Chủ đề Ước chung và bội chung

Nội dung text: Chủ đề Ước chung và bội chung

1. Chủ đề 9 : ƯỚC CHUNG VÀ BỘI CHUNG ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT - BỘI CHUNG NHỎ NHẤT A. MỤC TIấU - Học sinh biết tỡm ước chung, bội chung của hai hay nhiều số bằng cỏch liệt kờ cỏc ước, liệt kờ cỏc bội rồi tỡm cỏc phần tử chung của hai tập hợp, biết sử dụng kớ hiệu giao của hai tập hợp. - Học sinh biết tỡm ước chung, bội chung trong một số bài toỏn đơn giản. – HS hệ thống lại kiến thức về định nghĩa ước chung và bội chung vận dụng cỏc kiến thức đú vào việc giải cỏc bài tập. – HS liờn hệ cỏc bước tỡm ước và bội chung giải cỏc dạng toỏn tỡm ước chung và bội chung. – HS biết tỡm ƯCLN, BCNN của hai hay nhiều số bằng cỏch phõn tớch cỏc số đú ra thừa số nguyờn tố. –HS biết tỡm ƯCLN, BCNN một cỏch hợp lớ trong từng trường hợp cụ thể, biết tỡm ƯCLN, BCNN trong cỏc bài toỏn thực tế. - HS hỡnh thành cỏc kĩ năng tỡm giao hai tập hợp. - HS cú ý thức tớch cực trong học tập, rốn tớnh cẩn thận, chớnh xỏc trong tớnh toỏn. B. CHUẨN BỊ 1. Giỏo viờn: bài tập, giỏo ỏn, SGK, SBT, phấn 2. Học sinh: Đồ dựng học tập, chuẩn bị bài. C. TIẾN TRèNH DẠY HỌC I. ễn tập lý thuyết. Cõu 1: Ước chung , UCLN của hai hay nhiều số là gi? x ƯC(a; b) khi nào? Cõu 2: Bội chung , BCNN của hai hay nhiều số là gi? Cõu 3: Nờu cỏc bước tỡm UCLN? Cõu 4: Nờu cỏc bước tỡm BCNN? II. Kiến thức cơ bản - Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả cỏc số đú. - Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả cỏc số đú. - ƯCLN của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp cỏc ước chung của cỏc số đú. - Cỏc số nguyờn tố cựng nhau là cỏc số cú ƯCLN bằng 1 - Để tỡm ước chung của cỏc số đó cho, ta cú thể tỡm cỏc ước của ƯCLN của cỏc số đú. - BCNN của hai hay nhiều số là số lớn nhất khỏc 0 trong tập hợp cỏc bội chung của cỏc số đú. - Để tỡm BC của cỏc số đó cho, ta cú thể tỡm cỏc bội của BCNN của cỏc số đú. - Cỏch tỡm ƯCLN và BCNN: Tỡm ƯCLN Tỡm BCNN Bước 1 Phõn tớch mỗi số ra thừa số nguyờn tố Chọn cỏc thừa số nguyờn tố Bước 2 Chung Chung và riờng Lập tớch cỏc thừa số đó chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ: Bước 3 nhỏ nhất lớn nhất * Bổ sung: + Tớch của hai số tự nhiờn khỏc 0 bằng tớch của ƯCLN và BCNN của chỳng:
2. a . b = ƯCLN(a,b). BCNN(a,b) + Nếu tớch a.b chia hết cho m, trong đú b và m là hai số nguyờn tố cựng nhau thỡ a  m + Một cỏch khỏc tỡm ƯCLN của hai số a và b (với a > b): Chia số lớn cho số nhỏ. - Nếu phộp chia a cho b cú số dư r1, lấy b chia cho r1. Nếu a b thỡ ƯCLN(a,b) = b - Nếu phộp chia b cho r1 cú số dư r2, lấy r1 chia cho r2. - Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi số dư bằng 0 thỡ số chia cuối cựng là ƯCLN phải tỡm. Dạng 1: Tỡm ước, bội của một số tự nhiờn Bài 1: Viết cỏc tập hợp a/ Ư(6), Ư(12), Ư(42) và ƯC(6, 12, 42) b/ B(6), B(12), B(42) và BC(6, 12, 42) ĐS: a/ Ư(6) = 1;2;3;6 Ư(12) = 1;2;3;4;6;12 Ư(42) = 1;2;3;6;7;14;21;42 ƯC(6, 12, 42) = 1;2;3;6 b/ B(6) = 0;6;12;18;24; ;84;90; ;168;  B(12) = 0;12;24;36; ;84;90; ;168;  B(42) = 0;42;84;126;168;  BC = 84;168;252;  Bài 2: Tỡm ƯCLN của a/ 12, 80 và 56 b/ 144, 120 và 135 c/ 150 và 50 d/ 1800 và 90 Hướng dẫn a/ 12 = 22.3 80 = 24. 5 56 = 33.7 Vậy ƯCLN(12, 80, 56) = 22 = 4. b/ 144 = 24. 32 120 = 23. 3. 5 135 = 33. 5 Vậy ƯCLN (144, 120, 135) = 3. c/ ƯCLN(150,50) = 50 vỡ 150 chia hết cho 50. d/ ƯCLN(1800,90) = 90 vỡ 1800 chia hết cho 90. Bài 3: Tỡm a/ BCNN (24, 10) b/ BCNN( 8, 12, 15) Hướng dẫn a/ 24 = 23. 3 ; 10 = 2. 5 BCNN (24, 10) = 23. 3. 5 = 120 b/ 8 = 23 ; 12 = 22. 3 ; 15 = 3.5 BCNN( 8, 12, 15) = 23. 3. 5 = 120 Dạng 2: Dựng thuật toỏn Ơclit để tỡm ƯCLN (khụng cần phõn tớch chỳng ra thừa số nguyờn tố) 1/ GV giới thiệu Ơclit: Ơclit là nhà toỏn học thời cổ Hy Lạp, tỏc giả nhiều cụng trỡnh khoa học. ễng sống vào thế kỷ thứ III trước CN. Cuốn sỏch giỏo kha hỡnh học của
3. ụng từ hơn 2000 nưam về trước bao gồm phần lớn những nội dung mụn hỡnh học phổ thụng của thế giới ngày nay. 2/ Giới thiệu thuật toỏn Ơclit: Để tỡm ƯCLN(a, b) ta thực hiện như sau: - Chia a cho b cú số dư là r + Nếu r = 0 thỡ ƯCLN(a, b) = b. Việc tỡm ƯCLN dừng lại. + Nếu r > 0, ta chia tiếp b cho r, được số dư r1 - Nếu r1 = 0 thỡ r1 = ƯCLN(a, b). Dừng lại việc tỡm ƯCLN - Nếu r1 > 0 thỡ ta thực hiện phộp chia r cho r1 và lập lại quỏ trỡnh như trờn. ƯCLN(a, b) là số dư khỏc 0 nhỏ nhất trong dóy phộp chia núi trờn. VD: Hóy tỡm ƯCLN (1575, 343) Ta cú: 1575 = 343. 4 + 203 343 = 203. 1 + 140 203 = 140. 1 + 63 140 = 63. 2 + 14 63 = 14.4 + 7 14 = 7.2 + 0 (chia hết) Vậy: Hóy tỡm ƯCLN (1575, 343) = 7 Trong thực hành người ta đặt phộp chia đú như sau: 1575 343 343 203 4 203 140 1 140 63 1 63 14 2 Suy ra ƯCLN (1575, 343) = 7 14 7 4 Bài tập1: Tỡm ƯCLN bằng cỏch phõn tớch ra thừa số nguyờn tố và bằng thuật toỏn Ơclit. 0 2 a/ ƯCLN(702, 306) b/ ƯCLN(412, 106) Bài tập 2: Dựng thuật toỏn Ơclit để tỡm a/ ƯCLN(318, 214) b/ ƯCLN(6756, 2463) ĐS: a/ 2 b/ 1 (nghĩa là 6756 và 2463 là hai số nguyờn tố cựng nhau). Dạng 3: Tỡm ước chung thụng qua ước chung lớn nhất Bài 1: Tỡm ƯC của cỏc số sau: a/ 12, 45, và 60 b/ 24 và 60 c/ 25 , 125 và 225 Bài 2: Tỡm số tự nhiờn x, thỏa món: a/ x14; x26 và 20 < x < 50 b/ x27; x30, x45
4. Dạng 4: Cỏc bài toỏn thực tế Bài 1: Một lớp học cú 24 HS nam và 18 HS nữ. Cú bao nhiờu cỏch chia tổ sao cho số nam và số nữ được chia đều vào cỏc tổ? Hướng dẫn Số tổ là ước chung của 24 và 18 Tập hợp cỏc ước của 18 là A = 1;2;3;6;9;18 Tập hợp cỏc ước của 24 là B = 1;2;3;4;6;8;12;24 Tập hợp cỏc ước chung của 18 và 24 là C = A  B = 1;2;3;6 Vậy cú 3 cỏch chia tổ là 2 tổ hoặc 3 tổ hoặc 6 tổ. Bài 2: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng, mỗi hàng cú 20 người, hoặc 25 người, hoặc 30 người đều thừa 15 người. Nếu xếp mỗi hàng 41 người thỡ vừa đủ (khụng cú hàng nào thiếu, khụng cú ai ở ngoài hàng). Hỏi đơn vị cú bao nhiờu người, biết rằng số người của đơn vị chưa đến 1000? Hướng dẫn Gọi số người của đơn vị bộ đội là x (x N) x : 20 dư 15 x – 15  20 x : 25 dư 15 x – 15  25 x : 30 dư 15 x – 15  30 Suy ra x – 15 là BC(20, 25, 35) Ta cú 20 = 22. 5; 25 = 52 ; 30 = 2. 3. 5; BCNN(20, 25, 30) = 22. 52. 3 = 300 BC(20, 25, 35) = 300k (k N) x – 15 = 300k x = 300k + 15 mà x < 1000 nờn 17 300k + 15 < 1000 300k < 985 k < 3 (k N) 60 Suy ra k = 1; 2; 3 Chỉ cú k = 2 thỡ x = 300k + 15 = 615  41 Vậy đơn vị bộ đội cú 615 người. Bài tập: Bài 1: Tìm ƯCLN, BCNN của: a) 24 và 10 e) 14; 21 và 56 b) 9 và 24 f) 8; 12 và 15 c) 12 và 52 g) 6; 8 và 10 d) 18; 24 và 30 h) 9; 24 và 35 Bài 2: Tìm số tự nhiên x a) x 4; x 7; x 8 và x nhỏ nhất e) x 10; x 15 và x <100 b) x 2; x 3; x 5; x 7 và x nhỏ nhất f) x 20; x 35 và x<500 c) x BC(9,8) và x nhỏ nhất g) x 4; x 6 và 0 < x <50 d) x BC(6,4) và 16 ≤ x ≤50. h) x:12; x 18 và x < 250 Bài 3: Số học sinh khối 6 của trường là một số tự nhiên có ba chữ số. Mỗi khi xếp hàng 18, hàng 21, hàng 24 đều vừa đủ hàng. Tìm số học sinh khối 6 của trường đó. Bài 4: Học sinh của một trường học khi xếp hàng 3, hàng 4, hàng 7, hàng 9 đều vừa đủ hàng. Tìm số học sinh của trường, cho biết số học sinh của trường trong khoảng từ 1600 đến 2000 học sinh. Bài 5: Một đội y tế có 24 bác sỹ và 108 y tá. Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thành mấy tổ để số bác sỹ và y tá được chia đều cho các tổ?
5. Bài 6: Lớp 6A cú 18 bạn nam và 24 bạn nữ. Trong một buổi sinh hoạt lớp, bạn lớp trưởng dự kiến chia cỏc bạn thành từng nhúm sao cho số bạn nam trong mỗi nhúm đều bằng nhau và số bạn nữ cũng vậy. Hỏi lớp cú thể chia được nhiều nhất bao nhiờu nhúm? Khi đú mỗi nhúm cú bao nhiờu bạn nam, bao nhiờu bạn nữ? Bài 7: Học sinh khối 6 cú 195 nam và 117 nữ tham gia lao động. Thầy phụ trỏch muốn chia ra thành cỏc tổ sao cho số nam và nữ mỗi tổ đều bằng nhau. Hỏi cú thể chia nhiều nhất mấy tổ? Mỗi tổ cú bao nhiờu nam, bao nhiờu nữ? Bài 8: Một đội y tế cú 24 người bỏc sĩ và cú 208 người y tỏ. Cú thể chia đội y tế thành nhiều nhất bao nhiờu tổ? Mổi tổ cú mấy bỏc sĩ, mấy y tỏ? MỘT SỐ BÀI TẬP ễN TẬP CHƯƠNG 1 I. Cỏc bài tập trắc nghiệm tổng hợp Cõu 1: Cho hai tập hợp: X = {a; b; 1; 2}, Y = {2; 3; 4; 5; 7}. Hóy điền ký hiệu thớch hợp vào ụ vuụng: a/ a X b/ 3 X c/ b Y d/ 2 Y Cõu 2: Cho tập hợp A cỏc số tự nhiờn lớn hơn 2 và nhỏ hơn 10, tập hợp B cỏc số tự nhiờn chẵn nhỏ hơn 12. Hóy điền kớ hiệu thớch hợp vào ụ vuụng: a/ 12 B b/ 2 A c/ 5 B d/ 9 A Cõu 3: Cho tập hợp A = {2; 3; 4; 5; 6}. Hóy điền chữ Đ(đỳng), S (sai) vào cỏc ụ vuụng bờn cạnh cỏc cỏch viết sau: a/ A = {2; 4; 6; 3 ; 5} b/ A = {x N | x 7 } c/ A = {x N | 2 x 6 } d/ A = {x N*| x 7 } Cõu 3: Hóy tớnh rồi điền kết quả vào cỏc phộp tớnh sau: a/ 23.55 – 45.23 + 230 = b/ 71.66 – 41.71 – 71 = c/ 11.50 + 50.22 – 100 = d/ 54.27 – 27.50 + 50 = Cõu 4: Diền dấu X thớch hợp để hoàn thành bảng sau: STT Cõu Đỳng Sai 1 33. 37 = 321 2 33. 37 = 310 3 72. 77 = 79 Cõu 5: Hóy điền cỏc dấu thớch hợp 4vào 72. 7ụ7 vuụng:= 714 a/ 32 2 + 4 b/ 52 3 + 4 + 5 c/ 63 93 – 32. d/ 13 + 23 = 33 (1 + 2 + 3 + 4)2 Cõu 6: Điờn chữ đỳng (Đ), sai (S) cạnh cỏc khẳng định sau: a/ (35 + 53 ) 5 b/ 28 – 77  7 c/ (23 + 13)  6 d/ 99 – 25  5 Cõu 7: Điờn chữ đỳng (Đ), sai (S) cạnh vào cỏc ụ vuụng cạnh cỏc cõu sau:
6. a/ Tổng của hai số tự nhiờn liờn tiếp chia hết cho 2 b/ Tổng của ba số tự nhiờn liờn tiếp chia hết cho 3 c/ Tớch của hai số tự nhiờn liờn tiếp chia hết cho 2 d/ Tớch của ba số tự nhiờn liờn tiếp chia hết cho 3 Cõu 8: Hóy điền cỏc số thớch hợp để được cõu đỳng a/ Số lớn nhất cú 3 chữ số khỏc nhau chia hết cho 2 lập được từ cỏc số 1, 2, 5 là b/ Số lớn nhất cú 3 chữ số khỏc nhau chia hết cho 5 lập được từ cỏc số 1, 2, 5 là c/ Số nhỏ nhất cú 3 chữ số khỏc nhau chia hết cho 2 lập được từ cỏc số 1, 2, 5 là d/ Số nhỏ nhất cú 3 chữ số khỏc nhau chia hết cho 5 lập được từ cỏc số 1, 2, 5 là Cõu 9: Hóy điền số thớch hợp vào dấu * để được cõu đỳng a/ 3*12 chia hết cho 3 b/ 22*12 chia hết cho 9 c/ 30*9 chia hết cho 3 mà khụng chia hết cho 9 d/ 4*9 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 Cõu 10: Hóy tỡm ước chung lớn nhất và điền vào dấu a/ ƯCLN(24, 29) = b/ƯCLN(125, 75) = c/BCNN(1, 29) = d/BCNN(1, 29) = II. Bài toỏn tự luận Bài 1: Chứng tỏ rằng: a/ 85 + 211 chia hết cho 17 b/ 692 – 69. 5 chia hết cho 32. c/ 87 – 218 chia hết cho 14 Hướng dẫn: a/ 85 + 211 = 215 + 211 = 211(22 + 1) = 2 11. 17  17. Vậy 85 + 211 chia hết cho 17 b/ 692 – 69. 5 = 69.(69 – 5) = 69. 64  32 (vỡ 64 32). Vậy 692 – 69. 5 chia hết cho 32. c/ 87 – 218 = 221 – 218 = 218(23 – 1) = 218.7 = 217.14  14. Vậy 87 – 218 chia hết cho 14 Bài 2: Tớnh giỏ trị của biểu thức: A = (11 + 159). 37 + (185 – 31) : 14 B = 136. 25 + 75. 136 – 62. 102 C= 23. 53 - {72. 23 – 52. [43:8 + 112 : 121 – 2(37 – 5.7)]} Hướng dẫn A = 170. 37 + 154 : 14 = 6290 + 11 = 6301 B = 136(25 + 75) – 36. 100 = 136. 100 – 36. 100 = 100.(136 – 36) = 100. 100 = 10000 C= 733. Bài 3: Số HS của một trường THCS là số tự nhiờn nhỏ nhất cú 4 chữ số mà khi chia số đú cho 5 hoặc cho 6, hoặc cho 7 đều dư 1. Hướng dẫn Gọi số HS của trường là x (x N). x : 5 dư 1 x – 1  5 x : 6 dư 1 x – 1  6 x : 7 dư 1 x – 1  7 Suy ra x – 1 là BC(5, 6, 7).
7. Ta cú BCNN(5, 6, 7) = 210. BC(5, 6, 7) = 210k (k N) x – 1 = 210k x = 210k + 1 mà x số tự nhiờn nhỏ nhất cú 4 chữ số nờn x 1000. 53 suy ra 210k + 1 1000 k 4 (k N) nờn k nhỏ nhất là k = 5. 70 Vậy số HS trường đú là x = 210k + 1 = 210. 5 + 1 = 1051 (học sinh).