự đoán 121 viên. Hỏi chính xác trong lọ có bao nhiêu viên cẩm thạch. Giải Nếu gọi số viên cẩm thạch trong lọ là x thì 125 x 140. Vì người dự đoán số 125 đạt giải nhất và người dự đón 140 đạt giải nhì nên suy ra x 125 140 x 125 x 132. Vì người dự đoán số 142 đạt giải ba và người dự đoán số 121 đạt giải tư nên 142 x x 121 132 x 132 x 132. Vậy trong lọ có chính xác 132 viên cẩm thạch. B. Bài tập vận dụng 10.1 Bốn đội bóng A, B, C, D được xếp cùng một hàng. Mỗi đội chơi 1 trận, lần lượt với các đội còn lại. Mỗi trận thắng được 3 điểm, hòa được 1 điểm, thua 0 điểm. Sau tất cả các trận đấu, kết quả như sau: (1). Tổng số điểm 3 trận của mỗi đội là các số lẻ liên tiếp. (2). Đội D cao điểm nhất. (3). Đội A hòa đúng 2 trận, trong đó hòa một trận với C. Tính điểm của mỗi đội. 10.2 Cho hình vuông 5 x 5 gồm 25 ô vuông nhỏ. Hỏi phải tô ít nhất bao nhiêu ô sao cho trong mỗi hình vuông 3x3 bất kì có đúng 4 ô được tô. 10.3 Sửu chỉ nói thật vào thứ 2, thứ 4, thứ 6 và chủ nhật. Dần chỉ nói thật vào ngày thứ 2, thứ 3, thứ 4 và thứ 5. Hãy tìm ngày mà cả hai đều nói: “Hôm qua, Tôi đã nói dối”. 10.4 Trên một bàn cờ 15 x 15 ô vuông gồm các ô trắng đen xen kẽ như cờ vua, có 15 quân xe đứng ở vị trí không đối đầu nhau (không ăn được nhau). Giả sử sau đó, mỗi quân xe này bị xê dịch theo một bước đi của quân mã. Chứng minh rằng khi đó phải có một cặp quân xe rơi vào thế đối đầu nhau. 10.5 Ai đã lấy thanh kẹo? Ở trường nội trú, trong giờ ăn trưa, từ phòng cô Hằng ra, năm cậu bé ghé đến một quầy ăn trưa bên cạnh đó. Một trong năm cậu đã lấy một thanh kẹo mà không trả tiền. Khi bị thấy hiệu trưởng chất vấn, năm cậu bé trả lời như sau: 1) An : “Không phải Cường lấy, cũng không phải em” 2) Bình : “Theo em, An hoặc Chi đã lấy” 3) Chi : “Cả An và Bình đều nói dối” 4) Dũng : “Chi nói không đúng, một trong hai người kia nói dối, người còn lại nói sự thật” 5) Cường: “Tất cả những gì Dũng nói đều sai cả” Khi thấy hiệu trưởng hỏi ý kiến cô Hằng, cô trả lời: “Trong năm cậu ấy, có 3 cậu luôn luôn trung thực, hai cậu còn lại thì luôn dối trá”. Giả sử có Hằng nói đúng, bạn hãy xác định xem ai là người đã lấy thanh kẹo? Trang 3
4. 10.6 Trong một giải bóng đá có N đội tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (hai đội bất kì đều gặp nhau đúng một lần). Sau mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, đội thua không được điểm nào, còn nếu trận đấu có kết quả hòa thì mỗi đội cùng được 1 điểm. Các đội được xếp hạng dựa theo tổng điểm. Trong trường hợp một số đội có tổng điểm bằng nhau thì các đội này được xếp hạng theo các chỉ số phụ. Kết thúc giải người ta nhận thấy rằng không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số hòa; các đội xếp tiếp theo có tổng điểm đôi một khác nhau. a) Chứng minh rằng N 7 b) Tìm N và tổng điểm của mỗi đội tham gia giải. 10.7 Trong một giải cờ vua có 8 kì thủ tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt, thắng được 1 điểm, hòa được 1 điểm, thua được 0 điểm. Biết rằng sau khi tất cả các trận đấu kết thúc thì cả 8 kì thủ nhận được các số 2 điểm khác nhau và kì thủ xếp thứ hai có số điểm bằng tổng điểm của 4 kì thủ xếp hạng cuối cùng. Hỏi ván đấu giữa kì thủ xếp thứ tư và kì thủ xếp thứ năm đã kết thúc với kết quả như thế nào? 10.8 Một đảo nằm xa tít ngoài biển khơi có tên là đảo “Thiên mã”. Trên hòn đảo này có hai bộ tộc đang sinh sống. Một bộ tộc có tên là Kị sĩ và bộ tộc kia làm nghề Ăn trộm. Tất nhiên bộ tộc Kị sĩ thì luôn nói thật và bộ tộc Ăn trộm thì luôn nói dối. Dưới bóng cây có hai thổ dân đang ngồi nghỉ. Một du khách đi đến và hỏi một trong hai người a) Ngài là Kị sĩ hay Ăn trộm ngựa? A: Không thể hiểu người đó nói gì, vì thế du khách quay sang hỏi người kia, xem người lúc trước nói gì? B: Ông ta nói rằng ông ta là người Ăn trộm ngựa. Vậy A và B là gì nhỉ? 10.9 Có 10 đồng tiền xu thật có khối lượng giống nhau, cùng một đồng tiền xu giả có khối lượng nặng hơn khối lượng đồng tiền xu thật và một đồng xu giả khác có khối lượng bé hơn khối lượng đồng xu thật. Hãy giải thích tại sao chỉ bốn lần cân đĩa bằng cân thăng bằng bạn có thể xác định được tổng khối lượng của hai đồng tiền xu giả lớn hơn, bằng hay nhỏ hơn tổng khối lượng của hai đồng xu thật. (Thi Toán quốc tế IMC 2014. THCS Đồng Đội Canada đề nghị) 10.10 Cho bảng vuông với các số như sau: Có thể điền các chữ 4 1 4 2 4 số 1, 2, 3, 4, 5 vào các ô còn trống để tạo thành một hình vuông 1 2 kì diệu hay không? (Hình vuông kì diệu có tổng các số trên mỗi 4 2 hàng, cột, đường chéo bằng nhau). 4 5 (Cuộc thi của Hội toán học Xcot-len, năm 2001-2002) 2 3 3 5 2 10.11 Cho ba đống đá gồm 51, 49 và 5 hòn. Có hai thao tác được thực hiện là: dồn hai đống tùy ý thành một đống; chọn đống tùy ý có số chẵn hòn đá để phân làm hai đống có số lượng hòn đá bằng nhau. Có thể Trang 4
5. nào cuối cùng sẽ nhận được 105 đống mà mỗi đống chỉ có một hòn, sau một dãy các thao tác luân phiên nhau? (Cuộc thi Toán học Quốc tế của các tỉnh thành, THCS, mùa xuân 2001) Trang 5
6. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 10.1 Điểm của 4 đội có thể là (1, 3, 5, 7) hoặc (3, 5, 7, 9). Do không thể có hai đội có 7 điểm và 9 điểm nên bộ điểm là (1, 3, 5, 7). Đội D có điểm cao nhất nên điểm của D là 7 nên đội D thắng 2 trận, hòa 1 trận. Đội A không thua trận 3, bời nếu thua thì số điểm là số chẵn, suy ra D hòa với A và thắng đội B và đội C. Đội A có 2 trận hòa với D và C, thắng B nên điểm của A là 5 điểm. Đội B thắng C thua A và D nên được 3 điểm. Đội C hòa với A, thua B và D được 1 điểm. Vậy Đội A: 5 điểm; Đội B: 3 điểm; Đội C: 1 điểm; Đội D: 7 điểm. 10.2 Giả sử hình vuông 6x6 được tô màu một số ô sao cho trong mỗi hình vuông 3x3 bất kì có đúng 4 ô được tô. Hình vuông 6x6 được chia thành 4 hình vuông 3x3 nên trong 36 ô vuông nhỏ có đúng 16 ô được tô. Để số ô được tô màu trong hình vuông 5x4 là ít nhất thì phải nhiều ô nhất có thể ở 11 ô vuông nhỏ phía ngoài. Để ý rằng cột 3 và cột 6 sẽ tô màu giống nhau, hàng 3 và hàng 6 tô màu giống nhau và ô trung tâm sẽ giống ô ở góc dưới, do đó ta có thể tô màu cho nhiều nhất 9 ô trong 11 ô phía ngoài (ví dụ như hình trên). Vậy cần tô ít nhất 16 – 9 = 7 ô. Ví dụ 1 cách tô màu; 10.3 Nếu hôm nay Dần nói thật thì hôm qua Dần nói dối, vậy hôm nay là thứ Hai. Sửa nói thật vào thứ Hai và cả Chủ nhật do đó vào thứ Hai, Sửu sẽ phải nói “Hôm qua tôi đã nói thật”. Như vậy hôm nay Dần nói dối, và hôm qua Dần nói thật. Suy ra hôm nay là thứ Sáu. Thứ Sáu là ngày Sửu nói thật và thứ Năm là ngày Sửa nói dối, vậy vào thứ Sáu, Sửu cũng sẽ nói “Hôm qua tôi đã nói dối”. 10.4 Đánh số các hàng và cột của bàn cờ từ 1 đến 15, khi đó, mỗi quân xe được xác định ở vị trí hàng i, cột j bởi cặp (i, j) với 1 i; j 15 . Vì ban đầu các quân xe đứng ở vị trí không đối đầu nhau nên không thể có hai quân xe nằm cùng một hàng hoặc một cột. Nói cách khác, chỉ số hàng (cột) của các quân xe phải khác nhau. Từ 1 đến 15 có 8 số lẻ và 7 số chẵn. Mỗi khi một quân xe di chuyển theo một bước đi của quân mã, nó làm tăng (hoặc giảm) chỉ số hàng là một đơn vị và chỉ số cột là hai đơn vị (hoặc ngược lại). Như thế, 15 số trong 30 số đó bảo toàn tính chẵn lẻ. Từ đó, sau khi mỗi quân xe đều di chuyển theo một bước đi của quân mã thì không thể có 16 số lẻ và 14 số chẵn nữa. Điều này có nghĩa rằng, khi đó phải có một cặp quân xe rơi vào thế đối nhau. Trang 6
7. 10.5 Vì có 3 cậu luôn luôn trung thực nên câu trả lời của 3 cậu đó sẽ không mâu thuẫn với nhau, nói cách khác, với người nói thật thà câu trả lời sẽ không mâu thuẫn với ít nhất hai câu trả lời của người khác. Từ nhận xét trên, chúng ta suy luận ngay được An, Bình và Cường là những người luôn nói thật còn Chi và Dũng là những người luôn nói dối. Dựa vào các câu trả lời của An và Bình, suy ra Chi là người lấy kẹo. 10.6 a) Đội xếp nhất 15 điểm nên thi đấu ít nhất với 5 đội khác nhau N 5 1 Nếu N = 6 thì đội xếp thứ nhất thắng 5 đội còn lại, đội xếp nhì 12 điểm nên thắng 4 đội trừ đội xếp nhất. Đội xếp ba thua đội xếp nhất và nhìn nên số điểm tối đa là 3.3 = 9. Theo đầu bài đội ba 12 điểm: vô lí Do vậy N 7. b) Các đội còn lại có số điểm không lớn hơn 12. Vì không có hòa nên số điểm các đội còn lại là bội của 3. Số điểm của các đội còn lại có thể là: 0, 3, 6, 9, 12. Do đó N 5 3 vì N 7 (câu a) Nên N = 7 hoặc N = 8 Xét N = 8. .7 Có 8 đội nên số trận đấu có 28 trận. Tổng số điểm 8 đội đạt là 28.3 là số chẵn. 2 Còn 0+3+6+9+12+12+12+15 là số lẻ: vô lí. Vậy nên N 8 Xét N = 7. 7.6 Có 7 đội nên số trận đấu có 21 trận. 2 Tổng số điểm 7 đội đạt 21.3 = 63 điểm. Tổng số điêm các đội còn lại đạt được là: 63 (12 12 15) 24 điểm. 24 0 3 9 12 Số 24 biểu diễn thành tổng 4 số là bội của 3 và khác nhau chỉ duy nhất theo cách biểu diễn trên. Tổng số điểm mỗi đội còn lại đạt được lần lượt là 0, 3, 9, 12. 4x3 10.7 Sau khi giải kết thúc, số ván cờ đã thi đấu giữa 4 kỳ thủ xếp cuối cùng là: 6. 1x2 Sau mỗi ván tổng số điểm của hai kỳ thủ nhận được là 1. Vì thế tổng số điểm của 4 kỳ thủ xếp cuối cùng không ít hơn 6 điểm. Nếu s 6,5 thì tổng số điểm của kỳ thủ xếp thứ hai là s 6,5 Do 8 kỳ thủ được các số điểm khác nhau nên dễ thấy kỳ thủ xếp thứ nhất có điểm số không ít hơn s 0,5 7. Do kỳ thủ xếp thứ nhất đấu 8 trận nên điều này chỉ xảy ra khi s 0,5 7 s 6, 5và kỳ thủ xếp thứ nhất thắng cả 7 ván. Suy ra kỳ thủ xếp thứ hai thắng không quá 6 ván và số điểm 6 s : vô lí. Trang 7
8. Vậy ta phải có s = 6. Điều này có nghĩa là các kỳ thủ xếp từ năm đến tám chỉ giành điểm khi thi đấu với nhau thôi, ngoài ra thua tất cả các kỳ thủ khác. Do vậy, kỳ thủ xếp thứ tư đã thắng kỳ thủ xếp thứ năm trong trận đấu trực tiếp. 10.8 A chỉ có thể trả lời một cách rằng anh ta là Kị sĩ, bất kể anh ta là gì. Vì thế B đã nói dối. Suy ra B là Ăn trộm ngựa. Chúng ta không có thông tin chính xác về A. 10.9 Ta chia các đồng xu đã cho thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 3 đồng xu và đem cân từng nhóm đồng xu như sau: Cho A và B lên hai đĩa cân (lần cân thứ nhất); C và D lên hai đĩa cân (lần cân thứ hai). Ta xét 3 trường hợp. + Trường hợp 1. Cả hai lần cân đều thăng bằng. Khi đó, đồng xu giả ở cùng một nhóm và tổng khối lượng hai đồng xu bằng tổng khối lượng hai đồng xu giả. + Trường hợp 2. Một trong hai lần cân thăng bằng. Chỉ có hai nhóm đồng xu có khối lượng bằng nhau. Giả sử hai nhóm A và B có tổng khối lượng bằng nhau, tổng khối lượng các đồng xu trong nhóm C lớn hơn tổng khối lượng các đồng xu trong nhóm D. Khi đó cả hai đồng xu giả đều thuộc nhóm A và B với tổng khối lượng các đồng xu trong hai nhóm C và D. Từ đó ta sẽ có câu trả lời. + Trường hợp 3. Cả hai lần cân thứ nhất và thứ hai đều không thăng bẳng. Do đối xứng, ta có thể giả sử nhóm A có trọng lượng nặng hơn nhóm B và nhóm C có trọng lượng nặng hơn nhóm D. Khi đó đồng xu giả nặng hơn ở nhóm A và đồng xu giả nhẹ hơn ở nhóm D; hoặc đồng xu giả nặng hơn ở nhóm C và đồng xu giả nhẹ hơn ở nhóm B. Nếu nhóm A toàn đồng xu thật thì B chứa đồng xu giả nhẹ hơn, khi đó C chứa đồng xu giả nặng hơn. Nếu nhóm A chứa đồng xu giả nặng hơn thì B phải chứa hoàn toàn đồng xu thật (vì nếu B chứa đồng xu giả nhẹ hơn thì nhóm C có trọng lượng bằng nhóm D là vô lí). Khi đó D chứa đồng xu giả nhẹ hơn. Do đó nhóm A và D cùng chứa đồng xu giả hoặc cùng không chứa đồng xu giả. Nếu nhóm A có trọng lượng nhẹ hơn nhóm C thì đồng xu giả nặng hơn ở C và đồng xu giả nhẹ hơn ở B. Cuối cùng ta chỉ cần cân nhóm A và D với nhóm B và C thì được kết quả. 10.10 Giả sử ta điền được các số 1, 2, 3, 4, 5 để có hình vuông 4 1 4 2 4 kì diệu: 1 a b c 2 Từ đó ta có: 4 d e f 2 4 a e 1 2 15 a e 1 9; 4 g h i 5 4 b e h 3 15 b e h 8; 2 3 3 5 2 2 g e c 4 15 g e c 9; 4 d e f 2 15 d e f 9; Suy ra: a b c d e f g h i 3e 35 Mặt khác, cộng ba hàng ở giữa của hình vuông, ta được: a b c d e f g h i 18 45 Vì vậy: 3e 8 e 1;2;3;4;5 Kết luận: Không thể có hình vuông kì diệu thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Trang 8
9. 10.11 Do cả ba đống 51, 49 và 5 hòn đều có số lẻ các hòn đá nên thao tác đầu tiên phải là: dồn hai đống thành một. Nếu ban đầu dồn hai đống 5 và 49 hòn thành một, ta sẽ có hai đóng 51 và 54 hòn đều có số hòn là bội của 3. Từ lúc này trở đi, khi luân phiên thực hiện các thao tác, dễ thấy mỗi đống luôn là bội của 3. Tương tự: Nếu ban đầu dồn hai đống 49 và 51 hòn thành một rồi tiếp tục luân phiên thực hiện các thao tác thì mỗi đống luôn là bội của 5; Nếu ban đầu dòn hai đống 5 và 51 hòn thành một rồi tiếp tục luân phiên thực hiện các thao tác thì mỗi đống luôn là bội của 7. Vậy ta không thể thực hiện được yêu cầu của đề bài. Trang 9