Các chuyên đề cơ bản Toán 8 - Chuyên đề 1: Nhân đa thức - Các hằng đẳng thức đáng nhớ - Trường THCS Định Liên - Yên Định

Nội dung text: Các chuyên đề cơ bản Toán 8 - Chuyên đề 1: Nhân đa thức - Các hằng đẳng thức đáng nhớ - Trường THCS Định Liên - Yên Định

1. Trường THCS Định Liên - Yên Định Chuyên đề 1: NHÂN ĐA THỨC - CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Bài 1.1. Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào x a) A = x (2x + 3) − x2 (x + 2) + (x3 − 3x + 9); b) B = x (3x2 − 2x + 4) − (2x3 + 3x − 16) − x (x2 − 2x + 1);  7 c) C = (6x + 7) (2x − 3) − (4x + 1) 3x − . 4 Bài 1.2. Tính nhanh 7 1 4 2 1 1 a) A = 4 · − · 1 + + ; 5731 3759 3759 5731 3751 3759 · 5731 1 3 3 6516 6 6 b) B = 2 · − · 3 + − . 3154 6517 3154 6517 1577 3154 · 6517 Bài 1.3. Cho 2x = a + b + c. Chứng minh rằng: (x − a)(x − b) + (x − b)(x − c) + (x − c)(x − a) = ab + bc + ca − x2. Bài 1.4. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ab + bc + ca = abc và a + b + c = 1. Chứng minh rằng (a − 1) (b − 1) (c − 1) = 0. Bài 1.5. Tính giá trị của các biểu thức a) A = x2 + 10x + 26 tại x = 95; b) B = x3 − 3x2 + 3x + 1 tại x = 21. Bài 1.6. Cho x − y = 12. Hãy tính giá trị biểu thức A = x3 − y3 − 36xy. Bài 1.7. Cho x, y, z thỏa mãn: x2 + 2y2 + z2 − 2xy − 2y − 4z + 5 = 0. Tính giá trị biểu thức A = (x − 1)2018 + (y − 1)2019 + (z − 1)2020 . Bài 1.8. Cho x + y = −5 và x2 + y2 = 11. Tính x4 + y4. Bài 1.9. Cho a, b, c thỏa mãn đồng thời a + b + c = 6 và a2 + b2 + c2 = 12. Tính giá trị của biểu thức: P = (a − 3)2020 + (b − 3)2020 + (c − 3)2020 .  a + 2b − 3c = 0 Bài 1.10. Cho a, b, c là các số thỏa mãn điều kiện bc + 2ca − 3ab = 0. Chứng minh rằng: a = b = c. Bài 1.11. Mỗi số trong 100 số đã cho được cộng thêm 1. Sau đó mỗi số được cộng thêm 1 lần nữa. Biết rằng ở lần đầu tiên, tổng các bình phương của các số là không đổi. Hỏi tổng này thay đổi như thế nào ở lần thứ hai ? Bài 1.12. Cho số dương n và số A = 444 4; B = 888 8. | {z } | {z } 2n chữ số 4 n chữ số 8 1
2. Nguyễn Mạnh Hà - Các chuyên đề cơ bản Đại Số 8 Chứng minh A + 2B + 4 là một số chính phương. Bài 1.13. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời hai đẳng thức: i) (a + b)(b + c)(c + a) = abc; ii) (a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3) = a3b3c3. Chứng minh rằng: abc = 0. Bài 1.14. Cho các số x, y thỏa mãn các đẳng thức: x4 + x2y2 + y4 = 4; x8 + x4y4 + y8 = 8. Hãy tính giá trị của biểu thức A = x12 + x2y2 + y12. Bài 1.15. Chia 18 vật có khối lượng 20162, 20152, 20142, , 19992 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau (không được chia nhỏ các vật đó). Bài 1.16. Cho đa thức f(x) = x2 + ax + b với a, b ∈ Z. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để f(k) = f (2019) · f (2020). Bài 1.17. Cho hai số tự nhiên a và b. Chứng minh rằng nếu tích a · b là số chẵn thì luôn tìm được số nguyên c sao cho a2 + b2 + c2 là số chính phương. Bài 1.18. Chứng minh rằng nếu: (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = (a + b − 2c)2 + (b + c − 2a)2 + (c + a − 2b)2 thì a = b = c. Bài 1.19. Cho a, b, c là các số không dương thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 và ab + bc + ca = 9. Tính a + b + c. Bài 1.20. Cho x, y, z là các số hữu tỉ thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = 2 (xy + yz + zx). Chứng minh rằng: a) xy + yz + zx là bình phương của một số hữu tỉ; b) xy là bình phương của một số hữu tỉ. Bài 1.21. Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 6 và (x − 1)3 + (y − 1)3 + (z − 1)3 = 0. Tính 2n+1 2n+1 2n+1 giá trị của biểu thức T = (x − 1) + (y − 1) + (z − 1) với n ∈ N. Bài 1.22. Cho a, b, c thỏa mãn (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 6abc. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc (a + b + c + 1) . Bài 1.23. Mười vận viên tham gia chơi quần vợt. Cứ hai người trong họ chơi đúng một ván. Người thứ nhất thẳng x1 ván và thua y1 ván, người thứ hai thẳng x2 ván và thua y2 ván, . . . , người thứ mười thẳng x10 ván và thua y10 ván. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 x1 + x2 + + x10 = y1 + y2 + + y10. Bài 1.24. Với a, b, c là các số thực thỏa mãn (3a + 3b + 3c)3 = 24 + (3a + b − c)3 + (3b + c − a)3 + (3c + a − b)3 . 2
3. Trường THCS Định Liên - Yên Định Chứng minh rằng: (a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) = 1. 3