Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

1. CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Phương pháp: + So sánh P với m: Xét hiệu P – m, rồi so sánh với số 0 A 0 A 0 A B 0 A B 0 Chú ý: 0 Hoặc: 0 B A 0 B A 0 B 0 B 0 A + Tìm x nguyên để P nguyên: P Z B U A B + Tìm x để P nguyên: Chặn miền giá trị của P hoặc đặt bằng k (k Z) A + Tìm Min Max của P : Nếu bậc của tử bậc của mẫu: chia xuống chú ý dấu bằng xảy B ra. Chú ý SD BĐT: a b 2 ab (x 1)2 1 2x2 4x 1 x2 x Bài 1: Cho biểu thức: A 2 3 : 3 3x (x 1) x 1 x 1 x x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của x để A > -1 HD: x2 1 a, Rút gọn được: A x 1 x2 1 x2 x 2 b, Để A 1 thì 1 0 x 1 x 1 Do đó x2 x 2 và x 1 phải cùng dấu 2 2 1 7 mà x x 2 x 0 2 4 nên x 1 0 x 1 Kết hợp với điều kiện xác định ta có: x 1,x 0, x 1 thì A > -1 1 3 x2 1 Bài 2: Cho biểu thức: A 2 : 2 3 x 3x 27 3x x 3 a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị của x để A 0 ) Kết hợp với điều kiện xác định ta có: x 0, x 3 thì A <-1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. 1 2 5 x 1 2x Bài 3: Cho biểu thức: A 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A>0 HD: a, ĐKXĐ: x 1 . 1 x 2 2x 5 x 1 2x 2 x2 1 2 Ta có: A : . 1 x2 x2 1 x2 1 1 2x 1 2x 1 1 b, Để A 0 1 2x 0 x , Đối chiếu với điều kiện ta được: 1 x 2 2 a3 4a2 a 4 Bài 4: Cho P a3 7a2 14a 8 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận gí trị nguyên HD: a, Ta có: a3 4a2 a 4 a a2 1 4 a2 1 a 1 a 1 a 4 Và a3 7a2 14a 8 a3 8 7a a 2 a 2 a2 5a 4 a 2 a 1 a 4 a 1 ĐKXĐ: a 1,a 2,a 4 . Rút gọn ta được: P a 2 a 2 3 3 b, P 1 a 2 a 2 Để P nguyên khi a-2 là ước của 3 => a 1;3;5 x2 6 1 10 x2 Bài 5: Cho biểu thức: M 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Rút gọn M 1 b) Tính giá trị cảu M khi x 2 HD: ĐKXĐ: x 0, x 2 x2 6 1 10 x2 a, M 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 x2 6 1 6 : x x 2 x 2 3 x 2 x 2 x 2 6 x 2 1 M . x 2 x 2 6 2 x 1 1 1 b, Khi x x hoặc x 2 2 2 y2 y 2 x3 10x2 25x Bài 6: Cho biểu thức: D : y 2 x2 25 a) Rút gọn D b) Tính giá trị của D với các giá trị của x và y thỏa mãn đẳng thức: x2 x 2 4y2 4xy 0 HD: a, ĐKXĐ: y 2, x 0, x 5 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. 2 2 y2 y 2y 2 x x 10x 25 y y 1 2 y 1 x x 5 Khi đó: D : : y 2 x 5 x 5 y 2 x 5 x 5 y 1 y 2 x 5 x 5 y 1 x 5 . 2 y 2 x x 5 x x 5 b, Vì x2 x 2 4y2 4xy 0 2 x2 4xy 4y2 x 2 0 x 2y x 2 0 2 7 x 2y 0 và x 2 0 x 2, y 1 D 3 x y x2 y2 y 2 4x4 4x2 y2 4 A x y x y y x2 Bài 7: Cho 2 2 : 2 , Với 0, 0, 2 , 2 2 2y x 2y xy x x y xy x a) Rút gọn biểu thức A 2 b) Choy 1 .Hãy tìm x để A 5 HD: x y x2 y2 y 2 4x2 4y2 y2 4 a, A 2 2 : 2 2y x 2y xy x x y xy x x y x2 y2 y 2 x y x 1 A . 2 2 2y x x y 2y x 2x y 2 2x y 2 2x2 y 2 x y x 1 x 1 A . x y 2y x 2x2 y 2 2x2 y 2 2y x 2x2 y 2 x 1 2 b, Với y 1 A 4x3 8x2 11x 7 0 2 x 2x2 3 5 x 1 4x2 4x 7 0 x 1 x 1 1 2 x3 2x2 Bài 8: Cho biểu thức: Q 1 3 2 : 3 2 x 1 x x 1 x 1 x x x a) Rút gọn Q 3 5 b) Tính giá trị cảu Q biết : x 4 4 c) Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên HD: x 1 1 2 x3 2x2 a, Q 1 3 2 : 3 2 x 1 x x 1 x 1 x x x 2 x 1 x 1 2 x x 1 x2 x 1 2x2 4x x2 x 1 1 . 1 . x 1 x2 x 1 x x 2 x 1 x2 x 1 x x 2 2x x 2 x2 x 1 1 . , ĐK: x 0; 1;2 x 1 x2 x 1 x x 2 2 x 1 Q 1 x 1 x 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. 3 5 1 b, Với x x hoặc x 2 (Loại) 4 4 2 1 Với x Q 3 2 c, Để Q Z x 3; 2;1 2 x 4x2 2 x x2 3x Bài 9: Cho biểu thức: A 2 : 2 3 2 x x 4 2 x 2x x a) Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A>0 c) Tính giá trị của A trong TH x 7 4 HD: ĐKXĐ: x 0, 2,3 2 2 2 2 2 x 4x2 2 x x2 3x 2 x 4x 2 x x 2 x Ta có: A 2 : 2 3 . 2 x x 4 2 x 2x x 2 x 2 x x x 3 4x2 8x x 2 x 4x x 2 x 2 x 4x2 . 2 x 2 x x 3 2 x 2 x x 3 x 3 4x2 b, Để A 0 0 x 3 0 x 3 x 3 c, Khi x 7 4 x 11 hoặc x 3 (loại), Thay vào A 4x 8x2 x 1 2 Bài 10: Cho biểu thức: A 2 : 2 2 x 4 x x 2x x a) Rút gọn A b) Tìm x để A=-1 c) Tìm các giá trị của x để A<0 HD: a, ĐKXĐ: x 0, x 2 2 4x 8x2 x 1 2 4x 2 x 8x x 1 2 x 2 A 2 : 2 : 2 x 4 x x 2x x 2 x 2 x x x 2 8x 4x2 8x2 x 1 2x 4 8x 4x2 3 x 4x 2 x x x 2 4x2 : : . 2 x 2 x x x 2 2 x 2 x x x 2 2 x 2 x 3 x x 3 4x2 b, Để A 1 1 4x2 x 3 0 x 1 4x 3 0 x 3 4x2 c, Để 0 x 3 0 x 3 Bài 11: Rút gọn biểu thức sau và tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên: x2 2x 2x2 1 2 M 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x HD: ĐKXĐ: x 0,x 2 2 x2 2x 2x2 x 2 x 1 M . 2 x2 4 x2 4 x 2 x2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. 2 x2 x 2 4x2 x 2 x 1 x x2 4x 4 4x x 2 x 1 M . . 2 x 2 x2 4 x2 2 x2 4 x 2 x2 2 x x 4 x 2 x 1 x 1 M . 2 x 2 x2 4 x2 2x x 1 x 1 1 Đẻ M nguyên thì 2M nguyên hay nguyên, Mà 1 Z x 1;1 x x x 3 x 2 2x2 x 10 5 3 3 2 Bài 12: Cho biểu thức: P : . 3 2 2 2 x x 1 x 1 x x x 1 x 1 x 1 2x x 1 2 1 a) Rút gọn P b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P có giá trị là bội của 4 HD: 3 x 2 2x2 x 10 5 3 3 2 a, P : . 3 2 2 2 x x x 1 x x x 1 x 1 x 1 2x x 1 2 1 2 1 3x 6 2x2 x 10 10x2 10 6x2 6 2 P : . x 1 x2 1 x 1 x2 1 2 x 1 x 1 x2 1 x 1 8 x2 x 2 2 x 1 P 4 x2 4 x 2 b, Tìm x nguyên để P có giá trị là bội của 4 2 x 1 2 ĐK x 1, x 2 , Để P nguyên thì Z Z x 2 U 2 1; 2 x 2 x 2 Với x=3 thỏa mãn 6x 1 6x 1 x2 36 Bài 13: Cho biểu thức: A 2 2 . 2 Rút gọn A x 6x x 6x 12x 12 HD: ĐKXĐ: x 0, x 6 6x 1 6x 1 x2 36 6x 1 x 6 6x 1 x 6 x2 36 Ta có: A 2 2 . 2 . x 6x x 6x 12x 12 x x2 36 12 x2 1 2 6x2 37x 6 6x2 37x 6 x2 36 12 x 1 x2 36 1 . . x x2 36 12 x2 1 x x2 36 12 x2 1 x x 2 1 10 x2 Bài 14: Cho biếu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Rút gọn A 1 b) Tính giá trị của A biết x 2 c) Tìm giá trị của x để A<0 d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên HD: 1 A, Rút gọn A ta được: A x 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. c, Để A 0 x 2 1 d, Để A Z Z x 1;3 x 2 1 1 x 1 Bài 15: Rút gọn biểu thức: A 2 : 2 x x x 1 x 2x 1 HD: 2 1 1 x 1 1 x x 1 x 1 A : . 2 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x2 y2 z2 2yz x y z 2 8 1 Bài 16: Tính giá trị của biểu thức: A : , Với x 1 ,y ,z 3 x2 xz y2 yz x y z 3 3 3 HD: x y z x y z x y z x y z A : , Vì x y, x y z 0, x y z 0 x y x y z x y z x y 1 Thay x, y, z vào ta được: A 2 3 11n3 12n2 12n 20 Bài 17: Tìm số tự nhiên n để A , có giá trị nguyên n2 1 HD: n 8 Ta có: A 11n 12 , n N , Khi A nguyên thì n 8n2 1 và n 8 n2 1 n2 1 n n 1 7 n 0;1;2;3 , thử lại chọn n=0 ; 2 3x 3 Bài 18: Cho biểu thức: A x3 x2 x 1 a) Rút gọn A b) Tìm x để A nhận giá trị nguyên c) Tìm GTLN của A HD: 3x 3 3 x 1 3 a, A x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x2 1 b, Để A nhận giá trị nguyên thì: x2 1 U 3 3; 1;1;3 Nếu x2 1 1 x 0, A 3 Nếu x2 1 3 x 2 A 1 3 c, A lớn nhất khi x2 1 nhỏ nhất, mà x2 1 1,x R x2 1 2 3 x 7 1 2x Bài 19: Cho biểu thức: P 2 : 2 x 1 x 1 1 x x 1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P<0 HD: 2 a, Rút gọn P 1 2x 2 1 b, Để P 0 0 x 1 2x 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
7. x2 x2 x 1 x 3 Bài 20: Cho biểu thức: K 2 2 . 4 2 x 5x 6 x 3x 2 x x 1 a) Rút gọn K b) Tìm giá trị lớn nhất của K HD: a, ĐKXĐ: x 1;2;3 x2 x2 x 1 x 3 K . 4 2 x 3 x 2 x 2 x 1 x x 1 2x2 x 1 x 3 2x2 K . K 4 2 4 2 x 1 x 3 x x 1 x x 1 b, Nếu x 0 K 0 2 2 2 2 Nếu x 0 K , vậy K lớn nhất bằng khi x= - 1 1 2 3 3 x2 1 1 x2 x 3 x 3x2 6x 3 Bài 21: Cho phân thức : A 2x 2 x 3 a) Rút gọn phân thức : b) Tìm giá trị của phân thức khi x=4 HD: a, ĐKXĐ: x 1, x 3 2 3x2 6x 3 3 x 1 3 x 1 b, A 2x 2 x 3 2 x 1 x 3 2 x 3 3x2 3 x 1 1 2x2 5x 5 Bài 22: Cho biểu thức : A 3 2 : x 1 x x 1 x 1 x 1 a, Rút gọn A b, Tìm giá trị lớn nhất của A HD: a, ĐKXĐ: x 1 3x2 3 x2 2x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 Ta có: A . . x3 1 2x2 5x 5 x3 1 2x2 5x 5 1 A 2x2 5x 5 1 1 1 8 b, Ta có: A 2x2 5x 5 5 25 15 2 15 2 x2 2. x 5 15 2 x 4 16 8 4 8 x2 x 2 Bài 23: Cho biểu thức: A x2 5x 6 a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên HD: a, ĐKXĐ: x 2; x 3 x 1 x 2 x 1 A x 2 x 3 x 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7
8. x 1 4 4 b, A 1 , đề A nguyên thì Z x 3 U 4 x 3 x 3 x 3 3 x 3 x 4x2 2x 1 Bài 24: Cho biểu thức : P 2 : 1 3 x 3 x x 9 x 3 a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P biết: 2x2 5x 2 0 c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên 3x2 3 3 x 3 Bài 25: Cho biểu thức: A 2 : x 4 x 2 2 x x 2 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 2 4 c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên x 2 3x2 3 3 Bài 26: Cho biểu thức: A 2 . 2 x 3x x 4 x 2 2 x a) Rút gọn biểu thức A 2 b) Tính giá trị A khi x 7x 0 c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên x 2 16 x 2 x 4 Bài 27: Cho biểu thức: A 2 : x 2 4 x x 2 x 2 a) Rút gọn A b) Tính giá trị của A biết: x2 6x 8 0 3x3 x2 x 3 x 2 1 Bài 28: Cho M x4 1 x2 1 x2 1 a) Rút gọn M 3 b) Tìm x để M 5 c) Tìm x Z để M Z x 1 2 x x2 1 x2 Bài 29: cho biểu thức: P 2 : 3 x x x x 1 x 1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P 3x c) Với x > 1, Hãy so sánh P với 3 21 x 4 x 1 x 3 Bài 30: Cho biểu thức: A 2 . x 9 3 x 3 x x 2 a) Rút gọn A b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 2 c) Tìm những giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên âm 1 x x 1 2x 1 Bài 31: Cho biểu thức: B 2 . : x 1 x 1 x 1 3x 3 a) Rút gọn B b) Tính giá trị cảu B khi x= -3 c) Tìm x nguyên để biểu thức B có giá trị là 1 số nguyên Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8
9. 2 x 4x2 2 x x2 3x Bài 32: Cho biểu thức: P 2 : 2 3 2 x x 4 2 x 2x x a) Rút gọn P b) Tính giá trị của biểu thức P biết x 5 3 c) Tìm giá trị nguyên của x để P chia hết cho 4 1 d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q P x2 2x x 5 50 5x Bài 33: Cho biểu thức: P 2x 10 x 2x x 5 a) Rút gọn P 1 b) Tìm giá trị của x để P=0, P= 4 c) Tìm giá trị của x để P>0, P 1. 16x x2 3 2x 2 3x x 1 Bài 35: Cho A x 2 : 2 2 x 4 2 x x 2 x 4x 4x a) Rút gọn A 20173 1 b) Tính giá trị của A khi x 20172 2016 2 3x 36x2 2 3x x2 x Bài 36: Cho biểu thức: A 2 : 2 3 2 3x 9x 4 2 3x 2x 3x a) Rút gọn A b) Tìm giá trị cảu x để A nguyên dương 1 x3 x 1 1 Bài 37: Cho biểu thức: P 2 . 2 2 x 1 x 1 x 2x 1 x 1 a) Tìm điều kiện của P có nghĩa và rút gọn P 1 b) Tìm các số nguyên x để nhận giá trị nguyên P Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 9