Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Số nguyên tố, hợp số

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Số nguyên tố, hợp số

1. CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ I. Lí Thuyết 1. Ước và bội: Nếu a  b thì a la bội của b và b là ước của a. 2. Số nguyờn tố Định nghĩa a) Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó. Ví dụ: 2, 3, 5, 7 11, 13,17, 19 b) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước. Ví dụ: 4 có 3 ước số: 1 ; 2 và 4 nên 4 là hợp số. c) Các số 0 và 1 không phải là só nguyên tố cũng không phải là hợp số d) Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ước số nguyên tố Một số định lý cơ bản Định lý 1: Dãy số nguyên tố là dãy số vô hạn Chứng minh: Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p 1; p2; p3; pn. trong đó pn là số lớn nhất trong các nguyên tố. Xét số N = p1 p2 pn +1 thì N chia cho mỗi số nguyên tố pi (1  i  n) đều dư 1(1) Mặt khác N là một hợp số (vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là p n) do đó N phải có một ước nguyên tố nào đó, tức là N chia hết cho một trong các số pi (1  i  n). (2) Ta thấy (2) mâu thuẫn (1). Vậy không thể có hữu hạn số nguyên tố. Định lý 2: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số). Chứng minh: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố: Thật vậy: giả sử điều khẳng định trên là đúng với mọi số m thoả mãn: 1< m < n ta chứng minh điều đó đúng với mọi n. Nếu n là nguyên tố, ta có điều phải chứng minh. Nếu n là hợp số, theo định nghĩa hợp số, ta có: n = a.b (với a, b < n) Theo giả thiết quy nạp: a và b là tích các thừa số nhỏ hơn n nên n là tích cuả các thừa số nguyên tố. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. Sự phân tích là duy nhất: Giả sử mọi số m p2 và n > p’2 Do p = p’ => n > p.p’ Xét m = n - pp’ p | n – pp’ hay p | m p’| n => p’| n – pp’ hay p’| m Khi phân tích ra thừa số nguyên tố ta có: m = n - pp’ = pp’ . P.Q với P, Q P ( P là tập các số nguyên tố)  pp’ | n = pp’ | p.q.r => p’ | q.r => p’ là ước nguyên tố của q.r Mà p’ không trùng với một thừa số nào trong q,r (điều này trái với gỉa thiết quy nạp là một số nhỏ hơn n đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất). Vậy, điều giả sử không đúng, n không thể là hợp số mà n phải là số nguyên tố (Định lý được chứng minh). Cách nhận biết một số nguyên tố Cách 1: Chia số đó lần lượt cho các nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; 7 Nếu có một phép chia hết thì số đó không nguyên tố. Nếu thực hiện phép chia cho đến lúc thương số nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn có số dư thì số đó là nguyên tố. Cách 2: Một số có hai ước số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố Cho học sinh lớp 6 học cách nhận biết 1 số nguyên tố bằng phương pháp thứ nhất (nêu ở trên), là dựa vào định lý cơ bản: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. Ước số nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số A là một số khôngvượt quá A. Đặc biệt: Với dãy 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 nên cho học sinh học thuộc, tuy nhiên khi găp 1 số a nào đó (a 1 không có một ước số nguyên tố nào từ 2 đến A thì A là một nguyên tố. (Do học sinh lớp 6 chưa học khái niệm căn bậc hai nên ta không đặt vấn đề chứng minh định lý này, chỉ giới thiệu để học sinh tham khảo.). Số các ước số và tổng các ước số của 1 số: X1 X2 Xn Giả sử: A = p1 . p2 pn Trong đó: pi P ; xi N ; i = 1, n a) Số các ước số của A tính bằng công thức: T(A) = (x1 + 1)(x2 + 1) (xn + 1) Ví dụ: 30 = 2.3.5 thì T(A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8 Thật vậy: Ư(30) = 1;2;3;5;6;10;15;30 Ư(30) có 8 phân tử Ứng dụng: Có thể không cần tìm Ư(A) vẫn biết A có bao nhiêu ước thông qua việc phân tích ra thừa số nguyên tố. 3100 có (100 + 1) = 101 ước 1 000 000 000 = 109 = 29.59 có (9 + 1)(9+1) = 100 ước Ý nghĩa: Khi thông báo cho học sinh cách tính số ước của một số các em có thể tin tưởng khi viết một tập hợp ước của một số và khẳng định đã đủ hay chưa. b) Tổng các ước một số của A tính bằng công thức: X1 + 1 X2 + 1 Xn + 1 p1 - 1 p2 - 1 pn - 1 (A) = . p1 - 1 p2 - 1 pn - 1 Hai số nguyên tố cùng nhau: 1- Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất (ƯCLN) bằng 1. a, b nguyên tố cùng nhau (a,b) = 1 a,b N 2- Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. 3- Hai số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau 4- Các số a,b,c nguyên tố cùng nhau (a,b,c) = 1 5- a,b,c nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau a,b,c nguyên tố sánh đôi (a,b) = (b,c) = (c,a) = 1 Một số định lý đặc biệt a) Định lý Đirichlet Tồn tại vô số số nguyên tố p có dạng: p = ax + b (x N, a, b là 2 số nguyên tố cùng nhau). Việc chứng minh định lý này khá phức tạp, trừ một số trường hợp đặc biệt. Ví dụ: Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố dạng: 2x – 1; 3x – 1; 4x + 3; 6x + 5 b) Định lý Tchebycheff Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có ít nhất một số nguyên tố (n > 2). c) Định lý Vinogradow Mọi số lẻ lớn hơn 33 là tổng của 3 số nguyên tố. Các định lý 2 và 3 ta có thể giới thiệu cho học sinh tham khảo và sử dụng để giải một số bài tập. 3. Hợp số: Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn 2 ước. (để chứng minh một số tự nhiên a > 1 là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a). 4. Phân tích ra thừa số nguyên tố Phân tích một số ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích của các thừa số nguyên tố. n n 3 3 (đặc biệt 1000...0 = 2 .5 ), ví dụ: 1000 = 2 . 5 n sè 0 KIẾN THỨC NÂNG CAO 1. Cách xác định số lượng các ước của một số: Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố M = ax. by cz thì số lượng các ước của M là: (x + 1) (y + 1) (z + 1) 2. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chưa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn. Từ đó suy ra: - Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 22. - Số chính phương chia hết cho 23 thì phải chia hết cho 24. 2 - Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 3 . Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. - Số chính phương chia hết cho 33 thì phải chia hết cho 34. - Số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 52. 3. Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố: Néu tích a.b chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p. Đặc biệt nếu an chia hết cho p thì a chia hết cho p. III- CHÚ Ý: - Số 0 và số 1 không là số nguyên tố cũng không là hợp số. Các số nguyên tố nhỏ hơn 10 là: 2, 3, 5, 7. - Số nguyên tố nhỏ nhất là 2, hai là số nguyên tố chẵn duy nhất. - Để kết luận một số a > 1 là một số nguyên tố, ta chỉ cần chứng tỏ rằng nó không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a, tức là p2 3 nên p + 2 là hợp số (trái với giả thiết). - Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và > 3 nên p + 4 là hợp số (trái với giả thiết). Bài tập số 2: Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư là r, r là hợp số. Tìm r HD: Ta có p = 42k + r = 2.3.7.k + r (k , r N, 0 < r < 42) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. Vì p là số nguyên tố nên r không chia cho hết 2, 3, 7. Các hợp số p có dạng 3k + 1 hoặc dạng 3k – 1 * Nếu p = 3k + 1 thì p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) : 3 * Nếu p = 3k – 1 thì p + 10 = 3k + 9 = 3(k + 3) : 3 Vậy nếu p 3 thì hoặc p + 10 hoặc p + 14 là hợp số. => không thỏa mãn bài ra Do đó: giá trị duy nhất cần tìm là: p = 3 Bài tập số 4: Tìm số nguyên tố p để p + 2; p + 6; p + 18 đều là số nguyên tố. HD: Bằng cách giải tương tự bài tập số 1, học sinh dễ dàng tìm được p = 5 thoả mãn bài ra. Xong không chứng minh được p = 5 là giá trị duy nhất vì dễ dàng thấy p = 11 cũng thoả mãn bài ra. Vậy với bài tập này, học sinh chỉ cần chỉ ra một vài giá trị của p thoả mãn là đủ. Bài tập số 5: Tìm k để trong 10 số tự nhiên liên tiếp: k + 1; k +2; k +3; k +10 có nhiều số nguyên tố nhất. HD: Giáo viên hướng dẫn học sinh rút ra nhận xét: Trong 10 số tự nhiên liên tiếp, có 5 số chẵn và 5 số lẻ (trong 5 số chẵn, có nhiều nhất là 1 số nguyên tố chẵn là 2). Vậy: trong 10 số đó có không quá 6 số nguyên tố +) Nếu k = 0, từ 1 đến 10 có 4 số nguyên tố: 2; 3; 5; 7 +) Nếu k = 1 từ 2 đến 11 có 5 số nguyên tố: 2; 3; 5; 7; 11 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
7. +) Nếu k > 1 từ 3 trở đi không có số chẵn nào là số nguyên tố. Trong 5 số lẻ liên tiếp, ít nhất có 1 số là bội số của 3 do đó, dãy sẽ có ít hơn 5 số nguyên tố. Vậy với k = 1, dãy tương ứng: k + 1; k + 2, k + 10 có chứa nhiều số nguyên tố nhất (5 số nguyên tố). Bài tập số 6: Tìm tất cả các số nguyên tố p để: 2p + p2 cũng là số nguyên tố HD: Xét hai trường hợp: +) p 3 p = 2 hoặc p = 3 * Nếu p = 2 => 2p + p2 = 22 + 22 = 8 P * Nếu p = 3 => 2p + p2 = 22 + 32 = 17 P +) p > 3 ta có 2p + p2=(p2 – 1) + (2p + 1) vì p lẻ => (2p + 1)  3 và p2 – 1 = (p + 1)(p – 1)  3 => 2p + p2 P Vậy: Có duy nhất 1 giá trị p = 3 thoả mãn bài ra. Bài tập số7: Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho: p | 2p + 1 HD: Vì p P ,p | 2p + 1 => p 2 Ta thấy: 2 |p vì p 2 Theo định lý Fermatm ta có: p | 2p-1 – 1 Mà p | 2p + 1 (giả thiết) => p | 2.2p-1 – 2 + 3 => p | 2(2p-1 – 1) + 3 => p | 3 [vì p | 2(2p-1 – 1)] Vì p P p | 3 => p = 3 Vậy: p = 3 là số nguyên tố thoả mãn tính chất p | 2p + 1 Tóm lại: Các bài toán thuộc dạng: Tìm số nguyên tố thoả mãn các điều kiện cho trước là loại toán không khó trong các loại bài toán về số nguyên tố. Qua loại toán này, giáo viên cần cố gắng trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất về số nguyên tố. Đặc biệt giúp học sinh nắm vững: Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất và nhỏ nhất của tập số nguyên tố. Dựa vào cách viết số nguyên tố dạng a.x + b, (a,b) = 1. Rèn kỹ năng xét các trường hợp có thể xảy ra, phương pháp loại trừ các trường hợp dẫn đến điều vô lý. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7
8. Qua dạng toán này, giáo viên cần giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgic, tư duy sáng tạo, tính tích cực chủ động khi làm bài. II- BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1: TOÁN TÌM SỐ Bài tập 1: Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố: a) p + 94 và p + 1994 Bài 2. a) p + 10 và p + 14 b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14 B ài 3 a) p + 2 và p + 10. b) p + 10 và p + 20 c) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 Bài 4. p và p +3 Bài 5. p + 4 và p +8 Bài 6 a) 2p – 1 và 4p - 1 b) 2p +1 và 4p +1 c) p +2, p + 8, p +14, p +26 d) p +2, p +8, 4p2 + 1 Bài 7. 8p2+ 1 và 8p2 – 1 Bài tập 3.1: Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7p + q và pq + 11 cũng là số nguyên tố. Bài tập 7.3: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 4p + 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30. 2 Đề 4 (Bài5-Toán 7): Tìm các cặp số nguyên tố p và q sao cho 52p + 1997 = 52p + q2 Bài 6.5: Tìm các số nguyên dương n để số A = n3 – n2 + n – 1 là số nguyên tố. Tìm n thuộc N sau để M = (n - 2) (n2 + n - 1) là số nguyên tố Đề 20(Câu 3a): Tìm tất cả các số tự nhiên n để mỗi số sau đều là số nguyên tố. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8
9. n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13, n + 15. Bài 8.6: Tìm các số nguyên tố x, y, z thoả mãn phương trình: xy + 1 = z Bài 9.1: Tìm các số nguyên tố x, y thoả mãn: 824.y – 16x = 24 Bài 9.2: Tìm các số nguyên tố x, y thoả mãn: 272.x = 11y + 29 Đề 17: Tìm các số nguyên tố x, y thoả mãn: 59.x + 46.y = 2004 Đề 12: Tìm các số nguyên tố x, y thoả mãn: 51.x + 26.y = 2000 Bài 9.3: Tìm các số nguyên tố x, y thoả mãn: 690.x – 7.y = 3429 Đề 11: Tìm các số nguyên tố x, y thoả mãn: 3x – 13 = y(x – 13) Bài tập 4.5: Tìm bốn số nguyên tố liên tiếp sao cho tổng của chúng là số nguyên tố. Bài tập 4.8: Tìm hai số tự nhiên, sao cho tổng và tích của chúng đều là số nguyên tố. Bài tập 4.9: Tìm số nguyên tố có ba chữ số biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được một số là lập phương của một số tự nhiên. Bài 8.3: Tìm số nguyên tố p sao cho 2p + 1 là lập phương của một số tự nhiên. Bài tập 4.10: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục, số đó viết được dưới dạng tích của ba số nguyên tố liên tiếp. Bài tập 4.19: Tìm số nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố, bằng hiệu của hai số nguyên tố. Bài tập 4.38: Tìm số nguyên tố ab (a>b>0) sao cho ab - ba là một số chính phương. Đề 15: Tìm số nguyên tố có hai chữ số khác nhau dạng ab sao cho ba cũng là số nguyên tố và ab - ba là một số chính phương. Bài tập 9.8: Tìm các số nguyên tố a, b, c sao cho abc = 3(a + b + c) Bài 2.11: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số giống nhau sao cho chỉ có hai ước là số nguyên tố. TOÁN VỀ PHÉP CHIA Bài tập 4.17: Một số nguyên tố chia hết cho 30 có số dư là r. Tìm r biết rằng: r không là số nguyên tố. Bài 1.1: Tìm số chia và thương của một phép chia biết số bị chia bằng 1339 và số chia là số tự nhiên có hai chữ số. Bài 1.3: Tìm số chia và thương của một phép chia biết số bị chia bằng 213, số dư bằng 10. Đề 23: : Tìm số chia và thương của một phép chia biết số bị chia bằng 145, dư 12, thương khác 1, số chia và thương đều là số tự nhiên. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 9
10. Bài 1.2 : Tìm số a biết rằng 559 chia hết cho a và 20 0 + Các chữ số cuối cùng của 2 2 được lặp lại theo chu kỳ: 4k + m (với k N, m = 0, 1, 2, 3), tức là: - n = 0, 4, 8, , 4k + 0 có chung chữ số cuối cùng là 6 - n = 1, 5, 9, , 4k + 1 có chung chữ số cuối cùng là 2 - n = 2, 6, 10, , 4k + 2 có chung chữ số cuối cùng là 4 - n = 3, 7, 11, , 4k + 3 có chung chữ số cuối cùng là 8 + Các chữ số cuối cùng của 3 n được lặp lại theo chu kỳ 4k + m (với k N, m = 0, 1, 2, 3), tức là: - n = 0, 4, 8, , 4k + 0 có chung chữ số cuối cùng là 1 - n = 1, 5, 9, , 4k + 1 có chung chữ số cuối cùng là 3 - n = 2, 6, 10, , 4k + 2 có chung chữ số cuối cùng là 9 - n = 3, 7, 11, , 4k + 3 có chung chữ số cuối cùng là 7 + Các chữ số cuối cùng của 7 n được lặp lại theo chu kỳ 4k + m (với k N, m = 0, 1, 2, 3), tức là: - n = 0, 4, 8, , 4k + 0 có chung chữ số cuối cùng là 1 - n = 1, 5, 9, , 4k + 1 có chung chữ số cuối cùng là 7 - n = 2, 6, 10, , 4k + 2 có chung chữ số cuối cùng là 9 - n = 3, 7, 11, , 4k + 3 có chung chữ số cuối cùng là 3 Vậy áp dụng những điều trên ta có: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10
11. a) 1 + 27 + 311+ 513 + 717 + 1119 có chữ số tận cùng là 8 => 1 + 27 + 311+ 513 + 717 + 1119 chia hết cho 2 Vậy đây là hợp số b) 21123 + 23124 + 25125 có chữ số tận cùng là 6 => 21123 + 23124 + 25125 chia hết cho 2 Vậy đây là hợp số c) 42525 - 3715 có chữ số tận cùng là 2 => 42525 - 3715 chia hết cho 2 Vậy đây là hợp số d) 195354 - 15125có chữ số tận cùng là 4 => 195354 - 15125chia hết cho 2 Vậy đây là hợp số Bài tập số 2: Cho biết p và 8p - 1 là các số nguyên tố, CMR: 8p + 1 là hợp số. Bài làm: 1. Ta xét các trường hợp: + Nếu p = 2 => 8p - 1 = 15 là hợp số (loại vì 8p - 1 là số nguyên tố) + Xét p > 2 - Nếu p = 3 thì 8p - 1 = 23 là số nguyên tố, trong lúc đó: 8p + 1 = 3 = 25 là hợp số - Với p > 3 ta xét tích (8p - 1).8p.(8p+1)  3 mà p và 8p - 1 là hai số nguyên tố nên (8p+ 1)  3 vậy 8p + 1 là hợp số. 2) a) một số nguyên tố > 2 đều có dạng 4n + 1 (n N*) b) CMR một số nguyên tố > 3 đều có dạng 6n + 1 (n N*) 2) a) Khi chia một số tự nhiên A > 2 cho 4 thì được các số dư 0, 1, 2, 3. Trường hợp có số dư 0 và 2 thì A là hợp số ta không xét, chỉ còn một trường hợp có số dư là 1 hoặc 3. Với trường hợp số dư là 1, ta có A = 4n + 1 Với trường hợp số dư là 3, ta có A = 4m + 3 b) Khi chia một số tự nhiên A cho 6 thì ta có các số dư 0, 1, 2, 3.4, 5 Trường hợp số dư 0, 2, 3, 4 ta có A  3 nên A là hợp số với trường hợp dư là 1, thì A = 6n + 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11
12. Với trường hợp số dư là 1, thì A = 6n + 1 Với trường hợp số dư là 5, thì A = 6m + 5 = 6m + 6 - 1 = 6(m+1)-1 = 6n-2 (với n = m+ 1) Bài tập số 3: CMR: Nếu 2n- 1 (n > 2) thì 2n + 1 là hợp số. Bài làm: Xét số A = (2n-1) . 2n. (2n+1) A là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên A  3 Mặt khác 2n - 1 là số nguyên tố (theo giả thiết) 2n không chia hết cho 3 Vậy 2n+1 phải chia hết cho 3 (đpcm) Bài tập số 4: Chứng minh rằng: (p – 1)! chia hết cho p nếu p là hợp số, không chia hết cho p nếu p là số nguyên tố. Bài làm: +) Xét trường hợp p là hợp số: Nếu p là hợp số thì p là tích của các thừa số nguyên tố nhỏ hơn p và số mũ các luỹ thừa này không thể lớn hơn số mũ của chính các luỹ thừa ấy chứa trong (p – 1)!. Vậy: (p – 1) !: p (điều phải chứng minh). +) Xét trường hợp p là số nguyên tố: Vì p P => p nguyên tố cùng nhau với mọi thừa số của (p –1)! (vì p > p-1 => (p – 1)! : p (điều phải chứng minh) Bài tập số 5: Cho 2m – 1 là số nguyên tố Chứng minh rằng m cũng là số nguyên tố. Bài làm: Giả sử m là hợp số => m = p.q ( p, q N; p, q > 1) Khi đó: 2m – 1 = 2p,q - 1 = (2p)q – 1 = (2p – 1)(2p(q-1) + 2p(q-2) + + 1) vì p > 1 (giả thiết) của điều giả sử => 2p – 1 > 1 và (2p(q-1) + 2p(q-2) + + 1) > 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12
13. Dẫn đến 2m – 1 là hợp số (trái với giả thiết 2m –1 là số nguyên tố)  Điều giả sử không thể xảy ra. Vậy m phải là số nguyên tố (điều phải chứng minh) Bài tập số 6: Chứng minh rằng: 1994! – 1 có mọi ước số nguyên tố lớn hơn 1994. Bài làm: (Chứng minh bằng phương pháp phản chứng) Gọi p là ước số nguyên tố của (1994! – 1) Giả sử p 1994 => 1994. 1993 3. 2. 1 : p 1994! : p mà (1994! – 1) : p => 1 : p (vô lý) Vậy: p không thể nhỏ hơn hoặc bằng 1994 hay p > 1994 (điều phải chứng minh). Bài tập số 7: Chứng minh rằng: n > 2 thì giữa n và n! có ít nhất 1 số nguyên tố (từ đó suy ra có vô số số nguyên tố). Bài làm: Vì n > 2 nên k = n! – 1 > 1, do đó k có ít nhất một ước số nguyên tố p. Ta chứng minh p > n .Thật vậy: nếu p n thì n! : p Mà k : p => (n! – 1) : p.Do đó: 1 : p (vô lý) Vậy: p > n=>n 3). Chửựng minh p + 8 laứ hụùp soỏ. Bài 6.2: Cho p vaứ p + 10 laứ caực soỏ nguyeõn toỏ. Chửựng minh p + 32 laứ hụùp soỏ. Bài 7.9: Cho p và 8p + 1 là số nguyên tố (p > 3). Chửựng minh 4p + 1 laứ hụùp soỏ. Bài 8.1: Cho p và 2p + 1 là số nguyên tố (p 5). Chửựng minh 4p + 1 laứ hụùp soỏ. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13
14. Bài 8.2: Cho p và 2p + 1 là số nguyên tố (p 5). Chửựng minh 4p + 1 laứ hụùp soỏ. Bài tập 2: a) Chứng minh rằng: 111 12111 1 là hợp số với  n 1 n số 1 n số 1 b) Chứng minh rằng: số 2001.2002.2003.2004 + 1 là hợp số Bài tập 3: Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố > 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì 4p + 1 là hợp số. p1 p2 Bài tập 4: Cho p1 > p2 là hai số nguyên tố liên tiếp. Chứng minh rằng là hợp số. 2 Bài tập 5: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p+2 cũng là số nguyên tố. CMR: p+1 chia hết cho 6 Bài tập 6: Cho n > 2 không chia hết cho 3. Chứng minh rằng hai số n2 – 1 và n2 + 1 không thể đồng thời là số nguyên tố. Bài tập 7: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 a) Chứng minh rằng p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5 b) Biết 8p + 1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng 4p + 1 là hợp số Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14
15. SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ. PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ A/ LÝ THUYẾT: + Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó. + Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước. + Để chứng tỏ số tự nhiên a > 1 là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a. Chú ý: 10n = 10 .0 = 2n.5n Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15
16. n chữ số 0 + Cách xác định số lượng ước của một số: Khi phân tích M ra thừa số nguyên tố, ta có M = ax.by .cz thì các ước của M là (x + 1)(y + 1) (z + 1). + Nếu ab P với P là số nguyên tố thì hoặc a P hoặc b P . Đặc biệt: Nếu an P thì a P B/ VÍ DỤ: Ví dụ 1: Cho A = 5 + 52 + 53 + +5100 a) Số A là số nguyên tố hay hợp số? b) Số A có phải là số chính phương không? Giải: a) Có A > 5; A  5 ( Vì mỗi số hạng đều chia hết cho 5) nên A là hợp số. b) Có 52  25, 53  25; ;5100 25, nhưng 5 25 nên A  25 Số A  5 nhưng A  25 nên A không là số chính phương. Ví dụ 2: Số 54 có bao nhiêu ước. Giải: Có: 54 = 2 .33. Số ước của 54 là: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = 8 ước. Tập hợp các ước của 54 là: Ư(54) = 1;2;3;6;9;18;27;54 Ví dụ 3: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 , p + 4 cũng là số nguyên tố. Giải: Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k là số tự nhiên. Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 2 = 5; p + 4 = 7 đều là số nguyên tố. Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số, trái với đề bài. Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 4 là hợp số, trái với đề bài. Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm. C/ BÀI TẬP: 1) Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong ba số đó? 2) Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không? 3) Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố. a) p + 2 và p + 10. b) P + 10 và p + 20. 4) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng minh p + 1chia hết cho 6. 5) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + 8 là hợp số. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16
17. 6) Cho a, n N*, biết an 5. Chứng minh: a2 + 150  25. Giải: 1) Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012 là số chẳn nên một trong ba số nguyên tố đó phải có một số chẳn đó là số 2. số 2 là số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đã cho. 2) Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 là số lẽ nên một trong hai số nguyên tố đó phải là số 2 khi đó số thứ hai là: 2003 – 2 = 2001 chia hết cho 3 nên là hợp số. Vậy không tồn tai hai số nguyên tố có tổng bằng 2003. 3) a/ Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k là số tự nhiên. Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 2 = 5; p + 10 = 13 đều là số nguyên tố. Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số, trái với đề bài. Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 10 là hợp số, trái với đề bài. Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm. b/ Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k là số tự nhiên. Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 đều là số nguyên tố. Nếu p = 3k + 1 thì p + 20 = 3k + 21 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 20 là hợp số, trái với đề bài. Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 10 là hợp số, trái với đề bài. Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm. 4) Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẽ, => p + 1 là số chẵn nên p + 1 2 (1) p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2. (k N) Dạng p = 3k + 1 không xãy ra. Dạng p = 3k + 2 cho ta p + 1 = 3k + 3 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra p + 1  6 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17
18. 5) p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2. (k N) Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 nên là hợp số, trái với đề bài. Vậy p có dạng 3k + 1 khi đó p + 8 = 3k + 9 chia hết cho 3 nên p + 8 là hợp số. 6) Có an 5 mà 5 là số nguyên tố nên a  5 => a2  25. Mặt khác 150 25 nên a2 + 150  25. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ NGUYÊN TỐ Bài tập số 1: Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng Giải: Gọi 3 số nguyên tố phải tìm là; a, b, c ta có: a.b.c = 5(a+b+c) => abc  5 Vì a, b, c có vai trò bình đẳng Giả sử: a  5, vì a P => a = 5 Khi đó: 5bc = 5(5+b+c) 5+b+c = bc bc-b-c +1 = 6 b(c-1) – (c-1) = 6 (c-1)(b-1) = 6 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18
19. Do vậy: b-1 = 1 => b = 2 Và c-1 = 6 và c = 7 b-1 = 2 => b = 3 (loại vì c = 4 P) và c-1 = 3 và c = 4 Vai trò a, b, c, bình đẳng Vậy bộ số (a ;b ;c) cần tìm là (2 ;5 ;7) Bài tập số 2: Tìm p, q P sao cho p2 = 8q + 1 Giải: Ta có: p2 = 8q + 1 => 8q = p2 – 1 8q = (p+1)(p-1) (1) Do p2 = 8q + 1 lẻ => p2 lẻ => p lẻ Đặt p = 2k + 1 (2) Thay (2) vào (1) ta có: 8q = 2k(2k + 2) 2q = k(k + 1) (3) Nếu q = 2 => 4 = k(k+1) => không tìm được k Vậy q 2, vì q P , q 2 => (2,q) = 1 Từ (3) ta có: k = 2 và q = k + 1 => k = 2 và q = 3 Thay kết quả trên vào (2) ta có: p = 2.2 + 1 = 5 Hoặc q = k và 2 = k + 1 q = 1  (không thoả mãn) k = 1 Vậy cặp số (q,p) là (5;3) là cặp số cần tìm. Tóm lại: Ngoài các dạng bài tập cơ bản về số nguyên tố. Phần số nguyên tố còn có nhiều bài tập ở các dạng khác mà khi giải chúng học sinh cần phải vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức có liên quan: ước số, bội số, chia hết và vẫn phải lần lượt xét các khả năng có thể xẩy ra. Khi giảng dạy giáo viên cần giúp học sinh giải quyết theo từng dạng bài để củng cố và khắc sâu kỹ năng giải từng loại bài. I. Các bài tập có hướng dẫn: Bài 1: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn hay số lẻ. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19
20. HD: Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn duy nhất là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ. Do đó tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn. Bài 2: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó. HD: Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất. Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2. Bài 3: Tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không? Vì sao? HD: Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn tại 1 số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. Do đó số nguyên tố còn lại là 2001. Do 2001 chia hết cho 3 và 2001 > 3. Suy ra 2001 không phải là số nguyên tố. Bài 4: Tìm số nguyên tố p, sao cho p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố. HD: Giả sử p là số nguyên tố. - Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 đều không phải là số nguyên tố. - Nếu p 3 thì số nguyên tố p có 1 trong 3 dạng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k N*. +) Nếu p = 3k p = 3 p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố. +) Nếu p = 3k +1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2  3 và p + 2 > 3. Do đó p + 2 là hợp số. +) Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) p + 4  3 và p + 4 > 3. Do đó p + 4 là hợp số. Vậy với p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố. Bài 5: Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 8 là hợp số. HD: Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2 với k N*. - Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) p + 4  3 và p + 4 > 3. Do đó p + 4 là hợp số ( Trái với đề bài p + 4 là số nguyên tố). - Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) p + 8  3 và p + 8 > 3. Do đó p + 8 là hợp số. Vậy số nguyên tố p có dạng: p = 3k + 1 thì p + 8 là hợp số. Bài 6: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n +1 hoặc 4n – 1 HD: Mỗi số tự nhiên n khi chia cho 4 có thể có 1 trong các số dư: 0; 1; 2; 3. Do đó mọi số tự nhiên n đều có thể viết được dưới 1 trong 4 dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2,4k +3 với k N*. - Nếu n = 4k n 4 n là hợp số. - Nếu n = 4k + 2 n 2 n là hợp số. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20
21. Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4k + 1 hoặc 4k – 1. Hay mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n + 1 hoặc 4n – 1 với n N*. Bài 7: Tìm số nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố. HD: Gi¶ sö a, b, c, d, e lµ c¸c sè nguyªn tè vµ d > e. Theo bµi ra: a = b + c = d - e (*). Tõ (*) a > 2 a lµ sè nguyªn tè lÎ. b + c vµ d - e lµ sè lÎ. Do b, d lµ c¸c sè nguyªn tè b, d lµ sè lÎ c, e lµ sè ch½n. c = e = 2 (do c, e lµ c¸c sè nguyªn tè). a = b + 2 = d - 2 d = b + 4. VËy ta cÇn t×m sè nguyªn tè b sao cho b + 2 vµ b + 4 còng lµ c¸c sè nguyªn tè. Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x2 – 6y2 = 1. HD: Ta cã: x2 6y2 1 x2 1 6y2 (x 1)(x 1) 6y2 Do 6y2 2 (x 1)(x 1)2 Mµ x - 1 + x + 1 = 2x x - 1 vµ x + 1 cã cïng tÝnh ch½n lÎ. x - 1 vµ x + 1 lµ hai sè ch½n liªn tiÕp (x 1)(x 1)8 6y2 8 3y2 4 y2 2 y2 y 2 x 5 Bài 9: Cho p và p + 2 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 1 6. HD: Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2 với k N*. - Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2  3 và p + 2 > 3. Do đó p + 2 là hợp số ( Trái với đề bài p + 2 là số nguyên tố). - Nếu p = 3k + 2 thì p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) (1). Do p là số nguyên tố và p > 3 p lẻ k lẻ k + 1 chẵn k + 1 2 (2) Từ (1) và (2) p + 1 6. II. Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố: a) p + 2 và p + 10. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 21
22. b) p + 10 và p + 20. c) p + 10 và p + 14. d) p + 14 và p + 20. e) p + 2và p + 8. f) p + 2 và p + 14. g) p + 4 và p + 10. h) p + 8 và p + 10. Bài 2: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố: a) p + 2, p + 8, p + 12, p + 14. b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14. c) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14. d) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14. e) p + 6, p + 12, p + 18, p + 24. f) p + 18, p + 24, p + 26, p + 32. g) p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16. Bài 3: a) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 8 là hợp số. b) Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 4p + 1 là hợp số. c) Cho p và 10p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). C minh rằng: 5p + 1 là hợp số. d) Cho p và p + 8 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 4 là hợp số. e) Cho p và 4p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 2p + 1 là hợp số. f) Cho p và 5p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). C minh rằng: 10p + 1 là hợp số. g) Cho p và 8p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p - 1 là hợp số. h) Cho p và 8p - 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p + 1 là hợp số. i) Cho p và 8p2 - 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p2 + 1 là hợp số. j) Cho p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p2 - 1 là hợp số. Bài 4: Chứng minh rằng: a) Nếu p và q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – q2  24. b) Nếu a, a + k, a + 2k (a, k N*) là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k  6. Bài 5: a) Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm số dư r. b) Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư r. Tìm số dư r biết rằng r không là số nguyên tố. Bài 6: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6. Bài 7: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trước là d đơn vị. Chứng minh rằng d chia hết cho 6. Bài 8: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được một số là lập phương của một số tự nhiên. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 22
23. Bài 9: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết được dưới dạng tích của 3 số nguyên tố liên tiếp. Bài 10: Tìm 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp đều là các số nguyên tố. Bài 11: Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p2 + q2 + r2 cũng là số nguyên tố. Bài 12: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho a.b.c < a.b + b.c + c.a. Bài 13: Tìm 3 số nguyên tố p, q, r sao cho pq + qp = r. Bài 14: Tìm các số nguyên tố x, y, z thoả mãn xy + 1 = z. Bài 15: Tìm số nguyên tố abcd sao cho ab, ac lµ c¸c sè nguyªn tè vµ b2 cd b c. Bài 16: Cho các số p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c N*) là các số nguyên tố. Chứng minh rằng 3 số p, q, r có ít nhất hai số bằng nhau. Bài 17: Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: a) x2 – 12y2 = 1. b) 3x2 + 1 = 19y2. c) 5x2 – 11y2 = 1. d) 7x2 – 3y2 = 1. e) 13x2 – y2 = 3. f) x2 = 8y + 1. Bài 18: Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng. Bài 19: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố là p = 3. Bài 20: Chứng minh rằng: Nếu a2 – b2 là một số nguyên tố thì a2 – b2 = a + b. Bài 21: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6n + 1 hoặc 6n – 1. Bài 22: Chứng minh rằng tổng bình phương của 3 số nguyên tố lớn hơn 3 không thể là một số nguyên tố. Bài 23: Cho số tự nhiên n 2. Gọi p1, p2, , pn là những số nguyên tố sao cho pn n + 1. Đặt A = p1.p2 pn. Chứng minh rằng trong dãy số các số tự nhiên liên tiếp: A + 2, A + 3, , A + (n + 1). Không chứa một số nguyên tố nào. Bài 24: Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố thì 2.3.4 (p – 3)(p – 2) - 1 p. Bài 25: Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố thì 2.3.4 (p – 2)(p – 1) + 1 p. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 23
24. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 24