›
›
›

Các chuyên đề bài tập Toán Khối 8

doc 31 trang dichphong 4091
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các chuyên đề bài tập Toán Khối 8", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doccac_chuyen_de_bai_tap_toan_khoi_8.doc

Nội dung text: Các chuyên đề bài tập Toán Khối 8

  1. Chuyên đề 1 SỐ CHÍNH PHƯƠNG I. ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên. II. TÍNH CHẤT: 1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. 2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn. 3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N). 4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n N). 5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2 Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ. 6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25. Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A. DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương. Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z Vậy A là số chính phương. Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương. Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n N). Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1 = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*) Đặt n2 + 3n = t (t N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2 = (n2 + 3n + 1)2
  2. Vì n N nên n2 + 3n + 1 N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương. Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2) Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương . Ta có k(k+1)(k+2) = 1 k(k+1)(k+2).4 = 1 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] 4 4 = 1 k(k+1)(k+2)(k+3) - 1 k(k+1)(k+2)(k-1) 4 4 1 1 1 1 1 1 S = .1.2.3.4 - .0.1.2.3 + .2.3.4.5 - .1.2.3.4 + + k(k+1)(k+2)(k+3) - 4 4 4 4 4 4 k(k+1)(k+2)(k-1) = 1 k(k+1)(k+2)(k+3) 4 4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 Theo kết quả bài 2 k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương. Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương. Ta có 44 488 89 = 44 488 8 + 1 = 44 4 . 10n + 8 . 11 1 + 1 n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1 10n 1 10n 1 = 4. . 10n + 8. + 1 9 9 2n n n 2n n = 4.10 4.10 8.10 8 9 = 4.10 4.10 1 9 9 2.10n 1 2 = 3 Ta thấy 2.10n +1=200 01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3 n-1 chữ số 0 2 2.10n 1 Z hay các số có dạng 44 488 89 là số chính phương. 3 Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương: A = 11 1 + 44 4 + 1 2n chữ số 1 n chữ số 4 B = 11 1 + 11 1 + 66 6 + 8 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6 C = 44 4 + 22 2 + 88 8 + 7 2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8 2 2 10n 2 2 10n 8 2.10n 7 Kết quả: A = ; B = ; C = 3 3 3
  3. Bài 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương: a. A = 22499 9100 09 n-2 chữ số 9 n chữ số 0 b. B = 11 155 56 n chữ số 1 n-1 chữ số 5 a. A = 224.102n + 99 9.10n+2 + 10n+1 + 9 = 224.102n + ( 10n-2 – 1 ) . 10n+2 + 10n+1 + 9 = 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + 9 = 225.102n – 90.10n + 9 = ( 15.10n – 3 ) 2 A là số chính phương b. B = 111 1555 5 + 1 = 11 1.10n + 5.11 1 + 1 n chữ số 1 n chữ số 5 n chữ số 1 n chữ số 1 n n 2n n n = 10 1 . 10n + 5. 10 1 + 1 = 10 10 5.10 5 9 9 9 9 2 102n 4.10n 4 10n 2 = = là số chính phương ( điều phải chứng minh) 9 3 Bài 7: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ). Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2) Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2+2 không thẻ chia hết cho 5 5.( n2+2) không là số chính phương hay A không là số chính phương Bài 8: Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n>1 không phải là số chính phương n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ] = n2( n+1 )2.( n2–2n+2) Với n N, n >1 thì n2-2n+2 = (n - 1)2 + 1 > ( n – 1 )2 và n2 – 2n + 2 = n2b– 2(n - 1) < n2 Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2 n2 – 2n + 2 không phải là một số chính phương.
  4. Bài 9: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương Cách 1: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương Cách 2: Nếu một số chính phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của a là 4 hoặc 6 a 2 a2  4 Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M chỉ có thể là 16, 36, 56, 76, 96 Ta có: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương. Bài 10: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương. a và b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N) a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1 = 4(k2 + k + m2 + m) + 2 = 4t + 2 (Với t N) Không có số chính phương nào có dạng 4t + 2 (t N) do đó a2 + b2 không thể là số chính phương. Bài 11: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là các số chính phương. Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p 2 và p không chia hết cho 4 (1) a. Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m2 (m N) Vì p chẵn nên p+1 lẻ m2 lẻ m lẻ. Đặt m = 2k+1 (k N). Ta có m2 = 4k2 + 4k + 1 p+1 = 4k2 + 4k + 1 p = 4k2 + 4k = 4k(k+1)  4 mâu thuẫn với (1) p+1 là số chính phương b. p = 2.3.5 là số chia hết cho 3 p-1 có dạng 3k+2. Không có số chính phương nào có dạng 3k+2 p-1 không là số chính phương . Vậy nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.7 2007. Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số chính phương. a. 2N-1 = 2.1.3.5.7 2007 – 1 Có 2N  3 2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k N) 2N-1 không là số chính phương. b. 2N = 2.1.3.5.7 2007 Vì N lẻ N không chia hết cho 2 và 2N  2 nhưng 2N không chia hết cho 4.
  5. 2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 2N không là số chính phương. c. 2N+1 = 2.1.3.5.7 2007 + 1 2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 4 2N không chia hết cho 4 nên 2N+1 không chia cho 4 dư 1 2N+1 không là số chính phương. Bài 13: Cho a = 11 1 ; b = 100 05 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0 Chứng minh ab 1 là số tự nhiên. 2008 Cách 1: Ta có a = 11 1 = 10 1 ; b = 100 05 = 100 0 + 5 = 102008 + 5 9 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0 2 (102008 1)(102008 5) (102008 ) 2 4.102008 5 9 102008 2 ab+1 = + 1 = = 9 9 3 102008 2 2 102008 2 =a b 1 = 3 3 102008 2 Ta thấy 102008 + 2 = 100 02  3 nên N hay ab 1 là số tự nhiên. 3 2007 chữ số 0 Cách 2: b = 100 05 = 100 0 – 1 + 6 = 99 9 + 6 = 9a +6 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0 2008 chữ số 9 ab+1 = a(9a +6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a+1)2 =a b 1 (3 =a 3a 1 )+2 1 N B. DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương: a. n2 + 2n + 12 b. n ( n+3 ) c. 13n + 3 d. n2 + n + 1589 Giải a. Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N) (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n+1)2 = 11 (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 k+n+1 = 11 k = 6 k – n - 1 = 1 n = 4 b. Đặt n(n+3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2 (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2 (2n + 3)2 - 4a2 = 9 (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9 Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 2n + 3 + 2a = 9 n = 1 2n + 3 – 2a = 1 a = 2 c. Đặt 13n + 3 = y2 ( y N) 13(n – 1) = y2 – 16
  6. 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4) (y + 4)(y – 4)  13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4  13 hoặc y – 4  13 y = 13k 4 (Với k N) 13(n – 1) = (13k 4 )2 – 16 = 13k.(13k 8) n = 13k2 8k + 1 Vậy n = 13k2 8k + 1 (Với k N) thì 13n + 3 là số chính phương. d. Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355 Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28. Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương: a. a2 + a + 43 b. a2 + 81 c. a2 + 31a + 1984 Kết quả: a. 2; 42; 13 b. 0; 12; 40 c. 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + + n! là một số chính phương . Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương . Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 32 là số chính phương Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; ; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương . Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3. Bài 4: Tìm n N để các số sau là số chính phương: a. n2 + 2004 ( Kết quả: 500; 164) b. (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23) c. n2 + 4n + 97 d. 2n + 15 Bài 5: Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương. Giả sử 2006 + n2 là số chính phương thì 2006 + n2 = m2 (m N) Từ đó suy ra m2 – n2 = 2006 (m + n)(m - n) = 2006
  7. Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2) Từ (1) và (2) m + n và m – n là 2 số chẵn (m + n)(m - n)  4 Nhưng 2006 không chia hết cho 4 Điều giả sử sai. Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương. Bài 6: Biết x N và x>2. Tìm x sao cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1) 2 Đẳng thức đã cho được viết lại như sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1) Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương . Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nên x chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1) Do x là chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x N và 2 < x ≤ 9 (2) Từ (1) và (2) x chỉ có thể nhận 1 trong các giá trị 5; 6; 7. Bằng phép thử ta thấy chỉ có x = 7 thỏa mãn đề bài, khi đó 762 = 5776 Bài 7: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các số chính phương. Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199. Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84. Số 3n+1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương. Vậy n = 40 Bài 8: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính phương thì n là bội số của 24. Vì n+1 và 2n+1 là các số chính phương nên đặt n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m N) Ta có m là số lẻ m = 2a+1 m2 = 4a (a+1) + 1 m 2 1 4a(a 1) n = = = 2a(a+1) 2 2 n chẵn n+1 lẻ k lẻ Đặt k = 2b+1 (Với b N) k2 = 4b(b+1) +1 n = 4b(b+1) n  8 (1) Ta có k2 + m2 = 3n + 2  2 (mod3) Mặt khác k2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1. Nên để k2 + m2  2 (mod3) thì k2  1 (mod3) m2  1 (mod3) m2 – k2  3 hay (2n+1) – (n+1)  3 n  3 (2) Mà (8; 3) = 1 (3) Từ (1), (2), (3) n  24.
  8. Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương . Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) thì 2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48) 2p.2q = (a+48)(a-48) Với p, q N ; p+q = n và p > q a+48 = 2p 2p – 2q = 96 2q (2p-q -1) = 25.3 a- 48 = 2q q = 5 và p-q = 2 p = 7 n = 5+7 = 12 Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B. Gọi A = abcd = k2. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 với k, m N và 32 0 nên m-k và m+k là 2 số nguyên dương. Và m-k < m+k < 200 nên (*) có thể viết (m-k)(m+k) = 11.101 Do đó m – k == 11 m = 56 A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136 Bài 2: Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau 1 đơn vị. Đặt abcd = k2 ta có ab – cd = 1 và k N, 32 ≤ k < 100 Suy ra 101cd = k2 – 100 = (k-10)(k+10) k +10  101 hoặc k-10  101 Mà (k-10; 101) = 1 k +10  101 Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110 k+10 = 101 k = 91 abcd = 912 = 8281 Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau. Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2 với a, b N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9 Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1) Nhận xét thấy aabb  11 a + b  11 Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18 a+b = 11
  9. Thay a+b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a+1) do đó 9a+1 là số chính phương . Bằng phép thử với a = 1; 2; ; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thỏa mãn b = 4 Số cần tìm là 7744 Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương. Gọi số chính phương đó là abcd . Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y N Vì y3 = x2 nên y cũng là một số chính phương . Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999 10 ≤ y ≤ 21 và y chính phương y = 16 abcd = 4096 Bài 5: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương. Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b,c,d ≤ 9 abcd chính phương d { 0,1,4,5,6,9} d nguyên tố d = 5 Đặt abcd = k2 < 10000 32 ≤ k < 100 k là một số có hai chữ số mà k2 có tận cùng bằng 5 k tận cùng bằng 5 Tổng các chữ số của k là một số chính phương k = 45 abcd = 2025 Vậy số phải tìm là 2025 Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm là ab ( a,b N, 1 ≤ a,b ≤ 9 ) Số viết theo thứ tự ngược lại ba 2 2 Ta có ab - ba = ( 10a + b ) 2 – ( 10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 )  11 a2 - b2  11 Hay ( a-b )(a+b )  11 Vì 0 < a - b ≤ 8 , 2 ≤ a+b ≤ 18 nên a+b  11 a + b = 11 Khi đó ab 2 - ba 2= 32 . 112 . (a - b) Để ab 2 - ba 2là số chính phương thì a - b phải là số chính phương do đó a-b = 1 hoặc a - b = 4 Nếu a-b = 1 kết hợp với a+b = 11 a = 6, b = 5, ab = 65 Khi đó 652 – 562 = 1089 = 332 Nếu a - b = 4 kết hợp với a+b = 11 a = 7,5 ( loại ) Vậy số phải tìm là 65 Bài 7: Cho một số chính phương có 4 chữ số. Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được một số chính phương. Tìm số chính phương ban đầu
  10. ( Kết quả: 1156 ) Bài 8: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. Gọi số phải tìm là ab với a,b N và 1 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9 Theo giả thiết ta có : ab 2 = ( a + b )3 (10a+b)2 = ( a + b )3 ab là một lập phương và a+b là một số chính phương Đặt ab = t3 ( t N ) , a + b = l 2 ( l N ) Vì 10 ≤ ab ≤ 99 ab = 27 hoặc ab = 64 Nếu ab = 27 a + b = 9 là số chính phương Nếu ab = 64 a + b = 10 không là số chính phương loại Vậy số cần tìm là ab = 27 Bài 9: Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau. Gọi 3 số lẻ liên tiếp đó là 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n N) Ta có A= ( 2n-1 )2 + ( 2n+1)2 + ( 2n+3 )2 = 12n2 + 12n + 11 Theo đề bài ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111.a với a lẻ và 1 ≤ a ≤ 9 12n( n + 1 ) = 11(101a – 1 ) 101a – 1  3 2a – 1  3 Vì 1 ≤ a ≤ 9 nên 1 ≤ 2a-1 ≤ 17 và 2a-1 lẻ nên 2a – 1 { 3; 9; 15 } a { 2; 5; 8 } Vì a lẻ a = 5 n = 21 3 số càn tìm là 41; 43; 45 Bài 10: Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó. ab (a + b ) = a3 + b3 10a + b = a2 – ab + b2 = ( a + b )2 – 3ab 3a( 3 + b ) = ( a + b ) ( a + b – 1 ) a + b và a + b – 1 nguyên tố cùng nhau do đó a + b = 3a hoặc a + b – 1 = 3a a + b – 1 = 3 + b a + b = 3 + b a = 4 , b = 8 hoặc a = 3 , b = 7 Vậy ab = 48 hoặc ab = 37.
  11. Chuyên đề 2 A_ĐỒNG DƯ THỨC 1_Định nghĩa: Cho là số nguyên dương. Hai số nguyên và được gọi là đồng dư với nhau theo module m nếu hiệu Ký hiệu được gọi là một đồng dư thức. Nếu không chia hết cho , ta viết 2_Các ví dụ: Điều kiện nghĩa là a 3_Một số tính chất cơ bản: Tính chất 1: Với mọi số nguyên , ta có: Tính chất 2: Tính chất 3 Chứng minh: Vì Tính chất 4 Chứng minh: Tính chất 5 Chứng minh: Theo tính chất 4 ta có: Nhân từng vế hai ĐT ta có:
  12. Nhận xét 1, Nếu và thì , và suy ra: , còn Điều này có nghĩa : Tổng của hai số lẻ là một số chẵn; Tích của hai số lẻ là một số lẻ 2,Nếu Có nghĩa: Nếu một số chia cho 7 dư 3 thì bình phương số đó chia 7 dư 2. Các hệ quả của tính chất 4 và 5: , 3 , với Chú ý: 1_Chia hai vế cho một đẳng thức, nói chung là không được. nhưng 2 nhưng ab có thể đồng dư với 0 theo module m. Chẳng hạn : nhưng Phép chia hai vế đồng dư thức đòi hỏi phải kèm thêm một số điều kiện Tính chất 6 Ta có thể chia hai vế của một đồng dư thức cho ước chung của chúng, nếu ước này nguyên tố với modun m Tính chất 7 Ta có thể nhân hai vế và modun của đồng dư thức với một số nguyên dương , với c>0 Ta có thể chia hai vế và modun của một đồng dư thức cho ước chung dương của chúng Nếu d là ước chung dương của a,b và m thì với d>0 Tính chất 8 (from sách ) Đa thức với các hệ số nguyên và nếu có thì
  13. Chuyên đề 1 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN 1. Phương pháp đặt nhân tử chung – Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử. – Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác. – Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng). Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a) 2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y) xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1) 2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức - Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. - Cần chú ý đến việc vận dụng hằng đẳng thức. Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2) 8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2 3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử – Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm. – Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức. Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4) 4. Phối hợp nhiều phương pháp - Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên. - Đặt nhân tử chung.
  14. - Dùng hằng đẳng thức. - Nhóm nhiều hạng tử. Ví dụ 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2] = 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a) II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ 1. Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c) a) Cách 1 (tách hạng tử bậc nhất bx): Bước 1: Tìm tích ac, rồi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách. a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = = ai.ci = Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci với b = ai + ci Bước 3: Tách bx = aix + cix. Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp. Ví dụ 5. Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử. Hướng dẫn - Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12) - Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci). - Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix) Lời giải 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2) b) Cách 2 (tách hạng tử bậc hai ax2) - Làm xuất hiện hiệu hai bình phương : f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)
  15. = (x + 2)(3x + 2) - Tách thành 4 số hạng rồi nhóm : f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2) f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = = (x + 2)(3x + 2) c) Cách 3 (tách hạng tử tự do c) - Tách thành 4 số hạng rồi nhóm thành hai nhóm: f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = = (x + 2)(3x + 2) d) Cách 4 (tách 2 số hạng, 3 số hạng) f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2) f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = = (x + 2)(3x + 2) e) Cách 5 (nhẩm nghiệm): Xem phần III. Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c thì ta tách như sau : f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c) Ví dụ 6. Phân tích đa thức f(x) = 4x2 - 4x - 3 thành nhân tử. Hướng dẫn Ta thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2.2x. Từ đó ta cần thêm và bớt 12 = 1 để xuất hiện hằng đẳng thức. Lời giải f(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1) Ví dụ 7. Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 12x – 5 thành nhân tử. Lời giải Cách 1 : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – 5 = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(3x + 5) Cách 2 : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – 9 = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5) 2. Đối với đa thức bậc từ 3 trở lên (Xem mục III. Phương pháp nhẩm nghiệm) 3. Đối với đa thức nhiều biến Ví dụ 11. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 2x2 - 5xy + 2y2 ;
  16. b) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y). Hướng dẫn a) Phân tích đa thức này tương tự như phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Ta tách hạng tử thứ 2 : 2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y) = (x - 2y)(2x - y) a) Nhận xét z - x = -(y - z) - (x - y). Vì vậy ta tách hạng tử thứ hai của đa thức : x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) = = (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z) = (x - y)(y - z)(x - z) Chú ý : 1) Ở câu b) ta có thể tách y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y)) 2) Đa thức ở câu b) là một trong những đa thức có dạng đa thức đặc biệt. Khi ta thay x = y (y = z hoặc z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng 0. Vì vậy, ngoài cách phân tích bằng cách tách như trên, ta còn cách phân tích bằng cách xét giá trị riêng (Xem phần VII). III. PHƯƠNG PHÁP NHẨM NGHIỆM Trước hết, ta chú ý đến một định lí quan trọng sau : Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = 0. Khi đó, f(x) có một nhân tử là x – a và f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x) Lúc đó tách các số hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa nhân tử là x – a. Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên của đa thức, nếu có, phải là một ước của hệ số tự do. Ví dụ 8. Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + 4 thành nhân tử. Lời giải Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2) 3 + (–2)2 + 4 = 0. Đa thức f(x) có một nghiệm x = –2, do đó nó chứa một nhân tử là x + 2. Từ đó, ta tách như sau Cách 1 : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2). Cách 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2). Cách 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)
  17. = x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2). Cách 4 : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2). Từ định lí trên, ta có các hệ quả sau : Hệ quả 1. Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nghiệm là x = 1. Từ đó f(x) có một nhân tử là x – 1. Chẳng hạn, đa thức x 3 – 5x2 + 8x – 4 có 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nên x = 1 là một nghiệm của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x – 1. Ta phân tích như sau : f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)( x – 2)2 Hệ quả 2. Nếu f(x) có tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc lẻ thì f(x) có một nghiệm x = –1. Từ đó f(x) có một nhân tử là x + 1. Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + 9 có 1 + 3 = –5 + 9 nên x = –1 là một nghiệm của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x + 1. Ta phân tích như sau : f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)( x – 3)2 Hệ quả 3. Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a và f(1) và f(–1) khác 0 thì và đều là số nguyên. Ví dụ 9. Phân tích đa thức f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 thành nhân tử. Hướng dẫn Các ước của 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18. f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± 1 không phải là nghiệm của f(x). Dễ thấy không là số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18 không là nghiệm của f(x). Chỉ còn –2 và 3. Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x). Do đó, ta tách các hạng tử như sau : = (x – 3)(4x2 – x + 6) Hệ quả 4. Nếu ( là các số nguyên) có nghiệm hữu tỉ , trong đó p, q Z và (p , q)=1, thì p là ước a0, q là ước dương của an . Ví dụ 10. Phân tích đa thức f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 thành nhân tử.
  18. Hướng dẫn Các ước của –5 là ± 1, ± 5. Thử trực tiếp ta thấy các số này không là nghiệm của f(x). Như vậy f(x) không có nghiệm nghuyên. Xét các số , ta thấy là nghiệm của đa thức, do đó đa thức có một nhân tử là 3x – 1. Ta phân tích như sau : f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5). IV. PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ 1. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình ph ương Ví dụ 12. Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử Lời giải Cách 1 : x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1). Cách 2 : x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1). Cách 3 : x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1). Ví dụ 13. Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử Lời giải Cách 1 : x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Cách 2 : x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) 2. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung Ví dụ 14. Phân tích đa thức x5 + x - 1 thành nhân tử Lời giải Cách 1. x5 + x - 1 = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1 = x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1). Cách 2. Thêm và bớt x2 : x5 + x - 1 = x5 + x2 - x2 + x - 1 = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
  19. Ví dụ 15. Phân tích đa thức x7 + x + 1 thành nhân tử Lời giải : x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2 - x + 1) Lưu ý : Các đa thức dạng x 3m + 1 + x3n + 2 + 1 như x7 + x2 + 1, x4 + x5 + 1 đều chứa nhân tử là x2 + x + 1. V. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản. Ví dụ 16. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Lời giải x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng : (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc 4 đối với x thành đa thức bậc 2 đối với y. Ví dụ 17. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1. Lời giải Cách 1. Giả sử x ≠ 0. Ta viết đa thức dưới dạng : . Đặt thì . Do đó : A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = = (x2 + 3x - 1)2. Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0. Cách 2. A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + 1 = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2.
  20. VI. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Ví dụ 18. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 - 6x3 + 12x2 - 14x - 3 Lời giải Thử với x= ±1; ±3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3. Đồng nhất các hệ số ta được : Xét bd= 3 với b, d Î Z, b Î {± 1, ± 3}. Với b = 3 thì d = 1, hệ điều kiện trên trở thành 2c = -14 - (-6) = -8. Do đó c = -4, a = -2. Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1). VII. PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định các nhân tử còn lại. Ví dụ 19. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y). Lời giải Thay x bởi y thì P = y2(y – z) + y2( z – y) = 0. Như vậy P chứa thừa số (x – y). Ta thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì p không đổi (đa thức P có thể hoán vị vòng quanh). Do đó nếu P đã chứa thừa số (x – y) thì cũng chứa thừa số (y – z), (z – x). Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x). Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z, còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x ,y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 ta được: 4.1 + 1.(–2) + 0 = k.1.1.(–2) suy ra k =1 Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)
  21. VIII. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT SỐ ĐA THỨC ĐẶC BIỆT 1. Đưa về đa thức : a3 + b3 + c3 - 3abc Ví dụ 20. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) a3 + b3 + c3 - 3abc. b) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3. Lời giải a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc = [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc -ca) b) Đặt x - y = a, y - z = b, z - x = c thì a + b + c. Theo câu a) ta có : a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 Þ a3 + b3 + c3 = 3abc. Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x) 2. Đưa về đa thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 Ví dụ 21. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3. b) 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3. Lời giải a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b) + c]3 - a3 - b3 - c3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3 = (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a + b)(a2 - ab + b2) = (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)] = 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)] = 3(a + b)(b + c)(c + a). b) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c). Đa thức đã cho có dạng : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 Theo kết quả câu a) ta có :
  22. (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y) II. Bài tập: Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. 16x3y + 0,25yz3 21. (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2 2. x 4 – 4x3 + 4x2 22. 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2 3. 2ab2 – a2b – b3 23. a 4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2 4. a 3 + a2b – ab2 – b3 24. a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) 5. x 3 + x2 – 4x - 4 25. a 6 – a4 + 2a3 + 2a2 6. x 3 – x2 – x + 1 26. (a + b)3 – (a – b)3 7. x 4 + x3 + x2 - 1 27. X 3 – 3x2 + 3x – 1 – y3 8. x 2y2 + 1 – x2 – y2 28. X m + 4 + xm + 3 – x - 1 10. x 4 – x2 + 2x - 1 29. (x + y)3 – x3 – y3 11. 3a – 3b + a2 – 2ab + b2 30. (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 12. a 2 + 2ab + b2 – 2a – 2b + 1 31. (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3 13. a 2 – b2 – 4a + 4b 32. x3 + y3+ z3 – 3xyz 14. a 3 – b3 – 3a + 3b 33. (x + y)5 – x5 – y5 15. x 3 + 3x2 – 3x - 1 34. (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 16. x 3 – 3x2 – 3x + 1 17. x 3 – 4x2 + 4x - 1 18. 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2 19. (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 20. (a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2 Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. x2 – 6x + 8 23. x3 – 5x2y – 14xy2 2. x2 – 7xy + 10y2 24. x4 – 7x2 + 1 3. a2 – 5a - 14 25. 4x4 – 12x2 + 1 4. 2m2 + 10m + 8 26. x2 + 8x + 7 5. 4p2 – 36p + 56 27. x2 – 13x + 36 6. x3 – 5x2 – 14x 28. x2 + 3x – 18 7. a4 + a2 + 1 29. x2 – 5x – 24
  23. 8. a4 + a2 – 2 30. 3x2 – 16x + 5 9. x4 + 4x2 + 5 31. 8x2 + 30x + 7 10. x3 – 10x - 12 32. 2x2 – 5x – 12 11. x3 – 7x - 6 33. 6x2 – 7x – 20 12. x2 – 7x + 12 34. x2 – 7x + 10 13. x2 – 5x – 14 35. x2 – 10x + 16 14. 4 x2 – 3x – 1 36. 3x2 – 14x + 11 15. 3 x2 – 7x + 4 37. 5x2 + 8x – 13 16. 2 x2 – 7x + 3 38. x2 + 19x + 60 17. 6x3 – 17x2 + 14x – 3 39. x4 + 4x2 - 5 18. 4x3 – 25x2 – 53x – 24 40. x3 – 19x + 30 19. x4 – 34x2 + 225 41. x3 + 9x2 + 26x + 24 20. 4x4 – 37x2 + 9 42. 4x2 – 17xy + 13y2 21. x4 + 3x3 + x2 – 12x - 20 43. - 7x2 + 5xy + 12y2 22. 2x4 + 5x3 + 13x2 + 25x + 15 44. x3 + 4x2 – 31x - 70 Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. x4 + x2 + 1 17. x5 - x4 - 1 2. x4 – 3x2 + 9 18. x12 – 3x6 + 1 3. x4 + 3x2 + 4 19. x8 - 3x4 + 1 4. 2x4 – x2 – 1 20. a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1 5. x4y4 + 4 21. m3 – 6m2 + 11m - 6 6. x4y4 + 64 22. x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 7. 4 x4y4 + 1 23. x3 + 4x2 – 29x + 24 8. 32x4 + 1 24. x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1 9. x4 + 4y4 25. x7 + x5 + x4 + x3 + x2 + 1 10. x7 + x2 + 1 26. x5 – x4 – x3 – x2 – x - 2 11. x8 + x + 1 27. x8 + x6 + x4 + x2 + 1 12. x8 + x7 + 1 28. x9 – x7 – x6 – x5 + x4 + x3 + x2 + 1 13. x8 + 3x4 + 1 29. a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) 14. x10 + x5 + 1 15. x5 + x + 1 16. x5 + x4 + 1
  24. Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử. Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2 1. a(b + c)(b2 – c2) + b(a + c)(a2 – c2) + c(a + b)(a2 – b2) 2. 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1 2. ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) 3. 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3 3. a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) 4. 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2 4. (x – y)5 + (y – z)5 + (z – x)5 5. x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2 5. (x + y)7 – x7 – y7 6. x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – 3 6. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc 7. x4 – 13x2 + 36 7. (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5 8. x4 + 3x2 – 2x + 3 8. a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc 9. x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 9. a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b) 10. abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – 1 Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: Bài tập 7: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 1. (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12 2. (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3 2. (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 3. x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) 3. (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 4. (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 4. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 5. 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8 5. (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20 6. 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24 6. x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35 7. 15x3 + 29x2 – 8x – 12 7. (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 8. x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8 8. (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12 9. x3 + 9x2 + 26x + 24 9. 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) – 3x2
  25. Chuyên đề Tính chia hết với số nguyên I. Mục tiêu Sau khi học xong chuyên đề học sinh có khả năng: 1.Biết vận dụng tính chất chia hÕt cña sè nguyªn dể chứng minh quan hÖ chia hÕt, t×m sè d­ vµ t×m ®iÒu kiÖn chia hÕt. 2. Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh 3. Có kĩ năng vận dụng các kiến thức được trang bị để giải toán. II. Các tài liệu hỗ trợ: - Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8 - Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8 - Bồi dưỡng toán 8 - Nâng cao và phát triển toán 8 - III. Nội dung 1. Kiến thức cần nhớ 1. Chøng minh quan hÖ chia hÕt Gäi A(n) lµ mét biÓu thøc phô thuéc vµo n (n N hoÆc n Z) a/ §Ó chøng minh A(n) chia hÕt cho m ta ph©n tÝch A(n) thµnh tÝch trong ®ã cã mét thõa sè lµ m + NÕu m lµ hîp sè ta ph©n tÝch m thµnh tÝch c¸c thõa sè ®«I mét nguyªn tè cïng nhau råi chøng minh A(n) chia hÕt cho tÊt c¶ c¸c sè ®ã + Trong k sè liªn tiÕp bao giê còng tån t¹i mét sè lµ béi cña k b/. Khi chøng minh A(n) chia hÕt cho n ta cã thÓ xÐt mäi tr­êng hîp vÒ sè d­ khi chia m cho n * VÝ dô1: 3 2 2 C/minh r»ng A=n (n - 7) – 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n Gi¶i: Ta cã 5040 = 24. 32.5.7 3 2 2 2 2 2 2 2 A= n (n - 7) – 36n = n.[ n (n -7) – 36 ] = n. [n.(n -7 ) -6].[n.(n -7 ) +6] = n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6) Ta l¹i cã n3-7n – 6 = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) =(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3) T­¬ng tù : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d Do ®ã A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) Ta thÊy : A lµ tÝch cña 7 sè nguyªn liªn tiÕp mµ trong 7 sè nguyªn liªn tiÕp: - Tån t¹i mét béi sè cña 5 (nªn A  5 ) - Tån t¹i mét béi cña 7 (nªn A  7 ) - Tån t¹i hai béi cña 3 (nªn A  9 ) - Tån t¹i 3 béi cña 2 trong ®ã cã béi cña 4 (nªn A  16) VËy A chia hÕt cho 5, 7,9,16 ®«i mét nguyªn tè cïng nhau A  5.7.9.16= 5040 VÝ dô 2: Ch­ng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a th× : a/ a3 –a chia hÕt cho 3 b/ a5-a chia hÕt cho 5 Gi¶i: a/ a3-a = (a-1)a (a+1) lµ tÝch cña c¸c sè nguyªn liªn tiÕp nªn tÝch chia hÕt cho 3 b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1) C¸ch 1: Ta xÕt mäi tr­êng hîp vÒ sè d­ khi chia a cho 5
  26. - NÕu a= 5 k (k Z) th× A  5 (1) - NÕu a= 5k 1 th× a2-1 = (5k2 1) 2 -1 = 25k2 10k 5 A  5 (2) - NÕu a= 5k 2 th× a2+1 = (5k 2)2 + 1 = 25 k2 20k +5 A  5 (3) Tõ (1),(2),(3) A  5,  n Z C¸ch 2: Ph©n tÝch A thµnh mét tæng cña hai sè h¹ng chia hÕt cho 5 : + Mét sè h¹ng lµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp + Mét sè h¹ng chøa thõa sè 5 Ta cã : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1) = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1) Mµ = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)  5 (tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp ) 5a (a2-1)  5 Do ®ã a5-a  5 * C¸ch 3: Dùa vµo c¸ch 2: Chøng minh hiÖu a5-a vµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 5. Ta cã: a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1) = a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a  5 a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)  5 Mµ (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)  5 a5-a  5(TÝnh chÊt chia hÕt cña mét hiÖu) c/ Khi chøng minh tÝnh chia hÕt cña c¸c luü thõa ta cßn sö dông c¸c h»ng ®¼ng thøc: an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ +abn-2+ bn-1) (H§T 8) an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - - abn-2+ bn-1) (H§T 9) - Sö dông tam gi¸c Paxcan: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 Mçi dßng ®Òu b¾t ®Çu b»ng 1 vµ kÕt thóc b»ng 1 Mçi sè trªn mét dßng (kÓ tõ dßng thø 2) ®Òu b»ng sè liÒn trªn céng víi sè bªn tr¸i cña sè liÒn trªn. Do ®ã: Víi  a, b Z, n N: an – bn chia hÕt cho a – b( a b) a2n+1 + b2n+1 chia hÕt cho a + b( a -b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Béi sè cña a) (a+1)n = Bsa +1 (a-1)2n = Bsa +1 (a-1)2n+1 = Bsa -1 * VD3: CMR víi mäi sè tù nhiªn n, biÓu thøc 16n – 1 chia hÕt cho 17 khi vµ chØ khi n lµ sè ch½n. Gi¶i: + C¸ch 1: - NÕu n ch½n: n = 2k, k N th×: A = 162k – 1 = (162)k – 1 chia hÕt cho 162 – 1( theo nhÞ thøc Niu T¬n) Mµ 162 – 1 = 255  17. VËy A 17 - NÕu n lÎ th× : A = 16n – 1 = 16n + 1 – 2 mµ n lÎ th× 16n + 1 16+1=17 (H§T 9) A kh«ng chia hÕt cho 17 +C¸ch 2: A = 16n – 1 = ( 17 – 1)n – 1 = BS17 +(-1)n – 1 (theo c«ng thøc Niu T¬n)
  27. - NÕu n ch½n th× A = BS17 + 1 – 1 = BS17 chia hÕt cho 17 - NÕu n lÎ th× A = BS17 – 1 – 1 = BS17 – 2 Kh«ng chia hÕt cho 17 VËy biÓu thøc 16n – 1 chia hÕt cho 17 khi vµ chØ khi n lµ sè ch½n,  n N d/ Ngoµi ra cßn dïng ph­¬ng ph¸p ph¶n chøng, nguyªn lý Dirichlª ®Ó chøng minh quan hÖ chia hÕt. VD 4: CMR tån t¹i mét béi cña 2003 cã d¹ng: 2004 2004 .2004 Gi¶i: XÐt 2004 sè: a1 = 2004 a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 . a2004 = 2004 2004 2004 2004 nhãm 2004 Theo nguyªn lý Dirichle, tån t¹i hai sè cã cïng sè d­ khi chia cho 2003. Gäi hai sè ®ã lµ am vµ an ( 1 n <m 2004) th× am - an  2003 Ta cã: am - an = 2004 2004 2004 000 00 m-n nhãm 2004 4n 4n hay am - an = 2004 2004 2004 . 10 m-n nhãm 2004 4n mµ am - an  2003 vµ (10 , 2003) =1 nªn 2004 2004 2004  2003 m-n nhãm 2004 2. T×m sè d­ * VD1:T×m sè d­ khi chia 2100 a/ cho 9 b/ cho 25 Gi¶i: a/ Luü thõa cña 2 s¸t víi béi cña 9 lµ 23 = 8 = 9 – 1 Ta cã : 2100 = 2. 299= 2. (23)33 = 2(9 – 1 )33 = 2(BS9 -1) ( theo nhÞ thøc Niu T¬n) = BS9 – 2 = BS9 + 7 VËy 2100 chia cho 9 d­ 7 b/ Luü thõa cña 2 gÇn víi béi cña 25 lµ 2 10 = 1024 =1025 – 1 Ta cã: 2100 =( 210)10 = ( 1025 – 1 )10 = BS 1025 + 1 = BS 25 +1 (theo nhÞ thøc Niu T¬n) VËy 2100 chia cho 25 d­ 1 * VD2: T×m 4 ch÷ sè tËn cïng cña 51994 khi viÕt trong hÖ thËp ph©n Gi¶i: - C¸ch 1: Ta cã: 1994 = 4k + 2 vµ 54 = 625 Ta thÊy sè tËn cïng b»ng 0625 khi n©ng lªn luü thõa nguyªn d­¬ng bÊt k× vÉn tËn cïng b»ng 0625 Do ®ã: 51994 = 54k+2=(54)k. 52 = 25. (0625)k = 25. ( 0625)= 5625 - C¸ch 2: T×m sè d­ khi chia 51994 ch 10000 = 24.54 Ta thÊy 54k – 1 = (54)k – 1k chia hÕt cho 54 – 1 = (52 + 1) (52 - 1)  16 Ta cã 51994 = 56(51988 – 1) + 56 mµ 56  54 vµ 51988 – 1 = (54)497 – 1 chia hÕt cho 16 ( 51994)3. 56(51988 – 1)chia hÕt cho 10000 cßn 56= 15625 51994 = BS10000 + 15625 51994 chia cho 10000 d­ 15625
  28. VËy 4 ch÷ sè tËn cïng cña 51994 lµ 5625 3. T×m ®iÒu kiÖn chia hÕt * VD1: T×m sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B: A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n Gi¶i: n3 + 2n2- 3n + 2 n2 – n n3 – n2 n + 3 3n2 - 3n + 2 3n2 – 3n 2 2 Ta cã: n3 + 2n2- 3n + 2 = (n2 – n)(n + 3) + n2 n Do ®ã Gi¸ trÞ cña A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña B n2 – n ¦(2) 2 chia hÕt cho n(n – 1) 2 chia hÕt cho n Ta cã b¶ng: n 1 -1 2 -2 n – 1 0 -2 1 -3 n(n – 1) 0 2 2 6 Lo¹i T/m T/m Lo¹i VËy víi n = -1, n = 2 th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B VD 2: T×m sè nguyªn n dÓ n5 + 1 chia hÕt cho n3 + 1 Gi¶i: n5 + 1  n3 + 1 n5 + n2 – n2 + 1  n3 + 1 n2(n3 + 1)- ( n2 – 1)  n3 + 1 (n – 1)(n + 1)  (n+1)(n2 – n + 1) n – 1  n2 – n + 1 n(n – 1)  n2 – n + 1 Hay n2 – n  n2 – n + 1 (n2 – n + 1) – 1  n2 – n + 1 1 n2 – n + 1 XÐt hai tr­êng hîp: + n2 – n + 1 = 1 n2 – n = 0 n(n – 1) = 0 n = 0, n = 1 thö l¹i thÊy t/m ®Ò bµi + n2 – n + 1 = - 1 n2 – n + 2 = 0 , kh«ng cã gi¸ trÞ cña n tho¶ m·n VD 3: T×m sè tù nhiªn n sao cho 2n - 1 chia hÕt cho 7 Gi¶i: Ta cã luü thõa cña 2 gÇn víi béi cña 7 lµ 23 = 8 = 7 + 1 - NÕu n = 3k (k N) th× 2n - 1= 23k – 1 = (23)k – 1 = 8 k - 1k 8 – 1 = 7 NÕu n = 3k + 1(k N) th× 2n - 1 = 23k+1 – 1 = 8k . 2 – 1= 2(8k – 1) + 1 = 2. BS7 + 1 2n - 1 kh«ng chia hÕt cho 7 - NÕu n = 3k +2(k N) th× 2n - 1 = 23k+2 – 1= 4.23k – 1 = 4( 8k – 1) + 3 = 4.BS7 + 3 2n - 1 kh«ng chia hÕt cho 7 VËy 2n - 1 7 n = 3k (k N) 2. Bµi tËp Bµi 1: Chøng minh r»ng: a/ n3 + 6n2 + 8n chia hªt ch 48 víi mäi sè n ch½n
  29. b/ n4 – 10n2 + 9 chia hÕt cho 384 víi mäi sè n lÎ Gi¶i a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)] = n(n+2)(n + 4) Víi n ch½n, n = 2k ta cã: n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k. (k + 1)k + 2)  8 b/ n4 – 10n2 + 9 = n4 – n2 – 9n2 + 9 = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9) = (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3) Víi n lÎ, n = 2k +1, ta cã: n4 – 10n2 + 9 = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + 1 – 3)( 2k + 1 +3) = 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2)  16 Bµi 2: Chøng minh r»ng a/ n6 + n4 -2n2 chia hÕt cho 72 víi mäi sè nguyªn n b/ 32n – 9 chia hÕt cho 72 víi mäi sè nguyªn d­¬ng n Gi¶i: Ta cã: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)] = n2(n2 + 2)(n2 – 1). Ta l¹i cã: 72 = 8.9 víi (8,9) = 1 XÐt c¸c tr­êng hîp: + Víi n = 2k A = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1)  8 + Víi n = 2k +1 A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2  8 T­¬ng tù xÐt c¸c tr­êng hîp n = 3a, n= 3a 1 ®Ó chøng minh A 9 VËy A 8.9 hay A 72 Bµi 3: Cho a lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3. Chøng minh r»ng a2 – 1 chia hÕt cho 24 Gi¶i: V× a2 lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 nªn a lÎ a2 lµ sè chÝnh ph­¬ng lÎ a2 chia cho 8 d­ 1 a2 – 1 chia hÕt cho 8 (1) MÆt kh¸c a lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 a kh«ng chia hÕt cho 3 a2 lµ sè chÝnh ph­¬ng kh«ng chia hÕt cho 3 a2 chia cho 3 d­ 1 a2 – 1 chia hÕt cho 3 (2) Mµ (3,8) = 1 (3) Tõ (1), (2), (3) a2 – 1 chia hÕt cho 24 Bµi 4: Chøng minh r»ng: NÕu sè tù nhiªn a kh«ng chia hÕt cho 7 th× a6 -1 chia hÕt cho 7 Gi¶i: Bµi to¸n lµ tr­êng hîp ®Æc biÖt cña ®Þnh lý nhá PhÐc ma: - D¹ng 1: NÕu p lµ sè nguyªn tè vµ a lµ mét sè nguyªn th× ap – a chia hÕt cho p - D¹ng 2: NÕu a lµ mét sè nguyªn kh«ng chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× ap-1-1 chia hÕt cho p ThËt vËy, ta cã a6 -1 = (a3 + 1) (a3 - 1) - NÕu a = 7k 1 (k N) th× a3 = ( 7k 1)3 = BS7 1 a3 - 1 7 - NÕu a = 7k 2 (k N) th× a3 = ( 7k 2)3 = BS7 23 = BS7 8 a3 - 1 7 - NÕu a = 7k 3 (k N) th× a3 = ( 7k 3)3 = BS7 33 = BS7 27 a3 + 1 7 Ta lu«n cã a3 + 1 hoÆc a3 – 1 chia hÕt cho 7. VËy a6 – 1 chia hÕt cho 7 Bµi 5: Chøng minh r»ng: NÕu n lµ lËp ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn th× (n-1)n(n + 1) chia hÕt cho 504 Gi¶i: Ta cã 504 = 32 . 7.8 vµ 7,8,9 nguyªn tè cïng nhau tõng ®«i mét
  30. V× n lµ lËp ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn nªn ®Æt n = a3 CÇn chøng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hÕt cho 504 Ta cã: + NÕu a ch½n a3 chia hÕt cho 8 NÕu a lÎ a3-1vµ a3 + 1 lµ hai sè ch½n liªn tiÕp (a3-1) (a3 + 1) chi hÕt cho 8 VËy A 8 , 19a9  n N (1) + NÕu a 7 a3 7 A 7 NÕu a kh«ng chia hÕt cho 7 th× a6 – 1 7 (a3-1) (a3 + 1)  7(§Þnh lÝ PhÐc ma) VËy A 7 ,   n N (2) + NÕu a 3 a3 9 A 9 NÕu a kh«ng chia hÊe cho 3 a = 3k 1 a3 = ( 3k 3)3= BS9 1 a3 – 1 = BS9+1 – 1  9 a3 + 1 = BS9- 1 + 1  9 VËy A 9 ,   n N (3) Tõ (1), (2), (3) A 9 ,   n N Bµi 6: T×m sè tù nhiªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn tè: a/ 12n2 – 5n – 25 b/ 8n2 + 10n +3 n3 3n c/ 4 Gi¶i: a/ Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 12n2 – 5n – 25 = 12n2 +15n – 20n – 25 = 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5) Do 12n2 – 5n – 25 lµ sè nguyªn tè vµ 4n +5 > 0 nªn 3n – 5 > 0. Ta l¹i cã: 3n – 5 1 th× A = k(4k + 3) lµ tÝch cña hai thõa sè lín h¬n 1 nªn A lµ hîp sè - NÕu n + 3 = 4 th× A = 1, kh«ng lµ sè nguyªn tè - NÕu n + 3 = 4k víi k Z, k > 1 th× A = k(4k - 3) lµ tÝch cña hai thõa sè lín h¬n 1 nªn A lµ hîp sè. n3 3n VËy víi n = 4 th× lµ sè nguyªn tè 7 4 Bµi 7: §è vui: N¨m sinh cña hai b¹n Mét ngµy cña thËp kû cuèi cïng cña thÕ kû XX, mét ng­êi kh¸ch ®Õn th¨m tr­êng gÆp hai häc sinh. Ng­êi kh¸ch hái: - Cã lÏ hai em b»ng tuæi nhau? B¹n Mai tr¶ lêi: - Kh«ng, em h¬n b¹n em mét tuæi. Nh­ng tæng c¸c ch÷ sè cña n¨m sinh mçi chóng em ®Òu lµ sè ch½n. - VËy th× c¸c em sinh n¨m 1979 vµ 1980, ®óng kh«ng? Ng­êi kh¸ch ®· suy luËn thÕ nµo? Gi¶i:
  31. Ch÷ sè tËn cïng cña n¨m sinh hai b¹n ph¶i lµ 9 vµ 0 v× trong tr­êng hîp ngùoc l¹i th× tæng c¸c ch÷ sè cña n¨m sinh hai b¹n chØ h¬n kÐm nhau lµ 1, kh«ng thÓ cïng lµ sè ch½n. Gäi n¨m sinh cña Mai lµ 19a9 th× 1 +9+a+9 = 19 + a. Muèn tæng nµy lµ sè ch½n th× a {1; 3; 5; 7; 9}. HiÓn nhiªn Mai kh«ng thÓ sinh n¨m 1959 hoÆc 1999. VËy Mai sinh n¨m 1979, b¹n cña Mai sinh n¨m 1980. Chúc các bạn học tốt!!!