›
›
›

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử

doc 52 trang hoaithuong97 7572
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docchuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_8_chuyen_de_phan_tich.doc

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử

  1. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 CHUYÊN ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bậc hai, bậc ba, bậc bốn Phương pháp giải chung Dùng máy tính nhẩm nghiệm hoặc tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức cĩ 1 nghiệm x=1 Tổng hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì đa thức cĩ 1 nghiệm là x=-1 1 số HĐT đáng nhớ: 1, a b 2 a2 b2 2ab a b 2 4ab 2, a b 2 a2 b2 2ab a b 2 4ab 3, a2 b2 a b 2 2ab a b 2 2ab 4, a3 b3 a b a2 ab b2 a b 3 3ab a b 5, a3 b3 a b a2 ab b2 a b 3 3ab a b 6, 2 a2 b2 a b 2 a b 2 7, a b 2 a b 2 4ab 8, a4 b4 a b a b a b 2 2ab 2 9, a4 b4 a b 2 2ab 2 ab 2 . 10, a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca . 11, a4 a2b2 b4 a2 ab b2 a2 ab b2 . 12, a4 a2 1 a2 a 1 a2 a 1 . Dạng 1.1: Phân tích đa thức thành nhân tử bậc hai Cách 1:Tách hạng tử bậc nhất bx Tính a.c rồi phân tích a.c ra tích của hai thừa số ac = a1c1 = a2c2 = Chọn ra hai thừa số cĩ tổng bằng b , chẳng hạn : ac = a1c1 với a1 + c1 = b Tách bx = a1x + c1x Dùng phương pháp nhĩm số hạng để phân tích tiếp Cách 2:Tách hạng tử bậc ax2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
  2. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 Ta thường làm làm xuất hiện hằng đẳng thức: a2 b2 a b a b Cách 3:Tách hạng tử tự do c Ta tách c thành c1 và c2để dùng phương pháp nhĩm hạng tử hoặc tạo ra hằng đẳng 2 thức bằng cách c1 nhĩm với ax cịn c2 nhĩm với bx. Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. 3x2 8x 4 HD: Ta cĩ: 3.4 = 12 = 2.6 , mà 2 + 6 = 8 Nên ta được:3x2 8x 4 3x2 6x 2x 4 3x 2 x 2 b. 3x2 8x 4 HD: Cách 1: Tách hạng tử thứ 2: 3x2 8x 4 3x2 6x 2x 4 3x x 2 2 x 2 x 2 3x 2 Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 3x2 8x 4 4x2 8x 4 x2 x 2 3x 2 c. x2 11x 8 HD: x2 11x 28 x 4 x 7 d. x2 5x 24 HD: x2 5x 24 x 8 x 3 e. x2 5x 4 HD: x2 5x 4 x 1 x 4 f)3x2 – 7x + 2; HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
  3. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1). Bài 2: Phân tích các đa thức thành nhân tử: 3x2 8x 4 HD: Ta cĩ: 3x2 8x 4 4x2 8x 4 x2 2x 2 2 x2 x 2 3x 2 Bài 3: Phân tích các đa thức thành nhân tử: a)3x2 8x 4 HD: 3x2 8x 16 12 3x2 12 x 16 x 2 3x 2 b) 4x2 4x 3 HD: 4x2 4x 3 4x2 4x 1 4 2x 1 2 22 2x 1 2x 3 c) 9x2 12x 5 HD: 9x 2 12x 5 9x 2 12x 4 9 3x 2 2 32 3x 5 3x 1 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 x 2001.2002 HD: Ta cĩ: x2 x 2001 2001 1 x2 x 20012 2001 x2 20012 x 2001 x 2011 x 2011 x 2011 x 2011 x 2012 Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 x 2017.2018 HD : Ta cĩ: x2 x 2017.2018 x2 2017x 2018x 2017.2018 x 2017 x 2018 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
  4. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 Dạng 1.2: Phân tích đa thức thành nhân tử bậc ba Chú ý: Nếu f(x) cĩ tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) cĩ một nhân tử là x – 1 Nếu f(x) cĩ tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) cĩ một nhân tử là x + 1 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a3 4a2 29a 24 HD: Bấm máy nhận thấy đa thức cĩ ba nghiệm là 1,3 và -8, nên sẽ cĩ chứa các nhân tử (a - 1), (a - 3) và (a + 8), Ta cĩ: a3 4a2 29a 24 a3 a2 5a2 5a 24a 24 a2 a 1 5a a 1 24 a 1 a 1 a2 5a 24 = a 1 a 3 a 8 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 6x2 11x 6 HD : Bấm máy ta thấy đa thức cĩ ba nghiệm nguyên là -1, -2, -3, nên ta phân tích : x3 6x2 11x 6 x 1 x 2 x 3 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x3 7x2 17x 5 HD : 1 Bấm máy tính cho ta cĩ nghiệm là x , nên cĩ nhân tử là : (3x - 1) 3 nên ta cĩ :3x3 7x2 17x 5 3x3 x2 6x2 2x 15x 5 x2 3x 1 2x 3x 1 5 3x 1 3x 1 x2 2x 5 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x3 5x2 8x 3 HD : 1 Bấm máy tính cho ta cĩ nghiệm là x , nên cĩ nhân tử là : (2x - 1) 2 Nên ta cĩ : 2x3 5x2 8x 3 2x3 x2 4x2 2x 6x 3 x2 2x 1 2x 2x 1 3 2x 1 2x 1 x2 2x 3 Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x3 14x2 4x 3 HD : 1 Bấm máy tính cho ta nghiệm là : x nên cĩ 1 nhân tử là : (3x + 1) 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
  5. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 Ta cĩ : 3x3 14x2 4x 3 3x3 x2 15x2 5x 9x 3 x2 3x 1 5x 3x 1 3 3x 1 3x 1 x2 5x 3 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 5x2 8x 4 HD : Cách 1 : bấm máy tính cho ta nghiệm là : x= -1 và x= -2 Như vậy ta cĩ : x3 5x2 8x 4 x 1 x 2 2 Cách 2 : Nhận xét : Tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ nên đa thức cĩ một nhân tử là: x + 1 Như vậy ta cĩ : x3 5x2 8x 4 x3 x2 4x2 4x 4x 4 x 1 x 2 2 Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 x 2 4 HD : Ta nhận thấy nghiệm của f(x) nếu cĩ thì x 1, 2 4. Chỉ cĩ f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm của f(x) nên f(x) cĩ một nhận tử là x – 2. Do đĩ ta tách f(x) thành các nhĩm cĩ xuất hiện một nhân tử là x – 2 Cách 1: x3 x 2 4 x3 2x2 x2 2x 2x 4 x 2 x2 x 2 Cách 2: x3 x 2 4 x3 8 x 2 4 x3 8 x2 4 x 2 x2 x 2 Bài 8: Phân tích đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 thành nhân tử . HD: Ta nhận thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 cĩ số nghiệm là x = 2 Do đĩ, ta cĩ P(x) = ( x – 2)Q(x) Chia đa trhức P(x) = x3 – 2x – 4 cho nhị thức x – 2 , ta được thương số là Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1 Suy ra P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2) Vậy P(x) = x3 – 2x – 4 = ( x- 2)(x2 + 2x + 2) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
  6. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x3 x2 4 HD : Ta cĩ các ước của 4 là: 1; 2; 4 Nhận thấy x = -2 là nghiệm của đa thức vậy đa thức cĩ 1 nhân tử là: x – (-2) = x + 2 x3 2x2 x2 4 (x 2)(x2 x 2)  0 Hoặc: (x3 8) (x2 4) (x 2)(x2 x 2) b) x3 5x2 8x 4 HD : Nhận thấy x = -1 là nghiệm của đa thức nên cĩ 1 nhân tử là: x + 1 x3 5x2 8x 4 (x3 x2 ) (4x2 4x) (4x 4) (x 1)(x 2)2 c) x3 19x 30 HD : Ta cĩ x = -3 là nghiệm nên cĩ nhân tử là x +3 x3 19x 30 x3 3x2 3x2 9x 10x 30 (x 3)(x2 3x 10) (x 3)(x 2)(x 5) d) x3 4x2 7x 10 HD : Ta cĩ: x = -1 là nghiệm của đa thức nên cĩ nhân tử là: x +1 x3 4x2 7x 10 x3 x2 3x2 3x 10x 10 (x 1)(x 2)(x 5) 3 2 e) 3x 7x 17x 5 HD: Các ước của 5 là: 1; 5 . Nhận thấy đa thức khơng cĩ nghiệm nguyên, ta đi tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức p p U ( 5) x q q U (3) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
  7. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 1 1 Ta thấy nghiệm của đa thức là x nên cĩ nhân tử x hay 3x -1 3 3 Vậy: 3x3 7x2 17x 5 3x3 x2 6x2 2x 15x 5 (3x 1)(x2 2x 5) Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x3 3x2 (x2 x 1) (x2 x 1)3 HD : 2x3 3x2 (x2 x 1) (x2 x 1)3 2x3 3x2 y y3 2x2 (x y) y(x y)(x y) (x y)(2x2 y2 xy) (x y)(x y)(2x y) (x y)2 (2x y) Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – 5x2 + 8x – 4 HD : x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 5x2 8x 4 HD : Dạng 1.3: Phân tích đa thức thành nhân tử bậc bốn e d Chú ý: P(x) ax4 bx3 cx2 dx e ( )2 (a 0) a b e d e d Cách giải: P(x) x2[(ax2 ) (bx ) c]=x2[a(x2 ) b(x ) c] x2 x a.x2 bx d d d 1 Đặt t x t 2 x2 2 ( )2. bx b b x2 Bài 1: Phân tích thành nhân tử: P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 HD: Đặt y = x2 ,cĩ Q(y) = 6y2 + 19y + 15 Tìm m, n sao cho m.n = 90 và m + n = 19 với m < 19, n < 19 Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n = 10, ta cĩ: 6y2 + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7
  8. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 = 3y(2y + 3) + 5(2y +3) = (2y + 3)(3y + 5) Do dĩ P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = ( 2x2 + 3)(3x2 + 5) Bài 2: Phân tích P(x) = 2x4 + 3x3 – 9x2 – 3x + 2 thành nhân tử. HD: Đa thức dạng: P(x) = ax4 +bx3 + cx2 + kbx + a với k = 1 hoặc k = -1 Cách giải: Đặt y = x2 + k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử ay2 + bxy rồi sử dụng HĐT Giải: Đặt y = x2 – 1 suy ra y2 = x4 – 2x2 + 1 Biến đổi P(x) = 2(x4 – 2x2 + 1) + 3x3 – 5x2 – 3x = 2(x2 – 1)2 + 3x( x2 – 1) – 5x Từ đĩ Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 Tìm m, n sao cho m.n = - 10x2 và m + n = 3x chọn m = 5x , n = - 2x Ta cĩ : Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 = 2y2 – 2xy + 5xy – 5x2 = 2y(y – x) + 5x(y – x) = ( y – x)( 2y – 5x) Do dĩ , P(x) = (x2 – x – 1 )(2x2 + 5x – 2). Bài 3: Phân tích P(x) = x4 - x3 – 10x2 + 2x + 4 thành nhân tử. HD: Đa thức dạng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/b2 Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 + d/b và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử y2+ bxy rồi sử dụng HĐT Giải: Dễ thấy b = 1, d = 2, e =4 đặt y = x2 – 2 suy ra y2 = x4 – 4x2 + 4 Biến đổi P(x) = x4 – 4x2 + 4 – x3 – 6x2 + 2x Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8
  9. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 = (x2 – 2)2 – x(x2 – 2) – 6x2 Từ đĩ Q(y) = y2 – xy – 6x2 Tìm m, n sao cho m.n = - 6x2 và m + n = - x chọn m = 2x, n = -3x Ta cĩ Q(y) = y2 + 2xy – 3xy – 6x2 = y(y + 2x) – 3x(y + 2x) = (y + 2x)(y – 3x) Do dĩ, P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2). Nếu đa thức P(x) cĩ chứa ax4 thì cĩ thể xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cách trên. Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – 4 HD: Ta nhận thấy đa thức P(x) cĩ 2 nghiệm phân biệt là -1 và 2 Vì P(-1) = 0 và P(2) = 0 Do đĩ P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x 2 – x – 2 , ta được thương đúng của phép chia là: Q(x) = x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) Vậy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2). Bài 5: Phân tích đa thức f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 thành nhân tử HD: Các ước của 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18. f(1) = –18, f(–1) = –44, nn ± 1 khơng phải l nghiệm của f(x). Dễ thấy khơng l số nguyn nn –3, ± 6, ± 9, ± 18 khơng l nghiệm của f(x). Chỉ cịn –2 v 3. Kiểm tra ta thấy 3 l nghiệm của f(x). Do đĩ, ta tách các hạng tử như sau : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 9
  10. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 = (x – 3)(4x2 – x + 6) Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: a)2x4 21x3 30x2 105x 50 b. x4 3x 3 6x2 3x 1 4 3 2 c) x 6x 7x 6x 1(x 0) HD: a. P(x) 2x4 21x3 30x2 105x 50 105 50 25 5 P(x) x2 (2x2 30 21x ) x2[2(x2 ) 21(x ) 30] x x2 x2 x 5 25 5 25 Đặt t x t 2 x2 2.x. x2 t 2 10 x x2 x x2 G(t) 2(t 2 10) 21t 30 2t 2 21t 50 (t 2)(2t 25) 5 5 P(x) x 2 [2(x+ ) 25][(x+ ) 2] (2x 2 25x 10)(2x 2 2x 5) x x d 3 e b. x 4 3x 3 6 x 2 3x 1[( ) 2 ( ) 2 1 ] b 3 a 3 1 1 1 P(x) x2 (x2 3x 6 ) x2[(x2 ) 3(x ) 6] x x2 x2 x 1 1 1 Đặt x t t 2 x2 2 x2 t 2 2 ; G(t) t 2 2 3t 6 t 2 3t 4 (t 1)(t 4) x x2 x2 1 1 P(x) x2 (x 1)(x 4) (x2 x 1)(x2 4x 1) x x c. x4 6x3 7x2 6x 1(x 0) 4 3 2 2 2 6 1 2 2 1 1 x 6x 7x 6x 1 x x 6x 7 2 x x 2 6 x 7 x x x x Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10
  11. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 1 2 1 2 2 2 2 2 2 Đặt y x x 2 y 2 A x y 2 6y 7 x y 3 xy 3x x x 2 1 2 2 x x 3x x 3x 1 x Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 6x3 7x2 6x 1 HD: Nhận thấy đa thức bậc 4 này khơng dùng được máy tính Và đa thức khơng cĩ hai nghiệm là 1 và -1 Tuy nhiên đa thức lại cĩ hệ số cân xứng nhau: Nên ta làm như sau: 4 3 2 2 2 6 1 2 2 1 1 x 6x 7x 6x 1 x x 6x 7 2 x x 2 6 x 7 x x x x 1 1 Đặt x t x2 t 2 2 x x2 Đa thức trở thành : x2 t 2 2 6t 7 x2 t 2 6t 9 x2 t 3 2 2 2 2 2 1 2 x 1 3x 2 2 Thay t trở lại ta được : x x 3 x (x 3x 1) x x 2 Vậy x4 6x3 7x2 6x 1 x2 3x 1 Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 2x2 1 HD : Nhận thấy ngay đa thức trên là hằng đẳng thức nên ta cĩ : 2 x4 2x2 1 x2 1 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 6x3 7x2 6x 1 HD : Nhận thấy đa thức bậc 4 này khơng dùng được máy tính và đa thức khơng cĩ hai nghiệm là 1 và -1 Tuy nhiên đa thức lại cĩ hệ số cân xứng nhau: nên ta làm như sau: 4 3 2 2 2 6 1 2 2 1 1 x 6x 7x 6x 1 x x 6x 7 2 x x 2 6 x 7 x x x x 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 Đặt x t x 2 t 2Đa thức trở thành : x t 2 6t 7 x t 6t 9 x t 3 x x Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11
  12. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 Thay t trở lại ta được : 2 2 2 2 1 2 x 1 3x 2 2 x x 3 x (x 3x 1) x x 2 Vậy x4 6x3 7x2 6x 1 x2 3x 1 Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 6x3 11x2 6x 1 HD : Nhận thấy đa thức bậc 4 này khơng dùng được máy tính và đa thức khơng cĩ hai nghiệm là 1 và -1 Tuy nhiên đa thức lại cĩ hệ số cân xứng nhau: nên ta làm như sau: 4 3 2 2 2 6 1 2 2 1 1 x 6x 7x 6x 1 x x 6x 7 2 x x 2 6 x 7 x x x x 1 1 Đặt x t x2 t 2 2 . Đa thức trở thành : x x2 x2 t 2 2 6t 7 x2 t 2 6t 5 x2 t 1 t 5 Thay t trở lại ta được : 2 2 2 1 1 2 x 1 x x 1 5x 2 2 x x 1 x 5 x x x 1 x 5x 1 x x x x Vậy x4 6x3 7x2 6x 1 x2 x 1 x2 5x 1 Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 x3 2x2 x 1 HD : (x4 x3 x2 ) (x2 x 1) x2 (x2 x 1) (x2 x 1) (x2 x 1)(x2 1) Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: 6a4 7a3 37a2 8a 12 HD : Nhẩm thấy đa thức cĩ nghiệm là x=2, hay cĩ 1 nhân tuer là x - 2 Ta cĩ : 6a4 7a3 37a2 8a 12 (6a4 12a3 ) (19a3 38a2 ) a2 2a 6a 12 6a3 a 2 19a2 a 2 a a 2 6 a 2 a 2 6a3 19a2 a 6 = a 2 a 3 2a 1 3a 2 Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 6x3 13x2 12x 4 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12
  13. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 HD : Thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức cĩ 1 nghiệm bằng -1 Ta cĩ : x4 6x3 13x2 12x 4 x4 x3 5x3 5x2 8x2 8x 4x 4 = x3 x 1 5x2 x 1 8x x 1 4 x 1 x 1 x3 5x2 8x 4 = x 1 2 x 2 2 Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 10x3 26x2 10x 1 HD : 4 3 2 2 2 10 1 2 2 1 1 x 10x 26x 10x 1 x x 10x 26 2 x x 2 10 x 26 x x x x 1 1 Đặt x t x2 t 2 2Đa thức trở thành : x x2 x2 t 2 2 10t 26 x2 t 2 10t 24 x2 t 4 t 6 Thay t trở lại ta được : 2 2 2 1 1 2 x 4x 1 x 6x 1 2 2 x x 4 x 6 x x 4x 1 x 6x 1 x x x x Vậy x4 10x3 26x2 10x 1 x2 4x 1 x2 6x 1 Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 x3 4x2 x 1 HD : 4 3 2 2 2 1 1 2 2 1 1 x x 4x x 1 x x x 4 2 x x 2 x 4 x x x x 1 1 Đặt x t x2 t 2 2Đa thức trở thành : x x2 x2 t 2 2 t 4 x2 t 2 t 6 x2 t 2 t 3 Thay t trở lại ta được : 2 2 2 1 1 2 x 2x 1 x 3x 1 2 2 x x 2 x 3 x x 1 . x 3x 1 x x x x Vậy x4 x3 4x2 x 1 x 1 2 x2 3x 1 Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 7x3 14x2 7x 1 HD : 4 3 2 2 2 7 1 2 2 1 1 x 7x 14x 7x 1 x x 7x 14 2 x x 2 7 x 14 x x x x Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13
  14. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 1 1 Đặt x t x2 t 2 2Đa thức trở thành : x x2 x2 t 2 2 7t 14 x2 t 2 7t 12 x2 t 3 t 4 Thay t trở lại ta được : 2 2 2 1 1 2 x 3x 1 x 4x 1 2 2 x x 3 x 4 x x 3x 1 . x 4x 1 x x x x Vậy x4 7x3 14x2 7x 1 x2 3x 1 x2 4x 1 Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 x3 x 1 HD: Ta cĩ tổng các hệ số bằng 0 và tổng chẵn cũng bằng tổng lẻ nên cĩ nhân tử x2 -1 x4 x3 x 1 (x4 1) (x3 x) (x 1)(x 1)(x2 x 1) x4 x3 x 1 (x4 x3 ) (x 1) (x 1)(x 1)(x2 x 1) Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x4 5x3 5x2 5x 3 HD : Ta cĩ tổng chẵn bằng tổng lẻ nên cĩ nhân tử: x + 1, sau đĩ lại tổng chẵn bằng tổng lẻ. 2x4 5x3 5x2 5x 3 (x 1)(x 1)(x 3)(2x 1) Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử:9x4 15x3 43x2 22x 40 HD: 2 Ta thấy đa thức cĩ 1 nhân tử là: x 3x 2 3 9x4 15x3 43x2 22x 40 (3x 2)(3x3 7x2 19x 20) Lại cĩ nhân tử là: 3x + 4 (3x 2)(3x3 7x2 19x 20) (3x 2)(3x 4)(x2 x 5) Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: 6x4 x3 19x2 31x 30 HD: 6x4 x3 19x2 31x 30 (2x 3)(3x 2)(x2 x 5) Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 5x2 4 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14
  15. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 Đặt t x2 , ta được: t 2 5t 4 t 1 t 4 x 1 x 1 x 2 x 2 Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 10x3 26x2 10x 1 HD : 4 3 2 2 2 10 1 2 2 1 1 x 10x 26x 10x 1 x x 10x 26 2 x x 2 10 x 26 x x x x 1 1 Đặt x t x2 t 2 2Đa thức trở thành : x x2 x2 t 2 2 10t 26 x2 t 2 10t 24 x2 t 4 t 6 Thay t trở lại ta được : 2 2 2 1 1 2 x 4x 1 x 6x 1 2 2 x x 4 x 6 x x 4x 1 x 6x 1 x x x x Vậy x4 10x3 26x2 10x 1 x2 4x 1 x2 6x 1 Bài 23 : Phân tích đa thức thành nhân tử : x4 7x3 14x2 7x 1 HD : 4 3 2 2 2 7 1 2 2 1 1 x 7x 14x 7x 1 x x 7x 14 2 x x 2 7 x 14 x x x x 1 1 Đặt x t x2 t 2 2Đa thức trở thành : x x2 x2 t 2 2 7t 14 x2 t 2 7t 12 x2 t 3 t 4 Thay t trở lại ta được : 2 2 2 1 1 2 x 3x 1 x 4x 1 2 2 x x 3 x 4 x x 3x 1 . x 4x 1 x x x x Vậy x4 7x3 14x2 7x 1 x2 3x 1 x2 4x 1 Bài 24 : Phân tích đa thức thành nhân tử : x4 x3 4x2 x 1 HD: 4 3 2 2 2 1 1 2 2 1 1 x x 4x x 1 x x x 4 2 x x 2 x 4 x x x x 1 1 Đặt x t x2 t 2 2Đa thức trở thành : x x2 x2 t 2 2 t 4 x2 t 2 t 6 x2 t 2 t 3 Thay t trở lại ta được : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15
  16. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 2 2 2 1 1 2 x 2x 1 x 3x 1 2 2 x x 2 x 3 x x 1 . x 3x 1 x x x x Vậy x4 x3 4x2 x 1 x 1 2 x2 3x 1 Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x4 8x3 3x2 8x 4 HD : 4x4 8x3 3x2 8x 4 4(x4 1) 8x(x2 1) 3x2 4(x2 1)2 8x(x2 1) 5x2 4y2 8xy 5x2 4y2 2xy 10xy 5x2 (2y x)(2y 5x) (2x2 x 2)(2x2 5x 2) (2x2 x 2)(x 2)(2x 1) Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x4 15x3 35x2 30x 8 HD : 2x4 15x3 35x2 30x 8 2(x4 4) 15x(x2 2) 35x2 2(x2 x)2 15(x2 2) 27x2 2y2 15y 27x2 (y 3x)(2y 9x) (x2 3x 2)(2x2 9x 4) (x 1)(x 2)(x 4)(2x 1) Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x4 4x3 7x2 4x 4 HD : 4x4 4x3 7x2 4x 4 (x 2)(2x 1)(2x2 3x 2) Bài 28: Phân tích đa thức thành nhân tử: A(x) 2x4 19x3 2002x2 9779x 11670 HD : Ta nhận thấy đa thức cĩ hai nhân tử là x - 2 và x - 3 A(x) (x 2)(x 3)(ax2 bx c) a 2;c 1945;b 9 A(x) (x 2)(x 3)(2x2 9x 1945) Bài 29: Phân tích đa thức thành nhân tử: P x 2x4 7x3 2x2 13x 6 HD: P x 2x4 7x3 2x2 13x 6 2x4 6x3 x3 3x2 5x2 15x 2x 6 2x3 x 3 x2 x 3 5x x 3 2 x 3 x 3 2x3 x2 5x 2 x 3 2x3 4x2 3x2 6x x 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16
  17. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 2 x 3 2x x 2 3x x 2 x 2 x 3 x 2 2x2 3x 1 x 3 x 2 2x2 2x x 1 x 3 x 2 2x x 1 x 1 x 3 x 2 x 1 2x 1 Bài 30: Phân tích đa thức thành nhân tử: E x4 2017x2 2016x 2017 . HD: E x4 2017x2 2016x 2017 x4 x 2017x2 2017x 2017 x4 x 2017 x2 x 1 x x3 1 2017 x2 x 1 x x 1 x2 x 1 2017 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2017 Bài 31:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2012x2 + 2011x + 2012. HD: x4 + 2012x2 + 2011x + 2012 = (x4 - x) + (2012x2+2012x+2012) = x(x3- 1) + 2012 (x2+x+1) = x(x -1) (x2+x+1) )+ 2012 (x2+x+1) = (x2+x+1) [x(x -1) + 2012] = (x2+x+1) (x2 –x + 2012) Bài 32:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2010x2 + 2009x + 2010. HD: x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = x4 x 2010x2 2010x 2010 = x x 1 x2 x 1 2010 x2 x 1 = x2 x 1 x2 x 2010 . Bài 33:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: x4 2008x2 2007x 2008 HD: x4 2008x2 2007x 2008 x4 x2 2007x2 2007x 2007 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17
  18. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 2 x4 x2 1 2007 x2 x 1 x2 1 x2 2007 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2007 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2008 Bài 34: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 1997x2 1996x 1997 HD: Ta cĩ: x4 x2 1 1996x2 1996x 1996 x2 x 1 x2 x 1 1996 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1997 Bài 35: Phân tích thành nhân tử: x4 2004x2 2003x 2004 HD: x4 2004x2 2004x x 2004 x4 x 2004 x2 x 1 x x3 1 2004 x2 x 1 x x 1 x2 x 1 2004 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2004 Bài 36: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 2010x2 2009x 2010 HD : x4 x2 1 2009x2 2009x 2009 x2 x 1 x2 x 1 2009 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2010 Dạng A(x) (x a)(x b)(x c)(x d) e mà a + b = c + d Cách giải: A(x) (x a)(x b)(x c)(x d) e [x2 (a b)x ab][x2 (c d)x cd] e Đặt t x2 (a b)x ab x2 (c d)x cd t ab cd G(t) t(t ab cd) e t 2 (cd ab)t e Bài 37: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1 x 3 x 5 x 7 15 HD : Với dạng này, ta chỉ việc lấy số nhỏ nhất nhân với số lớn nhất, để tạo ra những số hạng giống nhau : x 1 x 7 x 3 x 5 15 x2 8x 7 x2 8x 15 15 Đặt x2 8x t t 7 t 15 15 t 2 22t 105 15 t 2 22t 120 t 10 t 12 x2 8x 10 x2 8x 12 = x2 8x 10 x 6 x 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18
  19. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 Bài 38: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 4 x 6 x 10 128 HD: Cách 1: Ta cĩ: 2 2 x x 4 x 6 x 10 128 x x 10 x 4 x 6 128 x 10x x 10x 24 128 Đặt x2 10x 12 y y 12 y 12 128 y2 144 128 y2 16 y 4 y 4 x2 10x 8 x2 10x 16 x 2 x 8 x2 10x 8 Cách 2: x x 10 x 4 x 6 128 x2 10x x2 10x 24 128 Đặt : x2 10x t , Khi đĩ đa thức trở thành : t t 24 128 t 2 24t 128 t 8 t 16 Thay t trở lại đa thức ta đươc : x2 10x 8 x2 10x 16 x2 10x 8 x 2 x 8 Bài 39: Phân tích đa thức thành nhân tử: a 1 a 2 a 3 a 4 1 HD : Ta cĩ : a 1 a 4 a 2 a 3 1 a2 5a 4 a2 5a 6 1 2 Đặt a2 5a 5 t , Khi đĩ đa thức trở thành : t 1 t 1 1 t 2 a2 5a 5 Bài 40: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 2 x 3 x 4 x 5 24 HD : Ta cĩ : x 2 x 5 x 3 x 4 24 x2 7x 10 x2 7x 12 24 Đặt : x2 7x 11 t , Khi đĩ đa thức trở thành t 1 t 1 24 t 2 25 t 5 t 5 x2 7x 6 x2 7x 16 x 1 x 6 x2 7x 16 Bài 41: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x 1 12x 1 3x 2 x 1 4 HD : 4x 1 3x 2 12x 1 x 1 4 12x2 11x 2 12x2 11x 1 4 Đặt 12x2 11x t , Khi đĩ đa thức trở thành : t 2 t 1 4 t 2 t 6 t 2 t 3 12x2 11x 2 12x2 11x 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19
  20. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 Bài 42: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 4 x 5 x 6 x 7 1680 HD : x 4 x 7 x 5 x 6 1689 x2 11x 28 x2 11x 30 1680 Đặt x2 11x 29 t , Khi đĩ đa thức trở thành : t 1 t 1 1680 t2 1681 t 41 t 41 Thay t trở lại đa thức ta được : x2 11x 12 x2 11x 70 x 12 x 1 x2 11x 70 Bài 43: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 3 HD: (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 3 (x2 5x 4).(x2 5x 6) 3 t 2 2t 3 (t 1)(t 3)   t t 2 (x2 5x 3)(x2 5x 7) Bài 44: Phân tích đa thức thành nhân tử : (2x 1)(x 1)(x 3)(2x 3) 9 HD: (2x 1)(x 1)(x 3)(2x 3) 9 (2x2 3x 1)(2x2 3x 9) 9 t 2 10t 9 x(2x 3)(2x2 3x 8) 4x 1 12x 1 3x 2 x 1 4 Bài 45: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: 4x 1 3x 2 12x 1 x 1 4 12x2 11x 2 12x2 11x 1 4 Đặt 12x2 11x t , Khi đĩ đa thức trở thành : t 2 t 1 4 t 2 t 6 t 2 t 3 4x 1 12x 1 3x 2 x 1 4 12x2 11x 2 12x2 11x 3 Vậy : = Bài 46: Phân tích P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x +4) – 15 thành nhân tử. HD: Với a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 thì a + b = 5 =c + d. Biến đổi: P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15 Đặt y = x2 + 5x + 4 thì P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – 15 = y2 +2y – 15 = y2 – 3y + 5y – 15 = y(y – 3) + 5( y – 3) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20
  21. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 = (y – 3)(y +5) Do dĩ . P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9) Dạng: (x a)4 (x b)4 a b a b a b a b b a b a Đặt t x x t G(t) (t a)4 (t b)4 (t )4 (t )4 2 2 2 2 2 2 ct 4 dt 2 e ( Dạng 1) Bài 47: Phân tích P(x) = (x – 3)4 + ( x – 1) 4 – 16 thành nhân tử. HD: Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + ( x + b)4 +c Đặt biến phụ y = x + ( a + b)/2 và biến đổi P(x) về dạng mx4 + nx2 + p Giải: Đặt y = x – 2 lúc dĩ P(x) trở thành Q(y) = (y – 1)4 + ( y + 1) 4 – 16 = 2y4 + 12y2 – 14 = 2(y2 + 7)( y2 – 1) = 2(y2 + 7)(y – 1)(y + 1) Do dĩ P(x) = 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x – 1). Bài 48: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) (x 3)4 (x 5)4 2 b. (x 3)4 (x 1)4 16 c. (x 3)4 (x 5)4 16 HD: a. Đặt t x 4 x t 4 (t 1)4 (t 1)4 2 2 t 1 2 t 1 2 2 2t 4 12t 2 2t 2 (t 2 6) 2(x 4)2 x 4 2 6 b. Đặt t x 2 (t 1)4 (t 1)4 16 2(t 4 6t 2 7) 2(y2 6y 7)(y t 2 ) c. (x 3)4 (x 5)4 16 2(x 3)(x 5) x 4 2 7 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 21
  22. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 Các dạng khác: Bài 49: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 x 1 x2 x 2 12 HD : Đặt x2 x t khi đĩ đa thức trở thành : t 1 t 2 12 t2 3t 10 t 2 t 5 Thay t trở lại đa thức ta được : x2 x 2 x2 x 5 x 1 x 2 x2 x 5 Bài 50: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 4 x2 10 72 HD : Đặt x2 4 t khi đĩ đa thức trở thành : t t 6 72 t 2 6t 72 t 12 t 6 x2 16 x2 2 x 4 x 4 x2 2 Bài 51: Phân tích P(x) = (3x +2)(3x – 5)(x – 9)(9x + 10) + 24x2 thành nhân tử. HD: Đa thức dạng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) với a1b1 = c1d1 và a2b2 = c2d2 Dễ thấy a1b1 =3.3 = 9.1 = c1d1 và a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2 P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + 9x – 10) + 24x2 Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x2 – 9x – 10 thì P(x) trở thành: Q(y) = y(y + 10x) = 24x2 Tìm m.n = 24x2 và m + n = 10x ta chọn được m = 6x , n = 4x Ta được: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2 = (y + 6x)(y + 4x) Do dĩ P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10). Bài 52: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4 x 5 x 6 x 10 x 12 3x2 HD : Ta cĩ : 4 x 5 x 12 x 6 x 10 3x2 4 x2 17x 60 x2 16x 60 3x2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 22
  23. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 2 60 60 60 x 4 x 17 x 16 3 , Đặt : x t , Khi đĩ đa thức trở thành : x x x 2 2 2 2 x 4 t 17 t 16 3 x 4t 132t 1085 x 2t 31 2t 35 2 120 120 2 2 x 2x 31 2x 35 2x 31x 120 2x 35x 120 x x Bài 53: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 3x 1 x2 3x 3 5 HD : Đặt : x2 3x t , Khi đĩ đa thức trở thành : t 1 t 3 5 t 2 2t 8 t 2 t 4 x2 3x 2 x2 3x 4 x 1 x 2 x 1 x 4 2 Bài 54: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 4x 8 3x3 14x2 24x HD : 2 x2 4x 8 3x x2 4x 8 2x2 , Đặt: x2 4x 8 y y2 3xy 2x2 => y x y 2x Bài 55: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 3x 4 x2 x 6 24 HD : Ta cĩ : x2 3x 4 x2 x 6 24 x 1 x 4 x 2 x 3 24 x 2 x 4 x 1 x 3 24 x2 2x 8 x2 2x 3 24 Đặt : x2 2x t , khi đĩ đa thức trở thành : t 8 t 3 24 t2 11t t t 11 Thay t trở lại ta được : x2 2x x2 2x 11 x x 2 x2 2x 11 Bài 56: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 2x 7 x2 2x 4 x2 2x 3 HD : Đặt : x2 2x t , khi đĩ đa thức trở thành : t 7 t 4 t 3 t 7 t 2 7t 12 t 2 6t 5 t 1 t 5 , Thay t trở lại ta được : x2 2x 1 x2 2x 5 x 1 2 x2 2x 5 Bài 57: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x y)(x 2y)(x 3y)(x 4y) y4 4 2 2 2 HD: (x y)(x 2y)(x 3y)(x 4y) y (x 5xy 5y ) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 23
  24. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 Bài 58: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4(x2 15x 50)(x2 18x 72) 3x2 HD: 4(x2 15x 50)(x2 18x 72) 3x2 4(x 5)(x 10)(x 6)(x 12) 3x2 4(x2 17x 60)(x2 16x 60) 3x2 Đặt t x2 16x 60 x2 17x 60 t x 4[(t x).t]-3x2 4t 2 4tx 3x2 (2t x)2 (2x)2 (2t x)(2t 3x) (2x2 31x 120)(2x2 25x 120) (x 8)(2x 15)(2x2 35x 120) Bài 59: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 2x 7 x2 2x 4 x2 2x 3 HD: Đặt : x2 2x t , khi đĩ đa thức trở thành : t 7 t 4 t 3 t 7 t 2 7t 12 t 2 6t 5 t 1 t 5 , Thay t trở lại ta được : x2 2x 1 x2 2x 5 x 1 2 x2 2x 5 Thay t trở lại đa thức ta được : x2 11x 12 x2 11x 70 x 12 x 1 x2 11x 70 Bài 60: Phân tích đa thức thành nhân tử. (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 HD: Đặt x2 + x + 1 = y ta cĩ x2 + x + 2 =y +1 Ta cĩ: (x2 + x + 1)(x2 + x +2) – 12 = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = ( y – 3)(y + 4) Do đĩ: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x +5) 2 Bài 61: Cho biểu thức: A b2 c2 a2 4b2c2 a, Phân tích A thành nhân tử b, Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì A< 0 HD: 2 2 2 a) Ta cĩ: A b2 c2 a2 4b2c2 b2 c2 a2 2bc Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 24
  25. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 b2 c2 a2 2bc b2 c2 a2 2bc b c a b c a b c a b c a b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên: b c a 0,b c a 0,b c a 0,b c a 0 A 0 Bài 62: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 2 a) x2 x 2 x2 x 15 ; b) x2 2x 9x2 18x 20 ; c) x2 3x 1 x2 3x 2 6 ; d) x2 8x 7 x 3 x 5 15 HD: 2 a) x2 x 2 x2 x 15 Đặt x2 x y , ta cĩ: y2 2y 15 y 5 y 3 2 Vậy, x2 x 2 x2 x 15 x2 x 5 x2 x 3 2 b) x2 2x 9x2 18x 20 Đặt x2 2x y , ta cĩ: y2 9y 20 y 4 y 5 2 Vậy, x2 2x 9x2 18x 20 x2 2x 4 x2 2x 5 c) x2 3x 1 x2 3x 2 6 Đặt x2 3x 1 y , ta cĩ: y2 y 6 y 2 y 3 Vậy, x2 3x 1 x2 3x 2 6 x2 3x 1 x2 3x 4 d) x2 8x 7 x 3 x 5 15 Đặt x2 8x 7 y , ta cĩ: y2 8y 15 y 3 y 5 Vậy, x2 8x 7 x 3 x 5 15 x2 8x 10 x2 8x 12 2 Bài 63: Phân tích các đa thức thành nhân tử: x2 4x 8 3x x2 4x 8 2x2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 25
  26. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 HD: 2 x2 4x 8 3x x2 4x 8 2x2 ; Đặt x2 4x 8 y ta được: 2 x2 4x 8 3x x2 4x 8 2x2 y2 3xy 2x2 y2 2xy x2 xy x2 y x y 2x x2 5x 8 x 2 x 4 2 Vậy, x2 4x 8 3x x2 4x 8 2x2 x2 5x 8 x 2 x 4 Dạng 2: Thêm bớt hạng tử I. Phương pháp : - Các đa thức khơng thể sử dụng các phương pháp như đặt nhân tử chung, nhĩm hạng tử và sủ dụng hằng đẳng thức cũng như đốn nghiệm, - Trong các thành phần của đa thức cĩ chứa các hạng tử bậc 4, ta sẽ thêm bớt để đưa về hằng đẳng thức số 3 : a2 b2 a b a b II. Luyện tập: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a, 4x4 81 b, 64x4 y4 HD : 2 2 a, Ta cĩ : 4x4 81 2x2 92 2.2x2.9 2.2x2.9 2x2 9 36x2 2 2x2 9 6x 2 2x2 6x 9 2x2 6x 9 2 2 2 b, Ta cĩ : 64x4 y4 8x2 y2 2.8x2.y2 2.8x2.y2 8x2 y2 16x2 y2 2 8x2 y2 4xy 2 8x2 4xy y2 8x2 4xy y2 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: a, 4x4 y4 b, 4x8 1 c, x4 y4 4 HD : 2 2 2 2 a, Ta cĩ : 4x4 y4 2x2 y2 2x2 y2 2.2x2.y2 4x2 y2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 26
  27. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 2 2x2 y2 2xy 2 2x2 y2 2xy 2x2 y2 2xy 2 b, Ta cĩ : 4x8 1 2x4 1 2.2x4.1 4x4 2 2 2x4 1 2x2 2x4 2x2 1 2x4 2x2 1 2 2 c, Ta cĩ : x4 y4 4 x2 y2 22 x2 y2 22 2.x2.y2.2 4x2 y2 2 x2 y2 2 2xy 2 x2 y2 2xy 2 x2 y2 2xy 2 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: a, x8 x4 1 b, x7 x5 1 HD : a, Ta cĩ: x8 x4 1 x8 x4 x4 1 x4 x8 2x4 1 x4 2 2 x4 1 x2 x4 x2 1 x4 x2 1 b, Ta cĩ: x7 x5 1 x7 x5 (x2 x) 1 x2 x x7 x x5 x2 x2 x 1 x x6 1 x2 x3 1 x2 x 1 x x3 1 x3 1 x2 x3 1 x2 x 1 = x x3 1 x 1 x2 x 1 x2 x3 1 x2 x 1 x2 x 1 x5 x4 x2 x x3 x2 x2 x 1 x2 x 1 = x2 x 1 x5 x4 x2 x x3 x2 1 x2 x 1 x5 x4 x3 2x2 x 1 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: a, x7 x2 1 b, x5 x 1 c, x8 x 1 HD: a, Ta cĩ: x7 x2 1 x7 x x2 x 1 x x6 1 x2 x 1 x x3 1 x3 1 x2 x 1 x x 1 x2 x 1 x3 1 x2 x 1 x2 x 1 x5 x4 x2 x 1 b, Ta cĩ: x5 x 1 x5 x2 x2 x 1 x2 x3 1 x2 x 1 = x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x3 x2 1 c, Ta cĩ: x8 x 1 x8 x2 x2 x 1 x2 x6 1 x2 x 1 x2 x3 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x6 x5 x3 x2 1 Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 27
  28. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 a, 64x4 y4 b, 4x4 y4 c, x4 324 HD: 2 2 2 a, Ta cĩ: 64x4 y4 8x2 y2 2.8x2 y2 16x2.y2 8x2 y2 4xy 2 8x2 y2 4xy 8x2 y2 4xy 2 2 2 2 b, Ta cĩ: 4x4 y4 2x2 y2 2x2 y2 2.2x2.y2 4x2 y2 2 2x2 y2 2xy 2 2x2 y2 2xy 2x2 y2 2xy 2 2 c, Ta cĩ: x4 324 x2 18 2 x2 18 2 2.x2.18 36x2 2 x2 18 6x 2 x2 18 6x x2 18 6x Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: a,x4 64 b, 81x4 4y4 c, x4 4y4 HD: 2 2 a, Ta cĩ: x4 64 x2 82 x2 82 2.x2.8 16x2 2 x2 8 4x 2 x2 8 4x x2 8 4x 2 2 2 2 b, Ta cĩ: 81x4 4y4 9x2 2y2 9x2 2y2 2.9x2.2y2 36x2 y2 9x2 2y2 6xy 2 9x2 2y2 6xy 9x2 2y2 6xy 2 2 2 2 c, Ta cĩ: x4 4y4 x2 2y2 x2 2y2 2.x2.2y2 4x2 y2 2 x2 2y2 2xy 2 x2 2y2 2xy x2 2y2 2xy Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: a, x4 y4 4 b, 4x4 y4 1 c, 4x4 81 HD: 2 2 a, Ta cĩ: x4 y4 4 x2 y2 22 x2 y2 22 2.x2 y2.2 4x2.y2 2 x2 y2 2 2xy 2 x2 y2 2xy 2 x2 y2 2xy 2 2 2 b, Ta cĩ: 4x4 y4 1 2x2 y2 1 2x2 y2 1 2.2x2 y2 4x2 y2 2 2x2 y2 1 2xy 2 2x2 y2 1 2xy 2x2 y2 1 2xy 2 2 c, Ta cĩ: 4x4 81 2x2 92 2x2 92 2.2x2.9 36x2 2 2x2 9 6x 2 2x2 9 6x 2x2 9 6x Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 28
  29. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: a, 64x4 y4 b, a4 64 c, a4 4b2 HD: 2 2 2 2 a, Ta cĩ: 64x4 y4 8x2 y2 8x2 y2 2.8x2.y2 16x2 y2 2 = 8x2 y2 4xy 2 8x2 y2 4xy 8x2 y2 4xy 2 2 b, Ta cĩ: a4 64 a2 82 a2 82 2.a2.8 16a2 2 = a2 8 4a 2 a2 8 4a a2 8 4a 2 2 c, Ta cĩ: a4 4b4 a2 2b2 2.a2.2b2 4a2.b2 2 = a2 2b2 2ab 2 a2 2b2 2ab a2 2b2 2ab Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: a, x4 4 b, 4x8 1 d, x4 4 HD: 2 2 a, Ta cĩ: x4 4 x2 22 2.x2.2 4x2 x2 2 2x 2 = x2 2 2x x2 2 2x 2 2 2 b, Ta cĩ: 4x8 1 2x4 12 2.2x4.1 4x4 2x4 1 2x2 = 2x4 1 2x2 2x4 1 2x2 2 2 c, Ta cĩ: x4 4 x2 22 2.x2.2 4x2 x2 2 2x 2 x2 2 2x x2 2 2x Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4 4 8 4 6 6 4 2 b. 4x 81y c. x 98x 1 e. x 64y f. a 3a 4 HD : b. (2x 9y)2 (6xy)2 (2x2 9y2 6xy)(2x2 9y2 6xy) x8 98x4 1 (x8 2x4 1) 96x4 (x4 1)2 16x2 (x4 1) 64x4 16x2 (x 4 1) 32x4 c. (x4 1 8x2 )2 16x2 (x4 1 2x2 ) (x4 8x2 1)2 (4x3 4x)2 e. x6 64y6 (x3 )2 (8y3 )2 f. a4 3a2 4 (a2 2)2 a2 (a2 a 2)(a2 a 2) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 29
  30. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: a, x64 x32 1 b, a10 a5 1 d, x5 x4 1 HD: 2 a, Ta cĩ: x64 x32 1 x64 2.x32 1 x32 x32 1 x32 x32 1 x16 x32 1 x16 b, Ta cĩ: a10 a5 1 a10 a a5 a2 a2 a 1 a a9 1 a2 a3 1 a2 a 1 = a (a3 )3 1 a2 a3 1 a2 a 1 a a3 1 a6 2a3 1 a2 a3 1 a2 a 1 = a7 2a4 a a 1 a2 a 1 a2 a 1 a2 a 1 a2 a 1 2 7 4 3 2 = a a 1 a 2a a a 1 a a 1 c, Ta cĩ: x5 x4 1 x5 x4 x3 x3 1 x3 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x3 x 1 Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: a.x5 x4 1 b. x8 x7 1 c.x4 x2 1 d. x7 x5 1 HD: a. x5 x4 1 x5 x4 x3 1 x3 x3 (x2 x 1) (x 1)(x2 x 1) (x2 x 1)(x3 x 1) b. x8 x7 1 x8 x7 x6 x6 1 (x2 x 1)[x6 (x 1(x3 1)]=(x2 x 1)(x6 x4 x3 x 1) 2 c. Cách 1: x4 x2 1 x4 2x2 1 x2 x 2 1 x2 x2 x 1 x2 x 1 Cách 2: x4 x2 1 x4 x3 x2 x3 1 x2 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 Cách 3: x4 x2 1 x4 x3 x2 x3 1 x2 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 d) Ta cĩ: x7 x5 1 x7 x x5 x2 x2 x 1 x x3 1 x3 1 x2 x3 1 x2 x 1 2 5 4 2 3 2 2 5 4 2 x x 1 x x x x x x 1 x x 1 x x x x 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 30
  31. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 Dạng 3:Đa thức bậc cao I. Phương pháp: - Đối với đa thức bậc cao cĩ dạng x3m 1 x3m 2 1 luơn luơn cĩ nhân tử chung là bình phương thiếu của tổng hoặc hiệu, nên ta thêm bớt để làm cuất hiện bình phương thiếu cảu tổng hoặc hiệu: II. Luyện tập: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x7 x5 x4 x3 x2 1 HD: Ta cĩ: x7 x5 x3 x4 x2 1 x3 x4 x2 1 x4 x2 1 = x4 x2 1 x3 1 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 2 = x2 x 1 x 1 x2 x 1 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x11 x10 x9 x2 x 1 HD: Ta cĩ: x11 x10 x9 x2 x 1 x11 x10 x9 x8 x7 x6 x2 x 1 x9 x2 x 1 x6 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x9 x6 x3 1 x 1 x2 1 x4 x2 1 x2 x 1 x2 x 1 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x8 14x4 1 HD: 2 2 Ta cĩ: x8 2x4 1 12x4 x4 1 12x4 x4 1 2. x4 1 .2x2 4x4 4x2 x4 1 8x4 2 2 = x4 1 2x2 2x3 2x x4 1 2x2 2x3 2x x4 1 2x2 2x3 2x Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x8 98x4 1 HD: 2 2 Ta cĩ: x4 1 2 x4 1 .8x2 64x4 16x2 x4 1 32x4 2 2 2 = x4 8x2 1 16x2 x4 1 2x2 x4 8x2 1 4x3 4x Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x5 3x4 6x3 8x2 3 HD: Ta cĩ: 2x5 3x4 6x3 8x2 3 2x5 2x4 x4 x3 5x3 5x2 3x2 3 2x4 x 1 x3 x 1 5x2 x 1 3 x2 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 31
  32. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 = x 1 2 x2 3 2x 1 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 5x4 4x3 4x2 5x 1 Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: x6 x4 9x3 9x2 HD: Ta cĩ: x6 x4 9x3 9x2 = x2 x4 x2 9x 9 2 2 2 2 2 2 3 2 = x x x 1 9 x 1 x x x 1 x 1 9 x 1 = x x 1 x x 9 Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: B(x) 3x6 10x5 34x4 47x3 52x2 8x 40 HD: Nhận thấy đa thức cĩ 2 nhân tử là: x – 1 và 3x + 2 B(x) (x 1)(3x 2)(x4 3x3 11x2 14x 20) (x 1)(3x 2)(x2 2x 4)(x2 x 5) Dạng 4: Đa thức đa ẩn Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 y2 z2 2xy 2z 1 HD: Ta cĩ: x2 y2 z2 2xy 2z 1 x2 2xy y2 z2 2z 1 x y 2 z 1 2 x y z 1 x y z 1 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 y2 z2 2xz 2y 1 HD: Ta cĩ: x2 y2 z2 2xz 2y 1 x2 2xz z2 y2 2y 1 x z 2 y 1 2 x z y 1 x z y 1 Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 6xy 5y2 5y x . HD: x2 6xy 5y2 5y x (x2 xy x) (5xy 5y2 5y) x(x y 1) 5y(x y 1) (x y 1)(x 5y) Bài 4: Phân tích các đa thức thành nhân tử: x2 2xy y2 x y 12 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 32
  33. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 Ta cĩ: x2 2xy y2 x y 12 x y 2 x y 12 x y 3 x y 4 Vậy, x2 2xy y2 x y 12 x y 3 x y 4 . Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x6 2x4 x3 y3 2xy3 HD: Ta cĩ: x6 2x4 x3 y3 2xy3 x x5 2x3 x2 y3 2y3 3 2 3 2 3 3 2 2 2 2 = x x x 2 y x 2 x x y x 2 = x x y x 2 x xy y Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: a b c 2 a b c 2 4b2 HD: Ta cĩ: a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 4b2 2a2 2c2 2b2 4ac 2 a2 2ac c2 b2 2 a c 2 b2 2 a c b a c b Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 HD: Ta cĩ: ab2 ac2 bc2 a2b a2c b2c a2 b c b2 a c c2 a b 2 2 2 = a b c b a b b c c a b = a2 b c b2 a b b2 b c c2 a b = b c a2 b2 a b b2 c2 b c a b a b a b b c b c = a b b c a b b c a b b c a c Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: xy x y yz y z zx x z 3xyz HD: Ta cĩ:= xy x y xyz yz y z xyz zx z x xyz = xy x y z yz x y z zx x y z x y z xy yz zx Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: xy x y yz y z zx z x HD: Ta cĩ: = xy x y yz y z zx y z x y = xy x y yz y z zx y z zx x y Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 33
  34. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 = x x y y z z y z x y x y y z x z Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 y z y4 z x z4 x y HD: 4 4 4 Ta cĩ: x y z y y z x y z x y = x4 y z y4 y z y4 x y z4 x y = y z x4 y4 x y y4 z4 = y z x y x y x2 y2 x y y z y z y2 z2 2 2 2 2 = x y y z x y x y y z y z = x y y z x3 xy2 x2 y y3 y3 yz2 y2 z z3 = x y y z x3 z3 y2 x z y x2 z2 2 2 2 = x y y z x z x xz z y x z y x z x z = x y y z x z x2 xz z2 y2 xy yz Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: a b c ab bc ca abc HD: Ta cĩ: a2b abc a2c ab2 b2c abc abc bc2 ac2 abc = a2b ab2 abc b2c bc2 abc a2c ca2 = ab a b c bc a b c ac a c = b a b c a c ac a c = a c ab b2 bc ac a c b c a b Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: a b c 3 a b c 3 b c a 3 c a b 3 HD: Ta cĩ: a b c 3 a b c 3 b c a 3 c a b 3 x a b c y b c a x y z a b c z c a b = x y z 3 x3 y3 z3 x3 y3 z3 3 x y y z z x x3 y3 z3 = 3 x y y z z x 3.2a.2b.2c 24abc Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 34
  35. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: a2 b c b2 c a c2 a b HD: 2 2 2 Ta cĩ: a b c b b c a b c a b = a2 b c b2 b c b2 a b c2 a b = b c a b a b a b b c b c = b c a b a b b c a b b c a c Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: x y3 z3 y z3 x3 z x3 y3 HD: Ta cĩ: xy3 xz3 yz3 x3 y x3 z y3 z = x3 z y y3 x z z3 y x 3 3 3 = x z y y z y y x z y x = x3 z y y3 z y y3 y x z3 y x = z y x3 y3 y x z3 y3 = z y x y x2 xy y2 y x z y z2 yz y2 = z y x y x2 xy y2 z2 yz y2 = z y x y x2 z2 xy yz z y x y x z x y z Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 y2 z2 x y z 2 xy yz zx 2 HD: 2 2 2 2 2 2 2 Ta cĩ: x y z x y z 2 xy yz zx xy yz zx Đặt: x2 y2 z2 a, xy yz zx b khi đĩ đa thức: a a 2b b2 2 a2 2ab b2 a b 2 x2 y2 z2 xy yz zx Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 2 x4 y4 z4 x2 y2 z2 2 x2 y2 z2 x y z 2 x y z 4 HD: Đặt: x4 y4 z4 a, x2 y2 z2 b, x y z c , Khi đĩ ta cĩ: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 35
  36. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 2 2a b2 2bc2 c4 2a 2b2 b2 2bc2 c4 2 a b2 b c2 , Lại cĩ : a b2 2 x2 y2 y2 z2 z2 x2 và b c2 2 xy yz zx , Thay vào ta được : 4 x2 y2 y2 z2 z2 x2 4 xy yz zx 2 8xyz x y z Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: c2 a b b2 a c a2 b c HD : 2 2 2 Ta cĩ : c a b b a b b c a b c = c2 a b b2 a b b2 b c a2 b c = a b b c b c b c b a b a = a b b c b c a b a b b c c a Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: x y z3 y z x3 z x y3 HD : 3 3 3 Ta cĩ : z x y x x y z x y z x = z3 x y x3 x y y3 z x x3 z x = x y z3 x3 z x y3 x3 = x y z x z2 zx x2 z x y x y2 xy x2 = x y z x z2 zx x2 y2 xy x2 x y z x z y z y x Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: ab a b bc b c ac c a HD : Ta cĩ : ab a b bc a b c a ac c a = ab a b bc a b bc c a ac c a = b a b a c c c a b a a b b c a c Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: x y x3 1 y y3 1 x HD : 3 3 Ta cĩ : x y x x y 1 x y 1 x = x y x3 x y x3 1 x y3 1 x = x y 1 x3 1 x x3 y3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 36
  37. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 = x y 1 x 1 x x2 1 x x y x2 xy y2 = x y 1 x 1 x x2 x2 xy y2 x y 1 x 1 y x y 1 Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4a2b2 2a b b2c2 c b 4c2a2 2a c HD : 2 2 2 2 2 2 Ta cĩ : 4a b 2a b b c 2a c 2a b 4c a 2a c = 4a2b2 2a b b2c2 2a c b2c2 2a b 4c2a2 2a c = b2 2a b 4a2 c2 c2 2a c b2 4a2 = b2 2a b 2a c 2a c c2 2a c 2a b 2a b = 2a c 2a b 2ab2 b2c 2ac2 bc2 = 2a c 2a b b c 2ab 2ac bc Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 y z y3 z x z3 x y HD : 3 3 3 Ta cĩ : z x y x x y z x y z x = z3 x y x3 x y y3 z x x3 z x = x y z3 x3 z x y3 x3 = x y z x z2 zx x2 z x y x y2 xy x2 = x y z x z2 zx x2 y2 xy x2 x y z x z y z y x Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: bc a d b c ac b d a c ab c d a b HD : Ta cĩ :bc ab ac bd dc ac ab bc ad dc ab ac bc ad bd = bc ab ac bd dc ac ab ac bd dc ac bc ad bd ab ac bc ad bd = ab ac bd dc bc ac ac bc ad bd ac ab = a d b c c b a c d a b a c b = b c b a ac dc ca ad b c b a c a .d Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: a x y3 a y x3 x y a3 HD : 3 3 3 Ta cĩ : y a x x a x x y a x y Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 37
  38. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 = y3 a x x3 a x x3 x y a3 x y = a x y3 x3 x y x3 a3 = x a x y x2 xy y2 x y x a x2 xa a2 = x a x y x2 xy y2 x2 xa a2 = x a x y y a y a x Bài 24: Phân tích đa thức thành nhân từ: A x2 y2 z2 x y z 2 xy yz zx 2 HD : Ta cĩ : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A x y z x y z xy yz zx x y z 2 xy yz zx x y z xy yz zx 2 2 Đặt x2 y2 z2 a; xy yz zx b A a b 2 x2 y2 z2 xy yz zx Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân từ: 2 A 2 x4 y4 z4 x2 y2 z2 2 x2 y2 z2 x y z 2 x y z 4 HD : Đặt x4 y4 z4 a; x2 y2 z2 b; x y z c ta được : 2 A 2a b2 2bc2 c4 2a 2b2 b2 2bc2 c4 2 a b 2 b c2 Lại cĩ : a b2 2 x2 y2 y2 z2 z2 x2 ;b c2 2 xy yz zx Do đĩ : A 4 x2 y2 y2 z2 z2 x2 4 xy yz zx 2 4x2 y2 4y2 z2 4z2 x2 4x2 y2 4y2 z2 4z2 x2 Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân từ: A a b c 3 4 a3 b3 c3 12abc HD : 2 2 2 2 3 3 2 2 m n Đặt a b m,a b n 4ab m n ;a b a b a b ab m n 4 3 2 3 m 3mn A m c 4. 4c3 3c m2 n2 3 c3 mc2 mn2 cn2 4 3 m c c n c n 3 a b c c a b c a b Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân từ: x2 y xy2 xz2 yz2 x2z y2z 2xyz HD : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 38
  39. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 2 Ta cĩ: xy x y z2 x y z x y x y xy z2 xz yz x y y z z x Bài 28: Phân tích đa thức thành nhân từ: A ab(a b) bc(b c) ca(c a) HD : Đặt x a b; y b c x y a c A abx bcy ca(x y) ax(b c) cy(a b) axy cxy xy(a c) (a b)(b c)(c a) Bài 29: Phân tích đa thức thành nhân từ: B (a b)3 (b c)3 (c a)3 HD : Đặt x a b; y b c x y a c B x3 y3 (x y)3 x3 y3 x3 3xy(x y) y3 3xy(x y) 3(a b)(b c)(c a) Bài 30: Phân tích đa thức thành nhân từ: C a(b c)3 b(c a)3 c(a b)3 HD : Đặt x a b; y b c x y a c 3 3 3 3 3 3 3 3 3 C ay b(x y) cx ay b x y 3xy(x y) cx y (a b) x (b c) 3bxy(x y) xy3 x3 y 3bxy(x y) xy(y2 x2 ) 3bxy(x y) xy(x y)(y x 3b) xy(x y)(b c a b 3b) xy(x y)(a b c) (a b)(b c)(c a)(a b c) Bài 31: Phân tích đa thức thành nhân từ: D (a b)5 (b c)5 (c a)5 HD : Đặt x a b; y b c x y a c Ta cĩ: (x y)5 (x y)(x y)4 (x y)(x2 2xy y2 ) 2 (x y)(x4 4x2 y2 y4 4x3 y 4xy3 2x2 y2 ) (x y)(x4 y4 ) (x y)(4x3 y 6x2 y2 4xy3 ) x5 y5 xy(x3 y 3 ) xy(x y)(4x2 6xy 4y2 ) x5 y5 xy(x y)(5x2 5xy 5y2 ) x5 y5 5xy(x y)(x2 xy y2 ) 5 5 5 5 5 5 5 2 2 2 2 D x y (x y) x y x y 5xy(x y)(x xy y ) 5xy(x y)(x xy y ) 2 2 2 2 2 5(a b)(b c)(c a) (a b) (a b)(b c) (b c) 5(a b)(b c)(c a)(a b c ab bc ca) Bài 32: Phân tích đa thức thành nhân từ: A a(b3 c3 ) b(c3 a3 ) c(a3 b3 ) HD : Đặt Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 39
  40. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 x a3 b3; y b3 c3  x y a3 c3 A ay b(x y) cx y(a b) x(b c) (b3 c3 )(a b) (a3 b3 )(b c) (b c)(a b)(b2 bc c2 a2 ab b2 ) (b c)(a b)(bc ab c2 a2 ) (b c)(a b)(c a)(a b c) Bài 33: Phân tích đa thức thành nhân từ: B a3 (b2 c2 ) b3 (c2 a2 ) c3 (a2 b2 ) HD : Đặt x a2 b2 ; y b2 c2 x y a2 c2 B a3 y b3 (x y) c3 x y(a3 b3 ) x(b3 c3 ) (b2 c2 )(a3 b3 ) (a2 b2 )(b3 c3 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 (b c)(a b) (b c)(a ab b ) (a b)(b bc c ) b(a ab b b bc c ) 2 2 2 2 2 (a c abc b c ab abc ac ) b(a c)(a b c) ac(a c) b (a c) (a c)(ab b2 bc ac b2 ) (a c)(ab bc ca) B (a b)(b c)(a c)(ab bc ca) Bài 34: Phân tích đa thức thành nhân từ: A (a b c)3 a 3 b3 c3 HD : Đặt m a b c A m 3 a3 (b3 c3 ) (m a)(m2 ma a 2 ) (b c)(b2 bc c2 ) (b c)(m2 ma a2 b2 bc a2 ) (b c) (m2 b2 ) (a2 c2 ) (ma bc) (b c)(m b)(m b) (a c)(a c) (a b)(a c) (b c)(a c)(m b a c a b) 3(b c)(c a)(a b) Bài 35: Phân tích đa thức thành nhân từ: B x(x 2y)3 y(y 2x)3 HD : Đặt m x y 3 3 3 3 3 3 B x(m y) y(m x) x m 3my(m y) y y m 3mx(m x) x m3 (x y) xy(x2 y2 ) 3mxy(m x m y) (x y)(m3 xy(x y) 3mxy) 2 2 3 3 m(x y)(m 4xy) m(x y) (x y) 4xy m(x y) (x y)(x y) Bài 36: Phân tích đa thức thành nhân từ: C x4 (x y)4 y4 HD : . Đặt: m x y C (m y) 4 m4 y4 m4 4m3 y 6m2 y2 4my3 y4 m4 y4 2(m4 2m2 y2 y4 ) 4my(m2 y2 ) 2m2 y2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(m y my) 2 (x y) y (x y)y 2(x xy y ) Bài 37: Phân tích đa thức thành nhân từ: D a 4 b4 c4 2(a2b2 b2c2 c2a2 ) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 40
  41. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 HD : Đặt: m a2 b2 c2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 D (a b c ) 4(a b b c c a ) m 4 b (a c ) c a m 4 b (m b ) c a (m 2b2 )2 (2ca)2 (m 2b2 2ca)(m 2b2 2ca) (a2 b2 c2 2b2 2ca)(a2 b2 c2 2b2 2ca) 2 2 2 2 (a c) b (a c) b (a c b)(a c b)(a c b)(a b c) Bài 38: Phân tích đa thức thành nhân từ: A a(b c a)2 b(c a b)2 c(a b c)2 (b c a)(c a b)(a b c) HD : Đặt m x y z;a b c x;b c a y;c a b z 2a y z;2b z x;2c x y 2A (y z)x2 (x z)y2 (y x)z2 2xyz xy(x y) yz(y z) zx(z x) 2xyz xy(m z) yz(m x) zx(m y) 2xyz m(xy yz zx) xyz (x y)(y z)(z x) 8abc A 4abc Bài 39: Phân tích đa thức thành nhân từ: B (a b c)3 (a b c)3 (b c a)3 (c a b)3 HD : Đặt a b c z;b c a x;c a b y x y z a b c B (x y z)3 x3 y3 z3 3(x y)(y z)(z x) 3.2c.2a.2b 24abc Bài 40: Phân tích đa thức thành nhân từ: C ab(a b) b(b c) ca(c a) a3 b3 c3 2abc HD : Đặt a b c z;b c a x;c a b y 2a y z;2b x z;2c x y Ta cĩ: 4C 4a2 (b c a) 4b2 (c a b) 4c2 (a b c) 8abc (y z)2 x (z x)2 y (x y)2 z (x y)(y z)(z x) xy(x y) yz(y z) zx(z x) (x y)(y z)(z x) 6xyz xy(x y) yz(x y) zx(x y) z2 (x y) (x y)(y z)(z x) 4xyz (x y)(xy yz zx z2 ) (x y)(y z)(z x) 4xyz (x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x) 4xyz 4xyz C xyz (b c a)(c a b)(a b c) Bài 41: Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x2y2(y - x) + y2x2(z - y) - z2x2(z - x) Cách 1: Khai triển hai trong ba số hạng, chẳng hạn khai triển hai số hạng đầu rồi nhĩm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung z - x A = x2y3 – x3y2 + y2z3 – y3z2 – z2x2(z – x) = y2(z3 – x3) – y3(z2 – x2) – z2x2(z – x) = y2(z – x)(z2 + zx + x2) – y3(z – x)(z + x) – z2x2(z – x) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 41
  42. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 = (z – x)(y2z2 + y2zx + x2y2 – y3z – y3x – z2x2) = (z – x)[y2z(z – y) – x2(z – y)(z + y) + y2x(z – y) = (z – x)(z – y)(y2z – x2z – x2y + y2x) = (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)] = (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz). Cách 2: Để ý rằng: (z – y) + (y – x) = (z – x). Do vậy ta cĩ: A = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2[(z – y) + (y – x)] = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2(z – y) – z2x2(y – x) = (y – x)(x2y2 – z2x2) + (z – y)(y2z2 – z2x2) = (y – x)x2(y – z)(y + z) + (z – y)z2(y – x)(y + x) = (y – x)(z – y)(- x2y – x2z +yz2 + xz2) = (y – x)(z – y)[xz(z – x) + y(z – x)(z + x)] = (y – x)(z – y)(z – x)(xz + yz +xy) Bài 42. Phân tích đa thức thành nhân tử: a3 + b3 + c3 -3abc HD: Các hạng tử của đa thức đa thức đã cho khơng chứa thừa số chung, khơng cĩ dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng khơng thể nhĩm các số hạng. Do vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để cĩ thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết. a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc) = (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) Bài 43. Phân tích đa thức thành nhân tử: (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 42
  43. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 HD: Cách 1: Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c thì a + b + c = 0. Khi đĩ theo câu a ta cĩ: a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 hay a3 + b3 +c3 =3abc Vậy: (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) Cách 2: Để ý rằng: (a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3 và (y – z) = (y – x) + (x – z) (x – y)3 + (y –z)3 + (z – x)3 = [(y – x) + ( x – z)]3 + (z – x)3 + (x – y)3 = (y – x)3 + 3(y – x)(x – z){(y – x) + (x – z)] + (x – z)3 – (x – z)3 – (y – x)3 Bài 44: Phân tích đa thức thành nhân tử. 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y2z2 HD 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y2z2 = 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) +y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2 Đặt: x2 + xy + xz = m, ta cĩ 4x(x + y)(x + y + z)(x + y) + y2x2 = 4m(m + yz) + y2z2 = 4m2 + 4myz + y2z2 = ( 2m + yz)2 Thay m = x2 +xy +xz, ta được: 4x(x +y)(x + y +z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Bài 45: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2a2b 4ab2 a2c ac2 4b2c 2bc2 4abc . HD Ta cĩ : 2a 2b 4ab 2 a 2c ac 2 4b 2c 2bc 2 4abc 2a2b 4ab2 a2c 2abc ac2 2bc2 4b2c 2abc 2ab a 2b ac a 2b c2 a 2b 2bc a 2b Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 43
  44. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 a 2b 2ab ac c2 2bc a 2b a 2b c c 2b c a 2b 2b c c a Bài 46: Phân tích thành nhân tử: a) a b c 2 a b c 2 4b2 ; b) a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 3 3 3 c) a2 b2 c2 a2 b2 c2 HD: a) a b c 2 a b c 2 4b2 a b c 2 a b c 2b a b c 2b 2 a b c a b c a 3b c a b c a b c a 3b c 2 a b c a b c b) a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 ab2 ac2 bc2 ab2 ac2 b2c ab a b c2 a b c a b a b a b ab c2 ca cb a b b c a c 3 3 3 3 3 3 c) a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 C/m: Nếu x y z 0 thì x3 y3 z3 3xyz ( tự giải ) Ta cĩ: a2 b2 c2 a2 b2 c2 0 3 3 3 3 3 3 Suy ra a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 3 a2 b2 b2 c2 a c a c Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 44
  45. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 2 2 2 Bài 47: Phân tích đa thức thành nhân từ: a b c b a c c a b 4abc Bài 48: Phân tích đa thức thành nhân từ: a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 2abc Bài 49: Phân tích đa thức thành nhân từ: a3 b c b3 c a c3 a b Bài 50: Phân tích đa thức thành nhân từ: abc ab bc ca a b c 1 Bài 51 : Phân tích thành nhân tử: x2 y xy2 xz2 yz2 x2z y2z 2xyz HD: 2 Ta cĩ: xy x y z2 x y z x y x y xy z2 xz yz x y y z z x Dạng 5: hệ số bất định Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 6x3 12x2 14x 3 HD : Ta cĩ : x4 6x3 12x2 14x 3 x2 ax 1 x2 bx 3 Hoặc : x4 6x3 12x2 14x 3 x2 ax 1 x2 bx 3 Giả sử ở TH1 ta cĩ : x4 6x3 12x2 14x 3 x4 a b x3 4 ab x2 3a b x 3 Đồng nhất hệ số ta cĩ: a b 6 a 4 4 ab 12 , Vậy x4 6x3 12x2 14x 3 x2 4x 1 x2 2x 3 b 2 3a b 14 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x4 3x3 7x2 6x 8 HD: Cách 1: Ta nhận thấy đa thức cĩ 1 nhân tử là x + 1 Q(x) 2x4 3x3 7x2 6x 8 (x 1)(2x3 ax2 bx c) 2x4 (a 2)x3 (a b)x2 (b c)x c a 2 3 a 5 a b 7 2 b 2 Q(x) (x 1)(x 2)(2x x 4) b c 6 c 8 c 8 Cách 2: Giả sử Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 45
  46. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 Q(x) (2x2 +ax+b)(x2 cx d) 2x4 (2c a)x3 (2d ac b)x2 (ad bc)x bd 2c a 3 b 2 2d ac b 7 2 Đồng nhất các hệ số: d 4 Q(x) (2x x 4)(x 1)(x 2) ad bc 6 a c 1 bd 8 Cách 3: Ta cĩ: 2x4 3x3 7x2 6x 8 2x4 2x3 5x3 5x2 2x2 2x 8x 8 = 2x3 x 1 5x2 x 1 2x x 1 8 x 1 = x 1 2x3 5x2 2x 8 x 1 x 2 2x2 x 4 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 HD: 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) 2 2 = acx + (3c - a)x + bdy + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3 ac 12 a 4 bc ad 10 c 3 3c a 5 b 6 bd 12 d 2 3d b 12 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: P(x) 2x4 7x3 17x2 20x 14 2b n 7 2c p bn 17 HD: cn bp 20 cp 14 c 2; p 7(tm) b 2;n 3 Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: R(x) 4x4 4x3 5x2 2x 1 HD: (2x2 x 1)2 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: T (x, y) 2x2 7xy 6y2 9x 13y 5 HD: T (x, y) 2x by c x ny p n 2,b 3,c 1, p 5 Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 46
  47. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 a) x3 – 19x – 30 b) x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 HD: a)Kết quả tìm phải cĩ dạng: (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac. Ta phải tìm a, b, c thoả mãn: x3 – 19x – 30 = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac Vì hai đa thức này đồngnhất , nên ta cĩ: a + b = 0 ab + c = 19 ac = - 30 Vì a,c thuộc số nguyên vá tích ac = - 30, do đĩ a, c là ước của - 30 hay a,c = ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30 a = 2, c = 15 khi đĩ b = - 2 thoả mãn hệ trên. Đĩ là một bộ số phải tìm tức là x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15) b) Dễ thấy ±1 khơng phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức khơng cĩ nghiệm nguyên, cũng khơng cĩ nghiệm hữu tỉ. Như vậy nến đa thức đã cho phân tích thành nhân tử thì phải cĩ dạng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd . Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta cĩ x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd a + c = 6 ac + b + d =7 ad + bc = 6 bd = 1 Từ hệ này tìm được: a = b = d = 1 , c = 5 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 47
  48. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 Vậy: x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 = (x2 + x + 1)(x2 + x + 5). Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: 12x2 5x 12y2 12y 10xy 3 HD: Ta cĩ: 12x2 5x 12y2 12y 10xy 3 = ax by 3 cx dy 1 = 12x2 5x 12y2 12y 10xy 3 acx2 ad bc xy bdy2 3c a x 3d b y 3 Đồng nhất hệ số ta cĩ: ac 12 a 4 ad bc 10 b 6 2 2 bd 12 , Vậy 12x 5x 12y 12y 10xy 3 4x 6y 3 3x 2y 1 c 3 3c a 5 d 2 3d b 12 2 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 y2 xy x2 y2 y2 z2 z2 x2 HD: 2 x2 y2 xy x2 y2 y2 z2 z2 x2 x4 y4 x2 y2 2x2 y2 2xy3 2x3 y x2 y2 y2 z2 z2 x2 = x4 y4 2x2 y2 2xy x2 y2 z2 x2 y2 2 = x2 y2 2xy x2 y2 z2 x2 y2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = x y x y 2xy z x y x y z = x2 y2 x y z x y z Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: 81x4 z2 y2 z2 y2 HD: Ta cĩ: 81x4 z2 y2 z2 y2 81x4 z2 y2 z2 y2 = z2 y2 81x4 1 z y z y 9x2 1 9x2 1 = z y z y 3x 1 3x 1 9x2 1 Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: x6 x4 x2 y2 y4 y6 HD: Ta cĩ: x6 x4 x2 y2 y4 y6 2 2 2 = x6 y6 x4 2x2 y2 y4 x2 y2 x3 y3 x2 y2 x2 y2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 48
  49. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 = x3 y3 x3 y3 x2 y2 xy x2 y2 xy = x y x2 xy y2 x y x2 xy y2 x2 y2 xy x2 y2 xy = x2 y2 xy x2 y2 xy x2 y2 1 Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x4 4x3 5x2 2x 1 HD: Ta cĩ: 4x4 4x3 5x2 2x 1 ax2 bx 1 cx2 dx 1 Đồng nhất hết số ta cĩ: 2 4x4 4x3 5x2 2x 1 2x2 x 1 Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 8x 63 HD: Ta cĩ: x4 8x 63 x2 ax b x2 cx d Đồng nhất hệ số ta cĩ: x4 8x 63 x2 4x 7 x2 4x 9 2 Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1 4 x2 x 1 HD: 4 2 2 4 2 Ta cĩ: x 1 x x 1 x 1 x x 1 1 = x 1 4 x2 x 1 2 2x x 1 1 = x 1 2 x 1 2 x2 2x2 2x 1 = 2x2 2x 1 x 1 2 1 = x2 2x 2 2x2 2x 1 Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: x y 5 x5 y5 HD: 5 Ta cĩ: x y x5 5x4 y 10x3 y2 10x2 y3 5xy4 y5 x5 y5 5xy x3 2x2 y 2xy2 y3 2 2 = 5xy x y x xy y 2xy x y = 5xy x y x2 y2 xy Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x2 y2 z2 )(x y z)2 3(xy yz zx)2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 49
  50. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 HD: Ta cĩ (x y z)2 x2 y2 z2 2(xy yz zx) 2 2 2 x y z a 2 2 2 Đặt A a(a 2b).3b a 2ab 3b (a b)(a 3b) xy yz zx b A (x2 y2 z2 xy yz zx)[(x2 y2 z2 3(xy yz zx)] Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x y)3 (y z)3 (z x)3 HD: Ta đã biết: Nếu a b c 0 a3 b3 c3 3abc x y a 3 3 3 Đặt y z b a b c 0 B a b c B 3abc 3(x y)(y z)(z x) z x c Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x3 y3 )3 (y3 z3 )3 (z3 x3 )3 HD: x3 y3 a 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 y z b a b c 0 B a b c B 3abc 3(x y )(y z )( z x ) 3 3 x z c Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: (a b)3 (b c)3 (c a)3 8(a b c)3 HD: a b x 3 3 Đặt b c y x y z 2(a b c) (x y z) 8(a b c) ; c a z D x3 y3 z3 (x y z)3 Ta cĩ: (x y z)3 x3 y3 z3 3(x y)(y z)(z x) D 3(x y)(y z)(z x) 3 Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: (a b c)3 (a b c)3 (b c a)3 (c a b)3 HD: Đặt m a b c 3 3 3 3 n b c a a b c m n p E (m n p) m n p 3(m n)(n p)( p m) p c a b Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 50
  51. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 E 3.2b.2c.2a 24abc Bài 21: Phân tích các đa thức thành nhân tử: a) 4x4 4x3 5x2 2x 1 ; b) 3x4 11x3 7x2 2x 1 HD: a) 4x4 4x3 5x2 2x 1 Ta viết 4x4 4x3 5x2 2x 1 2x2 ax 1 . 2x2 bx 1 với mọi x = 4x4 2a 2b x3 ab 4 x2 a b x 1 Đồng nhất hệ số hai vế, ta được: 2a 2b 4,ab 4 5,a b 2 a 1,b 1 . 2 Vậy, 4x4 4x3 5x2 2x 1 2x2 x 1 . b) 3x4 11x3 7x2 2x 1 Ta viết 3x4 11x3 7x2 2x 1 3x2 cx 1 x2 dx 1 với mọi x 3x4 3dx3 3x2 cx3 cdx2 cx x2 dx 1 3x4 3d c x3 4 cd x2 c d x 1 Đồng nhất hệ số hai vế, ta được: 3d c 11, 4 cd 7,c d 2 c,d .(loại ) Khi đĩ, ta chọn cách viết khác 3x4 11x3 7x2 2x 1 3x m x3 nx2 px q với mọi x 3x4 3nx3 3px2 3qx mx3 mnx2 mpx mq 3x4 3n m x3 3p mn x2 3q mp x mq Đồng nhất hệ số hai vế ta được 3n m 11, 3p mn 7, 3q mp 2, mq 1 Xét hai trường hợp: TH1: m q 1 , giải ra được n 4, p 1 ( nhận ) TH2: m q 1 , giải ra n, p  ( loại ) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 51
  52. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN 8 Vậy, 3x4 11x3 7x2 2x 1 3x 1 x3 4x2 x 1 . Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: Bài 23: Tìm tổng hệ số của đa thức sau khi khai triển: 100 2017 a, 4x 3 4 b, 5x 2 5 c, x2 x 2 x2 1 x HD : Tổng hệ số của đa thức chính là giá trị của đa thức tại x = 1 Bài 24: Tìm hệ số của hạng tử bậc cao nhất và tổng các hệ số của đa thức: 2005 2004 2003 3 6x 4x2 1 x2 . 1 2x 3x2 x3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 52