Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

1. Biên soạn: GV HUỲNH ĐỨC KHÁNH CHUYÊN ĐỀ. TÌM NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3x + 4y = 29. Giải: 29 4y 2 y Ta cĩ x = 9 y . 3 3 2 y Muốn cĩ x, y nguyên thì phải nguyên hay 3 là ước của 2 – y. 3 Vậy: 2 – y = 3t (t Z). Khi đĩ: y = 2 – 3t và x = 9 – y + t = 9 – 2 + 3t + t = 4t + 7. x 4t 7 Vậy: (t nguyên) là tất cả các nghiệm nguyên của phương trình đã cho. y 2 3t Muốn tìm nghiệm nguyên dương của phương trình trên, ta đặt thêm các điều kiện để x > 0; y > 0. 7 t x 4t 7 0 4 Ta cĩ: y 2 3t 0 2 t 3 7 2 Do đĩ: t và t chỉ cĩ hai giá trị t1 = –1, t2 = 0. 4 3 Với t1 = –1 thì x = 3, y = 5 là nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho. Với t2 = 0 thì x = 2, y = 7 là nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho. Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 7x + 23y = 120 (1) Giải: 120 23y 1 2y Ta cĩ x = 17 3y . (2) 7 7 Muốn cĩ x, y nguyên thì 1 – 2y = 7t hay 2y = 1 – 7t (t nguyên). 1 t Từ đĩ: y = –3t + . (3) 2 Vì y, t nguyên nên 1 – t = 2t1 (t1 nguyên) t = 1 – 2t1. Thay vào (3) ta cĩ: y = –3(1 – 2t1) + t1 = 7t1 – 3. Thay vào (2) ta được: x = 17 – 3(7t1 – 3) + 1 – 2t1 = 27 – 23t1. Vậy: x = 27 – 23t1 , y = 7t1 – 3 là nghiệm nguyên của phương trình (1). 27 t1 x 27 23t1 0 23 Muốn cĩ nghiệm nguyên dương, ta phải cĩ: y 7t 3 0 3 1 t 1 7 Suy ra t1 = 1 và x = 4, y = 4 là nghiệm nguyên dương duy nhất của phương trình đã cho.
2. Biên soạn: GV HUỲNH ĐỨC KHÁNH Ví dụ 3: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình xy – 4x = 35 – 5y (1) Giải: (1) xy – 4x + 5y – 20 = 15 hay ( x + 5)(y – 4) = 15 = 15.1 = 5.3. Vì x, y đều là số tự nhiên nên x + 5 5 và là ước của 15, x 5 15 x 5 5 ta cĩ: hoặc hoặc y 4 1 y 4 3 Suy ra: x = 10, y = 5 hoặc x = 0, y = 7. Đĩ là những nghiệm tự nhiên của phương trình đã cho. Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x2 – 6xy + 13y2 = 100 (1) Giải: (1) x2 – 6xy + 9y2 = 100 – 4y2 hay (x – 3y)2 = 4(25 – y2) 0 . Vậy y 5 và 25 y2 là số chính phương. Với y = 1 hoặc y = 2 thì 25 – y2 khơng là số chính phương (loại). 2 x 9 8 x 17 Với y = 3 ta cĩ: (x 9) 4.16 . x 9 8 x 1 2 x 12 6 x 18 Với y = 4 ta cĩ: (x 12) 36 . x 12 6 x 6 Với y = 5 ta cĩ: (x – 15)2 = 0 x = 15. Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là: (1; 3), (17; 3), (6; 4), (18; 4), (15; 5). Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3x2 + 5 y2 = 345 (1) Giải: 345 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 nên 3x2 + 5 y2 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5. Vì (3, 5) = 1 nên x  5 x = 5a (a Z) và y  3 y = 3b (b Z). Ta cĩ: 3.25a2 + 5.9b2 = 345 5a2 + 3b2 = 23 (2) 23 23 Ngồi ra: a2 ; b2 a 2, b 2 5 3 Thay vào (2) các giá trị của a = 1, 2 và b = 1, 2 ta thấy phương trình cĩ nghiệm nguyên dương duy nhất với a = 2, b = 1. Lúc đĩ x = 10, y = 3. Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5x – 3y = 2xy – 11 (1) Giải: 11 5x 2(5x 11) 7 (1) 11 + 5x = y(2x + 3) hay y 2y và 2y 5 . 2x 3 2x 3 2x 3 Nếu x, y đều là nguyên dương thì 2x +3 phải là ước của 7 tức là bằng –1, 1, –7, 7. Trong bốn trường hợp này phương trình chỉ nhận một cặp nghiệm nguyên dương với 2x + 3 = 1 & 7. Lúc đĩ x = 2 và y = 3. Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z = xyz (1). Giải: Do vai trị của x, y, là bình đẳng nên ta giả sử 0 < x y z. Ta cĩ: xyz = x + y + z 3z xy 3. Nếu x = y = z thì z3 = 3z z2 = 3 điều này khơng xảy ra với z nguyên. Vậy ba số x, y, z khơng thể bằng nhau. Vậy số nhỏ nhất khơng thể bằng 3. Ta cĩ xy < 3. Nếu xy = 2 thì x = 1, y = 2 z = 3. Nếu xy = 1 thì x = 1, y = 1 2 + z = z vơ nghiệm.
3. Biên soạn: GV HUỲNH ĐỨC KHÁNH HẾT