Các dạng toán nâng cao lớp 7

Nội dung text: Các dạng toán nâng cao lớp 7

1. DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 + + 98 + 99 Lời giải: Cách 1: B = 1 + (2 + 3 + 4 + + 98 + 99). Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 49.101 = 4949 Khi đó B = 1 + 4949 = 4950 Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp (mỗi cặp có 2 số hạng thì được 49 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 49 thì gồm 2 số hạng nào? Số hạng dư là bao nhiêu?), đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc. Ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau: Cách 2: Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + + 997 + 999 Lời giải: Cách 1: Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ. Áp dụng các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng trên có 250 cặp số) Cách 2: Ta thấy: 1= 2.1 - 1 3 = 2.2 - 1 5 = 2.3 - 1 999 = 2.500 - 1 Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định được số các số hạng của dãy số C là 500 số hạng. Áp dụng cách 2 của bài trên ta có: Bài 3. Tính D = 10 + 12 + 14 + + 994 + 996 + 998
2. Nhận xét: Các số hạng của tổng D đều là các số chẵn, áp dụng cách làm của bài tập 3 để tìm số các số hạng của tổng D như sau: Ta thấy: 10 = 2.4 + 2 12 = 2.5 + 2 14 = 2.6 + 2 998 = 2.498 + 2 Tương tự bài trên: từ 4 đến 498 có 495 số nên ta có số các số hạng của D là 495, mặt khác ta lại thấy: 495 = (998 - 10)/2 + 1 hay số các số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách rồi cộng thêm 1 Khi đó ta có: D = 10 + 12 = + 996 + 998 + D = 998 + 996 + 12 + 10 2D = 1008 + 1008 + + 1008 + 1008 2D = 1008.495 → D = 504.495 = 249480 Thực chất D = (998 + 10).495 / 2 Qua các ví dụ trên, ta rút ra một cách tổng quát như sau: Cho dãy số cách đều u 1, u2, u3, un (*), khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của dãy là d. Khi đó số các số hạng của dãy (*) là: Tổng các số hạng của dãy (*) là: Đặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính được số hạng thứ n của dãy (*) là: un = u1 + (n - 1)d Hoặc khi u1 = d = 1 thì DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU. Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) Lời giải: Cách 1: Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó: Gọi a1 = 1.2 → 3a1 = 1.2.3 → 3a1 = 1.2.3 - 0.1.2 a2 = 2.3 → 3a2 = 2.3.3 → 3a2 = 2.3.4 - 1.2.3 a3 = 3.4 → 3a3 = 3.3.4 → 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4 an-1 = (n - 1)n → 3an-1 =3(n - 1)n → 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n an = n(n + 1) → 3an = 3n(n + 1) → 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:
3. 3(a1 + a2 + + an) = n(n + 1)(n + 2) Cách 2: Ta có 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) * Tổng quát hoá ta có: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1) Bài 2. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + + (n - 1)n(n + 1) Lời giải Áp dụng tính kế thừa của bài 1 ta có: 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + + (n - 1)n(n + 1).4 = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)