›
›
›

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Chia hết với số nguyên

doc 27 trang hoaithuong97 7843
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Chia hết với số nguyên", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docchuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_8_chuyen_de_chia_het.doc

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Chia hết với số nguyên

  1. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT VỚI SỐ NGUYÊN I.LÝ THUYẾT. 1.Định nghĩa: 2.Tính chất: Nếu a chia hết cho cả m và n, trong đó m, n là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.n Nếu tích a.b chia hết cho c, trong đó (b; c) = 1 thì a chia hết cho c Với p là số nguyên tố. Nếu a.b chia hết cho p thì hoặc a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p Khi chia n + 1 số nguyên dương liên tiếp cho n n 1 luôn nhận được hai số dư bằng nhau Trong n n 1 số nguyên liên tiếp, luôn có duy nhất 1 số chia hết cho n Nếu a;b d thì tồn tại hai số nguyên x, y sao cho: ax by d Ta có: an bn a b an 1 bn 1 an bn  a b Ta có: an bn a b an 1 bn 1 an bn  a b với n là số tự nhiên lẻ Giả sử a, b, c là các số nguyên dương, ta có các tính chất sau ab ac 1. Nếu ac 2. Nếu (ma nb)cm,n Z bc bc ab ab 3. Nếu a[b,c] ( BCNN) 4. ac ab.c ac (b,c) 1 abc p P(songuyento) a p 5. Nếu ac 6. Nếu (b,c) 1 ab p b p 7. Nếu ab a b 8. Nếu an bn ab(n Z ) 9. Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n 10. Tính chất chia hết của một tổng, của một hiệu, một tích am a bm n ac a) b) am a m(n N) c) abcd bm abm bd II.LUYỆN TẬP Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
  2. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Dạng 1: SỬ DỤNG TÍCH CÁC SỐ LIÊN TIẾP Phương pháp giải : Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho số m, ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có 1 nhân tử là m A(n)m Nếu m là hợp số, ta phân tích m thành tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó. Khi chứng minh A(n) chia hết cho m thực chất là ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho m. Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có: n3 5n6 . HD: Ta có: n3 5n n3 n 6n , như vậy ta cần chứng minh n3 n6 n n 1 n 1 6 . Do n n 1 n 1 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 Bài 2: Chứng minh rằng : n3 11n6,n Z HD: Ta có: n3 11n n3 n 12n n n2 1 12n n n 1 n 1 12n Vì n n 1 n 1 là ba số nguyên liên tiếp n n 1 n 1 6 và 12n6 n3 11n6 Bài 3: Chứng minh rằng a. a2 a2(a N) b. a3 a3(a Z) c. a5 a5;6;30(a Z) d. a7 a2(a Z) HD: a. Ta có : a2 a a(a 1)2 b. a3 a a(a 1)(a 1) (a 1)a(a 1)3 a5 a a(a4 1) a(a 1)(a 1)(a2 1)  2,3 6 c. 5.6 30 a5 a a(a2 1)(a2 1) a(a2 1)[(a2 4) 5)]= (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5n(n2 1)   5 5 d. a7 a a(a6 1) a(a2 1)(a2 a 1)(a2 a 1) Nếu a 7k(k Z) a7 Nếu a 7k 1(k Z) a2 1 49k 2 14k7 Tương tự như vậy ta xét a = 7k + 2,3,4,5,6 đều chia hết cho 7. (đpcm) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
  3. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 4: Chứng minh rằng a. n3 11n6 b. mn(m2 n2 )6 HD: n3 11n n3 n 12n n(n 1)(n 1) 12n a.  6 6 mn(m2 n2 ) mn[(m2 1) (n2 1)]= mn(m-1)(m+1) mn(n 1)(n 1) b.   6 6 Bài 5: Chứng minh với mọi n lẻ thì a. A n2 4n 38 b. C n12 n8 n4 1512 c. D n4 10n2 9384 HD: a. Ta có: n2 4n 3 (n 1)(n 3) Vì n là số lẻ nên n + 1 và n + 3 là tích của hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8 n12 n8 n4 1 (n8 1)(n4 1) (n4 1)2 (n4 1) (n2 1)2 (n2 1)2 (n4 1) b. 16.[ k(k+1)]2 .(n2 1)2 .(n4 1) 24.22.22.2 512    24 22 chan 22 chan 2 c. n4 10n2 9 (n4 n2 ) (9n2 9) n2 (n 1)(n 1) 9(n 1)(n 1) (n 3)(n 1)(n 1)(n 3) Đặt n = 2k + 1 ( k thuộc Z ) D (2k 2)2k(2k 2)(2k 4) 16k(k 1)(k 1)(k 2) D384  24 Bài 6: Chứng minh rằng số A n3 (n2 7)2 36n5040n N HD: A n3 (n2 7)2 36n n[n2 (n2 7)2 36] n[(n3 7n)2 36] n(n3 7n 6)(n3 7n 6) n(n 1)(n 2)(n 3)(n 1)(n 2)(n 3) Là tích của 7 số nguyên liên tiếp Tồn tại 1 bội của 7 và 1 bội của 5 Tồn tại 2 bội của 3 ( chia hết cho 9) Tồn tại 3 bội của 2 có 1 bôi của 4 nên chia hết cho 16 Vậy A chia hết cho 5040 Bài 7: Chứng minh rằng A 3n4 14n3 21n2 10n24 HD: A 3n4 14n3 21n2 10n n(3n3 14n2 21n 10) n(3n3 3n2 11n2 11n 1on 10) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
  4. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com A n(n 1)(3n2 11n 10) n(n 1)(3n2 6n 5n 10) n(n 1)(n 2)(3n 5) n(n 1)(n 2)(3n 9 4) A (3n 9)n(n 2) 4n(n 1)(n 2) 3n(n 1)(n 2)(n 3) 4n(n 1)(n 2)   8 24 6 24 Bài 8: Chứng minh rằng: A n5 5n3 4n120 22.3.5n Z HD: A n5 5n3 4n n(n4 5n2 4) n(n4 n3 n3 n2 4n2 4n 4n 4) n(n 1)(n3 n2 4n 4) A n(n 1)(n 1)(n 2)(n 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 8.5.3=120. Bài 9: Chứng minh rằng với mọi n chẵn ta có: A n3 6n2 8n48 HD: A n3 6n2 8n48 n(n 2)(n 4) A 2k(2k 2)(2k 4) 8k(k 1)(k 2) A48 Đặt n = 2k  6 Bài 10: Chứng minh rằng với mọi n lẻ thì : A n8 n6 n4 n2 1152n N HD: 1152 = 9.27 = 32.27 A n2 (n6 n4 n2 1) n2[(n4 n2 ) (n2 1] n2 (n2 1)(n4 1) n2 (n2 1)2 (n2 1) A [ n(n-1)(n+1)]2 (n2 1) A9(1)  3 9 Vì n lẻ nên n – 1 và n + 1 là 2 số chẵn liên tiếp có 1 số chia hết cho 4 tích 2 số chẵn chia hết cho 8, mặt khác n2 + 1 là số chẵn chia hết cho 2 A82.2 27 (2) Từ (1)(2) A27.32 (dpcm) Bài 11: Chứng minh rằng: A n n 1 2n 1 6,n N HD: Ta có: A n n 1 n 1 n 2 n 1 n n 1 n n 1 n 2 6 Bài 12: Chứng minh rằng: m3 3m2 m 348,m lẻ HD: Vì m là số lẻ, Đặt m 2k 1, k N Khi đó ta có : A m3 3m2 m 3 m 3 m2 1 m 1 m 1 m 3 Thay m 2k 1 vào A ta được : A 8 k 2 k 1 k Vì k k 1 k 2 là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên  6 Vậy A48 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
  5. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 13: Chứng minh rằng: n4 4n3 4n2 16n384,n chẵn HD: Vì n chẵn, Đặt n 2k, k N , Khi đó ta có: A n4 4n3 4n2 16n n n 4 n2 4 , Thay n 2k vào A ta được: A 16 k 2 k 1 k k 1 , Vì k 2 k 1 k k 1 là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp Nên chia hết cho cả 3 và 8 Bài 14: Chứng minh rằng: B n5 5n3 4n120, n N HD: Ta có: B n n4 5n2 4 n n2 1 n2 4 n n 1 n 1 n 2 n 2 120 Bài 15: Cho n là số nguyên, Chứng minh A n4 14n3 71n2 154n 12024 HD: Ta cần chứng minh A3 và A8 , ta có : A n4 14n3 71n2 154n 120 n3 n 2 12n2 n 2 47n n 2 60 n 2 2 A n 2 n n 3 9n n 3 20 n 3 n 2 n 3 n n 3 5 n 4 A n 2 n 3 n 4 n 5 , Vì A là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp => A3 Ngoài ra trong 4 số nguyên liên tiếp sẽ có hai số chẵn liên tiếp, một số  2 và 1 số  4 Vậy A  8 Bài 16: Chứng minh rằng: n4 6n3 11n2 6n24 HD: Ta có: A n4 6n3 11n2 6n n n 1 n 2 n 3 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên A3 Và A cũng là tích của 4 số nguyên liên tiếp, nên có 2 số chẵn, một số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4, Nên A8 Bài 17: CMR: n4 2n3 n2 2n chia hết cho 24 với mọi n Z HD: 4 3 2 2 Ta có: n 2n n 2n n n n 2 n 2 n n 1 n 1 n 2 là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên chia hết cho 8 và chia hết cho 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
  6. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com a a2 a3 Bài 18: Chứng minh rằng: là một số nguyên với mọi a nguyên 3 2 6 HD: a a2 a3 a a 1 a 2 Ta có: . Vì a a 1 a 2 là tích của 3 số nguyên liên tiếp => 3 2 6 6 6 Bài 19: Chứng minh rằng: n5 n30,n HD: Ta có: A n5 n n 1 n n 1 n2 1 , là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 Mặt khác: A n5 n n 1 n n 1 n2 4 5 n 2 n 1 n n 1 n 2 5 n 1 n n 1 Thấy n 2 n 1 n n 1 n 2 là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên A5 Bài 20: Chứng minh rằng: n3 1964n48,n chẵn HD: Vì n là số chẵn, Đặt n 2k, k N Khi đó ta có : n3 1964n 8 k 1 k k 1 3888k Vì k 1 k k 1 là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 Bài 21: Chứng minh rằng: n4 7 7 2n3 64,n lẻ HD: 2 Vì n lẻ, Đặt n 2k 1, k N , Khi đó ta có: A n4 7 7 2n2 n2 7 , 2 Thay n 2k 1 vào ta được: A 16 k 2 k 2 , Vì k 2 k 2 k k 1 22 2 k 2 k 2 4 A64 Bài 22: Chứng minh rằng: n4 6n2 764,n lẻ HD: Vì n lẻ, Đặt: n 2k 1, k N , Khi đó: A n4 6n2 7 n2 1 n2 7 , Thay n 2k 1 vào ta được: A 16k k 1 k 2 k 2 Bài 23: Chứng minh rằng: A n2 4n 38,n lẻ. HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
  7. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Ta có: A n 1 n 3 , Vì n là số lẻ, Đặt n 2k 1, k N A 2k 2 2k 4 8 Bài 24: Chứng minh rằng: tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9 HD: Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là: n 1;n;n 1, n Z 3 3 Gọi A n 1 n3 n 1 3n3 3n 18n 9n2 9 3 n 1 n n 1 9 n2 1 18n Thấy: n 1 n n 1 3 3 n 1 n n 1 9 Vậy A9 Bài 25: Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng : a3 b3 c3 6 khi và chỉ khi a b c6 HD: Xét A a3 b3 c3 a b c a3 a b3 b c3 c Mà a3 a a a 1 a 1 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên a a 1 a 1 6 Như vậy A 6 => a3 b3 c3 6 a b c6 Bài 26: Chứng minh rằng: n12 n8 n4 1512,n lẻ HD: Vì n lẻ, Đặt n 2k 1, k N , Khi đó: 2 A n12 n8 n4 1 n4 1 n8 1 n2 1 n2 1 n4 1 2 2 2 4 Thay n 2k 1 vào A ta được: A 64 k k 1 2k 2k 1 n 1 Bài 27: Cho A(x) 2x4 7x3 2x2 13x 6 . CMR: A(x)6x Z HD: Ta có: A(x) 2x4 7x3 2x2 13x 6 (x 3)(x 2)(x 1)(2x 1) Suy ra: A(x) (x 3)(x 2)(x 1)(2x 2 3) 3(x 3)(x 2)(x 1) 2(x 3)(x 2)(x 1)(x 1)6 Bài 28: Cho B(x) x4 2x3 13x2 14x 24(x Z) . CMR: B(x)6 HD: Ta có: B(x) x4 2x3 13x2 14x 24 (x 3)(x 1)(x 2)(x 4) B(x) (x 3)(x 1)(x 2)(x 2 6) (x 3)(x 2)(x 1)(x 2) 6(x 3)(x 1)(x 2) Suy ra:   6 6 Bài 29: CMR C(x) n8 4n7 6n6 4n5 n4 16n Z HD: Ta có: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7
  8. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com C(x) n4 (n4 4n3 6n2 4n 1) n4[(n3 (n 1) 3n2 (n 1) 3n(n 1) (n 1)]-(n+1)n4 (n3 3n2 3n 1) Suy ra: C(x) n4 (n 1)(n 1)3 [n(n+1)]4 24 16(dpcm) Bài 30: Tìm số tự nhiên n sao cho: n 5 n 6 6n HD: Ta có: A n 5 n 6 n2 11n 30 12n n2 n 30 2 2 n n6 n n 1 3 (1) Vì 12n6n cần chứng minh n n 306n 306n 30n (2) Từ (1) n 3k hoặc n 3k 1, k N Từ (2) n 1;2;3;5;6;10;15;30 n 1;3;10;30 là thỏa mãn. Bài 31: Chứng minh rằng trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27. HD: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là: n,n 1,n 2, ,n 1989 (1) Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp: n,n 1,n 2, ,n 999 phải có 1 số chia hết cho 1000, giả sử là n0 , Khi đó n0 có tận cùng là 3 chữ số 0 Giả sử tổng các chữ số của n0 là s khi đó 27 số n0 ,n0 9,n0 19, ,n0 899 Có tổng các chữ số lần lượt là: s,s 1,s 2, ,s 26 , sẽ có 1 số chia hết cho 27. Bài 32: Cho a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: ab a b 1 chia hết cho 48 ta có: ab a b 1 a 1 b 1 , HD: Vì a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên: 2 2 a 2n 1 ;b 2n 3 với n Z Nên ab a b 1 (a 1)(b 1) 2n 1 2 1 2n 3 2 1 16n n 1 2 n 2 Nên chia hết cho 16 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 48 Bài 33: Cho m, n là hai số chính phương lẻ liên tiếp, CMR: mn – m – n chia hết 192 HD: Đặt m (2k 1)2 ;n (2k 1)2 (k Z) A (m 1)(n 1) [(2k-1)2 1][(2k+1)2 1] (4k 2 4k)(4k 2 4k) 16k 2 (k 1)(k 1) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8
  9. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Ta đi chứng minh A chia hết cho 64 và 3 A (k 1).k .k(k 1) A16.2.2 64; A 16k (k 1)k(k 1) A3 A64.3 192    2 2 3 Bài 34: Cho n là số tự nhiên, chứng minh rằng: n5 n4 7n3 5n2 n a. là sô tu nhiên b. B n(n2 1)(3n 2)12 120 12 24 12 5 HD: n5 n4 7n3 5n2 n n5 10n4 35n3 50n2 24n n(n4 10n3 35n2 50n 24) a. 120 12 24 12 5 120 120 n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4) 120 b. B n(n2 1)(3n 2) n(n 1)(n 1)(3n 2) Lại có: n + 1 + n – 1 = 2n chia hết cho 2 nên n + 1 và n – 1 cùng tính chẵn lẻ N + 3n + 2 = 4n + 2 chia hết cho 2 nên n và 3n + 2 cùng tính chẵn lẻ Do đó A luôn có ít nhất 2 số chẵn. Vậy B3 B12 Bài 35:Cho x, y là các số nguyên, CMR : A x5 y xy5 30 HD: Ta có : A x5 y xy5 xy(x4 1 y4 1) xy(x4 1) xy(y4 1) x(x 1)(x 1)(x2 1)y xy(y 1)(y 1)(y2 1) A x(x 1)(x 1)[(x2 4) 5] xy(y 1)(y 1)[(y2 4) 5]   30 30 Bài 36: CMR : Với x, y là hai số nguyên bất kỳ ta có : A xy(x4 15y) xy(y4 15y)30 HD: A xy(x4 15y) xy(y4 15y) x5 y 15xy2 xy5 15xy2 xy(x4 y4 ) 30xy2  Bai9 30 Bài 37: Cho n là số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau với 10. CMR : A n4 140 HD: Vì (n,10) = 1 (n,2) (n,5) 1 Ta có : n4 1 (n 1)(n 1)(n2 1)8 vì tích của hai số chẵn liên tiếp Ta đi chứng minh A chia hết cho 5 Xét n = 5k + 1 ; n = 5k + 2 ; n = 5k + 3 ; n = 5k + 4 đều thỏa mãn chia hết cho 5. Bài 38: Cho n số x1, x2, xn mỗi số chỉ nhận giá trị là 1 hoặc -1. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 9
  10. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com CMR: Nếu x1x2 + x2x3 + +xnx1 = 0 thì n chia hết cho 4 HD: Đặt y1 = x1x2 ; y2 = x2x3 ; ; yn = xnx1 y1.y2 yn nhận giá trị 1 hoặc -1 và y1 y2 y n 0 Suy ra trong số y1, .yn thì số các số có giá trị = 1 bằng với số các số có giá trị = -1 suy ra n chẵn suy ra n = 2k 2 Ta có : y1.y2 .yn = (x1.x2 xn) = 1 Có k số trong n số y1 , y2 , , yn = 1 và k số trong n số y1 , yn bằng -1 Vậy k phải chẵn. Suy ra k = 2q. vậy n = 4q chia hết cho 4 (đpcm) Bài 39: Có bao nhiêu số có 5 chữ số, thỏa mãn: Chia hết cho 3 và có ít nhất 1 số 3 HD: Ta có: 30000 số có 5 chữ sô chia hết cho 3 ( 10000 đến 99999 có 90000 số, cách 3 số có 1 số chia hết cho 3 ) Ta đi đếm số các số chia hết cho 3 mà không chứa chữ số 3 nào Giả sử: abcde(a 0;0 a,b,c,d,e 9.a,b,c,d,e 3) có 8 cách chọn a ; b,c,d có thể chọn 9 cách Ta có: a + b + c + d + e chia hết cho 3 a b c d3 e 0,6,9 Nếu a b c d3du1 e 2,5,8(du2) a b c d3du2 e 1,4,7(du1) Vậy có 3 cách chọn e. suy ra có 8.9.9.9.3 = 17496 số chia hết 3 không chứa thừa số 3 Suy ra có: 30000 – 17496 = 12504 số thỏa mãn bài toán. Dạng 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : A n 2n 7 7n 7 6 . HD: Ta có : n hoặc 7n 7 là số chẵn với mọi số tự nhiên n nên A2 Lấy n chia cho 3 ta được : n 3k r k N,0 r 2 Với r 0 n 3k A3 Với r 1 n 3k 1 2n 7 6k 93 A3 Với r 2 n 3k 2 7n 1 21k 153 A3 Bài 2: Cho số nguyên a không chia hết cho 2 và 3, Chứng minh rằng : A 4a2 3a 56 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10
  11. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com HD: Vì a không chia hết cho 2 và 3 nên a có dạng : a 6m 1, m Z 2 Với a 6m 1 A 4 6m 1 3 6m 1 5 6 24m2 11m 2 6 2 Với a 6m 1 A 4 6m 1 3 6m 1 5 6 24m2 5m 1 6 Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: n2 9n 211 HD: Ta có: n2 9n 211 n2 2n 211 4 n2 2n 2 11 4n2 8n 111 2n 1 2n 3 11 , Khi đó: 2n 111 hoặc 2n 311 n 11m 6 hoặc n 11m 7, m N Bài 4: Chứng minh rằng có vô số tự nhiên n sao cho 4n2 15 và chia hết cho 13 HD: Đặt n 65k r, k N,0 r 64 Chọn r sao cho 4r2 1 65 r 4 , Vậy với mọi số n 65k 4 đều thỏa mãn. Bài 5: Chứng minh rằng nếu n 3 thì A 32n 3n 113,n N HD: Vì n 3 n 3k r, k N,1 r 2 Khi đó: A 32 3k r 33k r 1 32r 36k 1 3r 33k 1 32r 3r 1 2k Thấy: 36k 1 33 1 33 1 .M 26M13 và 33k 1 33 1 .N 26N13 Với r 1 32r 3r 1 32 3 113 A13 Với r 2 32r 3n 1 34 32 1 9113 A13 Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2n 17 HD: Lấy n chia cho 3 ta có: n 3k r, k N,0 r 2 Với r 0 n 3k 2n 1 23k 1 8k 1 8 1 .M 7M7 Với r 1 n 3k 1 2n 1 28k 1 1 2.23k 1 2 23k 1 1 , Mà 2 k 17 2n 1 chia 7 dư 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11
  12. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Với r 2 n 3k 2 2n 1 23k 2 1 4 23k 1 3 Mà 23k 17 2n 1 chia 7 dư 3 Vậy với n 3k, k N thì 2n 17 Bài 7: Chứng minh rằng: A n n2 1 n2 4 5, n Z HD: Lấy n chia cho 5 ta được: n 5q r, q,r Z,0 r 4 Với r 0 n5 A5 Với r 1,4 n2 45 A5 Với r 2,3 n2 15 A5 5 5 5 Bài 8: Cho A a1 a2 an và B a1 a2 an , Chứng minh rằng: A B30 HD: 5 5 Ta có: B A a1 a1 an an 5 4 2 Xét a1 a1 a1 a1 1 a1 a1 1 a1 1 a1 1 30 Bài 9: Chứng minh rằng nếu n;6 1 thì n2 124,n Z HD: Vì n;6 1 n 6k r, k,r N,r 1 Với r 1 n2 124 Bài 10: Tìm số tự nhiên n để: 22n 2n 17 HD: Xét n 3k r, k,r N,0 r 2 Ta có: 22n 2n 1 22r 26k 1 2r 23k 1 22n 2n 1 Xét các TH cụ thể ta được: 22n 2n 17 Bài 11: Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn: 24m4 1 n2 , Chứng minh rằng: mn5 HD: Ta có: 24m4 1 n2 25m4 m4 1 25m4 m 1 m 1 m2 1 Nếu m5 mn5 ĐPCM Nếu m 5 m;5 1 => m5 m m m4 1 m m 1 m 1 m2 1 m m 1 m 1 m2 4 5 m 2 m 1 m m 1 m 2 5m m 1 m 1 5 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12
  13. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Nên m4 15 n2 5 n5 mn5 , ĐPCM. Bài 12: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho : x3 8x2 2xx2 1 HD: Ta có : x3 8x2 2x x x2 1 8 x2 1 x 8x2 1 x 8x2 1 Nếu x 8 0 x 8 thỏa mãn Nếu x 8 x 8 x2 1 x 0 1; 2 x 0;2 Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b, Chứng minh rằng: 5a2 15ab b2 49 3a b7 HD: 2 Ta có: 5a2 15ab b2 49 5a2 15ab b2 7 9a2 6ab b2 7 3a b 7 3a b7 Mặt khác: 3a b7 3a b 7k k Z b 7k 3a 5a2 15ab b2 2 5a2 15a 7k 3a 7k 3a 49 3ak a2 49 Bài 15: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho a2 b2 chia hết cho tích a.b a2 b2 Tính giá trị của biểu thức: A ab HD: a da1 2 2 2 2 Gọi d a;b , a1;b1 1 , ta có: a b d a1 b1 và ab d a1b1 b db1 2 2 2 2 2 2 2 2 Vì a b ab a1 b1 a1b1 a1 b1 a1 và b1 a1 b1 và b1 a1 Vì a1;b1 1 a1b1 và b1a1 a1 b1 1 d 2 a2 b2 2 2 1 1 2.d a1 Vậy A 2 2 2 2 d a1b1 d a1 Bài 16: Cho m, n là hai số nguyên tố cùng nhau. Hãy tìm ước số chung lớn nhất của hai số A m n và B m2 n2 HD: Gọi d UCLN A;B , Vì m;n 1 A,B cùng tính chẵn lẻ. khi đó : 2mn A2 Bd và 2mn 2n2 2nAd 2n2 d (1) Nếu A, B chẵn thì m, n lẻ và d chẵn, Từ (1) => 2d d 2 Nếu A, B lẻ thì d lẻ, Từ 1 n2 d , tương tự : m2 d Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13
  14. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Vì m;n 1 d 1 Bài 17: Cho số tự nhiên n 3 , Chứng minh rằng: nếu 2n 10a b, 0 b 10 thì ab6 HD: Ta có: 2n 10a b b2 ab2 , ta cần chứng minh ab3 Mặt khác : 2n 10a b 2n có chữ số tận cùng là b Đặt n 4k r, k,r N,0 r 3 2n 16k.2r Nếu r 0 2n 16k có tận cùng là 6 b 6 ab6 Nếu 1 r 3 2n 2x 2r 16k 1 10 2n tận cùng là 2r b 2r 10a 2n 2x 2r 16k 1 3 a3 ab6 Bài 18: Cho số tự nhiên n 1 , Chứng minh rằng: S 15 25 35 n5  1 2 3 n HD: Đặt: 2A 2 1 2 3 n n n 1 Mặt khác, với n lẻ ta có: an bn a b,(a,b N *) 5 Nên 2S 15 n5 25 n 1 n5 1 n 1 5 5 5 2S 15 n 1 25 n 2 n 1 1 2n5 n Mà n;n 1 1 2Sn n 1 2A S A p 1 1 1 Bài 19: Cho 1 , p,q Z . Chứng minh rằng p1979 q 2 3 1319 HD: p 1 1 1 1 1 Ta có: 1 2 q 2 1319 2 4 1318 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1319 2 3 659 660 1319 2.p 1 1 1 1 1 1 1979.A 2p.B q q 660 1319 661 1318 1319 660 B 1979.A Mà B 1979 p1979 * Bài 20: Cho a1,a2 ,a3, an 1; 1, n N , thỏa mãn: a1a2 a2a3 a3a4 ana1 0 , Chứng minh rằng: n4 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14
  15. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Đặt x1 a1a2 , x2 a2a3, , xn ana1 x1, x2 , x3 1; 1 , Hơn nữa x1 x2 xn 0 Thì trong đó các số bằng 1 và -1 là bằng nhau. Giả sử có m số 1 và m số -1 (m N *) m 2 n 2m và x1x2 x3 xn 1 và x1x2 x3 xn a1a2 an 1 Từ đó ta được m là số chẵn => n chia hết cho 4. 7 Bài 21: Tìm hai số nguyên dương a, b sao cho: ab a b  7 và a b a7 b7 77 HD: 7 2 Ta có: a b a7 b7 7ab a b a2 ab b2 Vì ab a b  7 a2 ab b2 73 Chọn b 1 a2 a 1 73 a Dạng 3: CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG Bài 1: Chứng minh rằng : S n2 3n 38 49,n N HD: Giả sử tồn tại số tự nhiên n để S n2 3n 3849 Khi đó: S n2 3n 38 7 n 6 n2 4n 4 , 2 Mà S49 S7 n 2 7 n 27 n 7t 2 , thay vào S ta được: S 49 t 2 t 28 S  49 trái với giả sử, Vậy S không chia hết cho 49 với mọi số tự nhiên n Bài 2: Chứng minh: n2 n 215,n Z HD: Giả sử: n2 n 215 n2 n 23 n n 1 23 (1) n 3k 1 Từ (1) n 3 ,k Z n 3k 1 n2 1 n 1 n 1 3 Lại có: n2 n 2 n2 1 n 3 3 mâu thuẫn với giả thiết, Vậy n2 n 215 Bài 3: Chứng minh rằng: n2 3n 5121,n N HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15
  16. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Giả sử: 2 n2 3n 5121 n2 3n 511 4n2 12n 2011 4n2 12n 9 1111 2n 3 1111 Nhưng A n2 3n 511 nhưng A121 vì 11 121 n2 4 Bài 4: Xét phân số A Hỏi có bao nhiêu phân số tự nhiên n trong khoảng từ 1 đến 2002 n 5 sao cho phân số A chưa tối giản. HD: Giả sử A chưa tối giản. Đặt d n2 4;n 5 d 1 2 Ta có: n 5 n2 4 d 10n 21d 10 n 5 29d 29d d 29 . Ngược lại: Nếu n 529 n 5 29k, k N * n2 4 29 29m2 5k 1 29 A chứ tối giản Do đó, ta chỉ cần tìm n sao cho n 5 29k, k N * 1 n 2002 1 m 69 Vậy có tất cả 69 giá trị của m thì n sẽ có 69 giá trị để A chưa tối giản. Bài 5: Chứng minh rằng: 9n3 9n2 3n 16 343,n N HD: Bài 6: Có tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 n 249 không HD: Giả sử tông tại số tự nhiên n để 2 2 n2 n 249 4n2 4n 849 2n 1 749 2n 1 7 2 Vì 7 là số nguyên tố 2n 17 2n 1 749 từ đó 749 ( vô lý) Bài 7: Chứng minh rằng: n2 n 19,n N * HD: Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 n 19 n 2 n 1 39 Vì 3 là số nguyên tố nên n 2 3 hoặc n 1 3 Nếu n 2 3 n 2 n 1 33 nhưng không chia hết cho 9 Nếu n 1 3 n 2 n 1 3 nhưng không chia hết cho 9 Bài 8: Chứng minh rằng: 4n2 4n 18289,n N HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16
  17. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 2 Giả sử tồn tại số tự nhiên n để 4n2 4n 18289 2n 1 17172 2n 1 17 2 2 Vì 17 là số nguyên tố nên 2n 1 17 2n 1 289 Khi đó: 2n 1 17 289 Bài 9: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a;b sao cho: a b2  a2b 1 HD: Gỉả sử a b2 a2b 1 k N * : a b2 k a2b 1 a k b ka2 b Đặt m ka2 b, m Z a k mb , Do a,b,k N * m N * , khi đó ta có: m 1 b 1 mb m b 1 a k ka2 1 a 1 k ka 1 , Vì m,b N * m 1 b 1 0 1 k a 1 , Do k,a N * a 1 0 ta có : TH1 : k a 1 0 a 1 thay vào đẳng thức ta được : m 1 b 1 a 1 k ka 1 m 1 1 m 2 Ta được: m 1 b 1 2 b 1 2 b 3 TH2: k a 1 1 k a 1 1 k 1 và a 2 , Thay k 1,a 2 vào đẳng thức ta được: m 1 b 1 a 1 k ka 1 ta được: m 1 b 1 0 m b 1 Nếu m 1 thì từ a k mb b 3 Vậy các cặp số a;b 1;2 , 1;3 , 2;1 , 2;3 Dạng 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: An Bn  A B Phương pháp giải: 1. an bn a ba,b Z,a b,n N 2. an bn a ba,b Z,a b,n N,(n :le) 3. an bn a ba,b Z,a b,n N,(n : chan) Bài 1: Chứng minh rằng 51 70 70 a. 2 17 b. 2 3 13 19 17 4n c. 17 19 18 d. 2 115n N HD: a. Ta có: 251 1 (23 )17 17 23 1 7 b. 270 370 (22 )35 (32 )35 435 935 4 9 13 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17
  18. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com c. 1719 1917 (1719 1) (1917 1) d. 24n 1 (24 )n 1n 24 1 15n N   18 18 Bài 2: Chứng minh rằng a. 11n 2 122n 1 133 b. 5n 2 26.5n 82n 1 59 c. 7.52n 12.6n 19 d. 20n 16n 3n 1323(nlasotunhienchan) HD: a. 11n 2 122n 1 112.11n 12.122n 121.11n 12.144n (133 12).11n 12.144n 133.11n 12(144n 11n )   133 133 b. 5n 2 26.5n 82n 1 25.5n 26.5n 8.82n 51.5n 8.64n (59 8).5n 8.64n 59.5n 8(64n 5n )  59 59 c. 7.52n 12.6n 7.52n (19 7).6n 19.6n 7(25n 6n )  19 19 d. 20n 16n 3n 1 (20n 3n ) (16n 1) (20n 1) (16n 3n )     20 3 16 1 20 1 16 3 Bài 3: Chứng minh rằng A 2005n 60n 1897n 168n 2004,n N HD: Ta có: 2004 12.167 , ta cần chứng minh A12, A167 Ta có : A 2005n 1897n 168n 60n Áp dụng tính chất : an bn  a b , với mọi n tự nhiên và a b 0 Khi đó : 2005n 1897n  2005 1897 và 168n 60n  168 60 => Vậy A 12 Tương tự : A 2005n 168n 1897n 60n Khi đó A167 Bài 4: Cho n N , CMR : A 5n 5n 1 6n 3n 2n 91 HD: Ta cần chứng minh A7 và A13 Ta có : A 25n 5n 18n 12n 25n 18n 12n 5n Áp dụng tính chất : an bn  a b A7 Tương tự : A 25n 12n 18n 5n A13 Bài 5: Cho n N , Chứng minh rằng: 62n 19n 2n 117 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18
  19. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Ta có: A 62n 19n 2n 1 36n 19n 2.2n 36n 2n 19n 2n Vì 36n 2n  36 2 34 và 19n 2n 17 Bài 6: Chứng minh rằng: 13 33 53 73 23 HD: Ta có: A 13 33 53 73 13 73 33 53 8N 8M8 Bài 7: Chứng minh rằng: 28n.56n 1980n 441n 11979,n N HD: Ta có: A 28n.56n 1980n 441 1 46n 441n 1980n 1n Vì 46n 441n 4000000n 441n 3999559 và 1980n 1n 1979 Bài 8: Chứng minh rằng: 36n 26n 35,n N HD: n n Ta có: 36n 26n 36 26 36 26 .M 33 23 33 23 .M 35.19M35 Bài 9: CMR với mọi số tự nhiên n ta có : 5n 2 26.5n 82n 1 59 HD: Ta có:5n 2 26.5n 82n 1 59 = 51.5n 8.64n 59 8 .5n 8.64n 59.5n 8 64n 5n Vì 64n 52  64 5 nên ta có đpcm Bài 10: Chứng minh rằng a. A 42n 1 3n 2 13 b. B n.28n 26n 2727 HD: a. A 4.16n 9.3n 4.16n 4.3n 9.3n 4.3n 4.(16n 3n ) 13.3n  13 13 b. B n.28n n 27n 27 n(28n 1) 27(n 1)   27 27 2n 1 n 1 2n 1 n 1 Bài 11: Cho an 2 2 1;bn 2 2 1 .CMR: Với mỗi số tự nhiên n có một và chỉ một trong hai số an hoặc bn chia hết cho 5 HD: Ta đi xét các trường hợp Nếu an và bn cùng chia hết cho 5 an bn 5 n 1 2n 2 Ta có: an bn 2.2 2 / 5 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19
  20. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 2n 1 2 n 1 2 2n 1 2n 1 2n 2 2n 1 an 5 an.bn (2 1) (2 ) 4 2.2 1 2 4 1(4 1) 5(n :le) bn 5 Bài 12: Chứng minh rằng: 92n 1415 HD: Ta có: 92n 14 92n 1 15 81n 1 15 80n 155 Bài 13: Chứng minh rằng: A 20n 16n 3n 1232,n N HD: Tách 232 17.19 . Khi đó: A 20n 3n 16n 1 Lại có: 20n 3n 20 3 .M 17M17 , và 16n 1 16 1 .N 17N17 Khi đó: A17 Mặt khác: A 20n 1 16n 3n , Mà 20n 1 20 1 .P 19.P19 và 16n 3n 16 3 .Q 19.Q19 A19 2 Bài 14: Chứng minh rằng: nn n2 n 1 n 1 ,n 1 HD: 2 Với n 2 nn n2 n 1 1 n 1 1 Với n 2 A nn n2 n 1 nn n2 n 1 n2 nn 2 1 n 1 n2 n 1 nn 3 nn 4 1 n 1 2 2 n 1 nn 1 nn 2 n2 1 n 1 nn 1 1 n2 1 n 1 n 1 .M n 1 Bài 15: Chứng minh rằng: 32n 1 22n 2 7,n N HD: n Ta có: 32n 1 22n 2 3.32n 2.2n 3.9n 4.2n 3. 7 2 4.2n 7.M 7.2n 7 Bài 16: Chứng minh rằng: mn m4 n4 30,m,n N HD: Ta có: mn m4 n4 mn m2 1 m2 1 mn n2 1 n2 1 30 Bài 17: Chứng minh rằng: A 3n 6372,n N,n 2 và n là số chẵn HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20
  21. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Đặt n 2k, k N 3n 63 32k 63 32k 1 64 9k 1 648 hay A8 Mặt khác: n 2 3n 9 và 639 A9 Bài 18: Tìm giá trị của n để: A 20n 16n 3n 1323 HD: Ta có: 323 17.19 Bài 19: Tìm số tự nhiên n để A 32n 3 24n 125 HD: Ta có: A 32n 3 24n 1 32n.27 24n.2 32n.25 32n.2 24n.2 32n.25 2 9n 16n Bài 20: Cho A 13 23 33 1003 B 1 2 100 HD: Ta có: B 1 2 100 (1 100).100 : 2 101.50 Ta đi chứng minh A chia hết cho 101 và 50. +) A 13 23 33 1003 (13 1003 ) (23 993 ) (503 513 ) A101    101 101 101 +) A 13 23 33 1003 (13 993 ) (23 983 ) (503 1003 ) A50 A101.50    50 50 50 Bài 21: Cho A 16n 1 , CMR: A chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số tự nhiên chẵn HD: Với n là số tự nhien chẵn , đặt n = 2k , k thuộc N A 162k 1 (162 )k 1k (162 1) 25517 A17 Với n là số tự nhiên lẻ, A 16n 1 2 Có: 16n 1 16n 1n 16 1 17 A17du2 Bài 22: Chứng minh rằng: A 2903n 803n 464n 261n 1897(n N) HD: A (2903n 803n ) (464n 261n ) A7   ; 2100 203 7.29 A (2903n 464n ) (803n 261n ) A271(2) A2.271 1897   2439 9.271 2.271 Bài 23:Chứng minh rằng : A 2130 3921 45 HD: 30 213 21 9 30 21 30 30 21 21 Ta có: A9 ; A 21 39 (21 1 ) 39 ( 1) A45 21   393 39 9 20 5 40 5 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 21
  22. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 24: Chứng minh rằng : B 8351634 8241142 26 HD: 8351634 :le Ta có : 8351634 8241142 : chan 142 8241 :le Lại có : 8351634 8241142 [(8351)2 ]317 (8241)142 [(8351)2 ]317 1317 (8241)142 ( 1)142   (8351)2 1 8241 ( 1) 824213  13 Bài 25: Cho a, b là hai số chính phương lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng: a a 1 b 1 192 HD: 2 2 Đặt a 2k 1 ,b 2k 1 , k N , Khi đó ta có: a 1 b 1 16k k 1 k 1 64 và  3 Bài 26: Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: a2 b2 c2 , Chứng minh rằng: abc60 HD: Ta có : 60=3.4.5, đặt M abc Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3 a2 ,b2 ,c2 chia hết cho 3 dư 1 a2 b2 c2 , Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Vậy M3 Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5 a2 ,b2 ,c2 chia 5 dư 1 hoặc 4 b2 c2 chia 5 dư 2 hoặc 0 hoặc 3 a2 b2 c2 , Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5 => M 5 Nếu a, b, c là các số lẻ b2 ,c2 chia 4 dư 1 b2 c2  mod 4 a2 b2 c2 Do đó 1 trong hai số a, b phải là số chẵn. Giả sử b là số chẵn: + Nếu c là số chẵn =>M 4 + Nếu c là số lẻ, mà a2 b2 c2 a là số lẻ b2 a c a b 2 b a c a c b chẵn b4 M4 2 2 2 2 Vậy M abc3.4.5 Bài 27: Chứng minh rằng: 36n2 60n 2424 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 22
  23. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Ta có: 36n2 60n 24 12n 3n 5 24 , Thấy n;3n 5 không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ n 3n 5 2 => ĐPCM Bài 28: Cho a, b là các số tự nhiên không chia hết cho 5. Chứng minh rằng p.a4m + q.b4m chia hết cho 5 khi và chỉ khi p + q chia hết cho 5 ( p, q, m thuộc N ) HD: Ta có: p.a4m q.b4m p(a4m 1) q(b4m 1) ( p q) Mà : a4m 1 (a4 )m 1a4 1 , ta có : a4 1 (a 1)(a 1)(a 2)(a 2) 5(a2 1) (a 1)(a 1)a(a 2)(a 2)5 Mà : a/ 5 Suy ra: a-1, a+1, a-2, a+2 1 trong 4 số này phỉa chia hết cho 5 a4 15 a4m 15 Tương tự: b4m 15 p q5(dpcm) Dạng 5: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP Bài 1: Chứng minh A 16n 15n 1225,n N * HD: Với n 1 A 0225 đúng Giả sử n k 1 và A 16k 15k 1225 Ta cần chứng minh với n k 1 thì 16k 1 15 k 1 1225 Thật vậy: 16k 1 15 k 1 1 16.16k 15k 16 16k 15k 1 15.16k 15 16k 15k 1 15.15.M A 225.M225 Vậy A 16n 15n 1225,n N * Bài 2: CMR A (n 1)(n 2) (2n 1).2n2n n N * HD: 1.2.3 n(n 1)(n 2) 2n (2.4.6 2n)[1.3.5 (2n-1)] 2n (1.2.3 n)[1.3.5 (2n-1)] Cách 1: A 1.2.3 n 1.2.3.4 n 1.2.3 n A 2n[1.3.5 (2n-1)]2nn N * Cách 2: Dùng phương pháp quy nạp toán học n = 1 A(1) 221 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 23
  24. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là ta có: A (k 1)(k 2) 2k2k Ta đi chứng minh đúng với n = k + 1 A(k 1) (k 2)(k 3) (2k 2) 2(2k 1).A(k)2.2k 2k 1(dpcm) Bài 3: Chứng minh rằng: 33n 3 26n 2729,n 1 HD: Bài 4: Chứng minh rằng: 42n 2 115,n N * Dạng 6: TỒN TẠI HAY KHÔNG TỒN TẠI SỰ CHIA HẾT Bài 1: Tìm n thuộc N sao cho 2n 17 HD: Nếu n 3k(k N) 2n 1 23k 1 8k 17 Nếu n 3k 1(k N) 2n 1 23k 1 1 2(23k 1) 1 BS(7) 1 Nếu n 3k 2(k N) 2n 1 23k 2 1 4(23k 1) 3 BS(7) 3 Vậy 2n 17 khi n là bội số của 3, hay n chia hết cho 3 Bài 2: Tìm n thuộc N để: n 2n 3 4n 1 n n a. 3 18 b. 3 2 25 c. 5 2 9 HD: a. khi n 2k(k N) 3n 1 32k 1 9k 18 n 2k 1(k N) 3n 1 32k 1 1 3(9k 1) 2 BS(8) 2 Vậy 3n 18 khi n = 2k ( k thuộc N ) b. 32n 3 24n 1 27.3n 2.24n (25 2)32n 2.24n 25.32n 2.32n 2.24n BS(25) 2(9n 16n ) Nếu n 2k 1(k N) 9n 16n 92k 1 162k 125 Nếu n = 2k thì 9n có tận cùng = 1, 16n có tận cùng là 6 suy ra 9n + 16n có tận cùng là 4 nên không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 25 c. Nếu n 3k(k N) 5n 2n 53k 23k (53 23 ) 117 9 n 3k 1 5n 2n 5.53k 2.23k 5(53k 23k ) 3.23k BS(9) 3.8k BS(9) 3(BS9 1)k BS9 BS9 3 n = 3k + 2 thì cũng không chia hết cho 9 Vậy n là bội số của 3 thì thỏa mãn bài toán. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 24
  25. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 3: Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng lập phương của chúng cũng chia hết cho 3. HD: Gọi 2 số phải tìm là a và b, ta có a + b chia hết cho 3 Lại có: a 3 b 3 (a b)[(a+b) 2 3ab] Vì a + b chia hết cho 3 nên (a+b)2 – 3ab chia hết cho 3 Do vậy a 3 b 3 (a b)[(a+b) 2 3ab]9(dpcm ) Bài 4: Tìm giá trị nguyên của x để A 10x2 7x 5B 2x 3 HD: A 7 5x 4 2x 3 U (7) x 2;1;2;5 B 2x 3 Dạng 7 : TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ XẢY RA QUAN HỆ CHIA HẾT Bài 1: Tìm n thuộc Z để giá trị biểu thức A n3 2n2 3n 2 chia hết cho giá trị biểu thức B n2 n HD: Cách 1 : Đặt phép chia ta được : n3 2n2 3n 2 (n 3)(n2 n) 2 Để A chia hết cho B thì 2n(n 1) n(n 1) U (2) 1; 2 n 1;2 Cách 2: A n3 2n2 3n 2 n(n2 n) 3(n2 n) 2 Lập luận tương tự ta có n 1;2 Bài 2: Tìm số nguyên dương n để A n5 1B n3 1 HD: n5 1n3 1 n2 (n3 1) (n2 1)n3 1 (n 1)(n 1)(n 1)(n2 n 1) n 1n2 n 1(n 1 0) n = 1 ta được: 0 chia hết cho 1 ( đúng ) 2 n > 1 thì n -1 < n (n-1) + 1 n 1/ n n 1 Vậy n = 1 là giá trị cần tìm Bài 3: Tìm n thuộc Z sao cho a. 2n3 n2 7n 12n 1 b. n4 2n3 2n2 2n 1n4 1 c. n3 n2 2n 7n2 1 d. n2 2n 411 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 25
  26. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com a. 2n3 n2 7n 12n 1 (n2 n 4)(2n 1) 52n 1 52n 1 2n 1 U (5) n b. n4 2n3 2n2 2n 1 (n4 n3 ) (n3 n2 ) (n2 n) (n 1) (n 1)2 (n2 1);n4 1 (n2 1)(n2 1) A (n 1)2 (n2 1) n 1 2 (n 1) 1 n 1 U (2) n 3; 2;0 B (n2 1)(n2 1) n 1 n 1 c. n3 n2 2n 7 (n2 1)(n 1) n 8 n 8n2 1 (n 8)(n 8)n2 1 65n2 1 n 0,2,8 Thử lại các giá trị này đều thỏa mãn d. n2 2n 411 (n2 2n 15) 1111 (n 3)(n 5)11 n 311 n 511 n 11k 3 (k,h Z) n 11h 5 Bài 4: Tìm tất cả các số nguyên dương n, sao cho n2 2nn 3 HD: n2 2nn 3 (n2 3n 5n 15 15)(n 3) n(n 3) 5(n 3) 15n 3 15n 3 n 3 5;15 n 2;12 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 26
  27. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 2 2 2 2 Bài 5: Tìm mọi số tự nhiên n sao cho: n (n 1) (n 2) (n 3) 5 HD: Có:4n2 12n 145 4(n 1)2 20n 105 (n 1)2 5 Suy ra: n chia 5 dư 1 hay n = 5k + 1 ( k thuộc N) Bài 6: Tìm số tự nhiên n để: A n3 3n2 3n 1B n2 n 1 HD: Ta có: A n3 3n2 3n 1 n3 n2 n 4n2 4n 4 3 n(n2 n 1) 4(n2 n 1) 3 n2 n 1 1 n 0 AB 3n2 n 1 n 0;1 2  n n 1 3 n 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 27