›
›
›

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Tìm min, max của biểu thức

doc 69 trang hoaithuong97 8743
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Tìm min, max của biểu thức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docchuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_8_chuyen_de_tim_min_m.doc

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Tìm min, max của biểu thức

  1. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC I.LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Cho biểu thức A x; y;z Khi đó hảng số M là giá trị lớn nhất (GTLN) của A x; y;z nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: Với mọi x; y;z mà A x; y;z xác định mà A x; y;z M Tồn tại một bộ số x; y;z sao cho A x; y;z M Cho biểu thức A x; y;z Khi đó hảng số N là giá trị lớn nhất (GTNN) của A x; y;z nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: Với mọi x; y;z mà A x; y;z xác định mà A x; y;z N Tồn tại một bộ số x; y;z sao cho A x; y;z N II.LUYỆN TẬP Dạng 1: ĐA THỨC BẬC 2 ĐƠN GIẢN Phương pháp giải:Áp dụng hằng đẳng thức số 1 và số 2 Bài 1: Tìm GTNN của: A(x) x2 4x 24 HD: A(x) x2 4x 24 (x 2)2 20 20x min A(x) 20 x 2 Bài 2: Tìm GTNN của: B(x) 2x2 8x 1 HD: B(x) 2x2 8x 1 2(x2 4x 4) 7 2(x 2)2 7 7 minB 7 x 2 Bài 3: Tìm GTNN của: C(x) 3x2 x 1 HD: 1 13 13 1 C(x) 3x2 x 1 3(x )2 x 6 12 12 6 Bài 4: Tìm GTNN của: A(x) 5x2 4x 1 HD: 4 1 2 9 9 2 A(x) 5x2 4x 1 5(x2 x ) 5(x )2 x 5 5 5 5 5 5 Bài 5: Tìm GTNN của: B(x) 3x2 x 1 HD: 1 13 13 1 B(x) 3x2 x 1 3(x )2 x 6 12 12 6 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
  2. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 6: Tìm GTNN của : A 9x2 6x 4 3x 1 6 HD: Đặt: 3x 1 t t 2 9x2 6x 1 E t 2 4t 5 Bài 7: Tìm GTLN của: A 2x 1 2 3x 2 2 x 11 HD: 2 2 2 2 17 569 569 A 4x 4x 1 9x 12x 4 x 11 5x 17x 14 5 x 10 20 20 Bài 8: Tìm min của: A x 3 2 x 1 2 HD: 2 A x2 6x 9 x2 2x 1 2x2 8x 10 2 x 2 2 2 Bài 9: Tìm min của: B 2 x 1 2 3 x 2 2 4 x 3 2 HD: 2 B 2 x 2 2x 1 3 x 2 4x 4 4 x 2 6x 9 x 2 8x 22 x 4 38 38 Bài 10: Tìm Min của: P 5x2 6x 1 1 HD: 1 TH1: x P 5x2 6x 6 1 TH2: x P 5x2 6x 2 6 Dạng 2: ĐA THỨC BẬC 4 ĐƠN GIẢN Phương pháp giải: Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ. Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ. 2 2 Sử dụng các hằng đẳng thức a b , a b c . Dạng 2.1: ax4 + bx3 + cx2 + d Bài 1: Tìm GTNN của: C x4 4x3 9x2 20x 22 HD: C x4 4x3 4x2 5 x2 4x 4 2 Bài 2: Tìm min của: I x4 6x3 11x2 12x 20 HD: I x4 6x3 11x2 12x 20 x2 x2 6x 9 2x2 12x 20 2 2 2 I x 2 x 3 2 x 2 6x 9 2 x 2 x 3 2 x 3 2 2 Bài 3: Tìm GTNN của: A(x) x4 6x3 10x2 6x 9 HD: A(x) x4 6x3 10x2 6x 9 (x4 6x3 9x2 ) (x2 6x 9) (x2 3x)2 (x 3)2 0x Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
  3. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x2 3x 0 min A(x) 0 x 3 x 3 0 Bài 4: Tìm GTNN của: B(x) x4 10x3 26x2 10x 30 HD: 2 4 3 2 2 2 2 x 5x 0 B(x) x 10x 26x 10x 30 (x 5x) (x 5) 5 5 x 5 x 5 0 Bài 5: Tìm GTNN của: C(x) x4 2x3 3x2 4x 2017 HD: C(x) x2 (x2 2) 2x(x2 2) (x2 2) 2015 (x2 2)(x 1)2 2015 2015 x 1 Bài6: Tìm GTNN của: D(x) x4 x2 2x 7 HD: D(x) x4 2x2 1 x2 2x 1 5 (x2 1)2 (x 1)2 5 5 x 1 Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức: A a4 2a3 4a 5 HD: A a2 a2 2 2a a2 2 a2 2 3 = a2 2 a2 2a 1 3 3 dấu bằng khi a=1 Dạng 2.2: (x+a)4 +( x+b)4 + Bài 1: Tìm GTNN của: D x 8 4 x 6 4 HD: Đặt: x 7 y D y 1 4 y 1 4 2y4 12y2 2 2 Bài 2: Tìm min của: A x 2 4 x 2 4 HD: 2 2 A x2 2x 4 x2 2x 4 x4 4x2 16 2 2x3 8x 4x2 x4 4x2 16 2 2 4x2 2x3 8x 2x4 24x2 32 2 x2 6 40 40 Bài 3: Tìm max của: F 2 3 x 1 4 3 x 5 4 HD: 4 4 Đặt x 2 t F 2 3 t 3 3 t 3 2 2 F 3 t 2 6t 9 3 t 2 6t 9 2 6t 4 324t 2 484 6 t 4 54t 2 484 2 F 6 t 2 27 3890 3890 Bài 4: Tìm min của: G x 3 4 x 7 4 HD: 4 4 2 2 Đặt x 2 t G t 5 t 5 t 2 10t 25 t 2 10t 25 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
  4. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 G 2t 4 300t 2 1250 2 t 4 2.75t 2 5625 104 2 t 2 75 104 104 Dạng 2.3: x(x+a)( x+b)(x +c)(x+d)(x+e) + Bài 1: Tìm GTNN của: A x x 3 x 4 x 7 HD: A x x 7 x 3 x 4 x2 7x x2 7x 12 , Đặt x2 7x 6 t Khi đó: A t 6 t 6 t2 36 36 2 2 x 1 Dấu “ = ” khi t 0 x 7x 6 0 x 6 Vậy Min A= - 36 khi x=1 hoặc x=6 Bài 2: Tìm GTNN của: B x 1 x 3 x2 4x 5 HD: B x2 4x 5 x2 4x 5 , Đặt x2 4x 4 0 . Khi đó: B t 1 t 1 t2 1 1 , Dấu “ = “ khi t 2 0 x2 4x 4 0 t 2 Bài 3: Tìm min của: A x x 2 x 4 x 6 8 HD: A x x 6 x 2 x 4 8 x2 6x x2 6x 8 8 , Đặt x2 6x 4 t . Khi đó: A t 4 t 4 8 t 2 16 8 t 2 8 8 , Dấu “ = “ Khi đó: x 3 5 t 2 0 x2 6x 4 0 x 3 5 Bài 4: Tìm GTNN của: B x 1 x 2 x 3 x 4 HD: B x 1 x 4 x 2 x 3 x2 5x 4 x2 5x 6 , Đặt x2 5x 5 t , Khi đó: 5 5 B t 1 t 1 t2 1 1 , Dấu “ = “ khi t 2 0 x2 5x 5 0 x 2 Bài 5: Tìm GTNN của: A x2 x 6 x2 x 2 HD: Đặt x2 x 2 t . Khi đó: A t 4 t 4 t2 16 16 2 x 1 Dấu “ = “ xảy ra khi: t 0 x x 2 0 x 2 Bài 6: Tìm GTNN của : C x 1 x 2 x 3 x 6 HD: C x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 , Đặt x2 5x t . Khi đó: 2 2 x 0 C t 6 t 6 t 36 36 , Dấu “ = “ khi t 0 x 5x 0 x 5 Bài 7: Tìm GTNN của: D 2x 1 x 2 x 3 2x 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
  5. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD: D 2x 1 x 3 x 2 2x 1 2x2 5x 3 2x2 5x 2 , Đặt 2x2 5x t , Khi đó: 2 2 1 25 25 D t 3 t 2 t t 6 t , Dấu “ = “ khi: 2 4 4 1 1 5 29 t 2x2 5x x 2 2 4 Bài 8: Tìm min của: C x 1 x 2 x 3 x 4 2011 HD: C x 1 x 4 x 2 x 3 2011 x2 5x 4 x2 5x 6 2011 , Đặt x2 5x 5 t 5 5 Khi đó: C t 1 t 1 2011 x2 5x 5 0 x 2 Bài 9: Tìm max của: E 5 1 x x 2 x 3 x 6 HD: E 5 x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 5 , đặt x2 5x t . Khi đó: E t 6 t 6 5 t 2 36 5 t 2 41 41 2 2 x 0 Dấu “ = “ Khi t 0 x 5x 0 x 5 Bài 10: Tìm GTNN của: M x 1 x 2 x 3 x 6 HD: M x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 , Đặt x2 5x t . 2 2 x 0 Khi đó: M t 6 t 6 t 36 36 , Dấu “ = ” khi t 0 x 5x 0 x 5 Bài 11: Tìm min của: D x 1 x2 4 x 5 2014 HD: D x 1 x 2 x 2 x 5 2014 x2 3x 10 x2 3x 2 2014 , Đặt x2 3x 4 t Khi đó: D t 6 t 6 2014 t2 1978 , Dấu “= “ xảy ra khi: 2 2 x 1 t 0 x 3x 4 0 x 4 Bài 12: Tìm GTNN của: G(x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) 2006 HD: 2 2 2 2 x 0 G(x) (x 5x 6)(x 5x 6) 2006 (x 5x) 2042 2042 x 5 Bài 12: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x: x 1 x 2 2 x 3 m HD: 2 VT x 1 x 3 x 2 x2 4x 3 x2 4x 4 , Đặt x2 4x t , Khi đó: 2 2 2 7 49 49 7 1 1 VT t 3 t 4 t 7t 12 t 2.t. 12 t 2 4 4 2 4 4 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
  6. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 13: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x: x 1 x 2 2 x 3 m HD: 2 VT x 1 x 3 x 2 x2 4x 3 x2 4x 4 , Đặt x2 4x t Khi đó: 2 2 2 7 49 49 7 1 1 VT t 3 t 4 t 7t 12 t 2.t. 12 t 2 4 4 2 4 4 Dạng 3: NHÓM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG Phương pháp giải: 2 2 Sử dụng biến dổi đưa về hằng đẳng thức a b , a b c Chú ý khi biến đổi thành nhiều ngoặc vì khi đó điều kiện dấu “ = ” xảy ra bị ràng buộc nhiều. 2 Dạng 3.1: đưa về HĐT a b Bài 1: Tìm min của: I x2 4xy 5y2 6y 11 HD: I x2 4xy 4y2 y2 6y 11 Bài 2: Tìm min của: M x2 2xy 2y2 2y 1 HD: M x2 2xy y2 y2 2y 1 Bài 3: Tìm min của: R x2 2y2 2xy 2y HD: 2 2 R x2 2y2 2xy 2y x2 2xy y2 y2 2y 1 1 x y y 1 1 1 Bài 4: Tìm min của: A 4x2 5y2 4xy 16y 32 HD: A 4x2 5y2 4xy 16y 32 4x2 4xy y2 4y2 16y 32 Bài 5: Tìm min của: B x2 5y2 5z2 4xy 4yz 4z 12 HD: B x2 4xy 4y2 y2 4yz 4z2 z2 4z 4 8 2 2 2 x 2y y 2z z 2 8 8 Bài 6: Tìm min của: C 5x2 12xy 9y2 4x 4 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
  7. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD: 2 2 C 4x2 2.2x.3y 9y2 x2 4x 4 2x 3y x 2 0 Bài 7: Tìm min của: E x2 5y2 4xy 2y 3 HD: 2 2 E x2 4xy 4y2 y2 2y 1 4 x 2y y 1 4 4 Bài 8: CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn: x2 4y2 z2 2x 8y 6z 15 0 HD : x2 2x 1 4y2 8y 4 z2 6z 9 1 1 Bài 9: Tìm min của: A 2x2 y2 2xy 2x 3 HD : 2 2 A x2 2xy y2 x2 2x 1 2 x y x 1 2 2 Bài 10: Tìm max của: B 2 5x2 y2 4xy 2x HD: 2 2 B 5x2 y2 4xy 2x 2 y2 2.y.2x 4x2 x2 2x 1 3 y 2x x 1 3 3 2 2 B 2x y x 1 3 3 Bài 11: Tìm GTNN của: A x2 2xy 2y2 4y 5 HD: 2 2 Ta có: A x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y y 2 1 2 2 2 2 Do: x y 0, y 2 0 , Nên A x y y 2 1 1 Bài 12: Tìm min của: B 2x2 y2 2xy 8x 2028 HD: B x2 2xy y2 x2 8x 16 2012 Bài 13: Tìm GTNN của biểu thức : A x2 2y2 2xy 4y 5 HD: Ta có A(x) x2 2y2 2xy 4y 5 x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y 2 y 2 2 1 x y 0 A 1x, y R " " x y 2 y 2 0 Vậy min A 1 x y 2 Bài 14: Tìm GTNN của biểu thức : B 2x2 2y2 5y2 5 HD: B 2x2 2y2 5y2 5 x2 4xy 4y2 x2 2xy y2 y2 5 x 2y 2 x y 2 5 5 x 2y 0 x y 0 x y 0 Bài 15: Tìm GTNN của biểu thức : A(x) 2x2 y2 2xy 2x 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7
  8. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD: A(x) 2x2 y2 2xy 2x 3 (x2 2xy y2 ) (x2 2x 1) 2 (x y)2 (x 1)2 2 2 x y 1 Bài 16: Tìm GTNN của biểu thức : D(x) 2x2 3y2 4z2 2(x y z) 2 HD: D(x) 2x2 3y2 4z2 2(x y z) 2 2(x2 x) (3y2 2y) (4z2 2z) 2 1 2 1 1 1 1 1 2(x2 x ) 3(y2 y ) (2z)2 2z 2 4 3 9 4 2 3 4 1 1 1 11 11 1 1 1 2(x )2 3(y )2 (2z )2 (x, y, z) ( ; ; ) 2 3 2 2 2 2 3 4 Bài 17: Tìm GTNN của biểu thức : A 4x2 5y 2 8xy 10y 12 HD: A 4x2 5y 2 8xy 10y 12 4x2 8xy 4y2 y2 10y 25 37 4(x y)2 (y 5)2 37 37 x 5 y 5 Bài 18: Tìm GTLN của biểu thức : A x y z (x2 2y2 4z2 ) HD: 1 1 1 7 7 7 1 1 1 A (x )2 2(y )2 (2z )2 A x ; y ; z 2 4 4 16 16 16 2 4 8 Bài 19: Tìm min của: A x2 4y2 4x 32y 2018 HD: 2 2 A x 2 4x 4 4y 2 32y 64 1950 x 2 4 y 4 1950 1950 Bài 20: Tìm min của: A 3x2 y2 4x y HD: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 19 19 A 3x 4x y y 3 x 2.x. y 2.y. 3 x y 3 2 3 2 12 12 Bài 21: Tìm min của: B 5x2 y2 2xy 12x 18 HD: 2 2 B 4x 2 12x x 2 2xy y 2 18 2x 3 x y 27 27 Bài 22: Tìm max của: B 3x2 16y2 8xy 5x 2 HD: 2 2 5 41 2 2 2 B x 8xy 16y 2x 5x 2 x 4y 2 x 4 8 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8
  9. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 2 5 41 41 B x 4y 2 x 4 8 8 Bài 23: Tìm max của : N x2 4y2 6x 8y 3 HD: N x2 4y2 6x 8y 3 x2 6x 9 4y2 8y 4 16 2 2 2 2 N x 3 4 y 1 16 N x 3 4 y 1 16 16 Bài 24: Tìm max của: P 3x2 5y2 2x 7y 23 HD: P 3x2 5y2 2x 7y 23 3x2 2x 5y2 7y 23 2 2 2 2 1 7 1213 1 7 1213 1213 P 3 x 5 y => P 3 x 5 y 3 10 60 3 10 60 60 Bài 25: Tìm max của: R 7x2 4y2 8xy 18x 9 HD: 2 2 R 7x 2 4y 2 8xy 18x 9 4y 2 8xy 4x 2 3x 2 18x 9 2 x y 3 x 3 36 2 2 R 2 x y 3 x 3 36 36 2 2 Dạng 3.2: đưa về HĐT a b c ; a b  c Bài 1: Tìm GTNN của: A x2 2xy 2y2 2x 10y 17 HD: 2 2 A x2 2x y 1 2y2 10y 17 x2 2x y 1 y 1 2y2 10y 17 y 1 2 x y 1 y2 8y 16 Bài 2: Tìm min của: B x2 xy y2 2x 2y HD: 2 2 2 2 2 y 2 y 4y 4 2 y B x x y 2 y 2y x 2.x. y 2y y 1 2 4 4 2 4B x y 2 4y2 8y y2 4y 4 Bài 3: Tìm min của: C x2 xy y2 3x 3y HD: 2 2 2 2 2 y 3 y 6y 9 2 y 6y 9 C x x y 3 y 3y x 2.x. y 3y 2 4 4 2 2 2 4C x y 3 4y 12y y 6y 9 Bài 4: Tìm min của: D x2 2xy 6y2 12x 2y 45 HD: 2 D x2 2x y 6 6y2 2y 45 x2 2x. y 6 y 6 6y2 2y 45 y2 12y 36 2 x y 6 5y2 10y 9 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 9
  10. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 5: Tìm min của: E x2 xy 3y2 2x 10y 20 HD: y 2 y2 4y 4 y2 4y 4 E x2 x y 2 3y2 10y 20 x2 2x. 3y2 10y 20 2 4 4 2 2 4E x y 2 12y2 40y 80 y2 4y 4 x y 2 11y2 36y 76 Bài 6: Tìm max của: F x2 2xy 4y2 2x 10y 3 HD: F x2 2xy 4y2 2x 10y 3 x2 2x y 1 4y2 10y 3 2 2 F x2 2x y 1 y 1 4y2 10y 3 y 1 Bài 7: Tìm min của: G x ay 2 6 x ay x2 16y2 8ay 2x 8y 10 HD: 2 G x ay 6 x ay 9 x2 2x 1 16y2 8ay 8y 2 2 2 2 G x ay 3 x 1 16y2 8y a 1 a 1 a 1 2 2 2 2 2 G x ay 3 x 1 4y a 1 a 1 a 1 Bài 8: Tìm max của: H x2 xy y2 2x 4y 11 HD: H x2 xy y2 2x 4y 11 x2 x y 2 y2 4y 11 2 y 2 y2 4y 4 y 2 H x2 2x. y2 4y 11 2 4 4 2 4H x y 2 4y2 16y 44 y2 4y 4 Bài 9: Tìm min của: K x2 y2 xy 3x 3y 20 HD: 2 2 4K 4x2 4y2 4xy 12x 12y 80 4x2 4x y 3 y 3 4y2 12y 80 y 3 2 4K 2x y 3 3y2 18y 71 Bài 10: Tìm min của: N x2 2xy 2y2 x HD: 2 2 2y 1 2y 1 2y 1 N x2 x 2y 1 2y2 x2 2x. 2y2 2 4 4 2 4N x 2y 1 8y2 4y2 4y 1 Bài 11: Tìm min của: A x2 2xy 3y2 2x 1997 HD: 2 A x2 2x y 1 3y2 1997 x2 2x y 1 y 1 3y2 1997 y2 2y 1 Bài 12: Tìm min của: Q x2 2y2 2xy 2x 10y HD: 2 Q x2 2x y 1 2y2 10y x2 2x y 1 y 1 2y2 10y y2 2y 1 Bài 13: Tìm max của: D x2 y2 xy 2x 2y Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10
  11. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD: D x2 y2 xy 2x 2y x2 x y 2 y2 2y 2 y 2 y 2 y2 4y 4 D x2 2x. y2 2y 2 4 4 Bài 14: Tìm GTNN của A a2 ab b2 3a 3b 3 HD: 2 2 Ta có: 4P a2 2ab b2 3 a2 b2 4 2ab 4a 4b a b 3 a b 2 0 Bài 15: Tìm min của: G x2 xy y2 3 x y 3 HD : 4G 4x2 4xy 4y2 12x 12y 12 2 4G 4x2 4x y 3 y 3 4y2 12y 12 y2 6y 9 2 2 2 4G 2x y 3 3y2 6y 3 2x y 3 3 y 1 0 Bài 16: Tìm min của: B x2 2xy 2y2 2x 10y 17 HD : 2 B x2 2x y 1 y 1 2y2 10y 17 y2 2y 1 2 x y 1 y2 8y 16 Bài 17: Tìm min của: D 2x2 2xy 5y2 8x 22y HD : 2D 4x2 4xy 10y2 16x 44y 4x2 4x y 4 10y2 44y 2 2D 4x2 2.2x y 4 y 4 10y2 44y y2 8y 16 Bài 18: Tìm min của: E 2x2 9y2 6xy 6x 12y 2004 HD : 2E 4x2 18y2 12xy 12x 24y 4008 2 2E 4x2 12x y 1 9 y 1 18y2 24y 4008 9 y2 2y 1 2 2E 2x y 1 9y2 42y 3999 Bài 19: Tìm min của: F x2 2xy 6y2 12x 12y 45 HD : 2 2 F x2 2x y 6 y 6 6y2 12y 45 y2 12y 36 x y 6 5y2 9 9 Bài 20: Tìm GTNN của biểu thức : a2 ab b2 3a 3b 3 HD: P a2 ab b2 3a 3b 3 4P a b 2 3 a b 2 2 0 Bài 21: Tìm min của: A x2 6y2 14z2 8yz 6zx 4xy HD: A x2 2x 2y 3z 6y2 14z2 2 A x2 2x 2y 3z 2y 3z 6y2 14z2 4y2 12yz 9z2 2 A x 2y 3z 2y2 12yz 23z2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11
  12. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 22: Tìm min của: B x2 2y2 3z2 2xy 2xz 2x 2y 8z 2000 HD: B x2 2x y z 1 2y2 3z2 2y 8z 2000 2 x2 2x y z 1 y z 1 2y2 3z2 2y 2z 2000 y2 z2 1 2yz 2z 2y 2 x y z 1 y2 2z2 4y 2yz 1999 2 2 x y z 1 y2 2y z 2 z 2 2z2 z2 4z 4 1999 2 2 x y z 1 y z 2 z2 4z 1995 Bài 23: Tìm max của: A 5 2x2 4y2 4xy 8x 12y HD: A 2x2 4y2 4xy 8x 12y 5 2x2 4x y 2 4y2 12y 5 2 2 2 x2 2x y 2 y 2 4y2 12y 5 2 y 2 Bài 24: Tìm GTNN của biểu thức : A x2 2xy 2y2 2x 10y 17 HD: 2 2 A x2 2x y 1 2y2 10y 17 x2 2x y 1 y 1 2y2 10y 17 y 1 2 2 2 A x y 1 2y 10y 17 y 2y 1 Bài 25: Tìm GTNN của biểu thức : B(x) x2 xy y2 3x 3y HD: B(x) (x2 2x 1) (y2 2y 1) x(y 1) (y 1) 3 (x 1)2 (y 1)2 (x 1)(y 1) 3 1 y 1 y 1 (x 1)2 2(x 1). .(y 1) ( )2 ( )2 (y 1)2 3 2 2 2 2 y 1 y2 2y 1 x 1 y2 2y 1 3 2 4 2 y 1 y 1 3(y 1)2 x 1 0 x 1 x 1 3 3 2 2 4 y 1 y 1 0 Bài 26: Tìm GTNN của biểu thức : C(x) 2x2 3y2 4xy 8x 2y 18 HD: 2 2 2 2 2 C(x) 2x 4xy 2y y 8x 2y 18 2 (x y) 2(x y)2 4 (y 6y 9) 1 2(x y 2)2 (y 3)2 1 1 min A 1 y 3; x 5 Bài 27: Tìm GTNN của biểu thức : E(x) 2x2 8xy 11y2 4x 2y 6 HD: 2 2 2 2 2 E(x) 2(x 4xy 4y ) 3y 4x 2y 6 2(x 2y) 4(x 2y) 2 3y 6y 4 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12
  13. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 2 x 2y 1 0 x 3 2(x 2y 1) 3(y 1) 1 1 y 1 0 y 1 Bài 28: Tìm GTNN của biểu thức : F(x) 2x2 6y2 5z2 6xy 8yz 2xz 2y 4z 2 HD: F(x) 2x2 6y2 5z2 6xy 8yz 2xz 2y 4z 2(kho) 3y z 3y z F(x) 2x2 2x(3y z) 2( )2 6y2 5z2 8yz ( )2 2y 4z 2 2 2 3y z 3 10 25 1 2(x )2 (y2 yz z2 ) z2 2y 4z 2 2 2 3 9 3 3y z 3 5 5 2 1 2 1 2(x )2 (y z)2 2(y z) ( z 2 z ) 1 2 2 3 3 3 3 3 3 3y z x 0 2 x 1 3 5 2 2 1 2 5 2 2( ) (y z ) (x 1) 1 1 y z 0 y 1 min A 1 2 3 3 3 3 3 z 1 z 1 0 Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức : G(x) 2x2 2y2 z2 2xy 2xz 2yz 2x 4y HD: G(x) 2x2 2y2 z2 2xy 2xz 2yz 2x 4y (x 1)2 (y 2)2 (x y z)2 5 5 x 1; y 2; z 3 Bài 30: Tìm GTNN của biểu thức : H (x) x2 y2 xy x y 1 HD: H (x) x2 y2 xy x y 1 4H (x) (2x)2 2.2x.y y2 3y2 4x 4y 4 2 1 8 8 (2x y)2 2(2x y) 3y2 2y 3 1 (2x y 1)2 3(y2 y 1) (2x y 1)2 3(y )2 3 2 3 3 8 2 1 2 min 4A x ; y min A 3 3 3 3 Bài 31: Tìm GTLN của biểu thức : x2 y 2 xy 2x 2y HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13
  14. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 A x2 y 2 xy 2x 2y 4A 4x2 4y2 4xy 8x 8y A 4x2 4x(y 2) (y 2)2 (y 2)2 4y2 8y (2x y 2)2 3(y2 4y) 4 (2x y 2)2 3(y 2)2 16 16 2x y 2 0 x 2 A 4 y 2 0 y 2 Bài 32: Tìm GTNN của biểu thức : A 5x2 9y 2 12xy 24x 48y 82 HD: A 5x2 9y 2 12xy 24x 48y 82 9y2 12y(x 4) 4(x 4)2 4(x 4)2 5x2 24x 82 2 16 3y 2(x 4) (x 4)2 2 2x, y R x 4; y 3 Bài 33: Tìm GTNN của biểu thức : B 3x2 3y 2 z2 5xy 3yz 3xz 2x 2y 3 HD: 2 3 3 y 4 2 B z (x y) (x )2 (y 2)2 1 1 2 4 3 3 3 Bài 34: Tìm GTNN của biểu thức : A x 2 2y2 2xy 2x 4y 2013 HD: A x 2 2y2 2xy 2x 4y 2013 x2 2x(y 1) (y 1)2 (y 3)2 2003 2003 x 4; y 3 Bài 35: Tìm min của: A 3x2 4y2 4xy 2x 4y 26 HD: 2 2 A 4y2 4xy 4y 3x2 2x 26 4y2 2.2y. x 1 x 1 3x2 2x 26 x 1 2 2 A 2y x 1 2x 2 4x 25 x 2y 1 2 x 2 2x 1 23 23 Bài 36: Tìm max của: A x2 y2 xy 2x 2y HD: A x2 y2 xy 2x 2y x2 xy 2x y2 2y x2 x y 2 y2 2y 2 2 2 2 2 y 2 y 4y 4 2 y 4y 4 y 2 3y A x 2x. y 2y x 3y 1 2 4 4 2 4 2 2x y 1 3 2 4 A y 4y 4 4 2 4 3 Bài 37: Tìm min của: C a2 ab b2 3x 3b 1989 HD: 2 2 b 3 b 3 b 3 C a2 a b 3 b2 3b 1989 a2 2.a. b2 3b 1989 2 4 4 4C 4a2 4ab 4b2 12a 12b 7956 2 2 2 4a2 4a b 3 b 3 4b2 12b 7956 b 3 2a b 3 3b2 6b 7947 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14
  15. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Dạng 4: PHÂN THỨC Phương pháp giải: m Biểu thức dạng A A (ax2 bc c) đạt giá trị nhỏ nhất khi mẫu đạt giá ax2 bc c min max trị lớn nhất Bên cạnh việc biến đổi về tổng các bình phương, ta sử dụng thêm tính chất nghịch đảo: 1 1 Nếu a b a b Chia tử cho mẫu nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu rồi đặt ẩn phụ. Sử dụng cả biểu thức Denta để tìm GTNN hoặc GTLN rồi mới biến đổi thêm bớt. Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm C C Ta đưa về dạng: A m ( 0) D D Dạng 4.1: Với m là hằng số hoặc m đã xác định được âm hoặc dương: m A A (ax2 bc c) ax2 bc c min max 2 Bài 1: Tìm min của: A 6x 5 9x2 HD: 2 Ta có: 9x2 6x 5 9x2 6x 1 4 3x 1 4 4 2 2 1 1 1 A , Dấu “ = ” khi x 6x 5 9x2 4 2 2 3 1 Bài 2: Tìm min của: B x2 4x 9 HD : 2 2 1 1 1 Ta có : x 4x 9 x 2 5 5 B 2 2 , Dấu “ = “ khi x=2 x 4x 9 x 2 5 5 3 Bài 3: Tìm max của: C x2 5x 1 HD : 2 2 5 21 21 3 12 4 5 Ta có : x 5x 1 x C 2 , Dấu “ = “ khi x 2 4 4 x 5x 1 21 7 2 6 Bài 4: Tìm min hoặc max của: D x2 2x 3 HD : 2 6 6 x2 x x2 x x Ta có : 2 3 2 3 1 2 2 2 3 x 2x 3 2 2 Bài 5: Tìm min hoặc max của: K x2 8 HD : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15
  16. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 2 1 Ta có : x2 8 8 x2 8 8 4 Bài 6: Tìm GTLN hoặc GTNN của các biểu thức sau 1 a)A 9x2 12x 10 HD: 1 1 1 1 2 A A x 9x2 12x 10 (3x 2)2 6 6 max 6 3 2 b) B x2 x 4 HD: 2 2 2 8 8 1 B B x 2 1 15 max x x 4 (x )2 15 15 2 2 4 y2 c)C (x 0) 9x2 12xy 5y2 HD: y2 C (x 0) 9x2 12xy 5y2 y 0 A 0 1 1 x 1 2 2 y 0 A (t ) 1 t x y x2 x 9t 2 12t 5 y (3t 2)2 1 3 3 9 12 5 y2 y Bài 7: Tìm GTNN hoặc GTLN của biểu thức sau 1 a) y x2 x 1 HD: 1 1 Ta có thể viết: y 2 2 x x 1 1 3 x 2 4 2 1 3 3 4 1 Vì x y x 2 4 4 3 2 4 1 Vậy GTLN của y tại x 3 2 2 b) y 6x 5 9x2 HD: 2 2 y ; 6x 5 9x2 (3x 1)2 4 1 1 (3x 1)2 4 4x (3x 1)2 4 4 2 2 1 (3x 1)2 4 4 2 1 x 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16
  17. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 3y2 c) A (x 0) 25x2 20xy 5y2 HD: y 0 A 0 3 3 3 y 0 A x2 x 25t 2 20t 5 (5t 2)2 1 25 20 5 y2 y 1 2 2 Vì (5t 2)2 0 1 A 3 t x y (5t 2)2 1 5 5 Bài 8: Tìm GTLN của biểu thức sau 5 a) A x2 2x 5 HD: 5 5 5 A maxA x 1 x2 2x 5 x 1 2 6 6 1 b) B x2 4x 11 HD: 1 1 B x 2 x2 4x 11 7 4 Bài 9: Tìm min hoặc max của: M x2 x 1 HD : 2 2 1 3 3 4 16 Ta có : x x 1 x 2 2 4 4 x x 1 3 Dạng 4.2: Các dạng khác 2 x2 x 1 Bài 1: Tìm min hoặc max của: C x2 1 HD : 2x 2x C 2 , Nháp : a a.x2 a 2x 0 , có 4 4a2 0 a 1 x2 1 x2 1 2x x2 2x 1 Khi đó : C 2 1 1 2 2 1 1 x 1 x 1 2 2x x2 2x 1 x 1 Mặt khác : C 2 1 1 2 2 3 2 3 3 x 1 x 1 x 1 x2 x 1 Bài 2: Tìm min hoặc max của: N x2 1 HD : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17
  18. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x 1 Nháp : a a.x2 x a 0 , có : 1 4a2 0 a x2 1 2 x 1 1 x2 2x 1 1 1 Khi đó ta có : N 2 1 x 1 2 2 2 x2 1 2 2 2 x 1 1 x2 2x 1 3 x 1 3 3 Mặt khác : N 2 1 x 1 2 2 2 x2 1 2 2 x2 1 2 2 3x2 6x 17 Bài 3: Tìm min hoặc max của: Q x2 2x 5 HD : 2 2 2 2 1 Ta có : Q 3 , mà x2 2x 5 x 1 4 4 x2 2x 5 x2 2x 5 4 2 2x2 16x 41 Bài 4: Tìm min hoặc max của: R x2 8x 22 HD : 2x2 16x 44 3 3 Ta có : R 2 , x2 8x 22 x2 8x 22 2 2 3 3 1 3 1 Mà x 8x 22 x 4 6 6 2 2 x 4 6 6 2 x 4 6 2 x2 Bài 5: Tìm min hoặc max của: P x2 2x 2010 HD : 2x 2010 Hạ phép chia ta được : P 1 , x2 2x 2010 2x 2010 Nháp : a a.x2 2a.x 2010a 2x 2010 0 x2 2x 2010 2 1 Có ' a 1 a 2010a 2010 0 a 1;a 2009 Làm tương tự như các bài trên . 2x2 6x 5 Bài 6: Tìm min hoặc max của: Q x2 2x 1 HD : 2x 3 Hạ phép chia ta được : Q 2 , Đặt x 1 t , khi đó ta có : x2 2x 1 3 2 t 1 2t 2 2t 1 2 1 1 Q 2 2 , Đặt a Q a2 2a 2 t 2 t 2 t t 2 t Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18
  19. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2x2 4x 4 Bài 7: Tìm min hoặc max của: A x2 HD : 4 4 1 A 2 , Đặt t A 4t 2 4t 2 x x2 x 3x2 6x 17 Bài 8: Tìm min hoặc max của: H x2 3x 5 HD : 3x 2 Hạ phép chia ta được : H 3 x2 3x 5 3x 2 Nháp : a a.x2 3a.x 3x 5a 2 0 , có : x2 3x 5 2 13 2 67 9 x 1 4a 5a 2 11a2 26a 9 0 a , 11 x2 4x 1 Bài 9: Tìm min hoặc max của: K x2 HD : 4 1 1 2 K 1 , đặt t K t 2 4t 1 t 2 3 3 x x2 x x2 4x 1 Bài 10: Tìm min hoặc max của: G x2 HD : 4 1 1 2 G 1 , Đặt t G t 2 4t 1 t 2 3 3 x x2 x 3x2 8x 6 Bài 11: Tìm min hoặc max của: E x2 2x 1 HD : Đặt x 1 t x t 1 x2 t 2 2t 1 2 3 t 2t 1 8 t 1 6 3t 2 2t 1 2 1 E 3 , t 2 t 2 t t 2 1 2 Đặt : a E a2 2a 3 a 1 2 2 t 4x2 6x 1 Bài 12: Tìm min hoặc max của: F 2x 1 2 HD : t 1 t 2 2t 1 Đặt 2x 1 t x x2 , Khi đó : 2 4 2 t 2t 1 3 t 1 1 t 2 5t 5 5 5 1 F 1 , Đặt a F 1 5a 5a2 t 2 t 2 t t 2 t x Bài 13: Tìm min hoặc max của: H x 10 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19
  20. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD : t 10 1 10 1 Đặt x 10 t x t 10 H , Đặt a H 10a2 a t 2 t t 2 t x Bài 14: Tìm min hoặc max của: I x 2016 2 HD : t 2016 1 2016 1 Đặt x 2016 t x t 2016 I , Đặt a I a 2016a2 t 2 t t 2 t x2 2x 2000 Bài 15: Tìm min hoặc max của: D x2 HD : 2 2000 1 Ta có : D 1 , Đặt a D 1 2a 2000a2 x x2 x x2 2x 2015 Bài 16: Tìm min hoặc max của: E 2015x2 HD : x2 2x 2015 2 2015 1 Ta có : 2015E 1 , Đặt a 2015E 1 2a 2015a2 x2 x x2 x 2 1 E a2 .a 2015 2015 x Bài 17: Tìm min hoặc max của: F x 2000 2 HD : t 2000 1 2000 1 Đặt x 2000 t F , Đặt a F a 2000a2 t 2 t t 2 t x2 x 1 Bài 18: Tìm min hoặc max của: B x2 2x 1 HD : 2 x x 1 2 B 2 ,Đặt x 1 t x t 1 x 2t 1 x 1 t 2 3t 3 3 3 1 B 1 , Đặt a B 3a2 3a 1 t 2 t t 2 t 2x2 4x 4 Bài 19: Tìm min hoặc max của: A x2 HD : 4 4 1 A 2 , Đặt a A 4a2 4a 2 x x2 x x2 2x 2012 Bài 20: Tìm min hoặc max của: B x2 HD : 2 2012 1 B 1 , Đặt a B 2012a2 2a 1 x x2 x Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20
  21. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 3 4x Bài 21 : Tìm cả min và max của: K x2 1 HD : Nháp để nhẩm GTLN và GTNN nếu có : 3 4x 2 2 2 a 1 a 2 ax a 3 4x a.x 4x a 3 0 , Xét 16 4a 12a 0 x 1 a 4 3 4x x2 4x 4 Khi đó ta có : K 2 1 1 2 1 1 , Dấu = khi x 2 x 1 x 1 3 4x 4x2 4x 1 1 Mặt khác : K 2 4 4 2 4 4 , Dấu = khí x x 1 x 1 2 27 12x Bài 22: Tìm min hoặc max của: M x2 9 HD : 27 12x Nháp : a a.x2 9a 27 12x a.x2 12x 9a 27 0 x2 9 a 4 Có ' 36 a 9a 27 0 a 1 2 27 12x 4x2 12x 9 2x 3 Khi đó ta có : M 2 4 4 2 4 2 4 4 x 9 x 9 x 9 2 27 12x x2 12x 36 x 6 Mặt khác : M 2 1 1 2 1 2 1 1 x 9 x 9 x 9 3x2 4x 8 Bài 23: Tìm min hoặc max của: N x2 3 HD : 3x2 9 4x 1 4x 1 4x 1 N 3 , Nháp : a a.x2 4x 3a 1 0 x2 3 x2 3 x2 3 4 Có ' 4 a 3a 1 0 a 1;a 3 2 4x 1 x 4x 4 Khi đó ta có : N 2 1 1 3 2 4 4 x 3 x 3 2 4x 1 4 4 4x2 12x 9 5 2x 3 5 5 Mặt khác : N 2 3 x 3 3 3 3 x2 3 3 3 x2 3 3 3 8x 3 Bài 24: Tìm min hoặc max của: P 4x2 1 HD : 8x 3 Nháp : a 4a.x2 a 8x 3 4a.x2 8x a 3 0 4x2 1 Có ' 16 4a a 3 a 4;a 1 2 8x 3 16x2 8x 1 4x 1 Khi đó : P 2 4 4 2 4 2 4 4 4x 1 4x 1 4x 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 21
  22. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 8x 3 4x2 8x 4 4 x 1 Mặt khác : P 2 1 1 2 1 2 1 1 4x 1 4x 1 4x 1 2 x2 x 1 Bài 25: Tìm min hoặc max của: C x2 1 HD : 2x 2x C 2 , Nháp : a a.x2 a 2x 0 , có 4 4a2 0 a 1 x2 1 x2 1 2x x2 2x 1 Khi đó : C 2 1 1 2 2 1 1 x 1 x 1 2 2x x2 2x 1 x 1 Mặt khác : C 2 1 1 2 2 3 2 3 3 x 1 x 1 x 1 x2 x 1 Bài 26: Tìm min hoặc max của: N x2 1 HD : x x 1 N 1 , Nháp : a a.x2 x a 0 , có : 1 4a2 0 a x2 1 x2 1 2 x 1 1 x2 2x 1 1 1 Khi đó ta có : N 2 1 x 1 2 2 2 x2 1 2 2 2 x 1 1 x2 2x 1 3 x 1 3 3 Mặt khác : N 2 1 x 1 2 2 2 x2 1 2 2 x2 1 2 2 Bài 27: Tìm GTNN của các biểu thức sau 3x2 8x 6 x2 x 1 a. A (x 1) b. B (x 1) x2 2x 1 (x 1)2 4x2 6x 1 2x2 16x 41 c. C (x 2) d. D (x R) (x 2)2 x2 8x 22 4x4 x2 1 3x2 12x 10 e. E f. F (x2 1)2 x2 4x 5 HD : 3x2 8x 6 2(x2 2x 1) (x2 4x 4) (x 2)2 a. A (x 1) 2 2 x 2 x2 2x 1 (x 1)2 (x 1)2 (x 1)2 3x2 8x 6 3(x2 2x 1) 2 x 1 1 2 1 Cách khác: A (x 1) x2 2x 1 (x 1)2 x 1 x 1 2 1 2 1 Đặt y A 3 2y y2 y 1 2 2 min A 2 y 1 1 x 2 x 1 x 1 x2 x 1 4x2 4x 4 x2 2x 1 3x2 6x 3 (x 1)2 3 3 b. B (x 1) x 1 (x 1)2 4(x 1)2 4(x 1)2 4(x 1)2 4(x 1)2 4 4 c. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 22
  23. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1 t x 2 1 x 2 t 1 1 A t 2 4(2 )2 6(2 ) 1 4(2t 1)2 6t(2t 1) t 2 5(t 1)2 1 1 t t t 1 x 1 2x2 16x 41 2(x2 8x 22) 3 3 d. D (x R) 2 x2 8x 22 x2 8x 22 (x 4)2 6 3 3 1 Vì (x 4)2 0 (x 4)2 6 6 (x 4)2 6 6 2 3 1 3 3 D 2 2 A (x 4)2 0 x 4 (x 4)2 6 2 2 min 2 4x4 x2 1 4(x4 2x2 1) 9(x2 1) 4 9 4 1 e. E 4 4t 2 9t 4(t ) (x2 1)2 (x2 1)2 x2 1 (x2 1)2 x2 1 9 81 E (2t )2 4 4 16 9 9 1 9 1 1 17 Ta có: t 1 2t 2 (2t )2 A 1 t 1 x 0 4 4 4 4 16 16 16 Lời giải khác 5x4 x2 E 1 0 A 1 x 0 (x2 1)2 4x4 x2 1 Cách khác: E 0 1 1 x 0 (x2 1)2 (x2 1)2 3x2 12x 10 5 5 f. F 3 3 3 5 2 x2 4x 5 x2 4x 5 (x 2)2 1 5 Do (x 2)2 1 1 5 x 2 (x 2)2 1 Bài 28:Tìm GTLN của các biểu thức sau 3x2 6x 10 x2 x 11 a. A (x 1) b. B (x 1) x2 2x 3 x2 2x 1 x x2 4x 14 c. C (x 5) d. D (x 1) x2 10x 25 x2 2x 1 HD : 3x2 6x 10 3(x2 2x 3) 1 1 a. A 3 x2 2x 3 x2 2x 3 (x 1)2 2 (x 1)2 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 23
  24. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 (x 1)2 0 (x 1)2 2 2 1 1 Có: (x 1)2 2 2 1 7 A 3 2 2 7 A x 1 max 2 x2 x 11 x2 2x 1 x 1 11 (x 1)2 (x 1) 11 1 11 b. B 1 x2 2x 1 (x 1)2 (x 1)2 x 1 (x 1)2 1 y x 1 Đặt 1 1 1 1 A 1 y 11y2 (11y2 y 1) 11(y2 2.y. 22 222 222 11 1 43 43 1 43 1 11(y )2 11(y )2 y x 21 22 44 44 22 44 22 x x (x 5) 5 1 5 1 c. C (x 5) t 5t 2 (t ) x2 10x 25 (x 5)2 (x 5)2 x 5 (x 5)2 x 5 1 1 1 1 1 1 1 A 5t 2 t 5(t )2 A t x 5 10 20 20 20 10 x 5 10 x2 4x 14 d. D (x 1) . x2 2x 1 Đặt 1 1 t x 1 x 1 t 1 1 A t 2 (1 )2 4(1 ) 14 (t 1)2 4t(t 1) 14t 2 (3t 1)2 2 2 t t 1 D 2 t x 4 3 7y2 4xy Bài 29:Tìm GTNN, GTLN của A x2 2xy 2y2 HD : Điều kiện (x, y) (0,0) x2 6xy 9y2 (x 3y)2 A 1 0 A 1 x 3y 0 (x y)2 y2 (x y)2 y 2 (y2 4xy 4x2 ) (2x y)2 A 4 0 A 4 x 1; y 2 (x y)2 y2 (x y)2 y2 x2 x 1 x2 3x 3 Bài 30: Tìm GTNN của biểu thức A x 1 ; B x 1 (x 1)2 (x 1)2 HD : x2 x 1 (x2 2x 1) x 1 1 1 1 1 A 1 1 y y2 (y ) (x 1)2 (x 1)2 x 1 (x 1)2 x 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 24
  25. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1 3 3 3 1 A (y )2 A y x 1 2 4 4 min 4 2 x2 3x 3 (x2 2x 1) x 1 1 1 1 1 B 1 y2 y 1(y ) (x 1)2 (x 1)2 x 1 (x 1)2 x 1 1 3 3 1 B (y ) 2 y x 3 2 4 4 2 x2 y2 Bài 31: Tìm GTNN của biểu thức A x2 2xy y2 HD : 1 2 2 2 2 x y x y 2 x y 1 1 x y 1 1 Ta có: A 2 . minA x y x2 2xy y2 x y 2 2 2 x y 2 2 2 2x2 10x 1 Bài 32: Tìm GTNN của biểu thức A x 1 x2 2x 1 HD : 2 2 2x2 10x 1 2 x 2x 1 6 x 1 9 6 9 3 Ta có: A 2 2 2 2 1 3 3 x 2x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 3 3 Vì 1 0x 1 maxA 3 1 0 x 2 x 1 x 1 Bài 33: Tìm GTNN của các biểu thức sau 8x 12 4x 2 a. A b. B x2 4 x2 2 (x 2)(x 8) c. C (x 0) x HD : 8x 12 x2 8x 16 x2 4 (x 4)2 a. A 1 1 x 4 x2 4 x2 4 x2 4 4x 2 (x2 4x 4) (x2 2) (x 2)2 b. B 1 1 x 2 x2 2 x2 2 x2 2 (x 2)(x 8) (x 4)2 c. C (x 0) 18 18 x 4 x x Bài 34: Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau 3 4x 2x 1 4x 3 a. A b. B c. C x2 1 x2 2 x2 1 8x 3 4x d. D e. E 4x2 1 4x2 1 HD : 3 4x x2 4x 4 x2 1 (x 2) 2 a. A 1 1 x 2 0 x 2 x2 1 x2 1 x2 1 3 4x 4x2 4 4x2 4x 1 (2x 1)2 1 A 4 4 A 4 x x2 1 x2 1 x2 1 max 2 2x 1 4x 2 b. B x2 2 2(x2 2) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 25
  26. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2x 1 4x 2 (x2 4x 4) (x2 2) (x 2)2 1 1 1 B A x 2 x2 2 2(x2 2) 2(x2 2) 2(x2 2) 2 2 min 2 2x 1 4x 2 x2 2x 1 x2 2 (x 1)2 B 1 1 A 1 x 1 x2 2 2(x2 2) x2 2 x2 2 x2 2 max 4x 3 x2 4x 4 x2 1 (x 2)2 c. C 1 1 x 2 x2 1 x2 1 x2 1 4x 3 4x2 4x 1 4x2 4 (2x 1)2 1 C 4 4 x x2 1 x2 1 x2 1 2 8x 3 (4x2 8x 4) (4x2 1) (2x 2)2 d. D 1 1 x 1 4x2 1 4x2 1 4x2 1 8x 3 16x2 4 (16x2 8x 1) (4x 1)2 1 D 4 4 x 4x2 1 4x2 1 4x2 1 4 4x 4x2 1 4x2 1 4x (2x 1)2 1 e. E 1 1 x 4x2 1 4x2 1 4x2 1 2 4x (4x2 1) (4x2 4x 1) (2x 1)2 1 E 1 1 x 4x2 1 4x2 1 4x2 1 2 3(x 1) Bài 35: Tìm GTLN của biểu thức A x3 x2 x 1 HD : 3(x 1) 3 A 3 x 0 A 3 x 0 x3 x2 x 1 x2 1 max 2010x 2680 Bài 36:Tìm GTNN của các biểu thức sau D (x R) x2 1 HD : 2010x 2680 335(6x 8) 335(x2 6x 9 x2 1) 335(x 3) 2 D (x R) 335 335 x 3 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 15x 16 Bài 37: Tìm GTNN của biểu thức sau A x R 3x HD : 2 x2 15x 16 x 4 23 23 23 Ta có: A x R minA x 4 3x 3x 3 3 3 xy2 y2 y2 x 1 Bài 38: Tìm GTLN của biểu thức sau A x, y R x2 y4 2y4 x2 2 HD : 2 2 2 xy y y x 1 y4 1 Ta có: A x, y R x2 y4 2y4 x2 2 y4 1 x2 2 1 Vì y4 1 0x nên chia cả tử và mẫu cho y4 1 ta được: A x2 2 1 1 Vì x2 0x x2 2 2x A x 0; y R x2 2 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 26
  27. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x2 Bài 39: Tìm GTLN của biểu thức sau A x4 x2 1 HD : Xét x 0 A 0 giá trị này không phải giá trị lớn nhất của A vì với x 0 A 0 1 Xét x 0 đặt P A P A max min x4 x2 1 1 1 Ta có P x2 1; x2 2 Cosi P 2 1 3 P 3 x 1 x2 x2 x2 min Bài 40:Tìm GTN N của các biểu thức sau x2 2x 3 x2 x 1 a. A (x 0) b. B (x 1) x2 (x 1)2 x2 2x 3 x2 2x 2016 c. C d. D x2 2 x2 HD : x2 2x 3 3(x2 2x 3) (x 3)2 2 2 2 a. A (x 0) x 3 A x 3 x2 3x2 3x2 3 3 min 3 x2 x 1 4x2 4x 4 x2 2x 1 3x2 6x 3 (x 1)2 3 3 b. B (x 1) x 1 (x 1)2 4(x 1)2 4(x 1)2 4(x 1)2 4(x 1)2 4 4 2(x2 2x 3) x2 4x 4 x2 2 1 (x 2)2 1 c. C x 2 2(x2 2) 2(x2 2) 2(x2 2) 2 2(x2 2) 2 x2 2x 2016 2016x2 2x.2016 2016 (x 2016)2 2015 2015 d. D x 2016 x2 2016x2 x2 2016 2016 Bài 41:Tìm GTLN của các biểu thức sau 6x2 2x 19 x2 2x 3 a. A b. B 3x2 x 7 x2 2 HD : 6x2 2x 19 2(3x2 x 7) 5 5 a. A 2 3x2 x 7 3x2 x 7 3x2 x 7 Đặt 1 83 83 1 5 60 1 M 3x2 x 7 3(x )2 x A M A 2 2 x 6 12 12 6 max min max 83 83 6 12 x2 2x 3 2x2 x2 2x 3 2(x2 2) 4 x2 2x 3 (x 1)2 b. B 2 2 x 1 x2 2 x2 2 x2 2 x2 2 Bài 42:Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau 3x2 2x 3 x2 2x 2 a. A b. B x2 1 x2 x 1 HD : 3x2 2x 3 2(x2 1) (x 1)2 (x 1)2 a. A 2 2 x 1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 3x2 2x 3 4x2 4 (x2 2x 1) (x 1)2 A 4 4 x 1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 27
  28. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x2 2x 2 3x2 (2x2 2x 2) 3x2 b. B 2 2 x 0 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 3x2 3 Với x 0 A 2 2 2 1 1 x x 1 1 x x2 1 1 3 1 1 3 3 1 1 Ta lại có: 1 ( ) 2 A 2 2 x 2 x x 2 4 2 x 4 3 2 x 4 3x2 6x 10 Bài 43:Tìm GTLN của A x2 2x 3 HD : 1 1 A 3 3 x2 2x 3 (x 1)2 2 1 A [ ] max (x 1)2 2 max 2 [(x 1) 2]min (x 1)2 2 2 x 1 1 1 7 x 1 A x 1 (x 1)2 2 2 max 2 3x2 6x 10 Bài 44: Tìm GTLN của biểu thức sau A x R x2 2x 3 HD : 3x2 6x 10 1 1 7 Ta có: A 3 3 x 1 x2 2x 3 x 1 2 2 2 2 2x 1 Bài 45: Tìm min hoặc max của: D x2 2 HD : 2x 1 1 Nháp : a a.x2 2x 2a 1 0 , có ' 1 a 2a 1 0 a 1;a x2 2 2 2 2x 1 x2 2x 1 x 1 Khi đó : D 2 1 1 2 1 2 1 1 x 1 x 2 x 2 2x 1 1 1 x2 4x 4 1 1 Mặt khác : D 2 x 2 2 2 2 x2 2 2 2 2x 1 Bài 46: Tìm min hoặc max của: E x2 HD : 2 1 1 E , Đặt a E a2 2a x x2 x 2x 1 Bài 47: Tìm min hoặc max của: F x2 2 HD : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 28
  29. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2x 1 1 Nháp : a a.x2 2x 2a 1 0 , có ' 1 a 2a 1 1 2a2 a a ;a 1 x2 2 2 2 2x 1 1 1 x2 4x 4 1 x 2 1 1 Khi đó : F 2 x 2 2 2 2 x2 2 2 2 x2 2 2 2 2 2x 1 x2 2x 1 x 1 Mặt khác : F 2 1 1 2 1 2 1 1 x 2 x 2 x 2 6x 8 Bài 48: Tìm min hoặc max của: G x2 1 HD : 6x 8 Nháp : a a.x2 6x a 8 0 , có : x2 1 ' 9 a a 8 a2 8a 9 0 a 1;a 9 2 6x 8 x2 6x 9 x 3 Khi đó : G 2 1 1 2 1 2 1 1 x 1 x 1 x 1 2 6x 8 9x2 6x 1 3x 1 Mặt khác : G 2 9 9 2 9 2 9 9 x 1 x 1 x 1 3x2 6x 17 Bài 49: Tìm min hoặc max của: Q x2 2x 5 HD : 2 2 2 2 1 Ta có : Q 3 , mà x2 2x 5 x 1 4 4 x2 2x 5 x2 2x 5 4 2 2x2 16x 41 Bài 50: Tìm min hoặc max của: R x2 8x 22 HD : 2x2 16x 44 3 3 Ta có : R 2 , x2 8x 22 x2 8x 22 2 2 3 3 1 3 1 Mà x 8x 22 x 4 6 6 2 2 x 4 6 6 2 x 4 6 2 x6 27 Bài 51: Tìm min hoặc max của: A x4 3x3 6x2 9x 9 HD : Hạ phép chia ta được : A x2 3x 3 x6 512 Bài 52: Tìm min hoặc max của: B x2 8 HD : 2 Hạ phép chia ta được : B x4 8x2 64 x2 4 48 48 4x4 16x3 56x2 80x 356 Bài 53: Tìm min hoặc max của: G x2 2x 5 HD : 256 256 G x2 x x2 x t G t Hạ phép chia ta được: 4 2 5 2 , Đặt 2 5 4 x 2x 5 t Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 29
  30. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Sau đó sử dụng co si là ra. x2 1 Bài 54: Tìm min của: H x2 1 HD : x2 1 2 2 H 1 x2 1 x2 1 8 Bài 55: Tìm min hoặc max của: I 3x2 2 HD : 8 8 Ta có : 3x2 2 2 4 3x2 2 2 x2 Bài 56: Tìm min hoặc max của: P x2 2x 2010 HD : 2x 2010 Hạ phép chia ta được : P 1 , x2 2x 2010 2x 2010 Nháp : a a.x2 2a.x 2010a 2x 2010 0 x2 2x 2010 2 1 Có ' a 1 a 2010a 2010 0 a 1;a 2009 Làm tương tự như các bài trên . 2x2 6x 5 Bài 57: Tìm min hoặc max của: Q x2 2x 1 HD : 2x 3 Hạ phép chia ta được : Q 2 , Đặt x 1 t , khi đó ta có : x2 2x 1 3 2 t 1 2t 2 2t 1 2 1 1 Q 2 2 , Đặt a Q a2 2a 2 t 2 t 2 t t 2 t 2x2 4x 4 Bài 58: Tìm min hoặc max của: A x2 HD : 4 4 1 A 2 , Đặt t A 4t 2 4t 2 x x2 x 2x 1 Bài 59: Tìm min hoặc max của: B x2 2 HD : 2x 1 1 Nháp : a a.x2 2x 2a 1 0 , có ' 1 a 2a 1 0 a 1;a x2 2 2 2 2x 1 x2 2x 1 x 1 Khi đó ; B 2 1 1 2 1 1 2 1 x 2 x 2 x 2 2 2x 1 1 1 x2 4x 4 1 x 2 1 1 Mặt khác : B 2 x 2 2 2 2 x2 2 2 2 x2 2 2 2 x2 2 Bài 60: Tìm min hoặc max của: C x2 x 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 30
  31. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD : x2 2 8 2 2 Nháp : a a.x2 2a x2 2 0 , có a2 4 a 1 .2 a 1 a x2 x 2 7 Làm tương tự như các bài trên x2 2x 3 Bài 61: Tìm min hoặc max của: D x2 2x 3 HD : 2 x 2x 3 2 Nháp : a a.x2 2a.x 3a x2 2x 3 0 , có ' a 1 3 a 1 a 1 x2 2x 3 ' 2a2 8a 2 0 a 2 3 , làm như các bài trên. x2 y x2 x2 y 1 Bài 62: Tìm min hoặc max của:G 2x4 x4 y2 y2 2 HD : x2 y x4 x2 y 1 x4 1 1 Ta có : G 2x4 x4 y2 y2 2 2 x4 1 y2 x4 1 y2 2 x4 1 Bài 63: Tìm min hoặc max của: H 2 x2 1 HD : t 2 2t 1 1 2 2 Đặt x2 1 t x2 t 1 x4 t 2 2t 1 , khi đó H 1 t 2 t t 2 1 Đặt a H 2a2 2a 1 t 3x2 4 Bài 64: Tìm min hoặc max của: A x2 4 HD : 3x2 12 8 8 A= 3 x2 4 x2 4 3x2 2x 3 Bài 65: Tìm min hoặc max của: C x2 1 HD : 3x2 3 2x 2x C 3 x2 1 x2 1 2x Nháp : a a.x2 2x a 0 , có ' 1 a2 0 a 1 x2 1 2x x2 2x 1 Khi đó : C 2 1 1 3 2 2 2 x 1 x 1 2 2x x2 2x 1 x 1 Mặt khác : C 2 1 1 3 2 4 2 4 4 x 1 x 1 x 1 3x2 6x 17 Bài 66: Tìm min hoặc max của: H x2 3x 5 HD : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 31
  32. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 3x 2 Hạ phép chia ta được : H 3 x2 3x 5 3x 2 Nháp : a a.x2 3a.x 3x 5a 2 0 , có : x2 3x 5 2 13 2 67 9 x 1 4a 5a 2 11a2 26a 9 0 a , 11 2x2 16x 71 Bài 67: Tìm min hoặc max của: I x2 8x 22 HD : 27 2 Hạ phép chia ta được : I 2 , mà x2 8x 22 x 4 6 6 x2 8x 22 x2 4x 1 Bài 68: Tìm min hoặc max của: K x2 HD : 4 1 1 2 K 1 , đặt t K t 2 4t 1 t 2 3 3 x x2 x 2x2 4x 9 Bài 69: Tìm min hoặc max của: N x2 2x 4 HD : 1 2 Hạ phép chia ta được : N 2 , mà x2 2x 4 x 1 3 3 x2 2x 4 x2 Bài 70: Tìm min hoặc max của: P x4 1 HD : t 1 Nháp : Đặt x2 t a at 2 t a 0 a t 2 1 2 2 2 x2 1 1 x4 2x2 1 1 x 1 1 1 Khi đó : P , Không xảy ra dấu bằng 4 4 4 x 1 2 2 2 x 1 2 2 x 1 2 2 2 2 x2 1 1 x4 2x2 1 1 x 1 1 1 Mặt khác : P 4 4 4 x 1 2 2 2 x 1 2 2 x 1 2 2 x2 2x 1999 x3 Bài 71: Tìm min hoặc max của: Q : x2 3x 2 x2 3x2 2x HD : x2 2x 1999 2 1999 Thực hiện phép tính ta được : Q 1 , x2 x x2 1 Đặt t Q 1999t 2 2t 1 x 2x2 4x 9 Bài 72: Tìm min hoặc max của: D x2 2x 4 HD : 1 2 D 2 , mà x2 2x 4 x 1 3 3 x2 2x 4 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 32
  33. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x2 2x 2 Bài 73: Tìm min hoặc max của: F x2 2x 2 HD : 4x F 1 x2 2x 2 4x 2 Nháp : a a.x2 2a.x 4a 2a 0 , có ' a 2 a.2a 0 a 2 2 2 x2 2x 2 x4 1 Bài 74: Tìm min hoặc max của: G 2 x2 1 HD : Đặt x2 1 t x2 t 1 x4 t 2 2t 1 t 2 2t 2 2 2 1 Khi đó : G 1 , đặt a G 2a2 2a 1 t 2 t t 2 t 2x2 2xy 9y2 Bài 75: Tìm min hoặc max của: H x2 2xy 5y2 HD : Chia cá tử và mẫu cho y2 ta được: x2 x 2. 2. 9 y2 y x 2t 2 2t 9 6t 1 H , đặt t H 2 x2 x y t 2 2t 5 t 2 2t 5 2. 5 y2 y 6t 1 Nháp : a at 2 2at 5a 6t 1 0 , t 2 2t 5 2 9 Có : ' a 3 a 5a 1 0 a 1;a , làm giống các bài trên 4 4x 3 Bài 76: Tìm min và max của: I x2 1 HD: 4x 3 Nháp: a a.x2 4x a 3 0 , có ' 4 a a 3 0 a 4;a 1 x2 1 2 4x 3 4x2 4x 1 2x 1 Khi đó: I 2 4 4 2 4 2 4 4 x 1 x 1 x 1 2 4x 3 x2 4x 4 x 2 Mặt khác: I 2 1 1 2 1 2 1 1 x 1 x 1 x 1 2 2x 1 Bài 77: Tìm min P x2 2 HD : 4x 2 Nháp : a a.x2 4x 2a 2 0 , có ' 4 a 2a 2 0 a 2;a 1 x2 2 2 4x 2 2x2 4x 2 2 x 1 Khi đó : P 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 x 2 x 2 4x 2 x2 4x 4 Mặt khác : P 2 1 1 2 1 1 x 2 x 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 33
  34. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x2 1 Bài 78: Tìm min hoặc max của: J x2 x 1 HD : x Ta có : J 1 x2 x 1 x 2 1 Nháp : a a.x2 a.x x a 0 , có a 1 4a.a 0 a 1;a x2 x 1 3 2 x x2 2x 1 x 1 Khi đó : J 1 2 1 1 2 2 2 2 2 x x 1 x x 1 x x 1 x 1 1 2 x2 2x 1 2 Mặt khác : J 1 2 x x 1 3 3 3 3 x2 x 1 3 x2 2 Bài 79: Tìm min hoặc max của: K x2 x 2 HD : x Ta có : K 1 x2 x 2 x 2 1 2 2 Nháp : a a.x2 a.x x 2a 0 , có : a 1 4a.2a 0 a x2 x 2 7 4x 1 Bài 80: Tìm min hoặc max của: M x2 3 HD : 4x 1 4 Nháp : a a.x2 4x 3a 1 0 , có ' 4 a 3a 1 0 a 1;a x2 3 3 3x2 6x 14 Bài 81: Tìm min hoặc max của: N 2x2 5 HD : 3x2 6x 14 Nháp : a 2a.x2 5a 3x2 6x 14 0 2x2 5 33 Có ' 9 2a 3 5a 14 0 a 1;a 10 12x 13 Bài 82: Tìm min hoặc max của: P x2 2x 3 HD : 12x 13 Nháp : a a.x2 2a.x 3a 12x 13 0 , x2 2x 3 2 9 Có ' a 6 a 3a 13 0 a 4;a 2 5y2 3xy Bài 83: Tìm min hoặc max của: Q x2 3xy 4y2 HD : x 5 3. y x 5 3t Chia cả tử và mẫu cho y2 ta được: Q , đặt t Q x2 x y t 2 3t 4 3. 4 y2 y Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 34
  35. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 5 3t 2 Nháp : a at 2 3at 4a 3t 5 0 , có : 9 a 1 4a 4a 5 0 t 2 3t 4 9 => a 1;a 7 x2 4y2 Bài 84: Tìm min hoặc max của: R 3x2 4xy 5y2 HD : x2 4 y2 x t 2 4 Chia cả tử và mẫu cho y2 ta được: R , Đặt t R x2 x y 3t 2 4t 5 3. 4. 5 y2 y t 2 4 Nháp : a 3at 2 4at 5a t 2 4 0 , 3t 2 4t 5 4 Có ' 4a2 3a 1 5a 4 0 a 1;a 11 x2 6x 23 Bài 85: Tìm min hoặc max của: A x2 6x 10 HD : 13 A 1 x2 6x 10 y2 Bài 86: Tìm min hoặc max của: B 9x2 12xy 5y2 HD : 1 x 1 Chia cả tử và mẫu cho y2 ta được: B , Đặt t B x2 x y 9t 2 12t 5 9 12 5 y2 y 3x2 12x 10 Bài 87: Tìm min hoặc max của: C x2 4x 5 HD : 5 C 3 x2 4x 5 3y2 Bài 88: Tìm min hoặc max của: D 25x2 20xy 5y2 HD : 3 x 3 Chia cả tử và mấu cho y2 ta được: D , Đặt t D x2 x t 25t 2 20t 5 25 20 5 y2 y 4x2 6x 1 Bài 89: Tìm min hoặc max của: E x 2 2 HD : 4t 2 10t 5 10 5 Đặt x 2 t x2 t 2 4t 4 , khi đó : E 4 , t 2 t t 2 1 Đặt a E 5a2 10a 4 t Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 35
  36. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x2 4x 14 Bài 90: Tìm min hoặc max của: F x2 2x 1 HD : t 2 6t 9 6 9 Đặt x 1 t x2 t 2 2t 1 , Khi đó : F 1 t 2 t t 2 1 Đặt a F 9a2 6a 1 t 4x2 6x 3 Bài 91: Tìm min hoặc max của: G 2x2 3x 2 HD : 1 Hạ phép chia ta được : G 2 2x2 3x 2 3x2 2xy y2 Bài 92: Tìm min hoặc max của: H 9x2 6xy 2y2 HD : x2 x 3 2. 1 y2 y x 3t 2 2t 1 Chia cả tử và mẫu cho y2 ta được: H , Đặt t H x2 x y 9t 2 6t 2 9 6 2 y2 y 3t 2 2t 1 Nháp : a 9at 2 6at 2a 3t 2 2t 1 0 , 9t 2 6t 2 2 1 2 có : ' 3a 1 9a 3 2a 1 0 a ;a 3 3 4x2 22x 19 Bài 93: Tìm min hoặc max của: I x2 4x 4 HD : 6x 3 6 t 2 3 6 9 I 4 2 , Đặt x 2 t I 4 2 4 2 x 2 t t t 1 Đặt a I 9a2 6a 4 t 9x2 30x 7 Bài 94: Tìm min hoặc max của: K 9x2 6x 1 HD : 24x 8 3t 3 8 3 11 K 1 2 , đặt 3x 1 t 3x t 1 K 1 2 1 2 3x 1 t t t 1 Đặt a K 11a2 3a 1 t x2 5xy 2y2 Bài 95: Tìm min hoặc max của: M 2x2 10xy 7y2 HD : x2 x 5 2 y2 y x t 2 5t 2 Chia cả tử và mẫu cho y2 ta được: M , Đặt t M x2 x y 2t 2 10t 7 2 10 7 y2 y Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 36
  37. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 t 5t 2 2 Nháp a 2at 2 10at 7a t 2 5t 2 , có : 25 2a 1 4 2a 1 7a 2 2t 2 10t 7 1 17 0 a ;a 2 22 22x2 58xy 73y2 Bài 96: Tìm min hoặc max của: N x2 4xy 4y2 HD : x2 x 22 58 73 y2 y x 22t 2 58t 73 Chia cả tử và mấu cho y2 ta được: N , Đặt t N x2 x y t 2 4t 4 4 4 y2 y 30t 15 30 a 2 15 30a 45 30 45 N 22 2 , Đặt t 2 a N 22 2 22 2 22 2 t 2 a a a a 1 Đặt b N 22 30b 45b2 a 8x2 6xy Bài 97: Tìm min hoặc max của: P x2 y2 HD : x2 x 8 6 y2 y x 8t 2 6t 6t 8 Chia cả tử và mẫu cho y2 ta được: P , Đặt t P 8 x2 y t 2 1 t 2 1 1 y2 6t 8 Nháp : a at 2 a 6t 8 0 , có ' 9 a a 8 0 a 1;a 9 t 2 1 x2 3x 3 Bài 98: Tìm min hoặc max của: Q x2 2x 1 HD : x 2 t 1 1 1 Q 1 2 , Đặt x 1 t x t 1 Khi đó : Q 1 2 1 2 x 1 t t t 1 Dặt a Q a2 a 1 t x2 xy y2 Bài 99: Tìm min hoặc max của: R x2 xy y2 HD : x2 x 1 y2 y x t 2 t 1 2t Chia cả tử và mẫu cho y2 ta được: R , Đặt t R 1 x2 x y t 2 t 1 t 2 t 1 1 y2 y 2t 2 2 Nháp : a at 2 at a 2t 0 , có a 2 4a.a 0 a 2;a t 2 t 1 3 x2 Bài 100: Tìm GTLN của biểu thức: , GTLN đó đạt được tại giá trị nào của x x4 x2 1 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 37
  38. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x2 1 1 Ta có :P(x) = x2 1 3 x4 x2 1 P(x) x2 x2 x 1 Bài 101: Tìm GTNN của biểu thức: M (x 1) x2 2x 1 HD: x2 2x 1 x 1 1 1 1 Ta có : M 1 x2 2x 1 x 1 x 1 2 2 1 2 1 3 3 Đặt t , ta có: M t t 1 t x 1 2 4 4 3 x 1 Bài 102 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B x3 x2 x 1 HD: 3 x 1 3 x 1 3 x 1 3 Ta có: B x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x2 1 x 1 x2 1 3 Do x2 1 0 B 3 , Dấu bằng khi và chỉ khi x=0 x2 1 x2 2x 2012 Bài 103: Tìm GTNN của biểu thức : P , với x 0 x2 HD : 2 2012 1 P 1 , Đặt t P 1 2t 2012t 2 x x2 x 4x 3 Bài 104: Tìm giá trị lớn nhất của P x2 1 HD : 4x 3 Nháp : a a.x2 a 4x 3 0 , có ' 4 a a 3 0 a 1;a 4 x2 1 x2 2x 2011 Bài 105: Cho biểu thức M , với x>0, Tìm x để M có GTNN x2 HD : 2 2011 1 M 1 , Đặt t M 2011t 2 2t 1 x x2 x 2x2 4x 9 Bài 106: Tìm min hoặc max của: N x2 2x 4 HD: 1 2 Hạ phép chia ta được : N 2 , mà x2 2x 4 x 1 3 3 x2 2x 4 x2 2x 1999 x3 Bài 107: Tìm min hoặc max của: Q : x2 3x 2 x2 3x2 2x HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 38
  39. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x2 2x 1999 2 1999 Thực hiện phép tính ta được : Q 1 , x2 x x2 1 Đặt t Q 1999t 2 2t 1 x 2x2 4x 9 Bài 108: Tìm min hoặc max của: D x2 2x 4 HD: 1 2 D 2 , mà x2 2x 4 x 1 3 3 x2 2x 4 x2 2x 2 Bài 109: Tìm min hoặc max của: F x2 2x 2 HD: 4x F 1 x2 2x 2 4x 2 Nháp : a a.x2 2a.x 4a 2a 0 , có ' a 2 a.2a 0 a 2 2 2 x2 2x 2 2x2 2xy 9y2 Bài 110: Tìm min hoặc max của: H x2 2xy 5y2 HD: Chia cá tử và mẫu cho y2 ta được: x2 x 2. 2. 9 y2 y x 2t 2 2t 9 6t 1 H , đặt t H 2 x2 x y t 2 2t 5 t 2 2t 5 2. 5 y2 y 6t 1 Nháp : a at 2 2at 5a 6t 1 0 , t 2 2t 5 2 9 Có : ' a 3 a 5a 1 0 a 1;a , làm giống các bài trên 4 x2 1 Bài 111: Tìm min hoặc max của: J x2 x 1 HD: x Ta có : J 1 x2 x 1 x 2 1 Nháp : a a.x2 a.x x a 0 , có a 1 4a.a 0 a 1;a x2 x 1 3 2 x x2 2x 1 x 1 Khi đó : J 1 2 1 1 2 2 2 2 2 x x 1 x x 1 x x 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 39
  40. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x 1 1 2 x2 2x 1 2 Mặt khác : J 1 2 x x 1 3 3 3 3 x2 x 1 3 5y2 3xy Bài 112: Tìm min hoặc max của: Q x2 3xy 4y2 HD: x 5 3. y x 5 3t Chia cả tử và mẫu cho y2 ta được: Q , đặt t Q x2 x y t 2 3t 4 3. 4 y2 y 5 3t 2 Nháp : a at 2 3at 4a 3t 5 0 , có : 9 a 1 4a 4a 5 0 t 2 3t 4 9 => a 1;a 7 x2 4y2 Bài 113: Tìm min hoặc max của: R 3x2 4xy 5y2 HD: x2 2 4 2 2 y x t 4 Chia cả tử và mẫu cho y ta được: R , Đặt t R x2 x y 3t 2 4t 5 3. 4. 5 y2 y t 2 4 Nháp : a 3at 2 4at 5a t 2 4 0 , 3t 2 4t 5 4 Có ' 4a2 3a 1 5a 4 0 a 1;a 11 x2 6x 23 Bài 114: Tìm min hoặc max của: A x2 6x 10 HD: 13 A 1 x2 6x 10 y2 Bài 115: Tìm min hoặc max của: B 9x2 12xy 5y2 HD: 1 x 1 Chia cả tử và mẫu cho y2 ta được: B , Đặt t B x2 x y 9t 2 12t 5 9 12 5 y2 y 3y2 Bài 116: Tìm min hoặc max của: D 25x2 20xy 5y2 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 40
  41. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 3 x 3 Chia cả tử và mấu cho y2 ta được: D , Đặt t D x2 x t 25t 2 20t 5 25 20 5 y2 y 4x2 6x 1 Bài 117: Tìm min hoặc max của: E x 2 2 HD: 4t 2 10t 5 10 5 Đặt x 2 t x2 t 2 4t 4 , khi đó : E 4 , t 2 t t 2 1 Đặt a E 5a2 10a 4 t x2 4x 14 Bài 118: Tìm min hoặc max của: F x2 2x 1 HD: t 2 6t 9 6 9 Đặt x 1 t x2 t 2 2t 1 , Khi đó : F 1 t 2 t t 2 1 Đặt a F 9a2 6a 1 t 4x2 6x 3 Bài 119: Tìm min hoặc max của: G 2x2 3x 2 HD: 1 Hạ phép chia ta được : G 2 2x2 3x 2 3x2 2xy y2 Bài 120: Tìm min hoặc max của: H 9x2 6xy 2y2 HD: x2 x 3 2 2. 1 2 2 y y x 3t 2t 1 Chia cả tử và mẫu cho y ta được: H , Đặt t H x2 x y 9t 2 6t 2 9 6 2 y2 y 3t 2 2t 1 Nháp: a 9at 2 6at 2a 3t 2 2t 1 0 , 9t 2 6t 2 2 1 2 có : ' 3a 1 9a 3 2a 1 0 a ;a 3 3 4x2 22x 19 Bài 121: Tìm min hoặc max của: I x2 4x 4 HD: 6x 3 6 t 2 3 6 9 I 4 2 , Đặt x 2 t I 4 2 4 2 x 2 t t t Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 41
  42. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1 Đặt a I 9a2 6a 4 t 9x2 30x 7 Bài 122: Tìm min hoặc max của: K 9x2 6x 1 HD: 24x 8 3t 3 8 3 11 K 1 2 , đặt 3x 1 t 3x t 1 K 1 2 1 2 3x 1 t t t 1 Đặt a K 11a2 3a 1 t x2 5xy 2y2 Bài 123: Tìm min hoặc max của: M 2x2 10xy 7y2 HD: x2 x 2 5 2 2 2 y y x t 5t 2 Chia cả tử và mẫu cho y ta được: M , Đặt t M x2 x y 2t 2 10t 7 2 10 7 y2 y 2 t 5t 2 2 Nháp a 2at 2 10at 7a t 2 5t 2 , có : 25 2a 1 4 2a 1 7a 2 2t 2 10t 7 1 17 0 a ;a 2 22 22x2 58xy 73y2 Bài 124: Tìm min hoặc max của: N x2 4xy 4y2 HD: x2 x 22 2 58 73 2 2 y y x 22t 58t 73 Chia cả tử và mấu cho y ta được: N , Đặt t N x2 x y t 2 4t 4 4 4 y2 y 30t 15 30 a 2 15 30a 45 30 45 N 22 2 , Đặt t 2 a N 22 2 22 2 22 2 t 2 a a a a 1 Đặt b N 22 30b 45b2 a 8x2 6xy Bài 125: Tìm min hoặc max của: P x2 y2 HD: x2 x 8 2 6 2 2 y y x 8t 6t 6t 8 Chia cả tử và mẫu cho y ta được: P , Đặt t P 8 x2 y t 2 1 t 2 1 1 y2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 42
  43. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 6t 8 Nháp: a at 2 a 6t 8 0 , có ' 9 a a 8 0 a 1;a 9 t 2 1 x2 3x 3 Bài 126: Tìm min hoặc max của: Q x2 2x 1 HD: x 2 t 1 1 1 Q 1 2 , Đặt x 1 t x t 1 Khi đó : Q 1 2 1 2 x 1 t t t 1 Dặt a Q a2 a 1 t x2 xy y2 Bài 127: Tìm min hoặc max của: R x2 xy y2 HD: x2 x 2 1 2 2 y y x t t 1 2t Chia cả tử và mẫu cho y ta được: R , Đặt t R 1 x2 x y t 2 t 1 t 2 t 1 1 y2 y 2t 2 2 Nháp : a at 2 at a 2t 0 , có a 2 4a.a 0 a 2;a t 2 t 1 3 27 12x Bài 128: Tìm min hoặc max của: M x2 9 HD: 27 12x Nháp : a a.x2 9a 27 12x a.x2 12x 9a 27 0 x2 9 a 4 Có ' 36 a 9a 27 0 a 1 2 27 12x 4x2 12x 9 2x 3 Khi đó ta có : M 2 4 4 2 4 2 4 4 x 9 x 9 x 9 2 27 12x x2 12x 36 x 6 Mặt khác : M 2 1 1 2 1 2 1 1 x 9 x 9 x 9 8x 3 Bài 129: Tìm min hoặc max của: P 4x2 1 HD: 8x 3 Nháp : a 4a.x2 a 8x 3 4a.x2 8x a 3 0 4x2 1 Có ' 16 4a a 3 a 4;a 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 43
  44. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 8x 3 16x2 8x 1 4x 1 Khi đó : P 2 4 4 2 4 2 4 4 4x 1 4x 1 4x 1 2 8x 3 4x2 8x 4 4 x 1 Mặt khác : P 2 1 1 2 1 2 1 1 4x 1 4x 1 4x 1 2x 1 Bài 130: Tìm min hoặc max của: D x2 2 HD: 2x 1 1 Nháp : a a.x2 2x 2a 1 0 , có ' 1 a 2a 1 0 a 1;a x2 2 2 2 2x 1 x2 2x 1 x 1 Khi đó : D 2 1 1 2 1 2 1 1 x 1 x 2 x 2 2x 1 1 1 x2 4x 4 1 1 Mặt khác : D 2 x 2 2 2 2 x2 2 2 2 2x 1 Bài 131: Tìm min hoặc max của: E x2 HD: 2 1 1 E , Đặt a E a2 2a x x2 x 2x 1 Bài 132: Tìm min hoặc max của: F x2 2 HD: 2x 1 1 Nháp : a a.x2 2x 2a 1 0 , có ' 1 a 2a 1 1 2a2 a a ;a 1 x2 2 2 2 2x 1 1 1 x2 4x 4 1 x 2 1 1 Khi đó : F 2 x 2 2 2 2 x2 2 2 2 x2 2 2 2 2 2x 1 x2 2x 1 x 1 Mặt khác : F 2 1 1 2 1 2 1 1 x 2 x 2 x 2 6x 8 Bài 133: Tìm min hoặc max của: G x2 1 HD: 6x 8 Nháp : a a.x2 6x a 8 0 , có : x2 1 ' 9 a a 8 a2 8a 9 0 a 1;a 9 2 6x 8 x2 6x 9 x 3 Khi đó : G 2 1 1 2 1 2 1 1 x 1 x 1 x 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 44
  45. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 6x 8 9x2 6x 1 3x 1 Mặt khác : G 2 9 9 2 9 2 9 9 x 1 x 1 x 1 x6 27 Bài 134: Tìm min hoặc max của: A x4 3x3 6x2 9x 9 HD: Hạ phép chia ta được : A x2 3x 3 x6 512 Bài 135: Tìm min hoặc max của: B x2 8 HD: 2 Hạ phép chia ta được : B x4 8x2 64 x2 4 48 48 4x4 16x3 56x2 80x 356 Bài 136: Tìm min hoặc max của: G x2 2x 5 HD: 256 256 Hạ phép chia ta được: G x2 x , Đặt x2 x t G t 4 2 5 2 2 5 4 x 2x 5 t Sau đó sử dụng co si là ra. 8 Bài 137: Tìm min hoặc max của: I 3x2 2 HD: 8 8 Ta có : 3x2 2 2 4 3x2 2 2 2x 1 Bài 138: Tìm min hoặc max của: B x2 2 HD: 2x 1 1 Nháp : a a.x2 2x 2a 1 0 , có ' 1 a 2a 1 0 a 1;a x2 2 2 2 2x 1 x2 2x 1 x 1 Khi đó ; B 2 1 1 2 1 1 2 1 x 2 x 2 x 2 2 2x 1 1 1 x2 4x 4 1 x 2 1 1 Mặt khác : B 2 x 2 2 2 2 x2 2 2 2 x2 2 2 2 x2 y x2 x2 y 1 Bài 139: Tìm min hoặc max của:G 2x4 x4 y2 y2 2 HD: x2 y x4 x2 y 1 x4 1 1 Ta có : G 2x4 x4 y2 y2 2 2 x4 1 y2 x4 1 y2 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 45
  46. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x4 1 Bài 140: Tìm min hoặc max của: H 2 x2 1 HD: t 2 2t 1 1 2 2 Đặt x2 1 t x2 t 1 x4 t 2 2t 1 , khi đó H 1 t 2 t t 2 1 Đặt a H 2a2 2a 1 t 2x2 16x 71 Bài 141: Tìm min hoặc max của: I x2 8x 22 HD: 27 2 Hạ phép chia ta được : I 2 , mà x2 8x 22 x 4 6 6 x2 8x 22 x2 Bài 142: Tìm min hoặc max của: P x4 1 HD: t 1 Nháp : Đặt x2 t a at 2 t a 0 a t 2 1 2 2 2 x2 1 1 x4 2x2 1 1 x 1 1 1 Khi đó : P , Không xảy ra dấu bằng 4 4 4 x 1 2 2 2 x 1 2 2 x 1 2 2 2 2 x2 1 1 x4 2x2 1 1 x 1 1 1 Mặt khác : P 4 4 4 x 1 2 2 2 x 1 2 2 x 1 2 2 x4 1 Bài 143: Tìm min hoặc max của: G 2 x2 1 HD: Đặt x2 1 t x2 t 1 x4 t 2 2t 1 t 2 2t 2 2 2 1 Khi đó : G 1 , đặt a G 2a2 2a 1 t 2 t t 2 t 2 2x 1 Bài 144: Tìm min P x2 2 HD: 4x 2 Nháp : a a.x2 4x 2a 2 0 , có ' 4 a 2a 2 0 a 2;a 1 x2 2 2 4x 2 2x2 4x 2 2 x 1 Khi đó : P 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 x 2 x 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 46
  47. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 4x 2 x2 4x 4 Mặt khác : P 2 1 1 2 1 1 x 2 x 2 x2 2 Bài 145: Tìm min hoặc max của: K x2 x 2 HD: x Ta có : K 1 x2 x 2 x 2 1 2 2 Nháp : a a.x2 a.x x 2a 0 , có : a 1 4a.2a 0 a x2 x 2 7 4x 1 Bài 146: Tìm min hoặc max của: M x2 3 HD: 4x 1 4 Nháp : a a.x2 4x 3a 1 0 , có ' 4 a 3a 1 0 a 1;a x2 3 3 12x 13 Bài 147: Tìm min hoặc max của: P x2 2x 3 HD: 12x 13 Nháp : a a.x2 2a.x 3a 12x 13 0 , x2 2x 3 2 9 Có ' a 6 a 3a 13 0 a 4;a 2 x2 Bài 148: Tìm GTLN của biểu thức: , GTLN đó đạt được tại giá trị nào của x x4 x2 1 HD: x2 1 1 Ta có :P(x) = x2 1 3 x4 x2 1 P(x) x2 x2 x 1 Bài 149: Tìm GTNN của biểu thức: M (x 1) x2 2x 1 HD: x2 2x 1 x 1 1 1 1 Ta có : M 1 x2 2x 1 x 1 x 1 2 2 1 2 1 3 3 Đặt t , ta có: M t t 1 t x 1 2 4 4 3 x 1 Bài 150: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B x3 x2 x 1 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 47
  48. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 3 x 1 3 x 1 3 x 1 3 Ta có: B x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x2 1 x 1 x2 1 3 Do x2 1 0 B 3 , Dấu bằng khi và chỉ khi x=0 x2 1 x2 4x 1 Bài 151: Tìm min hoặc max của: G x2 HD: 4 1 1 2 G 1 , đặt t G t 2 4t 1 t 2 3 3 x x2 x 3x2 8x 6 Bài 152: Tìm min hoặc max của: E x2 2x 1 HD: Đặt x 1 t x t 1 x2 t 2 2t 1 2 3 t 2t 1 8 t 1 6 3t 2 2t 1 2 1 E 3 , t 2 t 2 t t 2 1 2 Đặt : a E a2 2a 3 a 1 2 2 t 4x2 6x 1 Bài 153: Tìm min hoặc max của: F 2x 1 2 HD: t 1 t 2 2t 1 Đặt 2x 1 t x x2 , khi đó: 2 4 2 t 2t 1 3 t 1 1 t 2 5t 5 5 5 1 F 1 , đặt a F 1 5a 5a2 t 2 t 2 t t 2 t x Bài 154: Tìm min hoặc max của: H x 10 2 HD: t 10 1 10 1 Đặt x 10 t x t 10 H , đặt a H 10a2 a t 2 t t 2 t x Bài 155: Tìm min hoặc max của: I x 2016 2 HD: t 2016 1 2016 1 Đặt x 2016 t x t 2016 I , Đặt a I a 2016a2 t 2 t t 2 t x2 2x 2000 Bài 156: Tìm min hoặc max của: D x2 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 48
  49. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 2000 1 Ta có : D 1 , Đặt a D 1 2a 2000a2 x x2 x x2 2x 2015 Bài 157: Tìm min hoặc max của: E 2015x2 HD: x2 2x 2015 2 2015 1 Ta có : 2015E 1 , đặt a 2015E 1 2a 2015a2 x2 x x2 x 2 1 E a2 .a 2015 2015 x Bài 158: Tìm min hoặc max của: F x 2000 2 HD: t 2000 1 2000 1 Đặt x 2000 t F , Đặt a F a 2000a2 t 2 t t 2 t x2 x 1 Bài 159: Tìm min hoặc max của: B x2 2x 1 HD: 2 x x 1 2 B 2 ,Đặt x 1 t x t 1 x 2t 1 x 1 t 2 3t 3 3 3 1 B 1 , Đặt a B 3a2 3a 1 t 2 t t 2 t 2x2 4x 4 Bài 160: Tìm min hoặc max của: A x2 HD: 4 4 1 A 2 , Đặt a A 4a2 4a 2 x x2 x x2 2x 2012 Bài 161: Tìm min hoặc max của: B x2 HD: 2 2012 1 B 1 , Đặt a B 2012a2 2a 1 x x2 x 1 Bài 162: Tìm min của: B x2 4x 9 HD: 2 2 1 1 1 Ta có : x 4x 9 x 2 5 5 B 2 2 , Dấu “ = “ khi x=2 x 4x 9 x 2 5 5 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 49
  50. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 3 Bài 163: Tìm max của: C x2 5x 1 HD: 2 2 5 21 21 3 12 4 5 Ta có : x 5x 1 x C 2 , dấu “ = ’’ khi x 2 4 4 x 5x 1 21 7 2 6 Bài 164: Tìm min hoặc max của: D x2 2x 3 HD: 2 6 6 x2 2x 3 x2 2x 3 x 1 2 2 Ta có : 2 3 x 2x 3 2 2 Bài 165: Tìm min hoặc max của: K x2 8 HD: 2 2 1 Ta có : x2 8 8 x2 8 8 4 4 Bài 166: Tìm min hoặc max của: M x2 x 1 HD: 2 2 1 3 3 4 16 Ta có : x x 1 x 2 2 4 4 x x 1 3 Dạng 5: TÌM MIN, MAX CÓ ĐIỀU KIỆN Phương pháp giải: Dồn biến từ điều kiền rồi thay vào biểu thức. Biến đổi biểu thức thành các thành phần có chứa điều kiện để thay thế. Sử dụng thêm một số bất đẳng thức phụ : + a b 2 ab ( Dấu = khi a = b, với a, b không âm) + a2 b2 2ab ( Dấu = khi a = b) 1 + a 2 ( Dấu = khi a = 1) a Bài 1: Tìm min của: A 3x2 y2 biết :3x y 1 HD: Từ 3x y 1 y 1 3x A 3x2 1 3x 2 =12x2 6x2 1 Bài 2: Tìm min của: A xy biết 3x y 1 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 50
  51. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 y 1 3x A x 1 3x 3x2 x Bài 3: Tìm min của: A a3 b3 ab biết: a – b =1 HD: a b 1 A b 1 3 b3 b 1 b = 2b2 2b 1 Bài 4: Tìm max của: B a.b biết: 3a 5b 12 HD: 12 5b 12 5b 5 2 12 Từ gt ta có: a , thay vào B b b b 3 3 3 3 Bài 5: Tìm min của: C x3 y3 xy biết: x y 1 HD: Từ gt=>y 1 x thay vào C ta được: C x3 1 x 3 xy 2x2 2x 1 Bài 6: Tìm min của: D x2 2y2 biết: x 2y 1 HD: Từ gt=>x 1 2y thay vào D 1 2y 2 2y2 Bài 7: Tìm min của: E 2x2 5y2 biết: 4x 3y 7 HD: 4x 7 Từ gt=>y thay vào E 3 1 1 Bài 8: Cho a, b>0 và a+b=4, tìm GTLN của P 1 1 a b HD: 1 1 1 a b 1 4 1 3 Ta có: P 1 1 1 1 a b ab ab ab ab ab ab 4 Do a,b 0 a b 4 2 ab ab 2 ab 4 2 3 3 3 3 1 a b 4 Khi đó: 1 1 , Dấu = xày ra khi a b 2 ab 4 ab 4 4 a b 2 2 1 1 Bài 9: Tìm min của: F 1 1 , biết: a+b=1 và a,b >0 a b HD: Cách 1: 2 2 2 2 a b a b b a a b a2 b2 Ta có: 1 1 2 2 =8 4 2 2 a b a b b a b a 8 4.2 2 18 Cách 2: 2 1 2 1 1 1 1 1 a b a2 b2 Ta có: F 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a b b a b a b ab a b 2 a2 b2 F 2 (1) ab a2b2 2 1 2ab 1 Mà a b 1 a2 b2 1 2ab thay vào (1) ta được: F 2 2 ab a2b2 a2b2 1 1 1 Lại có: a b 1 2 ab ab ab a2b2 2 4 16 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 51
  52. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1 16 1 F 2 2 16 18 a2b2 a2b2 a b 1 1 Dấu = khi và chỉ khi a b a b 2 1 y2 Bài 10: Cho x,y thỏa mãn: 2x2 4 , Tìm max của: A= x.y x2 4 HD: 2 2 2 2 1 2 y 1 y Từ gt ta có : 4 x 2 2 x xy xy 2 => 4 x x xy 2 x 4 x 2 => xy 2 4 xy 2 b2 1 Bài 11: Cho hai số thực a,b 0, thỏa mãn: 2a2 4 , Tìm min, max của: S ab 2017 4 a2 HD: 2 2 2 2 1 2 b 1 b Từ gt ta có : 4 a 2 2 a ab ab 2 a a ab 2 a 4 a 2 => ab 2 4 ab 2017 2019 S 2019 2 2 2 2 1 2 b 1 b Mặt khác : 4 a 2 2 a ab ab 2 a a ab 2 a 4 a 2 => ab 2 4 ab 2 ab 2017 2015 => S 2015 8 y2 Bài 12: Cho hai số x,y khác 0 thỏa mãn: x2 8 , Tìm min, max của: A xy 2024 x2 8 HD: 2 2 2 2 8 y 2 16 y 2 16 2 y Từ gt ta có : 8 x 2 16 2x 2 x 2 8 x xy xy 8 x 8 x 4 x 4 2 2 4 y =>8 x x xy 8 xy 8 16 xy 8 A xy 2024 2016 x 2 2 2 2 2 16 2 y 4 y Mặt khác : 16 x 2 8 x xy xy 8 x x xy 8 x 4 x 2 => xy 8 16 xy 8 S xy 2024 2032 1 Bài 13: Cho x,y R khác 0 biết: 8x2 y2 4 , Tìm x,y để B x.y đạt min và đạt max 4x2 HD: 2 2 1 2 1 2 2 Ta có : 4 8x y 2 4x 2 2 4x y 4xy 4xy 2 4x 4x 2 1 2 1 4 = 2x 2x y 4xy 2 4xy 2 4 B xy 2x 2 2 1 2 1 Mặt khác : 4 2x 2x y 4xy 2 4xy 2 4 B xy 2x 2 Bài 14: Cho x,y >0 thỏa mãn: x+y =1, Tìm min của: A 4x2 3y 4y2 3x 25xy HD: Ta có : A 16(xy)2 12x3 12y3 9xy 25xy 6x2 y2 12 x3 y3 34xy Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 52
  53. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Vì x+y =1 nên x3 y3 x y x2 xy y2 x y 2 3xy 1 3xy , thay vào A A 6x2 y2 12 1 3xy 34xy , Đặt xy=t khi đó : A 6t 2 2t 12 Bài 15: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x y 1 Tìm min của biểu thức: C x2 4y y2 4x 8xy HD: Ta có : C x2 4y y2 4x 8xy x2 y2 4x3 4y3 16xy 8xy x2 y2 4 x3 y3 24xy 3 Do x y 1 x3 y3 x y 3xy x y 1 3xy Thay vào C ta được : 2 C x2 y2 4 1 3xy 24xy x2 y2 12xy 4 x2 y2 2xy.6 36 32 xy 6 32 32 x y 1 x 3 x 2 MinC 32 , Dấu = xảy ra khi và chỉ khi hoặc xy 6 y 2 y 3 Bài 16: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: x+ 2y =3 tìm min của: A x2 2y2 HD: Từ gt ta có : x 3 2y thay vào A 3 2y 2 2y2 6y2 12y 9 Bài 17: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: x2 y2 xy 4 , Tìm min và max của: A x2 y2 HD: Ta có : x2 y2 xy 4 2x2 2y2 2xy 8 x y 2 x2 y2 8 =>x2 y2 8 hay A 8 mặt khác : 8 2x2 2y2 2xy 2x2 2y2 8 2xy 3x2 3y2 8 x y 2 8 8 8 =>x2 y2 hay A 3 3 Bài 18: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm min của: A x3 y3 2xy HD: Từ gt ta có : y 2 x thay vào A ta được : A x3 2 x 3 2x 2 x Bài 19: Cho các số thực x,y thỏa mãn: x y 4 0 , Tìm max của: A 2 x3 y3 3 x2 y2 10xy HD: Ta có : x y 4 , nên x3 y3 x y 3 3xy x y 64 12xy , x2 y2 x y 2 2xy 16 2xy thay vào A 2 64 12xy 3 16 2xy 10xy Bài 20: Cho x, y, z R, thỏa mãn: 2x 2y z 4 , Tìm max của: A 2xy yz zx HD: Từ giả thiết=> z 4 2x 2y thay vào A ta được : A 2xy y 4 2x 2y x 4 2x 2y 2x2 2y2 2xy 4x 4y Bài 21: Cho x,y,z R thỏa mãn: x y z 6 . Tìm max của: A xy 2yz 3zx HD: Từ gt =>z 6 x y thay vào A xy 2y 6 x y 3x 6 x y Bài 22: Cho x,y R thỏa mãn: x2 2xy 7 x y 2y2 10 0 , Tìm min và max của: S x y 3 HD: Từ gt ta có : x2 2xy 7x 7y 2y2 10 0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 53
  54. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 2 2 2 2y 7 2y 7 2 (2y 7) 7 2 9 =>x 2x 2y 7y 10 0 => x y y 0 2 4 4 2 4 3 7 3 => x y 5 x y 2 => 2 x y 3 1 2 2 2 3m2 Bài 23: Cho các số thực m,n,p thỏa mãn: n2 np p2 1 , Tìm min, max của: A m n p 2 HD: Từ gt ta có : 2n2 2np 2 p2 2 3m2 3m2 2n2 2 p2 2np 2 => (m2 n2 p2 2mn 2np 2mp) 2m2 n2 p2 2mn 2mp 2 2 2 2 => m n p m p m n 2 => 2 m n p 2 Bài 24: Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn: x2 y2 z2 3 , Tìm min, max của: P x y 2z HD: Ta có : P2 x y 2z 2 x2 y2 4z2 2xy 4yz 4xz , nên ta nhân 6 vào gt : 18 6x2 6y2 6z2 x2 y2 4z2 2xy 4yz 4zx 5x2 5y2 2z2 2xy 4yz 4zx 18 x y 2z 2 x y 2 2x z 2 2y z 2 => x y 2z 2 18 18 x y 2z 18 3 Bài 25: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn: 2m2 2n2 4 p2 3mn mp 2np , 2 Tìm min max của: B m n p HD: Từ gt ta có : 4m2 4n2 8p2 6mn 2mp 4np 3 =>3 m2 n2 p2 2mn 2mp 2np m2 n2 5p2 4mp 2np 3 =>3 m n p 2 2 p m 2 n p 2 3 =>3 m n p 2 3 1 m n p 1 Bài 26: Cho x,y,z thỏa mãn: x y z 3 , Tìm min max của: A xy yz zx HD: Từ gt=>z 3 x y thay vào A xy y 3 x y x 3 x y = x2 y2 xy 3x 3y Bài 27: Cho x,y,z thỏa mãn: x+y+z =3, Tìm min max của: B xy 3yz 4zx HD: Từ gt ta có : z 3 x y => B xy 3y 3 x y 4x 3 x y =>B= 4x2 3y2 16xy 9y 12x Bài 28: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: 2x 3y z 4 , Tìm min max của A xy yz zx HD: Từ gt=>z 2x 3y 4 thay vào A xy y 2x 3y 4 x 2x 3y 4 Bài 29: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: 2x 3y z 4 , Tìm min max của: B 12xy 3yz 4zx HD: Từ gt ta có : z 2x 3y 4 thay vào B 12xy 3y 2x 3y 4 4x 2x 3y 4 Bài 30: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x y 2 , tìm min của: A 2 x3 y3 15xy 7 HD: Từ x + y= -2, ta có : x3 y3 x y 3 3xy x y 8 6xy thay vào A 2 8 6xy 15xy 7 3xy 9 và y= - 2 - x thay vào A 3x 2 x 9 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 54
  55. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 31: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x y 2 , Tìm min của B x4 y4 x3 y3 2x2 y2 2xy x2 y2 13xy HD: B x4 y4 x3 y3 2x2 y2 2xy x2 y2 13xy 2 Từ x+y= - 2, ta có: x4 y4 x y 2 2xy 2x2 y2 4 2xy 2 2x2 y2 x3 y3 6xy 8, x2 y2 4 2xy , Thay vào b ta được : B 4 2xy 2 2x2 y2 6xy 8 2x2 y2 2xy 4 2xy 13xy B xy 24 , thay y 2 x B x2 2x Bài 32: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x y 5 , Tìm max của: A x3 y3 8 x2 y2 xy 2 HD: Vì x y 5 nên x3 y3 125 15xy và x2 y2 25 2xy thay vào A 125 15xy 8 25 2xy xy 2 Bài 33: Cho hai số x,y thỏa mãn: x+y =5, Tìm max của: B x4 y4 4 x3 y3 20 x2 y2 2x2 y2 xy HD: B x4 y4 4 x3 y3 20 x2 y2 2x2 y2 xy Vì x+y=5 nên x4 y4 25 2xy 2 2x2 y2 , x3 y3 125 15xy , x2 y2 25 2xy B 25 2xy 2 2x2 y2 4 125 15xy 20 25 2xy 2x2 y2 xy Bài 34: Cho hai số x,y thỏa mãn: x4 y4 7 xy 3 2xy , Tìm min max của: P xy HD: Từ gt=>x4 y4 3xy 2x2 y2 7 => 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 3 121 3 121 x 2x y y 4x y 3xy 7 x y 2xy => 2xy 4 16 4 16 Bài 35: Cho các số thực x,y thỏa mãn: 7x2 9y2 12xy 4x 6y 15 0 , Tìm min max của: A 2x 3y 5 HD: Từ gt=> 2x 2 3y 2 2.2x.3y 2.2x 2.3y 1 3x2 16 => 2x 3y 1 2 3x2 16 Bài 36: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: 3x2 2y2 5z2 4xy 2xz 2yz 5 , Tìm min max của: P x y HD: Từ gt ta có: x2 y2 2xy 2x2 y2 5z2 2xy 2xz 2yz 5 => x y 2 x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 4z2 4xz x2 5 => x y 2 5 5 x y 5 Bài 37: Cho các số x, y, z thỏa mãn: 3x y 2z 1 . Tìm min max của: p x2 y2 z2 HD: Từ gt ta có: y 1 3x 2z =>y2 1 9x2 4z2 6x 12xz 4z khi đó : P 10x2 5z2 12xz 6x 4z 1 Bài 38: Cho các số x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1, Tìm max của: A 2xy 3yz 4zx HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 55
  56. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Từ gt =>z 1 x y thay vào A 2xy 3y 1 x y 4x 1 x y Bài 39: Cho x, y R, thỏa mãn: x+2y=1, Tìm max của: P = x.y HD: Từ gt=>x 1 2y thay vào P y 1 2y Bài 40: Cho x,y 0, x+y=1, Tìm min, max của: A x2 y2 HD: Từ gt=>y 1 x thay vào A x2 1 x 2 3 Bài 41: Tìm min max của: P x y z , biết: y2 z2 yz 1 x2 2 HD: Từ gt => 2y2 2z2 2yz 2 3x2 3x2 2y2 2z2 2yz 2 => x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 2x2 y2 z2 2xy 2zx 2 => x y z 2 x y 2 x z 2 2 x y z 2 2 Bài 42: Cho x2 3y2 2xy 10x 14y 18 0 , Tìm min, max của: S x y HD: Từ gt=> x2 2x y 5 y 5 2 3y2 14y 18 y2 10y 25 0 2 2 => x y 5 2 y2 2y 1 9 x y 5 9 => 3 x y 5 3 Bài 43: Cho a,b,c không âm thỏa mãn: 3a+2c=51 và c+5b=21, Tìm max của A=a+b+c HD: Cộng theo vế giả thiết ta được : 3a 3c 5b 72 3 a b c 72 2b 72 72 Do b 0 a b c 24 3 Bài 44: Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn: 2a+b=6-3c và 3a+4b=3c+4, Tìm min E 2a 3b 4c HD: 4 c a 4 3c 3 a 0 Cộng theo vế ta được : a b 2 do b 3c 2 2 b 0 c 3 Khi đó: E 2 4 3c 3 3c 2 4c 2 c Bài 45: Cho x, y, z 0,2x 7y 2014,3x 5z 3031 , Tìm GTLN của biểu thức : A x y z HD: Cộng theo vế của gt ta có: 5x 5y 5z 5045 2y 5045 do y 0 nên 5 x y z 5045 x y z 1009 Bài 46: Cho a b 2 ,Tìm max của: A ab a2 b2 HD: Ta có: a b 2 a2 b2 4 2ab A ab 4 2ab 2a2b2 4ab A a2b2 2ab 1 2 2 , Max A 2 Bài 47: Cho x,y thỏa mãn: 11x 6y 2015 x y 3 0 , Tìm min của: P xy 5x 2016 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 56
  57. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD: Từ gt ta có : 11x 6y 2015 0 hoặc x y 3 0 11x 2015 TH1: Ta có : 11x 6y 2015 0 y thay vào P 6 TH2: ta có: x y 3 0 y x 3 thay vào P Bài 48: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn : x y z 3 , Tìm GTLN của : B xy yz zx HD: Ta có : B xy z x y xy 3 x y x y 2 2 2 2 y 3 3 2 =xy 3 x y x y x y xy 3x 3y = x y 1 3 3 2 4 Bài 49: Cho x2 xy 3y2 5 , Tìm Min hoặc max của biểu thức : P x2 2xy 2 y2 HD : P x2 2xy 2 y2 Ta có : 5 x2 xy 3y2 Bài 50: Tìm GTNN của biểu thức sau và thỏa mãn điều kiện : A x3 y3 xy; x y 1 HD : A (x y)(x2 xy y2 ) xy x2 y2 Có : 1 1 1 1 1 1 x y 1 x 1 y A (1 y)2 y2 2y2 2y 1 2(y2 y.2 ) 1 2(y )2 2 4 4 2 2 2 1 1 Dấu ‘ = ’’ xảy ra x ; y 2 2 Bài 51: Tìm GTNN của biểu thức sau và thỏa mãn điều kiện : B 5x2 y2 ; x y 1 HD : x y 1 y 1 x B 5x2 (1 x)2 6x2 2x 1 1 1 6(x2 x ) 3 6 1 5 5 1 5 6(x )2 x ; y 6 6 6 6 6 Bài 52: Tìm GTNN của biểu thức sau và thỏa mãn điều kiện :C x2 2y2 ; x 2y 1 HD : 1 1 C x2 2y2 6y2 4y 1 min C y x 3 3 Bài 53: Tìm GTNN của biểu thức sau và thỏa mãn điều kiện : D 2x 2 5y2 ;4x 3y 7 HD : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 57
  58. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 4x 7 4x 7 4x 3y 7 y D 2x2 5( )2 9D 98x2 280x 245 2(7x 10)2 45 45 3 3 10 3 min D 5 x ; y 7 7 Bài 54: Cho a + b = 1. Tìm GTNN của A a(a2 2b) b(b2 a) HD : Có a + b = 1 b 1 a A a(a2 2b) b(b2 a) a3 2ab b3 ab a3 b3 ab a3 (1 a)3 a(1 a) 2a2 2a 1 1 1 1 1 1 2(a2 a ) 2(a )2 a a b 2 2 2 2 2 Bài 55: Cho các số thực x, y thỏa mãn: x + y = 2. Tìm GTNN của A x3 y3 2xy HD : A x3 y3 2xy (x y)3 3xy(x y) 2xy Theo giả thiết x y 2 y 2 x A 23 6x(2 x) 2x(2 x) 4x2 8x 8 4(x 1)2 4 4 R x y 1 Bài 56: Cho các số thực x, y thỏa mãn : x + y + 4 = 0. Tìm GTLN của A 2(x3 y3 ) 3(x2 y2 ) 10xy HD : Ta có : A 2(x3 y3 ) 3(x2 y2 ) 10xy 2(x y)3 6xy(x y) 3(x y)2 6xy 10xy 28xy 80 28x( 4 x) 80 28(x2 4x 4) 32 A 28(x 2)2 32 32 x 2 y 2 Bài 57: Cho các số thực x, y thỏa mãn: x2 y2 xy 4 . Tìm GTLN, GTNN của P x2 y2 HD : Ta có: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 58
  59. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x2 y2 xy 4 8 x2 y2 x2 y2 2xy x2 y2 (x y)2 x2 y2 P 8 x y 0 2 2 x y xy 4 x y 2 x y 2 Vậy GTLN của P = -2 x y 2 Mặt khác: 8 2(x2 y2 ) 2xy 3(x2 y2 ) (x y)2 3(x2 y2 ) 8 P 3 2 x y x y 0 3 x2 y2 xy 4 2 x y 3 2 2 x ; y 8 3 3 Vậy GTNN của P = 3 2 2 x ; y 3 3 Bài 58: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: 2x 2y z 4 . Tìm GTLN của biểu thức A 2xy yz zx HD: Từ giả thiết: 2x 2y z 4 z 4 2x 2y A 2xy y(4 2x 2y) x(4 2x 2y) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 59
  60. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2x2 2y2 2xy 4x 4y 2A 4x2 4y2 4xy 8x 8y 4x2 4x(y 2) (y 2)2 (y 2)2 4y2 8y 4 2 16 16 (2x y 2) 3(y2 y) 4 (2x y 2) 3(y )2 3 3 3 3 16 A 3 2 x 3 4 z 2 3 y 3 Bài 59: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 6. Tìm GTLN của A xy 2yz 3xz HD: Từ giả thiết z 6 x y A xy z(2y 3x) xy (6 x y)(2y 3x) 3x2 2y2 4xy 18x 12y 3A 9x2 6y 2 12xy 54x 36y 9x2 6x(2y 9) 6y 2 36y (3x 2y 9)2 2y2 81 81 3x 2y 9 0 x 3 A 27 z 3 y 0 y 0 Bài 60: Cho các số thực x, y thỏa mãn: x2 2xy 7(x y) 2y2 10 0 . Tìm GTNN A x y 3 HD: Từ giả thiết x2 2xy 7(x y) 2y2 10 0 4x2 8xy 28x 28y 8y2 40 0 (2x 2y 7)2 4y2 9 (2x 2y 7)2 9 2x 2y 7 3 3 2x 2y 7 3 5 x y 2 2 A 1 A 1 x 2; y 0 A 2 x 5; y 0 b2 1 Bài 61: Tìm GTLN, GTNN của S ab 2009 , với a, b, là hai số thực khác 0 và 2a2 4 4 a2 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 60
  61. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Ta có: 1 b2 4 a2 2 a2 ab ab 2 a2 4 1 b (a )2 (a )2 ab a ab 2 a 2 ab 2 1 a 0 a S 2011 b a 0 2 a 1;b 2 a 1;b 2 Ta lại có: 1 a 0 1 2 b 2 a a 1;b 2 4 (a ) (a ) ab 2 ab 2 ab 2 S 2007 a 2 b a 1;b 2 a 0 2 Vậy GTNN của S = 2007 (a,b) ( 1; 2) 3m2 Bài 62: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn: n2 np p2 1 . Tìm GTNN, GTLN của 2 A m n p HD: Theo giả thiết có: 3m2 n2 np p2 1 2 2n2 2np 2 p2 3m2 2 m2 n2 p2 2mn 2np 2mp m2 2mn n2 m2 2np p2 2 (m n p)2 (m n)2 (m p)2 2 (m n p)2 2 2 m n p 2 2 m n p 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 61
  62. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 m n 0 2 A 2 m p 0 m n p 3 m n p 2 m n 0 2 A 2 m p 0 m n p 3 m n p 2 Bài 63: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn : x2 y2 z2 3 . Tìm GTLN, GTNN A x y 2z HD: Từ x2 y2 z2 3 6x2 6y2 6z2 18 (x y 2z)2 (x y)2 (2x z)2 (2y z)2 18 x y 2z 18 3 2 A 3 2 x y 0 2 2x z 0 x y A 3 2 2 2y z 0 z 2 x y 2z 0 2 A 3 2 x y ; z 2 2 3 Bài 64: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn: 2m2 2n 2 4 p2 3mn mp 2np (1) 2 A m n p Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: HD: (1) 4m2 4n2 8p2 6mn 2mp 4np 3 3(m2 n2 p2 2mn 2np 2 pm) (m2 4mp 4 p2 ) (n2 2np p2 ) 3 3(m n p)2 (m 2 p)2 (n p)2 3 3(m n p)2 3 1 m n p 1 m 2 p 0 1 1 A 1 n p 0 m ;n p 2 4 m n p 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 62
  63. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 m 2 p 0 1 1 A 1 n p 0 m ;n p 2 4 m n p 1 Bài 65: Cho x + y + z = 3; A x2 y2 z2 ; B xy yz zx a)Tìm GTNN của A b)Tìm GTLN của B c)Tìm GTNN của A + B HD: (x y z)2 9 x2 y2 z2 2(xy yz zx) 0 a. 2 2 2 x y z xy yz zx 9 x2 y2 z2 2(xy yz zx) 3(x2 y2 z2 ) 9 3A A 3 x y z 1 9 (x2 y 2 z2 ) 2(xy yz zx) 3(xy yz zx) 3B b. B 3 x y z 1 A 2B 9 c. Có: A B 9 B 6 x y z 1 B 3 Bài 66: Cho a,b,c  1;2 thỏa mãn: a b c 0 . Tìm GTLN của P a2 b2 c2 HD: Với x  1,2 , ta có: x 1; x 2 (x 1)(x 2) 0 x2 x 2 0 x2 x 2 Áp dụng : P a2 b2 c2 a 2 b 2 c 2 a b c 6 6 (a,b,c) ( 1, 1,2) GTLN 6 Bài 67: Cho a,b,c  1;2 thỏa mãn a b c 1 . Tìm GTLN của P a2 b2 c2 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 63
  64. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Ta có : (a 1)(b 1)(c 1) 0 abc ab bc ca a b c 1 0 (2 a)(2 b)(2 c) 0 8 4(a b c) 2(ab bc ca) abc 0 3(ab bc ca) 9 3(a b c) 0 3(ab bc ca) 6 ab bc ca 2 P (a b c)2 2(ab bc ca) 1 2(ab bc ca) 5 Dấu ‘ = ’’ xảy ra (a,b,c) ( 1,0,2) maxP=5 Dạng 6 : Sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp giải : A A A 0 Định nghĩa: A A A 0 Tính chất +) A R A 0; A A +) x, y R x y x y xy 0 +) x, y R x y x y (x y).y 0 Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau a. A x 3 x 7 b. B x 1 x 2 x 3 c. C x 1 x 2 x 3 x 4 d. D x 5 x 2 x 7 x 8 e. E x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HD : A x 3 x 7 x 3 7 x x 3 7 x 4 4 a. A 4 (x 3)(7 x) 0 3 x 7 b. B x 1 x 2 x 3 Ta có : B x 1 x 3 x 1 3 x 2(1) (x 1)(3 x) 0 1 x 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 64
  65. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Mà : x 2 0 x 2(2) C 2 x 2 c. C x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 3 x 1 3 x 2 1 x 3; Ta có : x 2 x 4 x 2 4 x 2 2 x 4 C 4 min C 4 2 x 4 d. D x 5 x 2 x 7 x 8 Áp dụng bất đẳng thức M MM R Ta có : D x 5 x 2 7 x 8 x x 5 x 2 7 x 8 x 22x R x 5 0 x 5 x 2 0 x 2 min D 22 2 x 7 7 x 0 x 7 8 x 0 x 8 E x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 e. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 E x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 9x R min E 9 4 x 3 Bài 2:Cho số thực x. Tìm GTNN của các biểu thức sau a. A x 3 x 2 x 5 b. B x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HD : a. A x 3 x 2 x 5 x 3 x 2 x 5 x 3 5 x x 3 5 x 8x R x 3 0 x 3 Dấu ‘ = ’ x 2 0 x 2 x 2 5 x 0 x 5 b. B x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 2 x 3 x 4 5 x 6 x x 2 x 3 5 x 6 x x 2 x 3 5 x 6 x 6x R x 4 Bài 3: Cho số thực x. Tìm GTLN của các biểu thức sau Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 65
  66. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 a. A x 5 x 2 b. B x 2 3 x 5 x 4 HD : a. A x 5 x 2 Áp dụng bất đẳng thức : x y x y x, y R y(x y) 0 A x 5 x 2 x 5 (x 2) 7x R max A 7 (x 2)(x 5 x 2) 0 x 2 b. B x 2 3 x 5 x 4 x 5 0 B x 2 x 4 x 2 x 4 2 x 5 0 Vì (x 4)(x 2 x 4) 0 x 5 x 5 x 4 Bài 4 : Cho số thực x. Tìm GTNN của A x 1 2 x 2 x 7 6 x 2 HD : Đặt t x 2(t 0) t 2 x 2 x t 2 2 A t 2 2t 1 t 2 6t 9 (t 1)2 (t 3)2 t 1 0 t 1 3 t t 1 3 t 2 1 t 3 1 x 2 3 3 x 11 3 t 0 Bài 5:Cho số thực x. Tìm GTNN của các biểu thức sau a. A x 4 2 x 5 x 1 4 x 5 (x 5) b. B x 2 x 1 5 x 3 4 x 1 x 8 6 x 1(x 1) HD : t x 5(t 0) a. Đặt x t 2 5 A (t 1)2 (2 t)2 t 1 2 t t 1 2 t t 1 2 t 3 A 3 2 t 0 t 2 x 5 2 5 x 9 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 66
  67. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 t x 1(t 0) x t 2 1 b. Đặt A (t 1)2 5 (t 2)2 (t 3)2 t 1 5 t 2 3 t t 1 3 t t 1 3 t 2 t 1 0 t 2 t 3 t 2 x 1 2 x 5 min A 2 x 5 Bài 6:Tìm GTNN của A x 3 x 2 2012 HD : Ta có A x 3 x 2 2012 x 3 2 x 2012 Lại có : x 3 x 3 x 3 Mà 2 x 2 x x 2 A x 3 2 x 2012 x 3 2 x 2012 2017 Vậy MinA 2017 3 x 2 Bài 7:Tìm GTNN của A x 3 x 1 x 4 3 HD : Ta có A x 3 x 1 x 4 3 x 3 x 1 4 x 3 x 1 0 x 1; x 3 x 3 x 3; Lại có 4 x 4 x x 4 A x 3 0 4 x 3 4 Vậy MinA 4 x 1 Bài 8:Tìm GTNN của A x a1 x a2 x an 2017 a1 a2 an HD : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 67
  68. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Trường hợp n 2k A x a1 x a2 x ak ak 1 x ak 2 x a2k x 2017 Ta có x ai x ai x aii 1,k; ak 1 x ak j x x ak jj 1,k A x a1 x a2 x ak ak 1 x ak 2 x a2k x 2017 ak 1 ak 2 a2k a1 a2 ak 2017 ak x ak 1 Trường hợp n 2k 1 A x a1 x a2 x ak x ak 1 ak 2 x ak 3 x a2k x 2017 Ta có: x ak 1 0 x ak 1; ak j x ak 1 x x ak jj 1,k Lại có x ai x ai x ai 1,k; ak j x ak j x x ak jj 1,k A x a1 x a2 x ak 0 ak 2 x a2k 1 x 2017 ak 2 ak 3 a2k 1 a1 a2 ak 2017 MinB ak 2 ak 3 a2k 1 a1 a2 ak 2017 x ak 1 Bài 9:Tìm GTNN của A 5x 3 2x 3 x 1 HD : 3 3 Ta có A 5x 3 2x 3 x 1 2 x 3 x 2x 3 x 1 5 5 3 3 3 3 3 Mặt khác 2 x 0 x ;3 x 3 x x 5 5 5 5 5 3 3 29 29 3 Lại có 3 2x 3 2x x B 0 3 x 3 2x 1 MinB x 2 5 5 5 5 Bài 10:Tìm GTNN của A 4x 3 5x 7 2x 9 15 HD : 1 7 Ta có MinA x 5 5 Bài 11:Tìm GTNN của A x 1 x 2 x 3 x 4 HD : Ta có MinA 4 2 x 3 Bài 12:Tìm GTNN của A 2x 1 2 3 2x 1 2 HD : 1 5 1 Ta có Min.A x hay x 4 4 4 Bài 13:Tìm GTNN của A x 1 x 2 x 3 x 1998 HD : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 68
  69. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1 Ta có Min.A 9992 999 x 1000 hay x 4 Bài 14:Tìm GTNN của A x 3 2 x 5 7 x 11 9 HD : 9 9 1 Ta có Min.A 11 5 3 x hay x 11 11 4 Bài 15:Tìm GTNN của A x 5 6 x 2 1 2x 2017 HD : 2018 2 5 2 1 1 Ta có Min.A x hay x 2 2 4 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 69