›
›
›

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Hẳng đẳng thức

doc 22 trang hoaithuong97 8532
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Hẳng đẳng thức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docchuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_8_chuyen_de_hang_dang.doc

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Hẳng đẳng thức

  1. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ: HẲNG ĐẲNG THỨC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 1. (a b)2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 4ab (a b)2 4ab 2. (a b)2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 4ab (a b)2 4ab 3. a2 b2 (a b)(a b) 4. (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 3ab(a b) a3 b3 (a b)3 3ab(a b) 5. (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 3ab(a b) a3 b3 (a b)3 3ab(a b) 6. a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) 7. a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) Bài 1: a) Tính A 1002 992 982 972 22 12 n b) Tính B 12 22 32 42 1 .n2 HD: 101.100 a) A 1002 992 982 972 22 12 (100 99)(100 99) (2 1)(2 1) 100 1 5050 2 b) Ta xét hai trường hợp TH1: Nếu n chẵn thì 2 n n 1 B 22 12 42 32 n2 n 1 1 2 3 4 n 1 n 2 TH1: Nếu n lẻ thì 2 2 n n 1 B 22 12 42 32 n 1 n 2 n2 1 2 3 4 n 1 n2 2 n n n 1 Hai kết quả trên có thể dùng công thức: 1 . 2 Bài 2: So sánh A 19999.39999 và B 299992 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
  2. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD: Ta có: 19999.39999 (29999 10000)(29999 10000) 299992 100002 299992 A B Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau a.A (2 1)(22 1) (264 1) 1 b. B (3 1)(32 1) (364 1) 1 c. C (a b c)2 (a b c) 2 2(a b)2 HD: a. A (2 1)(22 1) (264 1) 1 (2 1)(2 1)(22 1) (264 1) 1 2128 1 1 2128 1 1 3128 1 b. B (3 1)(32 1) (364 1) 1 (3 1)(3 1)(32 1) (364 1) 1 (3128 1) 1 2 2 2 c. C (a b c)2 (a b c) 2 2(a b)2 (a b c)2 2(a b c)(a b c) (a b c)2 2(a b c)(a b c) 2(a b)2 (a b c a b c)2 2 a b 2 c2 -2 a b 2 4(a b)2 2(a b)2 2c2 2(a b) 2 2c2 Bài 4: Chứng minh rằng a. (a2 b2 )(x2 y2 ) (bx ay)2 ax by 2 b. (a2 b2 c2 )(x2 y2 z2 ) ax by cz 2 (bx ay)2 (cy bz)2 (az cx)2 HD: a. Ta có: VT = (a2 b2 )(x2 y2 ) a2 x2 a2 y2 b2 x2 b2 y2 (bx)2 (ay)2 (ax)2 (by)2 (bx)2 2bx.ay (ay)2 2bx.ay (ax)2 (by)2 (bx ay)2 ax by 2 (dpcm) b. VT = (a2 b2 )(x2 y2 ) (a2 b2 )z2 c2 (x2 y2 z2 ) ax by 2 2 ax by cz cz 2 = ax by 2 (bx ay)2 (az)2 (bz)2 (cx)2 (cy)2 (cz)2 ax by 2 (cz)2 2ax.cz 2by.cz (bx ay)2 [(cy)2 2by.cz (bz)2 ]+(az)2 (cx)2 2az.cx (bx ay)2 (cy bz)2 (az cx)2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
  3. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Nhận xét: Đây là bất đẳng thức Bunhicopski. Bài 5: Cho x2 y2 z2.CMR : (5x 3y 4z)(5x 3y 4z) (3x 5y)2 HD: VT = (5x 3y)2 16z2 25x2 30xy 9y2 16z2 Mà: z2 x2 y2 VT 25x2 30xy 9y2 16(x2 y2 ) 9x2 30xy 25y2 (3x 5y)2 (dpcm) Bài 6: CMR, nếu (a b c d)(a b c d) (a b c d)(a b c d) thì ad = bc HD: 2 2 2 2 2 2 VT = a d b c a d b c = a d (b c) a d 2ad b c 2bc VP =[(a-d)+(c-b)][(a-d)-(c-b)]=(a-d)2 (c b)2 (a d)2 (c b)2 a2 d 2 2ad c2 b2 2bc VT = VP 2ad 2bc 2ad 2bc 4ad 4bc ad bc(dpcm) Bài 7: CMR, nếu: a. a + b + c = 0 thì a3 a2c abc b2c b3 0 b. (y z)2 (z x)2 (x y)2 (y z 2x)2 (z x 2y)2 (y x 2z)2 thì x = y = z HD: a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) a b c a b c a. Ta có : a3 b3 c(a2 ab b2 ) a2c abc b2c a3 b3 a2c abc b2c 0 y z 2x (y x) (z x) b c b. Đặt : y z a; z x b; x y c a b c 0 và z x 2y c a x y 2z a b Từ giả thiết ta có : a2 b2 c2 (b c)2 (c a)2 (a b)2 a2 b2 c2 b2 2bc c2 c2 2ac a2 a2 2ab b2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
  4. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 0 2(a2 b2 c2 ) (a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca) 0 x y 2 2 2 2 2 2 2 2(a b c ) (a b c) 0 a b c 0 a b c y z x y z z x Bài 8: Chứng minh rằng không tồn tại các số thực x, y, z thỏa mãn: a. 5x2 10y2 6xy 4x 2y 3 0 b. x2 4y2 z2 2x 6z 8y 15 0 HD: a. VT (x 3y)2 (2x 1)2 (y 1)2 1(dpcm) b. VT (x 1)2 4(y 1)2 (z 3)2 1 1(dpcm) Bài 9: Tìm x, y thỏa mãn a. x2 8y2 9 4y(x 3) b.9x2 8xy 8y2 28x 28 0 c. x2 2y2 5z2 1 2(xy 2yz z) HD: 2 2 2 2 3 a. Ta có: x 8y 9 4y(x 3) (x 2y) (2y 3) 0 x 3;  2 9x2 8xy 8y2 28x 28 0 b. (7x2 28x 28) (2x2 8xy 8y2 ) 0 7(x 2)2 2(x 2y)2 0 x 2 y 1 c. x2 2y2 5z2 1 2(xy 2yz z) (x y)2 (y 2z)2 (z 1)2 0 x ; y 2; z 1 Bài 10: Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dứơi dạng tổng các bình phương của hai biểu thức: x2 2 x 1 2 3 x 2 2 4 x 3 2 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
  5. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Ta có: x2 2 x 1 2 3 x 2 2 4 x 3 2 x2 2 x2 2x 1 3 x2 4x 4 4 x2 6x 9 10x2 40x 50 x 5 2 3x 5 2 dpcm Bài 11:Cho a x2 x 1 . Tính theo a giá trị của biểu thức A x4 2x3 5x2 4x 4 HD: Ta có: A x4 2x3 5x2 4x 4 x4 x2 1 2x3 2x2 2x 2x2 2x 3 2 A x2 x 1 2 x2 x 1 1 A a2 2a 1 a 1 2 Bài 12:Chứng minh x x a x a x 2a a4 là bình phương của một đa thức HD: Ta có: A x2 ax x2 ax 2a 2 a4 2 2 Đặt t x2 ax A t t 2a 2 a4 t 2 2ta2 a4 t a2 A x2 ax a2 dpcm Bài 13: a) Cho a, b, c thỏa mãn a2010 b2010 c2010 a1005b1005 b1005c1005 c1005a1005 . Tính giá trị của biểu thức sau A a b 20 b c 11 c a 2010 b) Cho a,b,c,d Z thỏa mãn a b c d. Chứng minh rằng a2 b2 c2 d 2 luôn là tổng của ba số chính phương c) Chứng minh rằng: Nếu p và q là hai số nguyên tố thỏa mãn p2 q2 p 3q 2 thì p2 q2 cũng là số nguyên tố HD: a) a2010 b2010 c2010 a1005b1005 b1005c1005 c1005a1005 2a2010 2b2010 2c2010 2a1005b1005 2b1005c1005 2c1005a1005 0 . 2 2 2 a1005 b1005 b1005 c1005 c1005 a1005 0 a1005 b1005 b1005 c1005 c1005 a1005 a b c Vậy A a a 20 b b 11 c c 2010 A 0 \ Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
  6. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 b) a b c d a c d b;a2 b2 c2 d 2 c d b 2 b2 c2 d 2 c d 2 2 c d b b2 b2 c2 d 2 c d 2 2bc 2bd b2 b2 c2 d 2 c d 2 b c 2 b d 2 c) p2 q2 p 3q 2 4 p2 4q2 4 p 12q 8 4 p2 4 p 1 4q2 12q 9 2 p 1 2 2q 3 2 mà 2 p 1 0 ( p nguyên tố ); 2q 3 0 (q nguyên tố ). Do đó 2 p 1 2q 3 q p 1 Ta có: q 3 p 2 q lẻ, do đó p chẵn p 2 q 3 p2 q2 13 là số nguyên tố Bài 14:Cho a, b, c thỏa mãn: a2 b2 c2 2;a b c 2.CMR : M (a2 1)(b2 1)(c2 1) viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức HD: Cách 1: M (a2 1)(b2 1)(c2 1) a2b2c2 a2b2 a2c2 b2c2 a2 b2 c2 1(*) Có: a2 b2 c2 2 a b c (a2 b2 c2 )2 (a b c)2 Có: (a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ca) 4 ab bc ca 1 a2b2 a2c2 b2c2 2(acb2 a2bc c2ab) 1 a2b2 a2c2 b2c2 1 2(acb2 a2bc abc2 ) M (abc)2 2abc(a b c) 1 a2 b2 c2 1 M (abc)2 2abc(a b c) (a b c)2 abc a b c 2 (dpcm) Cách 2: Ta có: a2 1 a2 ab bc ca (a b)(a c);b2 1 (a b)(b c);c2 1 (a c)(c b) M [(a+b)(b+c)(c+a)]2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
  7. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HẰNG ĐẲNG THỨC BẬC BA 1. (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 3ab(a b) a3 b3 (a b)3 3ab(a b) 2. (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 3ab(a b) a3 b3 (a b)3 3ab(a b) Bài 1: Cho x2 x 10 . Tính A x6 3x5 4x4 3x3 2x2 x 1 HD: A x6 3x5 4x4 3x3 2x2 x 1 (x6 3x5 3x4 x3 ) (x4 2x3 x2 ) (x2 x 1) (x2 x)3 (x2 x)2 (x2 x) 1 1111 (23 1)(33 1) (1003 1) Bài 2: Tính A (23 1)(33 1) (1003 1) HD: (k 1)3 1 (k 2)[(k+1)2 -(k+1)+1] k 2 Ta có: k 3 1 (k-1)(k2 k 1) k 1 Cho k chạy từ 2 đến 100, ta thu được: 33 1 43 1 1003 1 1 4 5 101 1 A (23 1). . . 9. . . 23 1 33 1 993 1 1003 1 1 2 98 99(1002 100 1) 99.100.101 9.99.100.101 30300 A 9. 1.2.3 10101 6.99.10101 20202 Bài 3:Chox2 y2 1 . Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y. A 2 x6 y6 3 x4 y4 HD: Ta có: 3 3 A 2 x2 y2 3 x4 y4 2 x2 y2 x4 x2 y2 y4 3 x4 y4 2x4 2x2 y2 2y4 3x4 3y4  1 2 x4 2x2 y2 y4 x2 y2 1 dpcm Bài 4:Choa3 3ab2 2;b3 3a2b 11. . Tính a2 b2 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7
  8. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Ta có: 2 2 a3 3ab2 b3 3a2b 22 11 2 a6 6a 4b2 9a2b4 b6 6a2b4 9a4b2 4 121 3 a6 3a4b2 3a2b4 b6 125 a2 b2 53 a2 b2 5 Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A a3 b3 c3 3abc HD: A a3 b3 c3 3abc (a b)3 3ab(a b) c3 3abc A a b 3 c3 -3ab a b c = a b c 3 3(a b)c.(a b c) 3ab(a b c) A (a b c) a b c 2 3(a b)c 3ab (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca) Bài 6: Cho a + b + c = 0, CMR: a3 b3 c3 3abc (a2 b2 )3 (b2 c2 )3 (c2 a2 )3 Áp dụng tính B (a b)3 (b c)3 (c a)3 HD: Từ giả thiết c (a b) a3 b3 c3 a3 b3 (a b)3 3ab(a b) 3abc a2 b2 b2 c2 c2 a2 0 3(a2 b2 )(b2 c2 )(c2 a2 ) +) B (a b)(b c)(c a) a b b c c a 0 3(a b)(b c)(c a) 1 1 1 3 Bài 7: Cho a, b, c thỏa mãn: (a b c)2 a2 b2 c2.CMR : a3 b3 c3 abc HD: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 Ta có: (a b c)2 a2 b2 c2 ab bc ca 0 0 3. . . a b c a3 b3 c3 a b c abc 1 1 1 bc ca ab Bài 8: Cho a, b, c thỏa mãn: 0 . Tính A a b c a2 b2 c2 HD: 1 1 1 1 1 1 3 Đặt x ; y ; z x y z 0 x3 y3 z3 3xyz a b c a3 b3 c3 abc abc abc abc 1 1 1 3 A abc( ) abc. 3 a3 b3 c3 a3 b3 c3 abc Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8
  9. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 9:Cho x y a b; x2 y2 a 2 b2. Chứng minh rằng x 3 y3 a3 b3 HD: Ta có: x 3 y3 x y x2 xy y2 ; x y a b x y 2 a b 2 x2 2xy y2 a2 2ab b2 Do x2 y 2 a2 b2 2xy 2ab xy ab Thay các kết quả vào ta được: x 3 y3 x y x2 xy y2 a b a2 ab b2 a3 b3 dpcm Bài 10:Cho a b m;a b n. Tính ab;a3 b3 theo m và n HD: m n m n m n m n m2 n2 Cách 1: Từ a b m;a b n. b ,a ab . 2 2 2 2 4 3 3 3 3 2 3 3 3 m n m n m n m n 3m n n a b 2 2 8 4 2 2 2 2 m n Cách 2: Ta có: 4ab a b a b m2 n2 ab 4 Lại có: 2 2 n 3m2 n2 2 3 3 3 2 2 2 2 m n 3m n n a b a b a ab b a b a b ab n m 4 4 4 Bài 11:Cho a2 b2 c 2 m. Tính giá trị biểu thức sau theo m A 2a 2b c 2 2b 2c a 2 2c 2a b 2 HD: Ta có: A 2a 2b 2c 3c 2 2b 2c 2a 3a 2 2c 2a 2b 3b 2 Đặt x a b c A 2x 3c 2 2x 3a 2 2x 3b 2 12x2 12x a b c 9 a2 b2 c2 12x2 12x2 9 a2 b2 c2 9m HẰNG ĐẲNG THỨC: (a b c)3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 9
  10. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Ta có: 3 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 (a b c) a b c (a b) 3(a b) c 3(a b)c c 3(a b ab a c ac b c bc abc abc) 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 (a b ab ) (a c ac ) (ac bc ) (b c abc) =3 a b b c c a +a b c (a b c)3 a3 b3 c3 3(a b)(b c)(c a) Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn: abc =1 . Tính: A (a b c)3 (b c a)3 (c a b)3 (a b c)3 HD: Đặt x b c a x y 2c y c a b y z 2a; x y z a b c z a b c z x 2c A (x y z)3 x3 y3 z3 3(x y)(y z)(z x) 3.2c.2b.2a 24abc 24 Bài 2: Phân tích thành nhân tử a. A 8(a b c)3 (2a b c)3 (2b c a)3 (2c a b)3 b. B 27(a b c)3 (2a 3b 2c)3 (2b 3c 2a)3 (2c 3a 2b)3 HD: a. Đặt 2a b c x;2b c a y;2c a b z x y a 3b; y z b 3c; z x c 3a; x y z 2(a b c) A (x y z)3 x3 y3 z3 3(x y)(y z)(z x) 3(a 3b)(b 3c)(c 3a) b. B 27(a b c)3 (2a 3b 2c)3 (2b 3c 2a)3 (2c 3a 2b)3 3(5a b)(5b c)(5c a) Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = a3 + b3 + c3 = 1 Tính A an bn cn ( n là số tự nhiên lẻ ) HD: a b 0 3 3 3 3 Ta có: (a b c) 1 a b c 3(a b)(b c)(c a) 0 b c 0 c a 0 +) TH1: a b 0 a b c 1 an bn cn 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10
  11. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 +) Tương tự ta có: A = 1. Bài 4: Giải các phương trình sau a. 27x3 (x 5)3 64 (4x 1)3 b. (2x2 2x 1)3 (2x 1)3 (x2 x 1)3 (x2 x 3)3 c. (x2 2x 2)3 x3 (x3 1)(x 2)3 d. (x2 3x 3)3 (x2 x 1)3 ( 2x2 2x 1)3 1    a b c HD: a. 3 3 3 3 3 3 27x (x 5) 64 (4x 1) (3x) (x 5) 64 3x x 5 4 3(3x x 5)(x 5 4)(4 3x) 0 5 4 x ;1;  4 3  b. (2x2 2x 1)3 (2x 1)3 (x x2 1)3 (x2 x 3)3 a b 2x2 2 b c 3x x2 2 Đặt 2x2 2x 1 a;2x 1 b; x x2 1 c a3 b3 c3 (a b c)3 2 c a x x 2 2 a b c x x 3 2 a b 0 a b 0 2x 2 0 2 3(a b)(b c)(c a) 0 b c 0 b c 0 3x x 2 0 x 1;1;2 c a 0 c a 0 2 x x 0 c. (x2 2x 2)3 x3 x3 (x 2)3 (2 x)3 3(x x2 2x)(x2 2x 2 x)(2 x x2 ) 0 6(x2 x)(x2 3x 2) 0 x 0;1;2 x2 y2 z2 Bài 5: Cho x y z 0; xyz 0 . Tính A yz xz xy HD: x2 y2 z2 x3 y3 z3 A yz xz xy xyz Cách 1: Nếu x y z 0 x3 y3 z3 3xyz A 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11
  12. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Cách 2: (x y z)3 x3 y3 z3 3(x y)(y z)(z x) x3 y3 z3 (x y z)3 3(x y)(y z)(z x) A 3  0 Bài 6: Giải các phương trình sau: (x2 3x 3)3 (x2 x 1)3 ( 2x2 2x 1)3 1(*)    a b c HD: a b 2x2 2x 2 b c x2 3x 2 (*) 3(a b)(b c)(c a) 0 x 2; 2; 1 2  c a x x 2 a b c 1 Bài 7: Rút gọn A (x y z)3 (x y z)3 (x y z)3 ( x y z)3 HD: x y z a Đặt x y z b a b c x y z A 24xyz x y z c HẰNG ĐẲNG THỨC: a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca) Nhận xét 3 3 3 a b c 0 - Nếu a b c 3abc 0 a b c a b c 0 3 3 3 - Nếu a b c 3abc 0 a b c Áp dụng: Bài 1: Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn: a3 b3 c3 3abc . Tính giá trị của biểu thức Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12
  13. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 a b c M (1 )(1 )(1 ) b c a HD: 3 3 3 a b c 0 Vì: a b c 3abc 0 a b c a b b c c a c a b +) Nếu a b c 0 M . . . . 1 b c a b c a +) Nếu a b c M (1 1)(1 1)(1 1) 8 x3 y3 6xy 8 Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 2x y 1 HD: 3 3 3 3 3 x y 2 0 Ta có: x y 6xy 8  x y 2 3.x.y.2 0  x y 2 x y 2 0 x 3 +) Nếu x y 2 0 2x y 1 y 5 +) Nếu x y 2 ( khôn thỏa mãn ) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; -5) Bài 3: Giải phương trình sau: 27(x 3) 3 8(x 2)3 (x 5)3 HD: 27(x 3) 3 8(x 2)3 (x 5)3  (3x 9)3 (4 2x)3 (5 x)3 0(1) Ta có: (3x 9) (4 2x) (5 x) 0(2) x 3 Từ (1)(2) 3(3x 9)(4 2x)(5 x) 0 x 2 S 2;3;5 x 5 Bài 4: Cho các số thực phân biệt a, b, c khác 0 và thỏa mãn: a b c 0 . Tính giá trị của biểu thức: b c c a a b a b c P ( )( ) a b c b c c a a b Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13
  14. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD: Ta đặt b c c a a b a a c a a b a c2 ca ba b2 2a2 2a3 M M. 1 ( ) 1 . 1 1 a b c b c b c b c b c bc bc bc b 2b3 c 2c3 Tương tự ta có: M. 1 ;M. 1 c a abc a b abc 2(a3 b3 c3 ) 2.abc P 3 3 (do : a b c 0) 9 P 9 abc abc a b c x2 y2 z2 Bài 5*: Giả sử bộ ba số ; ; là nghiệm của phương trình 3 . Chứng minh b c a c a b yz zx xy a b c rằng bộ ba số ; ; cũng là nghiệm của phương trình đó (b c)2 (c a)2 (a b)2 HD: 2 2 2 x y z 3 3 3 x y z Ta có: 3  x y z 3xyz 0 yz xz xy x y z 0 Vì nghiệm của phương trình là bộ ba số khác 0 nên các số a, b, c là ba số khác nhau và khác 0 a b c +) Nếu: k 0 a k(b c);b k(c a);c k(a b) a b c 0  a b c b c c a a b a b a b Từ:   (a b)2 a2 b2 0  a b 0 a b c 0 loai b c c a b a b a b a +) Nếu: a b c a b c b(b a) c(a c) a b2 ba ca c2 0 (1) b c c a a b b c a c b a (c a)(a b) (b c)2 (a b)(b c)(c a) b c2 cb ab a2 c a2 ac bc b2 Tương tự ta có: (2); (3) (c a)2 (a b)(b c)(c a) (a b)2 (a b)(b c)(c a) a b c Từ (1)(2)(3) 0 (b c)2 (c a) 2 (a b) 2 a b c m2 n2 p2 Đặt m ;n ; p m n p 0 m3 n3 p3 3mnp 3 (b c)2 (c a)2 (a b)2 np mp mn Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14
  15. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 a b c Vậy bộ ba số ; ; cũng là nghiệm của phương trình đã cho. (b c)2 (c a)2 (a b)2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tính giá trị của biểu thức 3 a b c a3 b3 c3 3abc 0 a) M 3 3 3 với a, b, c là các số thực thỏa mãn: a b c a b c 0 a b c 3 3 3 3 3 3 2 2 2 b) N 1 1 1 với a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn: a b b c c a 3a b c b c a 1 1 1 Bài 2: Cho 0. Tính giá trị của biểu thức x y y z z x y z z x x y z x y x y z P x y 2 y z 2 x z 2 Bài 3: Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn a b c a b b c c a . Chứng minh rằng a b 3 b c 3 c a 3 chia hết cho 81 Bài 4: Giải các hệ phương trình sau x3 27y3 27xy 27 a) x y 4 x y z 0 2 2 2 b) x y z 6 3 3 3 x y z 6 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15
  16. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG HAY SỬ DỤNG 1. (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 2. (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 2 2 2 2 3. (a1 a 2 a3 a n ) a1 a2 an 2(a1a2 a2a3 an 1an ) Áp dụng: Bài 1: Chứng minh rằng: (2a 2b c)2 (2b 2c a)2 (2c 2a b)2 9(a2 b2 c2 ) HD: Biến đổi vế trái bằng vế phải rồi kết luận Bài 2: Cho a, b, c, d thỏa mãn: a2 + b2 + c2 + d2 = 1. Tính giá trị của biểu thức A (a b c d)2 (a b c d)2 (a b c d)2 (a b c d)2 HD: Cách 1: Áp dụng hằng đẳng thức Cách 2: Ta có (x y)2 (x y)2 2(x2 y2 ) Áp dụng ta được: 2 2 2 A a b c d a b c d a b c d a b c d A 2 a b 2 (c d)2 2 a b 2 (c d)2 2 a b 2 a b 2 2 (c d)2 (c d)2 A 4 a2 b2 4(c2 d 2 ) 4 Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. a2 4b2 5c2 4ab 12bc 6ac b. a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 2abc(a b c) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16
  17. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 c. a2 3b2 4c2 4ab 8bc 4ac HD: a. a2 4b2 5c2 4ab 12bc 6ac (a 2b 3c)2 (2c)2 (a 2b c)(a 2b 5c) b. (a2 b2 c2 )2 (ab bc ca)2 (a2 b2 c2 ab bc ca)(a2 b2 c2 ab bc ac) c. a2 3b2 4c2 4ab 8bc 4ac (a 2b 2c)2 b 2 (a b 2c)(a 3b 2c) Bài 4: Tìm x, y, z thỏa mãn a.5x2 5y2 z2 8xy 4yz 4zx 2x 2y 2 0 b. x2 y2 2z2 xy 2yz 2zx x y 1 0 c.2x2 5y2 8z2 6xy 8yz 4zx 4z 1 0 d. 5x2 11y2 28z2 14xy 16yz 8zx 20z 5 0 e. 3x2 8y2 23z2 6xy 22yz 12zx 12z 6 0 HD: a. (x 1)2 (y 1) 2 (2x 2y z)2 0 (x; y; z) ( 1;1;0) b. 2x2 2y2 4z2 2xy 4yz 4zx 2x 2y 2 0 (x 1)2 (y 1)2 (x y 2z)2 0 ( 1; 1;1) c. (4z2 4z 1) 2x2 5y2 4z2 6xy 8yz 4zx 0 (2z 1)2 (x y)2 (x 2y 2z)2 0 d. 5(4z2 4z 1) 5x2 11y2 8z2 14xy 16yz 8zx 0 5(2z 1)2 3(x y)2 2(x 2y 2z)2 0 (1;1;1) e. 3(x y 2z)2 5(y z)2 6(z 1)2 0 (x; y; z) (1;1;1) Bài 5:Chứng minh rằng không tồn tại số thực x, y, z thỏa mãn: a. x2 26y2 10xy 14x 76y 59 0 b. x2 5y2 2x 4xy 10y 14 0 HD: a. VT (x2 10xy 25y2 ) y2 14x 76y 59 (x 5y)2 2.7.(x 5y) 6y y2 72 10 (x 5y)2 2.7.(x 5y) 72 (y 3)2 1 (x 5y 7)2 (y 3)2 1 1(dpcm) b. VT (x 2y 1)2 (y 3)2 4 4(dpcm) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17
  18. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2. Tính a4 + b4 + c4 HD: Ta có: (a b c)2 0 a2 b2 c2 2(ab bc ca) 0 2 2(ab bc ca) 0 ab bc ca 1(1) Có: (a2 b2 c2 )2 2 a4 b4 c4 2(a2b2 b2c2 c2a2 ) 4(2) Từ (1) a2b2 b2c2 c2a2 2a2bc 2ab2c 2abc2 1 a2b2 b2c2 c2a2 1 Thay vào (2) a4 b4 c4 4 2 2 1 1 1 2(1) 1 1 1 Bài 7: Chứng minh rằng, nếu: a b c thì 2 a2 b2 c2 a b c abc(2) HD: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c Từ (1) ( )2 4 2( ) 4 2( ) 4 a b c a2 b2 c2 ab bc ca a2 b2 c2 abc 1 1 1 1 1 1 2 4 2. a2 b2 c2 a2 b2 c2 HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG ( tiếp ) 1. a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) 2. a5 b5 (a b)(a4 a3b a2b2 ab3 b4 ) 3. an bn (a b)(an 1 an 2b an 3b2 abn 2 bn 1) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18
  19. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 4. a5 b5 (a b)(a4 a3b a2b2 ab3 b4 ) 5.an bn (a b)(an 1 an 2b an 3b2 abn 2 bn 1) ( với n lẻ ) Áp dụng: Bài 1: Giải hệ phương trình sau x y(y4 1) x y 2 a. b. 4 4 2 2 4 2 2 4 4 2 3 x y xy(x xy y ) 31 x x y y x(x x y y ) x y 2x5 c. 4 2 2 4 2 2 x x y y xy(x y ) 1 HD: a. Ta có: x y5 y x y y5 (x y)(x4 y4 x3 y x2 y2 xy3 ) 31y5 x5 y5 31y5 x5 32y5 (2y)5 y 0 x 0(loai) 5 y 1 x 2y 2y y y y 1 x 2 y 1 y 1 x 2 b. Ta có: x4 x2 y2 y4 x5 x3 y xy3 x4 x3 y x2 y2 xy3 y4 x5 (x y)(x4 x3 y x2 y2 xy3 y4 ) 2x5 x5 y5 2x5 x5 y5 x y x y 1 c. Ta có: x4 x3 y x2 y2 xy3 y4 1 2x5 x5 y5 x y 1 Bài 2: Chứng minh rằng : 29 299 100 4.25 HD: Ta có: 29 299 29 (1 290 ) 29[(210 )9 1] 29 (10249 1) 29 .(1024 1)(10248 10247 10246 1) A100  4 25 Bài 3: Chứng minh rằng: Ta có:A 20n 16n 3n 1323n N * , n chẵn HD: Vì n chẵn, đặt n = 2k ( k thuộc N* ), ta có: 323 = 17.19 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19
  20. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 A (202k 32k ) (162k 1) (20 3)(202k 1 202k 2.3 32k ) (162 1)[(162 )k 1 1] A17(1)   17 17 A (202k 1) (162k 32k ) (20 1).(202k 1 1) (162 32 )[(162 )k 1 (32 )k 1] A19(2)   19 19 Từ (1) và (2) A323 Bài 4: Tìm n thuộc N* để A n100 n2 1 là số nguyên tố HD: Ta có A (n100 n) (n2 n 1) n(n99 1) (n2 n 1) n[(n3 )33 1] (n2 n 1) n(n3 1)[(n3 )32 (n3 )31 1] (n2 n 1) (n2 n 1) n(n 1).[ ]+1n2 n 1 +) Nếu n > 1 thì A > n2 + n + 1 suy ra A là hợp số +) Nếu n = 1 thì A = 3 ( thỏa mãn ). Vậy n = 1 Bài 5: Chứng minh rằng số a. A 1000.09 là hợp số b. B 10000000099 là hợp số 100 HD: 101 101 2 2 2 3 33 2 a. Ta có: A 1000  09 10 10 1 (10 10 ) (10 10 1) 10 [(10 ) 1] (10 10 1) 100 102 (103 1)[(103 )32 (103 )31 1] (102 10 1) 102 (10 1)(102 10 1).[ ]-(102 10 1) 2 A10 10 1 91 7.13 A7, A13 Là hợp sô b. B 10000000099 1010 99 1005 99 1005 100 1 1002 (1003 1) (1002 100 1) B1002 100 1 và B > B1002 100 1 nên B là hợp số. Bài 6: Chứng minh rằng A 10n 2 112n 1 111n N * HD: Ta có 111 = 37 . 3 = 102 + 10 + 1 A (112n 1 1002n 1) (104n 2 10n 2 ) (112n 1 1002n 1) 10n 2 (103n 1) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20
  21. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 n 2 3 3 n 1 3 n 2 A ( ) 10 .(10 1) (10 ) (10 ) 1 2n 2n 1 2n n+2 3 n+2 A (11 100) 11 11 .100 100 -10 (10 1).[ ]=111 [ ]-10 [ ]111 Bài 7: Chứng minh rằng A 2903n 803n 464n 261n 1897n N * HD: Ta có: (2903n 803n )(2903 803) 2100 7.300 2903n 464n 2439 271.9 A7; A271 n n n n (464 261 ) : (464 261) 203 7.29 803 261 542 2.271 Vậy A chia hết cho 7. 271 = 1897. Bài 8: Chứng minh rằng A (11n 2 122n 1)133n N * HD: Ta có 133 = 112 + 11 +1 A (122n 1 1212n 1) 11n 2 (113n 1) (12 121)(122n 122n 1.121 1212n ) 11n 2 (113 1)[11n-1 11n 2 1]  133 Vậy A133(dpcm) Bài 9: Cho a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tính giá trị của biểu thức A (a b c)2 ( a b c)2 (a b c)2 (a b c)2 HD: Khai triển và rút gọn ta được: A 4(a2 b2 c2 ) 4 Bài 10:Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức A a2 3b2 4c2 4ab 8bc 4ca HD: Ta có: A a2 3b2 4c2 4ab 8bc 4ca (a 2b 2c)2 b2 (a b 2c)(a 3b 2c) Bài 11: Tìm x, y, z thỏa mãn a.5x2 2y2 z2 4xy 2yz 4zx 2x 2y 2 0 b. 3x2 8y2 23z2 6xy 22yz 12xz 12z 6 0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 21
  22. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD: a.5x2 2y2 z2 4xy 2yz 4zx 2x 2y 2 0 (2x y z)2 (x 1)2 (y 1)2 0 b. 3x2 8y2 23z2 6xy 22yz 12xz 12z 6 0 3(x y 2z)2 5(y z)2 6(z 1)2 0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 22