Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Tam giác đồng dạng

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Tam giác đồng dạng

1. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 CHUYấN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 2 Bài 1: Cho ABC nhọn, cỏc đường cao BD và CE cắt nhau tại H, CMR: BH.BD CH.CE BC HD: A Từ H kẻ HK  BC Khi đú: CH CK D CKH : CEB g.g CH.CE CK.CB (1) CB CE E Tương tự: H BH BK BKH : BDC g.g BH.BD BK.BC (2) BC BD Cộng (1) và (2) theo vế ta được: 2 VT CK.BC BK.BC BC BK KC BC B K C Bài 2: Cho BHC cú Bã HC tự, Vẽ BE vuụng gúc với CH tại E và CD vuụng gúc với BH tại D CMR: BH.BD CH.CE BC2 HD: E D H Kẻ: HG  BC CGH : CEB g.g CH CG => CH.CE BC.CG (1) CB CE Tương tự ta cú: BGH : BDC g.g BH BG => BH.BD BC.BG (2) BC BD B K C Cộng (1) và (2) theo vế ta được: VT BC.CG BC.BG BC CG GB BC 2 1 1 1 Bài 3: Cho ABC cú gúc A bằng 1200, AD là đường phõn giỏc. CMR: AB AC AD HD: Kẻ DE / / AB E AC ADE là tam giỏc đều ABC cú : DE CE B DE / / AB AB CA AD AC AE AE AD 1 1 AB AC AC AC D AD AD 1 1 1 1 (đpcm) AB AC AB AC AD 60 C A E Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 4: Cho A’, B’, C’ nằm trờn cỏc cạnh BC, AC, AB của ABC, AM AB ' AC ' biết AA’, BB’, CC’ đồng quy tại M, CMR: A'M CB ' BC ' HD: Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BB’ tại D và cắt CC’ tại E, Khi đú: A D AM AE E AME cú AE / / A'C (1) A'M A'C AM AD AMD cú AD / / A' B (2) A'M A' B C' B' Từ (2) và (2) ta cú: M AM AE AD AD AE DE (*) A'M A'C A' B A'C A' B BC Chứng minh tương tự ta cũng cú: AB ' AD B C AB 'D cú AD / / BC (3) A' B 'C BC AC ' AE AC ' E cú: AE / /BC C ' B BC AB ' AC ' AD AE DE Từ (3) và (4) ta cú: ( ) B 'C BC ' BC BC BC AM DE AB ' AC ' Từ (*) và ( ) => (đpcm) A'M BC B 'C BC ' Bài 5: Cho ABC, M là điểm tựy ý nằm trong tam giỏc cỏc đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắc cỏc cạnh BC, AC, AB tại A’, B’, C’, AM BM CM CMR: 2 . AA' BB ' CC ' HD: A Từ A, M vẽ AH, MK  BC AH / /MK A'M MK MK.BC S A ' AH cú: MBC A' A AH AH.BC S ABC A'M AA' AM AM S Mặt khỏc: 1 MBC C' A' A AA' A' A SABC AM S 1 MBC B' A' A SABC M Chứng minh tương tự: BM S CM S 1 MAC , 1 MAB BB ' SABC CC ' SABC Cộng theo vế ta được đpcm B H K A' C Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 6: Cho ABC, M là điểm tựy ý nằm trong tam giỏc, đường thẳng đi qua M và trọng tõm G của tam MA' MB ' MC ' giỏc cắt BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’, CMR : 3 GA' GB ' GC ' HD: Gọi AM cắt BC tại A1, Từ M vẽ đường thẳng song song với AI cắt BC tại D, với I là trung điểm BC A'M MD A A'GI cú: MD / /GI (1) A'G GI A1M MD MD A1AI cú MD / /GI AI 3GI (2) A1A AI 3GI A ' M 3A1M Từ (1) và (2) ta cú: A 'G A1A B' G M Chứng minh tương tự ta cú: C' A' B A1 D I C MB ' 3.B1M MC ' 3.C1M A1M B1M C1M , VT 3 GB ' B1B GC ' C1C A1A B1B C1C A1M B1M C1M mà ta cú: từ bài 6 => 1 VT 3 A1A B1B C1C Bài 7: Cho ABC nhọn, cỏc đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a, CMR: AEF đồng dạng ABC b, H là giao cỏc đường phõn giỏc của DEF A c, BH.BE CH.CF BC2 HD: 1 E AE AB AE AF F a, Ta cú: AEB : CFC g.g 2 AF AC AB AC => AEF : ABC c.g.c H b, Chứng minh tương tự ta cũng cú: CED : CBA, (c.g.c) và BFD : BCA (c.g.c) 1 2 B C => Do AEF : ABC ãAEF ãABC Cã ED D Mà: Bã EF ãAEF Bã ED Cã ED 900 Bã ED Bã EF => HE là phõn giỏc gúc E Chứng minh tương tự FH là phõn giỏc gúc F, HD là phõn giỏc gúc D BH BD c, BHD : BCE g.g BH.BE BD.BC (1) BC BE CH CD và CDH : CFB g.g CH.CF CD.CB (2) CB CF Cộng (1) và (2) theo vế ta được đpcm Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 Bài 8: Cho ABC, AD là đường phõn giỏc của tam giỏc, CMR : AD AB.AC BD.DC HD: A Trờn AD lấy điểm E sao cho: 1 2 ãAEB ãACB ABE : ADC g.g BE AB AE AB.AC AD.AE (1) DC AD AC lại cú: BD DE BDE : ADC g.g BD.DC AD.DE (2) B D C AD DC Lấy (1) - (2) theo vế ta được: AB.AC BD.DC AD AE DE AD2 E Bài 10: Cho tứ giỏc ABCD, trong đú: ãABC ãADC , ãABC Bã CD 1800 , Gọi E là giao điểm của AB và CD,CMR: AC2 CD.CE AB.AE B HD: x Trờn nửa mặt phẳng bờ BE, N khụng chứa C vẽ tia Ex sao cho: Bã Ex ãACB A => Ex cắt AC tại N => Nà Bà Dà Ta cú : E D C AB AC ABC : ANE g.g AB.AE AC.AN (1) AN AE CD CA Tương tự : CAD : CEN g.g CD.CE CA.CN (2) CN CE Lấy (2) - (1) theo vế ta được đpcm Bài 11: Cho HBH ABCD đường chộo lớn AC, Từ C kẻ CE vuụng gúc với AB, CF vuụng gúc với AD CMR: Hệ thức: AB.AE AD.AF AC2 HD: A B E Vỡ AC là đường chộo lớn =>Dà 900 H AC , Kẻ DH  AC H => AHD : AFC g.g AD AH K AD.AF AC.AH (1) AC AF D C Tương tự kẻ BK  AC AKB : AEC g.g AB AK AB.AE AC.AK (2) F AC AE Cộng (1) và (2) theo vế ta được: AD.AF AB.AE AC AH AK AC.AC AC 2 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Vỡ ABK CDH ( cạnh huyền - gúc nhọn) => AK=HC Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 12: Cho ABC và 1 điểm O thuộc miền trong của tam giỏc, đường thẳng đi qua O và // với AB cắt BC tại D và cắt AC tại G, đường thẳng đi qua O và //BC cắt AB tại K và AC tại F, đường thẳng đia qua O và //AC cắt AB tại H và BC tại E KH DE GF DG KF EH a, CMR: 1 b, CMR: 2 AB BC AC AB BC AC HD: A KH KO a, HKO : ABC g.g AB BC G GF OF GOF : ABC g.g AC BC H KH DE GF KO DE OF Nờn 1 AB BC AC BC BC BC K O F b, Ta cú: DG DC EH BE và , AB BC AC BC B D E C Khi đú: DG KF EH DC KF BE DE EC BD EC DB DE 2BC 2 AB BC AC BC BC BC BC BC NC AC Bài 13: Cho ABC cú đường trung tuyến BM cắt tia phõn giỏc CD tại N, CMR : 1 ND BC HD: A Vẽ DE / / BM ( E AC ) NC MC QDE cú NM / /DE (*) E ND ME AD AC ABC cú DC là tia phõn giỏc nờn: (1) M DB BC D AD AE và ABM cú DE//BM (2) DB EM N AC AE 1 Từ (1) và (2) ta cú : ( ) 2 BC ME B C NC AC MC AE ME Lấy (*) - ( ), ta cú : 1 ND BC ME ME ME DB EC FA Bài 14: Cho ABC cú cỏc đường phõn giỏc AD, BE, CF, CMR: . . 1 DC EA FB HD: A DB AB ABC cú AD là tia phõn giỏc nờn: , DC AC EC BC FA AC E Tương tự: , , F EA AB FB BC Nhõn theo vế ta được đpcm Chỳc cỏc em chăm ngoan –B học giỏi !! D C Trang 6
7. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 15: Cho HBH ABCD đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC tại E, K, G CMR: a, AE2 EK.EG 1 1 1 b, AE AK AG c, Khi a thay đổi thỡ tớch BK.DG cú giỏ trị khụng đổi? HD: AE EB a, ABE cú AM / /DG (1) EG ED B EB EK A ADE cú AD / /BK (2) ED EA AE EK Từ (1) và (2) ta cú: AE 2 EK.EG E EG EA C D G 1 1 1 AE AE b, Từ: 1 K AE AK AG AK AG a AE ED AE ED AE ED ADE cú AD / /BC (3) EK EB AE EK ED EB AK DB AE BE AE BE AE BE Tương tự: AEB cú AB / /DG (4) EG ED AE EG BE ED AG BD AE AE ED BE Khi đú: 1=>đpcm AK AG BD BD BK AB KC.AB KC CG AD.CG c, ta cú: BK và DG KC CG CG AD DG KC Nhõn theo vế ta được BK.DG AB.AD khụng đổi BH.CH CH.AH AH.BH Bài 16: Cho ABC nhọn, H là trực tõm, CMR : 1 AB.AC BC.BA CA.CB HD: A BH BC ' Ta cú: BC 'H : BB ' A g.g AB BB ' BH.CH BC '.CH S HBC (1) B' AB.AC BB '.AC S ABC C' CH CA' Tương tự: CA' H : CC ' B g.g BC CC ' H CH.AH CA'.AH S AHC (2) BC.BA CC '.BA SABC C B A' AH AB ' AB.BH AB '.BH S AHB ' : ACA' g.g HAB (3) AC AA' CA.CB AA'.CB SABC Cộng (1), (2) và (3) theo vế ta được: đpcm Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7
8. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 17: Cho ABC, M là điểm nằm trong ABC, Gọi D là giao điểm của AM và BC, E là giao điểm của BM và CA, F là giao điểm của CM và AB, đường thẳng đi qua M và // với BC cắt DE, DF lần lượt tại K và I, CMR : MI=MK HD: A Gọi IK cắt AB. AC lần lượt tại N và Q AN MN ABD cú MN / /BC AB BD AN NQ MN NQ ABC cú NQ / /BC (1) F AB BC BD BC E IM FM M FDC cú IM / /DC , N H DC FC I K MN FM FBC cú NM / /BC BC FC IM MN IM DC (2) B C DC BC MN BC D IM DC.NQ DC.NQ.BD Nhõn (1) và (2) theo vế ta được: IM (*) BD BC 2 BC 2 Tương tự ta cũng cú: MQ AQ NQ AQ ADC cú MQ / /DC và ABC cú NQ / /BC DC AC BC AC MQ NQ Do đú: (3) DC BC MK EM MQ ME Và: EBD cú MK / /BD , EBC cú MQ / /BC BD EB BC EB MK MQ MK BD Do đú: (4) BD BC MQ BC MK NQ.BD DC.NQ.BD Nhõn (3) với (4) ta được: MK ( ) DC BC 2 BC 2 Từ (*) và ( ) ta cú MI = MK Bài 18: Cho ABC, cỏc đường trung tuyờn BM, CN cắt nhau tại G, K là điểm trờn cạnh BC, đường thẳng qua K và // CN cắt AB ở D, đường thẳng qua K và // với BM cắt AC ở E, Gọi I là giao điểm của KG và DE, CMR: I là trung điểm của DE HD: A Gọi DK cắt BG tại H, KE cắt GC tại O và GK cắt HO tại J HK / /GO Tứ giỏc HGOK cú: => HGOK là hỡnh bỡnh hành HG / /KO => J là trung điểm của HO => HJ=OJ DH BH N M BNG cú DH / /NG (1) NG BG G HK BH E BGC cú HK / /GC (2) D I GC BG O DH HK DH NG 1 J Từ (1) và (2) ta cú (*) H NG GC HK GC 2 B K C OE OC CMTT ta cú: CMG cú OE / /GM (3) GM CG OK OC CBG cú OK / /BG (4) GB CG Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8
9. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 OE OK OE GM 1 Từ (3) và (4) => ( ) GM GB OK GB 2 DH OE 1 Từ (*) và ( ) DKE cú OH / /DE HK OK 2 Lại cú J là trung điểm HO=> I là trung điểm DE Bài 19: Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD) cú BC=BD, Gọi H là trung điểm của CD, đường thẳng đi qua H cắt AC, AD lần lượt tại E và F, CMR: Dã BF Eã BC HD: Gọi BF cắt DC tại K, BE cắt DC tại I, và EF cắt AB tại G DK FD A B FAB cú DK / / AB (1) G AB FA 1 2 DH FD FAG cú DH / / AG (2) AG FA Từ (1) và (2) E 1 1 DK DH DK AB D C (*) K H I AB AG DH AG Tương tự: IC EC EIC cú AB / /IC (3) AB EA F HC EC EHC cú HC / / AB (4) AG EA IC HC IC AB Từ (3) và (4) ta cú: ( ) AB AG HC AG DK IC Từ (*) và ( ) => , Mà DH=HC (gt)=>DK=IC DH HC Mặt khỏc: BD=BC(gt)=> BDC cõn=> Bã DK Bã CI => BDK BCI c.g.c Dã BK Cã BI đpcm Bài 20: Cho ABC cú G là trọng tõm, một đường thẳng bất kỳ qua G, cắt cỏc cạnh AB, AC lần lượt tại M AB AC và N, CMR: 3 AM AN A HD: Gọi O là trung điểm của BC, Kẻ BH, CK lần lượt // MN H, K AO BOH COK g.c.g OH OK AB AH N ABH cú MG / /BH (1) G AM AG M AC AK AKC cú GN / /KC (2) H AN AG B C Cộng (1) và (2) theo vế ta được: O AH AK AG GH AG GH HK 2AG 2GO 3AG VT 3 K AG AG AG AG AG Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 9
10. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 21: Cho tứ giỏc ABCD, cú M, N lần lượt là trung điểm của cỏc đường chộo BD và AC (M # N) đường thẳng MN cắt AD, BC lần lượt tại E và F, CMR: AE.BF=DE.CF HD: A B H E M N D F G Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt EF tại H C Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt EF tại G AE AH AEH cú HA / /DM (1) ED DM BF BM CF CG CGF cú CG / /BM (2) CF CG BF BM Mặt khỏc: NAH NCG g.c.g AH CG (3) và DM BM AE CF Từ (1), (2) và (3) ta cú: AE.BF ED.CF ED BF Bài 22: Cho tam giỏc ABC, AD là đường trung tuyến, M là điểm nằm trờn đoạn AD, gọi E là giao điểm của BM và AC, F là giao điểm của CM và AB, CMR: EF //BC A HD: Lấy N trờn tia đối của tia DM sao cho MD= ND F E BM / /NC => Tứ giỏc BMCN là hỡnh bỡnh hành => M BN MC AF AM ABN cú FM / /BN (1) AB AN AE AM ANC cú ME / /NC (2) B C AC AN D AF AE Từ (1) và (2) => => EF / /BC AB AC N Bài 23: Cho tứ giỏc ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CB, O là giao điểm của AM và DN, OA OD 2 biết 4, , CMR: ABCD là hỡnh bỡnh hành OM ON 3 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10
11. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 A B N O K C HD: D H M Vẽ đường thẳng đi qua O và //AD cắt DC tại H Vẽ đường thẳng đi qua M và // BC cắt DN tại K Vỡ M là trung điểm của DC nờn K là trung điểm DN OM MH 1 DH 4 MAD cú OH / / AD (1) AM MD 5 DM 5 OA OA OA OM AM OM 1 Vỡ 4 1 5 5 OM OM OM OM AM 5 OD 2 OD 2 DO 4 Tương tự ta cú: DNC cú KM / /NC , mà (2) ON 3 DN 5 DK 5 Từ (1) và (2) =>OH / /KM AD / /BC Chứng minh tương tự=> AB//DC=> ABCD là hỡnh bỡnh hành Bài 24: Cho tứ giỏc ABCD, cú E, F lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AD, BC, đường thẳng EF cắt cỏc đường thẳng AB, CD lần lượt tại M và N, CMR: MA.NC = MB.ND HD: M Từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt ME tại G N Từ D kẻ đường thẳng song song BC cắt EF tại H B MB MF BF => MAG cú BF / / AG F C MA MG AG NC FC NHD cú FC / /HD (1) ND HD H Ta lại cú: AEG DEH g.c.g HD AG Thay vào (1) ta được: A E D NC FC BF MB NC MB G MA.NC MB.ND đpcm ND AG AG MA ND MA Bài 25: Cho tam giỏc ABC đều, gọi M, N lần lượt là cỏc điểm trờn AB, BC sao cho BM =BN, gọi G là trọng tõm của tam giỏc BMN, I là trung điểm của AN, P là trung điểm của MN a/ CMR: GPI và GNCđồng dạng b/ CMR: IC vuụng gúc với GI A Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11 M I P G O B N C
12. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD: a, Vỡ G là trọng tõm nờn GP  MN , 1 1 1 Lại cú : MA=NC=>PI MA NC và GP .GN 2 2 2 Vỡ ABC đều => BMN đều ả 0 ã 0 ã 0 0 0 => M 1 120 MIP 60 GPI 90 60 150 Và Gã NB 300 Gã NC 1800 300 1500 GPI : GNC c.g.c 1 b, GIC cú GI .GC theo cõu a=> GIC vuụng tại I=> IC  GI 2 Bài 26: Cho tam giỏc ABC nhọn, trờn cỏc đường cao BE, CF lấy cỏc điểm theo thứ tự I, K sao cho ãAIC 900 , ãAKB 900 a, CMR: AI=AK à 0 2 b, Cho A 60 , S ABC 120cm , Tớnh diện tớch tam giỏc AEF HD: AI AE A a, AIE : ACI g.g AI 2 AE.AC (1) AC AI Chứng minh tương tự: AK AF AIK : AKB g.g AK 2 AB.AF (2) AB AK Lại cú E AB AE ABE : ACF g.g AB.AF AC.AE (3) F AC AF Từ (1), (2) và (3) ta cú: I K 1 1 2 2 AI AK AI AK B C 1 1 B, Vỡ àA 600 Bà 300 AE AB,Cà 300 AC 1 2 1 2 2 SAEF AE 1 1 2 => AEF : ABC c.g.c SAEF .120 30cm SABC AB 4 4 Bài 27: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH, I là trung điểm của AC, F là hỡnh chiếu của I trờn BC, trờn nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa AC, vẽ tia Cx vuụng gúc với AC cắt IF tại E, Gọi giao của AH, AE với BI theo thứ tự tại G và K a/ IHE và BHA đồng dạng b, BHI và AHE đồng dạng c, AE vuụng gúc với BI A Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12 I K G 2 1 M 1 C B H F 1 E
13. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD: a, Ta cú: AHC vuụng cõn tại H, cú I là trung điểm AC => HI IC => I nằm trờn đường trung trực của HC => IF là đường trung trực => EH=EC=> IHE= ICE ( c.c.c) => IãHE IãCE 900 à à à Mặt khỏc: E1 C1 A1 IHE BHA g.g b, Theo cõu a ta cú: IHE: BHA HI HE => và Bã HI 900 ãAHI ãAHE HB HA BIH : AHE c.g.c ả ả c, Giả sử: AE giao với HI tại M => M 1 M 2 Từ cõu b=> I Eà Kà Hà 900 AE  BI Bài 28: Cho HCN ABCD, nối AC, kẻ DE vuụng gúc với AC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AE, DE, nối MN, ND, CP, CMR: a, AND và DPC đồng dạng b, ND và MN vuụng gúc với nhau A B HD: N à ả ã 1 a, Ta cú: A1 D1 ( cựng phụ ADE ) AE AD E và AED : DEC g.g 1 DE DC M mà AE= 2. AN và DE= 2. DP 2 P AN AD AND : DPC c.g.c DP DC 1 1 D C 1 b, Ta cú : ND / / AD MC 2 => Tứ giỏc NPCM là hỡnh bỡnh hành => Pã NM Pã CM Dả Cà (cmt) 2 1 ã ả ã à ã à 0 Lại cú : DNM N1 PNM C1 PCM C 90 ả ả D2 N1(sole) DN  NM Bài 29: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH, Gọi P và Q theo thứ tự là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, AH, CMR: a, ABP và ACQ đồng dạng b, AP vuụng gúc với CQ HD: A à à ã a, Ta cú: B1 A1 ( Phụ BAH ) 1 2 Chỳc cỏc em chăm ngoan – họcQ giỏi !! Trang 13 K 1 1 C B P H
14. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 AH AB BH => AHB : CHA g.g CH AC AH mà AH=2. AQ, và BH= 2. BP AB 2BP BP => ABP : CAQ c.g.c AC 2AQ AQ ả à b, Gọi AP cắt CQ tại K, Vỡ ABP : CAQ cmt A2 C1 ả ã 0 ã à 0 mà A2 KAC 90 KAC C1 90 AK  KC Bài 30: Cho ABC cõn tại A, H là trung điểm của BC, I là hỡnh chiếu của H trờn AC và O là trung điểm của HI a, CMR: BIC và AOH đồng dạng b, AO vuụng gúc với IC A HD: ả à ã a, Ta cú: H 1 C1 (Cựng phụ IHC ) (1) 1 AH HC AC lại cú : AHC : HIC g.g HI IC HC BC Mà HI 2.HO, HC 2 AH BC AH HO I Thay vào ta được : (2) E 2HO 2IC BC IC D Từ (1) và (2) ta cú : BIC : AOH c.g.c 1 O 1 1 B C b, Vỡ BIC : AOH c.g.c theo cõu a nờn H à à ả ả 2 à à 0 B1 A1 và D1 D2 d E H 90 BI  AE Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14
15. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 31: Cho ABC cú ba gúc nhọn, cỏc điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, Gọi H, O G theo thứ tự là trực tõm, tõm đường trũn ngoại tiếp, trọng tõm ABC a, Tỡm cỏc đồng dạng với AHB b, CMR: HAG đồng dạng với OMG c, 3 điểm H, O, G thẳng hàng A HD: a, Dự đoỏn AHB : MON g.g , 2 1 Chứng minh: ã ã H BAG GMN sole N Vỡ MN / / AB ã ã G 1 ABG GNM sole 2 O Mặt khỏc: AH / /OM ( cựng vuụng gúc BC) 2 1 2 à ả ả ả 1 => A1 M 1 A2 M 2 Tương tự ta cú: B M C BH//ON vỡ cựng vuụng gúc với AC ả à ả ả => N1 B1 sole N2 B2 AHB : MON g.g OM MN 1 b, ta cú: AHB : MON g.g AH AB 2 MG 1 OM GM 1 Mặt khỏc: Và àA Mả AHG MOG c.g.c AG 2 AH GA 2 1 1 à ả c, Vỡ AHG : MOG c.g.c G1 G2 à ã 0 ả ã 0 Mà G1 HGM 180 G2 HGM 180 H ,G,O thẳng hàng Bài 32: Cho ABC vuụng cõn đỉnh A, BD là đường trung tuyến, Qua A vẽ đường thẳng vuụng gúc với BD cắt BC tại E, CME: BE=2EC HD: A Vẽ đường cao AH H BC ABC vuụng cõn nờn AH là đường trung trực => G là trọng tõm => BG=2. GD D Cần chứng minh GE// DC G ABE cú G là giao 2 đường cao GE  AB => G là trực tõm => GE / / DC B C AC  AB H E BG BE BDC cú GE// DC => 2 BE 2EC GD EC Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15
16. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 33: Cho ABC, trờn AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD=DE=EC, trung tuyến AM cắt BD tại P và trung tuyến CN cắt BE tại Q a, CMR: Q là trung điểm của CN b, PQ//AC 1 3 c, PQ MN, PQ DE 2 4 A HD : 1 a, Vỡ ND BE và ND//BE=> QE// ND 2 D mà E là trung điểm DC nờn Q là trung điểm NC b, Chứng minh tương tự => P là trung điểm của AM, N P Gọi G là trọng tõm của ABC => PG=AG - AP = 1 AM G E 2 1 1 PG 1 AM AM AM 6 2 3 2 6 AG AM 4 Q 3 GQ 1 Tương tự PQ / / AC GC 4 B M C c, Tự chứng minh Bài 34 : Cho ABC cõn tại A, đường thẳng vuụng gúc với BC tại B, cắt đường thẳng vuụng gúc với AC tại C là điểm D, vẽ BE vuụng gúc với CD tại E, Gọi M là giao của AD và BE, vẽ EN vuụng gúc với BD tại N, CMR : MN//AB, M là trung điểm của BE HD : DM DE I ta cú : AC// BE => (1) DA DC DE DN lại cú : NE//BC => (2) DC DB DM DN từ (1) và (2) ta cú : MN / / AB A DA DB Giả sử : AC cắt BD tại I à ả à à 0 Ta cú: C1 B2 B1 C1 90 1 2 1 à  0  à B mà C1 I 90 I B1 => ABI cõn tại A C => BA là đường trung trực => AI =AC M Dễ dàng chứng minh được M là trung điểm BE N E D Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16
17. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 35 : Cho hỡnh vuụng ABCD, Gọi M, N theo thứ tự là cỏc trung điểm của cỏc cạnh AB, AD và P là giao điểm của BN, CM a, CMR : BN vuụng gúc với CM b, CMR: DP=DC c, DP cắt AB tại F, CMR: F là trung điểm của MB HD: à à a, Ta cú: BAN = CBM (c.g.c) =>B1 C1 mà A M F B à ả 0 ả à 0 ã 0 1 1 C1 M 1 90 M 1 B1 90 MPB 90 BN  CM b, Kộo dài BN cắt DC tại I P ND ID 1 => IBC cú ND / /BC BC IC 2 N =>I là trung điểm IC, PIC vuụng cú D là trung điểm IC => PD =PC 1 I c, Tự chứng minh D C Bài 36: Cho ABC (AB AD = AE A BD BM Ta cú: BDM cú AK// DM => , AD KM E CE M Mặt khỏc CAK cú ME / / AK AE KM BD CE Mà BM= CM => và AD AE BD CE AD AE C B K M Bài 37: Cho HCN cú AD = 2.DC, M alf điểm trờn AB, tia phõn giỏc của gúc Cã DM cắt BC tại E, CMR: CM = AM+2EC HD: Lấy N trờn tia đối tia CB sao cho AM= 2CM => DAM : DCN c.g.c A D 1 Lại cú: DM=2.DN (1) 2 và Eà ãADE Eã DN EDN cõn tại N => ND=EN=EC+CN M => AM+2. EC=2CN+2.EC=2.ND (2) B E C N từ (1) và (2) ta cú : DM = 2.DN= AM+2EC Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17
18. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 38: Cho hỡnh vuụng ABCD, gọi O là giao của hai đường chộo, lấy G trờn BC, H trờn CD sao cho Gã OH 450 , Gọi M là trung điểm của AB, CMR: a, HOD đồng dạng với OGB b, MG // AH A M B HD: 1 a, ta cú: Dà Bà 450 , Mặt khỏc: 45 Oà Oả 1800 450 1350  1 2 à à  O1 G1 Oả Gà 1800 450 1350 2 1  O => HOD : OGB g.g 2 1 b, Theo cõu a, HOD : OGB g.g 45 HD OD => , Đặt MB=a, AD=2a G OB GB => HD.GB OB,OD a 2.a 2 2a 2 AD.BM 45 1 HD BM D H C BMG : DHA c.g.c AD BG ả ả =>M 1 H1 , mà ả ã ả ã H1 BAH sole M1 BAH ( đồng vị) => AH//MG Bài 39: Cho HCN ABCD, từ 1 điểm P thuộc đường chộo AC, dựng HCN AEPF (E AB, F AD), CMR: a, EF//DB b, BF và DE cắt nhau tại Q nằm trờn AC HD: AE AP A E B a, Ta cú: EP//BC => và AB AC I AF AP AE FA FP / /DC EF / /BD 1 AD AC AB AD Q 2 P b, Gọi I, O lần lượt là tõm của 2 HCN F QE EF EF / /DC , O QD DB QE IE Mà 2.IE = EF, 2. DO= DB=> QD DO à à à ả D C và E D IEQ : ODQ Q1 Q2 ả ã 0 à ã 0 Mà Q2 OQE 180 Q1 OQE 180 => A, Q, O thẳng hàng=> Q nằm trờn AC Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18
19. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 BC Bài 40: Cho hỡnh vuụng ABCD, trờn BC lấy E sao cho BE , trờn tia đối của CD lấy điểm F sao cho 3 BC CF , M là giao AEvà BF, CMR: AM vuụng gúc với CM 2 HD: A B H M E G D C F Gọi G là giao AM và DC, GC CE 2 H là giao của AB và CM, ta cú: GAD cú CE / / AD GD AD 3 GC 2 DC 1 DF FG GC DC 3 GC 2 BH AB 2 2 2 1 BC Lại cú: AB//DG=> BH .CF . .BC BE CF GF 3 3 32 2 3 à à A1 C1 Khi đú: ABE = CBH (c.g.c) => AM  MC à ả E1 E2 Bài 41: Cho tứ giỏc lồi ABCD, từ 1 điểm E thuộc cạnh AD và G thuộc cạnh AB, ta kẻ cỏc đường thẳng song song với đường chộo AC, cỏc đường thẳng này cắt CD, BC lần lượt tại F và H a, So sỏnh cỏc tỉ số cỏc đoạn thẳng do BD định ra trờn EF và GH b, CMR: EG và HF cắt nhau tại I nằm trờn BD I HD: a, Gọi O là giao điểm 2 đường chộo AC, BD BD cắt EF, GH lần lượt tại N và M B EN BN NF EN AO => AO BO OC NF OC E F GM DM MH GM AO Tương tự ta cũng cú: N AO DO OC MH OC EN GM AO Từ hai điều trờn ta cú: NF GH OC O A C b, Giả sử : GE cắt BD tại I’ EN I ' N => (1), G H GM I 'M NF I ' N Tương tự Giả sử HF cắt BD tại I’: (2) MH I 'M D EN GM EN NF Theo cõu a ta cú: (3) NF GH GM GH IN I ' N Từ (1), (2) và (3) => I  I ' , hay I là giao điểm GE, HF, DB. IM I 'M Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19
20. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 42: Cho hỡnh vuụng ABCD, trờn AB lấy điểm M, vẽ BH vuụng gúc với CM, nối DH, vẽ HN vuụng gúc với DH (N BC) a, CMR: DHC và NHB đồng dạng b, CMR: AM.NB=NC.MB A M B 1 HD: H 1 ả ã 0  H1 NHC 90 ả ả 2 a, Ta cú:  H1 H2 ả ã 0 H2 NHC 90  à ả ã N lại cú: B1 M 1 ( Phụ HBM ) ả à và M1 C1 sole => DHC : NHB g.g MB BH b, Ta cú: MBH : BCH g.g , BC CH BH BN MB BN Mà CH DC BC DC 1 mà BC= DC => MB = NB D C => AM = NC => AM.NB=NC.MB đpcm Bài 43: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a, một đường thẳng d bất kỳ đi qua C cắt AB tại E và AC tại F a, CMR tớch BE.DF khụng đổi khi d di chuyển BE AE 2 b, CMR: 2 BF AF F c, Xỏc định vị trớ của d để DF=4.BE HD: BE BC a, EBC : CDF g.g BE.DF BC.CD a2 CD DF => BE. DF khụng đổi C b, Ta cú: D EB BC AE BE EBC : EAF g.g (1) EA FA FA BC FD DC AE DC E FCD : FEA g.g (2) FA AE FA FD A B d AE 2 BE DC BE Nhõn (1) và (2) theo vế ta được: . , FA2 BC DF DF Vỡ BC= DC BE 1 AE 2 AE 1 BE 1 a c, Để DF 4BE BE DF 4 FA2 FA 2 BC 2 2 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20
21. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 44: Cho ABC cú AB=4cm, AC=8cm, BC=6cm, hai tia phõn giỏc trong AD và BE cắt nhau tại O, CMR đoạn nối điểm O với trọng tõm G của ABC thỡ song song với BC HD: ABC cú AD là đường phõn giỏc nờn: A DB DC DB DC 6 AB AC AB AC 12 DB BC DB 2cm E AB AB AC ABD cú OB là tia phõn giỏc nờn: OA OD OA AB 2 (1) G AB BD OD BD O Gọi AM là đường trung tuyến của ABC, AG G là trọng tõm của ABC => 2 C GM B D M AO AG Từ (1) và (2) => 2 OG / /DM OD GM Bài 45: Cho ABC vuụng tại A, vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú cỏc ABD vuụng cõn ở B, ACF vuụng cõn ở C, Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao của AC và BF, CMR: a, AH=AK b, AH2 BH.CK F A HD: D K H B C a, Ta cú: AC//BD ( cựng vuụng gúc với AB) AH AC AH AC AH AC AB.AC => AH (1) BH BD AH BH BD AC AB AB AC AB AC Tương tự: AB // CF ( cựng vuụng gúc với AC) AK AB AK AB AK AB AB.AC AK (2) KC CF AK KC AB AC AC AB AC AB AC Từ (1) và (2) ta cú: AH=AK b, ta cú : AH AC (3) BH BD AK AB BD KC AC Và (4) KC CF AC AK BD AH KC Từ (3) và (4)=> AH.AK BH.KC , mà AH=AK=> đpcm BH AK Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 21
22. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 46: Cho tam giỏc ABC nhọn, Cỏc đường cao AD, BE, CF, Gọi I, K, M, N lần lượt là chõn đường vuụng gúc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA, CMR: 4 điểm I, K, M, N thẳng hàng A HD: Ta cú: BI BD BK KI / /EF FI DC KE Tương tự: E CN CD CM F MN / /FE NE DB MF FA AH AE Mặt khỏc: FE / /IN , H M N AI AD AC K Khi đú I, K, M, N thẳng hàng I B D C Bài 47: Cho ABC vuụng tại A, đường cao AH, E là điểm bất kỳ trờn AB, kẻ HF vuụng gúc với HE (F trờn AC) a, CMR: BEH và AFH đồng dạng b, CMR: HE.BC=EF.AB c, Cho AB = 6cm, AC=8cm, diện tớch HEF =6cm2, Tớnh cỏc cạnh của HEF HD: à à ả ả a, Ta cú: B A1 và H1 H 2 => BEH : AFH g.g A b, Theo cõu a ta cú: BEH : AFH g.g E HE BH => (1) F HF AH Mặt khỏc: 2 ABH : CAH g.g 1 C AB BH B H (2) AC AH HE AB Từ (1) và (2) => HF AC HE FE và àA Hà 900 HEF : ABC c.g.c HE.BC FE.AB AB BC 1 1 c, S .AB.AC .6.8 24cm2 abc 2 2 2 SHEF EF 6 1 EF 1 mặt khỏc: SABC BC 24 4 BC 2 Mà BC=10=> EF 5 HE 3, HF 4 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 22
23. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 48: Cho ABC vuụng tại A, đường cao AD, đường phõn giỏc BE, giả sử AD cắt BE tại F, CMR: EA FD EC FA HD: A ABD cú BF là tia phõn giỏc FD BD => (1) E FA BA ABC cú BE là phõn giỏc : EA AB (2) F EC BC Mà ADB: CAB ( g . g ) AB BD B C => (3) D BC AB EA FD Từ (1), (2) và (3) ta cú: EC FA Bài 49: Cho M, N lần lượt là trung điểm cỏc cạnh AD và BC của hỡnh chữ nhật, E là điểm trờn tia DC, K là giao EM và AC, CMR: MN là tia phõn giỏc Kã NE A B K 1 N HD: M 2 O Gọi H là giao KN với DC O là giao MN với AC Khi đú MO=ON 1 E H MO ON KO D C => EC CH OC à à =>EC CH => NEH cõn tại N => E1 H ã à ả ả ả mà KNE 2H ( Gúc ngoài) = 2.N1 N1 N 2 đpcm Bài 50: Cho ABC vuụng tại A, AH là đường cao, D, E lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AB, AH, đường thẳng vuụng gúc AB tại D cắt CE ở F, CMR BCF vuụng HD: Lấy M là giao của DE với AC => M là trung điểm AC ta cú : 1 A DE BH 2 DE BH (1) 1 EM HC F EM HC 2 E M Mặt khỏc : D FD// AC ( cựng vuụng gúc với AB) DE FE => (2) EM EC B C Từ (1) và (2) ta cú : H BH EH EH / /BF , Mà EH  BC BF  BC BCF vuụng HC EC Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 23
24. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 51: Cho tam giỏc ABC (AB (1) KD BD E tương tự ta cú: ABC cú EF // AB FE CE AB FE FE K => (2) B F C AB CA AC CE BD Từ (1) và (2) => đpcm Bài 52: Cho ABC nhọn, AD là đường cao, H là điểm trờn đoạn AD, Gọi E là giao điểm của BH và AC, F là giao điểm của CH và AB, CMR: DA là tia phõn giỏc của Eã DF HD : Qua H vẽ đường thẳng // BC cắt AB tại M, Cắt DF tại N, DE tại I, AC tại K A => NI //BC, AD BC => DH  NI Xột cỏc FDC, FBC, EBC, EBD, ABD, ADC, ABC ta cú : NH FH MH FH NH MH HI EH HK EH , , , , DC FC BC FC DC BC BD EB BC EB E HI HK MH AH HK AH MK AH F , , , M K BD BC BD AD DC AD BC AD N H I MH HK MK NH HK MH MH HI HK . . . . BD DC BC CD BC BD BC BD DC B D C NH HI NDI cú HD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nờn=> NDI cõn Vậy DH là tia phõn giỏc Bài 53 : Cho ABC cú AD là đường trung tuyến, Trọng tậm là điểm G, một đường thẳng đi qua G cắt cỏc BE CF cạnh AB, AC lần lượt tại cỏc điểm E, và F, CMR : 1 AE AF A HD : Kẻ BM// EF, CN//EF Khi đú ta cú : F BE GN CF GN BE CF GM GN G ; AE AG AF AG AE AF AG E M GD DN GD MD 2GD AG 1 C AG AG AG B D Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! N Trang 24
25. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 54 : Cho hỡnh thang ABCD, đỏy lớn CD và O là giao điểm của hai đường chộo, đường thẳng qua B và //AD cắt AC tại E, đường thẳng qua C //AD cắt BD tại F, CMR : a, OA2 OC.OE b, OD2 OB.OF F HD : OA 0B a, Ta cú : AB//CD => (1) OC OD A B OE OB BE / / AD (2) OA OD E OA OE 2 O Từ (1), (2) => OA OE.OC OC OA OD OA b, AD / /FC (3) D C OF OC OB OD và OD2 OB.OF OD OF Bài 55 : Cho ABC, Lấy E trờn BC sao cho EC=2.BE, Lấy điểm F trờn AB sao cho AF=2BF 1 a, CMR : EF//AC và EF = AC 3 IE IF 1 b, Gọi I là giao điểm của AE và CF, CMR: AE CF 4 c, Thay điều kiện EC=2BE và AF=2.BF bằng điều kiện AE, CF thứ tự là hai tia phõn giỏc của gúc A và C của ABC thỡ ABC cần cú điều kiện gỡ để EF //BC A HD: EB FB 1 a, Ta cú: EF / / AC , Do đú: EC FA 2 EF BE 1 1 EF AC AC BC 3 3 IE IF EF 1 IE IF 1 b, Vỡ EF / / AC IA IC AC 3 AE CF 4 EC FA c, EF / / AC Khi (1) F EB FB I EC AC Mà AE là tia phõn giỏc gúc A (2) EB AB FA AC CF là tia phõn giỏc gúc C (3) FB BC B E C AC AC Từ (1), (2) và (3)=> AB BC => ABC cõn tại B AB BC Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 25
26. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 56 : Cho ABC, kẻ tia phõn giỏc AD, trờn tia đối của tia BA, lấy điểm E sao cho BE=BD và trờn tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF=CD a, CMR : EF //BC b, CMR : ED là tia phõn giỏc gúc Bã EF , FD là tia phõn giỏc gúc Cã FE HD : BD AB A a, Vỡ AD là tia phõn giỏc gúc A nờn: DC AC Theo gt ta lại cú: BD=BE, DC= CF BE AB BE CF => EF / /BC CF AC AB AC C b, BDE cõn =>Eà Dả , B 1 1 1 D ả ả à ả mà D1 E2 sole E1 E2 1 vậy ED là tia phõn giỏc gúc Bã EF 2 E F Chứng minh tương tự cho FD là tia phõn giỏc gúc Cã FE Bài 57 : Cho ABC vuụng tại A, kẻ đường cao AH, Gọi D và E theo thứ tự là cỏc điểm đối xứng với H qua AB và AC a, CMR : Tứ giỏc BCED là hỡnh thang 2 DE b, CMR: BD.CE 2 c, Cho AB =3cm, AC= 4cm, Tớnh DE và Diện tớch DHE E HD: a, Dễ dàng chứng minh 3 điểm D, A, E thẳng hàng và A BD  DE,CE  DE BD EC Vậy BCED là hỡnh thang DB AE D b, ADB : CEA AD.AE DB.CE AD CE A là trung điểm DE 2 1 DE B H C nờn AD AE DE DB.CE 2 2 c, Theo định lý Pi ta go thỡ : BC 2 AB2 AC 2 32 42 25 BC 5 1 1 S .AB.AC BC.AH ABC 2 2 AB.AC AH 2,4 Vỡ DE=2.AH=> DE=4,8 BC 2 DE 4,8 S HDE 4,8 1 ABC : HDE , Mà SABC .3.4 6 SHDE BC 5 S ABC 5 2 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 26
27. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 58: Cho HCN ABCD, Trờn tia đối của tia AD lấy điểm F sao cho AF =AB, Trờn tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE=AD, Gọi N là giao điểm FC với AB và M là giao điểm EC và AD CMR: MD=BN F HD: ta cú: NB BC NBC : CDF CD DF NB CD DC.BC NB (1) BC DF AB AD A N MD DC E B MDC : CBE CB BE DC.BC MD (2) M AB AD Từ (1) và (2) => NB= MD D C Bài 59: Cho ABC vuụng tại A, đường cao AH, I là trung điểm AC, F là hỡnh chiếu của I trờn BC, Trờn nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa AC vẽ tia Cx vuụng gúc AC cắt IF tại E, Gọi giao điểm AH, AE với BI theo thứ tự là G, K, CMR: a, IHE: BHA b, BHI: AHE B c, AE vuụng gúc với BI E HD: a, Chứng minh IHE : BHA H 1 HI IC AC Ta cú: 2 =>IF là trung trực HC IF  HC G E IF EC EH IHE ICE c.c.c F IãHE IãCE 900 (1) K ta lại cú : Bã HA ãACH ( Cựng phụ gúc A ) =>Bã AH IãEH (2) A C Từ (1) và (2) => IHE : BHA g.g I IH EH IH BH b, Từ cõu a, IHE : BHA BH AH EH AH Mà IãHE Bã HA 900 IãHE ãAHI Bã HA ãAHI ãAHE Bã HI => BHI : AHE c.g.c c, Vỡ BHI : AHE IãBH Eã AH Gã BH Gã AK ã ã GBH GAK(cmt) 0 Xột AKG, BHG cú ãAKG Bã HG 90 =>AK  GK tại K => AE  BI ã ã AGK BGH (cmt) Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 27
28. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 60 : Cho HCN ABCD (AB NF là đường trung bỡnh => NF / /ED Mà DE  AC NF  AC I N P => NFC vuụng cú I là trung tuyến 1 1 =>NI CF MD MND vuụng tại N 2 2 => MN  ND A F D AN ND c, AND : DPC g.g AN.CP ND.PD DP CP d, ABCD là hỡnh vuụng thỡ NMD là vuụng cõn tại N e, Diện tớch ABCD bằng 4cm 2 Bài 61 : Cho hỡnh vuụng ABCD cú cạnh a, Gọi I là trung điểm AB, Trờn tia đối của tia CD đặt điểm M sao cho CM=a, Trờn tia đối của tia CB đặt điểm N sao cho CN =2a, trờn tia đối của tia DC đặt điểm P sao cho DP =2a, trờn tia đối của tia AD đặt Q sao cho AQ=3a, Gọi E,F, R lần lượt là trung điểm PN, QM, PQ, Gọi S là giao điểm QM và PN a, CMR : AID : DPQ b, MPQ là tam giỏc gỡ ? Tứ giỏc MNPQ là tứ giỏc gỡ ? Q c, CMR : 4 điểm E, D, I, F thẳng hàng d, CMR: I là trung điểm NQ e, CMR: 3 đường thẳng SR, QN, CD đồng quy HD: R a, AID : DPQ c.g.c F b, MPQ cõn tại Q I ( vỡ QD vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến) A B => Tứ giỏc MNPQ là hỡnh thang c, AID : DPQ ãADI Dã QP DI / /PQ (1) P M D O C EF là đường trung bỡnh của hỡnh thang MNPQ => EF//PQ (2) DF là đường trung bỡnh của MPQ E => DF// PQ (3) Từ (1), (2) và (3) => E, D, I, F thẳng hàng N d, Do AQ =BN và AQ // BN Nờn AQBN là hỡnh bỡnh hành, => AB và QN cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường mà I là trung điểm của AB => I là trung điểm QN S e, Theo cmt ta cú: MNPQ là hỡnh thang, Gọi O là giao điểm MP và NQ Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 28
29. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Ta lại cú NP giao MQ tại S => S, O, R thẳng hàng => SR, Qn, CD đồng quy tại O Bài 62: Cho HBH ABCD, một đường thẳng d quay quanh A, cắt BC, CD lần lượt tại E và F, CMR: tớch BE.DF khụng đổi A I B HD: Từ F vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB tại I AI IF ABE cú IF / /BE AB BE AI.BE AB.IF DF.BE AB.AD ( khụng đổi) D F C E Bài 63: Cho ABC (AB , AB AC BE FC Mà AB CD CF CE CF CD C DF / / AE B E N F DC AC CE CA 1 => ADFE là hỡnh thang cú MN là đường trung bỡnh =>Cã MN àA .Bã AC 1 2 S OB Bài 64 : Cho Tứ giỏc ABCD, O là giao điểm của AC và BD, CMR : ABC SACD OD HD : B BH  AC Vẽ BH / /DK DK  AC ta cú : K 1 A C .BH.AC O H S BH ABC 2 (1) S 1 DK ACD .DK.AC 2 BH OB Mặt khỏc OBH : ODK g.g (2) DK OD Từ (1) và (2) => đpcm D Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 29
30. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 65 : Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD), Cú AB=a, CD= b, M, N trờn cỏc cạnh AD và BC sao cho MA a m.b MN//CD và M , cmr : MN MD m 1 HD : Qua M vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB, CD lần lượt tại N và I Khi đú MNCI là hỡnh bỡnh hành => DI= b - MN H A a B Tương tự : NA = MN - a Xột MDI cú DI / / AN N MA AN MN a M M MD DI b MN mb m.MN MN a MN m.MN mb a a mb MN đpcm D C m 1 I b Bài 66 : Cho ABC nhọn, cỏc đường cao AD, BE cắt nhau tại H, đường thẳng vuụng gúc với AB tại A cắt BE ở K, CMR : EAK : ECH A HD : Vỡ AD cắt BE tại H=> H là trực tõm K =>CH  AB CH / / AK E à à A1 C1 EAK : ECH g.g H 1 B D C Bài 67: Chứng minh rằng ABC vuụng nếu cỏc đường phõn giỏc BD và CE cắt nhau tại I thỏa món: BI CI 1 . BD CE 2 HD: Nối AI=> AI là tia phõn giỏc gúc A ABD cú AI là tia phõn giỏc A BI AB BI AB BI => (1) ID AD ID BI AB AD BD AD AB AD AB D Mặt khỏc : DC BC AD DC AB BC E AD AB AB.AC AD AC AB BC AB BC I Thay vào (1) ta được : BI AB AB BC B C AB.AC BD AB AB BC CA AB BC CI AC BC BI CI 1 Tương tự : Với gt . CE AB BC CA BD CE 2 2 =>2 AB BC AC BC AB BC CA AB2 AC 2 BC 2 . Vậy ABC vuụng tại A Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 30
31. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 68 : Cho hỡnh thoi ABCD cú àA 600 , P là 1 điểm thuộc cạnh AB, N là giao điểm của hai đường thẳng AD và CP a, CMR : AB2 BP.DN b, Gọi M là giao điểm của Bn và DP, Tớnh Bã MD ? D c, CMR : PA.PB PD.PM HD : a, Ta cú PBC : CDN CD.BC BP.DN A 2 C Do AB =BC=CD=> AB BP.DN P b, Ta chứng minh được Bã MD 600 N PA PM ? c, PAD : PMB PD PB M B PA.PB PD.PM đpcm. Bài 69: Cho ABC nhọn cú AB=AC, và hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H, CH cắt DE tại I a) CMR : HIE: DIC IH FH b) Đường thẳng đi qua E song song với BC cắt CH ở F, CMR : và F AB IC FC Bài 70: Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú tõm O, AB=6cm, BC=8cm, Kẻ AE vuụng gúc với BD, Tia AE cắt BC tại F a) Tớnh BD, AE, BE, BF và diện tớch Bẩ b) CMR: CD.AB=BE.BD=BF.BC c) Kẻ EH vuụng gúc với AB, EK vuụng gúc với AD, CMR: AE=HK và AH.AB=AK.AD d) Tia KH cắt DB ở T, CM AC vuụng gúc với HK và TH.TK=TD.TB HD: a) Xột ADB và BAF cú : Dã AB Ã BF 900 Ã DB Bã AF Ã DB Ã BD 900 , Bã AF Fã AD Bã AD 900 => ADB : BAF (g.g) => AD AB 8 6 BF 4,5cm BA BF 6 BF Xột ABD vuụng tại A: BD AB2 AD2 62 82 10cm 1 1 1 1 1 1 Xột ABF vuụng tại B: cú BE  AF BE 3,6cm BE 2 AB2 BF 2 BE 2 62 4,52 Chứng minh tương tự: ABE : AFB => AB AE BE 6 AE 3,6 AE 4,8cm, AF 7,5cm AF AB FB AF 6 4,5 1 1 1 2 Và S BEF BE.EF .3,6. AF AE .3,6. 7,5 4,8 4,86cm 2 2 2 b) ABD vuụng tại A cú AE vuụng gúc với BD tại E=> AB2 BE.BD AB.CD BE.BD Vỡ ( AB=CD) Cú: BF.BC=4,5.8=36=AB2 =>AB.CD=BF.BC=BE.BD( đpcm) c) Ta cú:Hã AK Ã KE Ã HE 900 (1) Mà: Ã KE Kã EH Eã HA Hã AK 3600 =>Kã EH 900 (2) Từ (1) và (2) => AHEK là hỡnh chữ nhật=> AE=HK Xột AKH vuụng vag HEA vuụng cú: AK=HE AH cạnh chung Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 31
32. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 => AKH= HEA (Hai cạnh gúc vuụng)=> à KH à EH Vỡ EH  AB, BC AB=>EH // BC=> à EH à FB Mà à FB à BD ( Cựng phụ Bã DC ) => à KH à BD Xột HAK và BAD cú: Gúc A chung à KH à BD AH AK => HAK : DAB (g.g)=> AH.AB AD.AK (đpcm) AD AB d) Ta cú: à KH à BD cmt (3) Xột BDA vuụng và CAD vuụng cú: AD cạnh chung AB=DC => BDA= CAD =>à BD à CD (4) Từ (3) và (4) ta được: à KH à CD Mà Cã AD à CD 900 à KH Cã AD 900 Gọi M là giao điểm của HK và AC. AMK cú: à KH Cã AD 900 à MK 900 AC  HK Ta cú: Tã HB à HK ( đối đỉnh) à HK à DB HAK ADB =>Tã HB à DB hay Tã HB Kã DT Xột THB và TDK cú: Gúc T chung TH TB Tã HB Kã DT THB : TDK g.g => TH.TK TD.TB ( đpcm) TD TK Bài 71: Cho ABC nhọn cú cỏc đường cao AD< BE, CF cắt nhau tại H a) CMR: BDH : BEC suy ra BH.BE+CH.CF=BC2 b) Chứng minh H cỏch đều ba cạnh cảu DEF HD HE HF c) Tớnh tổng: AD BE CF d) Trờn cỏc đoạn thẳng HB, HC lấy cỏc điểm M, N tựy ý sao cho HM= CN. CMR đường trung trực của MN luụn đi qua 1 điểm cố định. Bài 72: Cho ABC cú ba gúc nhọn, cỏc đường cao BD, CE cắt nhau tại H a) CMR: ABD và ACE đồng dạng b) CMR: BH.HD=CH.HE c) Nối D với E, Biết BC=a, AB=AC=b, Tớnh DE theo a và b HD: a) Xột ABD và ACE Cú À là gúc chung à BD à EC 900 ABD : ACE(g.g) b) Xột BHE và CHD cú : Bã HE Cã HD (đối đỉnh) Bã EH Cã DH 900 HB HE BHE : CDH(g.g) BH.HD CH.HE CH HD Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 32
33. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 DE AD AD.BC c) Khi AB=AC=b, thỡ ABC cõn tại A => DE / /BC DE BC AC AC Gọi giao điểm của AH và BC là F a DC BC BC.FC a2 AF  BC,FB FC , DBC : FAC DC 2 FC AC AC 2b a2 b a 2 2 AD.BC AC DC .BC 2b a 2b a DE AC AC b 2b2 Bài 73: Từ ba đỉnh A, B, C của ABC ta vẽ ba đường thẳng song song với nhau, Chỳng lần lượt cắt BC và cỏc đường thẳng CA, AB tại D, E, F, CHứng minh rằng: 1 1 1 a) AD BE CF b) S DEF 2.S ABC HD: a) Theo hệ quả của định lớ ta let ta cú: AD CD AD BD ; , Cộng từng vế ta được: BE CE CF CB AD AD CD BD 1 , chi hai vế cho AD ta được: BE CF CB CB 1 1 1 AD BE CF b) Từ AD//BE//CF, lập luận chứng minh được: SADE SADB ,SADF SADC ,SAEF SACB Suy ra SADE SADF SAEF SADB SADC SACB SDEF 2.SABC Bài 74: Cho ABC vuụng cõn tại A, CM là đường trung tuyến (M nằm trờn AB), Từ A vẽ đường thẳng BH vuụng gúc với MC cắt BC ở H, Tỉnh tỉ số HC HD: Giả sử: AH cắt MC tại I Gọi trung điểm của BH là K thỡ MK//AH Dễ thấy ba tam giỏc vuụng AMC, IAC, IMA đồng dạng mà AC=2. AM Nờn IC=2. IA=4. IM HK IM 1 BH 2.HK 1 HB 1 Suy ra: HC IC 4 HC HC 2 HC 2 Bài 75: Cho hỡnh thang (AD//BC). Một điểm M di động trờn đường chộo AC, Chứng minh : MB.AC MC.AB MA.BC HD: Kẻ Cx // AB cắt tia BM tại P => AB.MC MA.CP Ta cú: MC.AB MA.BC MA.CP MA.BC MA CP BC MA.BP Ta lại cú: MB.AC BP.AM , Vậy MB.AC MC.AB MA.BC Bài 76: Cho ABC đều, Gọi M là trung điểm cảu BC, Dựng gúc xãMy 600 , quay quanh điểm M sao cho hai cạnh Mx, My luụn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E, CMR: BC2 a) BD.CE 4 y Chỳc cỏc em chăm ngoan – xhọc giỏi !! Trang 33 A E D 2 1 2 1 3 B M C
34. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 b) DM, EM lần lượt là tia phõn giỏc gúc: Bã DE,Cã ED c) Chu vi ADE khụng đổi HD: ả 0 ả a) Trong BDM, ta cú: D1 120 M1 ả 0 ả 0 ả ả ả Vỡ M2 60 M3 120 M1 => D1 M3 Ta chứng minh được: BMD và CEM đồng dạng BD CM BD.CE BM.CM (1) BM CE BC BC 2 Vỡ BM CM BD.CE 2 4 BD MD BD MD b) Từ (1) suy ra: , Mà BM=CM nờn ta cú: CM EM BM EM ả ả ã Ta chứng minh được: BMD : MED =>D1 D2 . do đú: DM là phõn giỏc BDE Chứng minh tương tự ta cú: EM là phõn giỏc gúc Cã ED b) Gọi H, I, K là hỡnh chiếu của M trờn AB, DE, AC, Chứng minh DH=DI, EI=EK Tớnh chu vi ADE bằng 2. AH khụng đổi Bài 77: Cho hỡnh thang ABCD cú AB//CD và AB OC OD CD OC OD IA IB AB IA IB IAB: IDC => ID IC CD IC ID OA OB IA IB OC OD IC ID OA AB OA AM b) và Bã AC Ã CD => OAM: OCN OC CD OC NC Ã OM Cã ON => M, O, N thảng hàng Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 34
35. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 IA B IA M  và I là gúc chung => IAM : IDN=> I, M, N thẳng hàng ID CD IC DN à MI Dã NI , Vậy I, M, O, N thẳng hàng OB B 1 SAOB 1 SAOB 1 SAOB 1 1 c) Vỡ SAOB .SABD OD CD 3 SAOD 3 SAOD SAOB 3 1 SABD 4 4 SABD AB 1 SABD 1 SABD 1 1 1 Lại cú: SABD .SABCD SAOB SABD SBDC CD 3 SBDC SABD 3 1 SABCD 4 4 16 SIAB 1 SIAB 1 SABD 1 1 SIAB .SABCD SICD 9 SICD SIAB 9 1 SABCD 8 8 1 1 3 3a S S S S S .S IAOC IAB AOB 8 ABCD 16 ABCD 16 ABCD 16 Bài 79: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đường chộo AC lớn hơn đường chộo BD, Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của B và D xuống đường thẳng AC, Gọi H và K lần lượt là hỡnh chiếu của C xuống AB và AD a) Tứ giỏc BEDF là hỡnh gỡ? b)CMR: CH.CD CB.CK c) Chứng minh rằng: AB.AH AD.AK AC2 HD: a) Ta cú: BE  AC,DF  AC BE / /DF Dễ thấy BEO= DFO (g.c.g) => BE=DF Suy ra BEDF là hỡnh hỡnh hành b) Ta cú: à BC à DC Hã BC Kã DC => CBH : CDK (g.g) CH CK CH.CD CK.CB CB CD c)Chứng minh: AFD : AKC (g.g) AF AK AD.AK AF.AC AD AC Lại cú: CFD: AHC (g.g) CF AH CF AH , Mà CD AB AB.AH CF.AC CD AC AB AC AB.AH AB.AH CF.AC AF.AC CF AF .AC AC 2 Bài 80: Cho ABC cú Bã AC 1200 , Cỏc phõn giỏc trong lần lượt là AD, BE, CF 1 1 1 a)CHứng minh rằng: AD AB AC b)Tớnh Fã DE HD: AB DB DK AB AD a)Từ B kẻ BK//AC, cắt AD tại K, ta cú: ABK đều, dú đú: AC DC DA AD 1 1 1 AB.AD AC AB AD AD AB AC BC.AB b)Áp dụng tớnh chất đường phõn giỏc: ta cú: BD , AB AC AB.AC DA CA EA Từ cõu a AD , Nờn DE là phõn giỏc Bã DA AB AC DB CB EB Chứng minh tương tự DF là phõn giỏc à DC , từ đú suy ra : Bã DA 900 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 35
36. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 AM 1 AN 2 Bài 81: Cho ABC, trờn cỏc cạnh AB và AC lấy cỏc điểm M và N sao cho: , , Gọi D là AB 3 AC 3 giao điểm của Bn và Cm, E là giao điểm của MN và BC EB a)Tớnh EC b)Tớnh tỉ số diện tớch tứ giỏc AMDN và ABC HD: a)Kẻ CK //AB cắt ME tại K CK 1 CK 1 EC 1 EB Chứng minh 4 AM 2 BM 4 EB 4 EC 1 2 b) Chứng minh được: S S S .S AMC 3 ABC AMN 9 ABC Từ M kẻ MF// AC cắt BN tại F MF 2 MF 4 MD 4 MD 4 Ta chứng minh được: , Từ đú suy ra: AN 3 CN 3 DC 3 MC 7 4 4 1 4 Ta cũng cú: S S . S S MDN 7 MNC 7 9 ABC 63 ABC 4 2 2 S S S S AMDN 63 ABC 9 ABC 7 ABC Bài 82: Cho hỡnh thoi ABCD, Cú Bã AD 1200 , Gọi M là 1 điểm nằm trờn cạnh AB, Hia đường thẳng DM và BC cắt nhau tại N, CM căt AN tại E, chứng minh rằng: a) AMD và CDN đồng dạng và AC2 AM.CN b) AME và CMB đồng dạng HD: a) Xột AMD và CDN cú: Ã MD Cã DN ( so le trong) Ã DM Cã ND (so le trong) => AMD : CDN (g.g) AM.CN AD.CD , Vỡ Bã AD 1200 Cã AD 600 ACD đều=> AD CD AC AM.CN AC2 AM AC b)Vỡ AM.CN AC 2 AC CN Chứng minh Mã AC Ã Cn 600 MAC : CAN Ã CM Cã NA Mà Ã CM Eã CN 600 Cã NA Eã CN 600 Ã EC 600 Xột AME và CMB cú: Ã ME Bã MC ( đối đỉnh) Ã EM Mã BC 600 AME : CMB(g.g) Bài 83: Cho ABC vuụng tại A, đường cao AH, Cho biết AB=15cm và AC =20cm a)Chứng minh rằng: AB.BC AB.AC , Tớnh BC và AH b)Kẻ HM  AB,HN  AC , Chứng minh rằng AMN và ACB đồng dạng c)Trung tuyến AK của ABC cắt MN tại I, Tớnh diện tớch AMI HD: AB AH a)Ta cú: ABH : CBH AH.BC AB.AC BC AC AB.AC Từ đú ta cú : AH 12cm BC b)Chứng minh ACB : HCA, HCA : NHA NHA= AMN=> AMN : ACB Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 36
37. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 ả à c)Ta cú : N1 B ( AKC cõn tại K) à à à à 0 ả à 0 Và A1 C, mà B C 90 N1 A1 90 => AIN vuụng cõn tại I, và NHA : ACB (cmt) NH AH AC.AH NH 9,6cm AC BC BC AM NH 9,6cm AM IM AI 9,6 192 144 Và IMA: AMN=> IMA : ACB => IM , AI BC AC AB 25 15 25 1 1 192 144 13824 S .AI.IM . . AMI 2 2 25 25 625 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 37