Bộ đề thi HSG Toán 6

Nội dung text: Bộ đề thi HSG Toán 6

1. BỘ ĐỀ THI HSG TOÁN 6 ĐỀ SỐ 1 Cõu 1. Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: a) A = (-1).(-1)2.(-1)3.(-1)4 (-1)2010.(-1)2011 131313 131313 131313 b) B = 70.( + + ) 565656 727272 909090 2a 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d c) C = + + + biết = = = . 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d 2a Cõu 2. Tỡm x là cỏc số tự nhiờn, biết: a) x 1 = 8 2 x 1 2 2 0,4 1 3 b) x : (9 - ) = 9 11 2 2 8 8 1,6 9 11 Cõu 3. a) Tỡm tất cả cỏc cặp số tự nhiờn (x,y) sao cho 34x5y chia hết cho 36 . b) Khụng quy đồng mẫu số hóy so sỏnh 9 19 9 19 A ; B 10 2010 10 2011 10 2011 102010 Cõu 4. Cho A = n 1 n 4 a) Tỡm n nguyờn để A là một phõn số. b) Tỡm n nguyờn để A là một số nguyờn. Cõu 5. Cho tam giỏc ABC cú ABC = 550, trờn cạnh AC lấy điểm D (D khụng trựng với A và C). a) Tớnh độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm. b) Tớnh số đo của DBC, biết ABD = 300. c) Từ B dựng tia Bx sao cho DBx = 900. Tớnh số đo ABx. d) Trờn cạnh AB lấy điểm E (E khụng trựng với A và B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD và CE cắt nhau. .Hết . 1
2. ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Cõu 1 a) (1,5 đ) 1,5 (4,5 A = -1.1.(-1).1 (-1).1(-1) = -1 đ) b) (1,5 đ) 13 13 13 1 1 1 B = 70.( + + ) = 70.13.( + + ) 1,0 56 72 90 7.8 8.9 9.10 1 1 = 70.13.( - ) = 39 0,5 7 10 c) (1,5 đ) 2a 3b 4c 5d Đặt = = = = k 0,5 3b 4c 5d 2a 2a 3b 4c 5d Ta cú . . . = k4 => k4 = 1 k = 1. 0,5 3b 4c 5d 2a 2a 3b 4c 5d C = + + + = 4 0,5 3b 4c 5d 2a Cõu 2 a) (2,0 đ) (3,5đ) x 1 8 2 2 =  (x + 1) = 16 = ( 4) 0,75 2 x 1 0,5 +) x + 1 = 4 => x = 3 0,5 +) x + 1 = - 4 => x = -5 (loại) 0,25 Vậy x = 3 b) (1,5 đ) 2 2 2 2 0,4 0,4 1 3 9 11 19 3 9 11 x 1 x : (9 - ) =  x :( ) =  1,0 2 2 8 8 2 2 2 2 8 4 1,6 4 0,4 9 11 9 11 0,5 => x = 2 Cõu 3 a) (1,5 đ) (3,0 Ta cú 36 = 9.4. Mà ƯC(4,9) =1 0,25 đ) Vậy để 34x5y chia hết cho 36 thỡ 34x5y chia hết cho 4 và 9 0,5 34x5y chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 + y 9 => 12 + x + y 9 (1) 0,25 34x5y chia hết cho 4 khi 5y 4 => y = 2 hoặc y = 6 0,25 Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x 9 => x = 4 0,25 Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x 9 => x = 0 hoặc x = 9 0,25 Vậy cỏc cặp (x,y) cần tỡm là: (4,2); (0,6) và (9,6) 0,25 b) (1,5 đ) 9 19 9 10 9 Ta cú A 10 2010 10 2011 102010 10 2011 10 2011 0,5 9 19 9 10 9 B 10 2011 102010 10 2011 10 2010 102010 10 10 0,5 Ta thấy => Vậy A > B 102011 102010 0,5 2
3. CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Cõu 4 a) (1,0 đ) n 1 (3,0 A = là phõn số khi n + 4 0 => n - 4 1,0 đ) n 4 b) (2,0 đ) n 1 n 4 5 5 A = = 1 0,5 n 4 n 4 n 4 Với n nguyờn, A nhận giỏ trị nguyờn  5 n + 4 hay n + 4 Ư(5) 0,5 Lập luận tỡm ra được n = -9, -5, -3, 1 1,0 Cõu 5 A (6,0 đ) E D B C a) (1,5 đ) 1,5 D nằm giữa A và C => AC = AD + CD = 4 + 3 = 7 cm b) (1,5 đ) Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nờn ABC = ABD + DBC 1,0 => DBC = ABC –ABD = 550 – 300 = 250 0,5 c) (1,5 đ) Xột hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm về hai phớa nửa mặt phẳng cú bờ là AB Tớnh được ABx = 900 – ABD 0,75 Mặt khỏc tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nờn 00 900- 550 tia BA thuộc nửa MP chứa điểm A. E thuộc đoạn AB => E thuộc nửa MP bờ BD chứa điểm A => E và C ở 2 nửa MP bờ BD => đường thẳng BD cắt đoạn EC 0,75 - Xột đường thẳng CE. 0,5 3
4. CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Lập luận tương tự: ta cú đường thẳng EC cắt đoạn BD. Vậy 2 đoạn thẳng EC và BD cắt nhau. 0,25 ĐỀ SỐ 2 Bài 1: ( 2.0 điểm ) 3 3 3 a) Rỳt gọn phõn số: ( 2) .3 .5 .7.8 3.53.24.42 7 15 15 7 b) So sỏnh khụng qua quy đồng: A ; B 10 2005 10 2006 10 2005 10 2006 Bài 2: ( 2.0 điểm ) Khụng quy đồng hóy tớnh hợp lý cỏc tổng sau: 1 1 1 1 1 1 a) A 20 30 42 56 72 90 5 4 3 1 13 b) B 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 Bài 3: ( 2.0 điểm ) Một người bỏn năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg. Sau khi bỏn một giỏ cam thỡ số lượng xoài cũn lại gấp ba lần số lượng cam cũn lại. Hóy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài? Bài 4: ( 3.0 điểm ) Cho gúc AOB và gúc BOC là hai gúc kề bự . Biết gúc BOC bằng năm lần gúc AOB. a) Tớnh số đo mỗi gúc. b) Gọi OD là tia phõn giỏc của gúc BOC. Tớnh số đo gúc AOD. c) Trờn cựng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thờm 2006 tia phõn biệt (khụng trựng với cỏc tia OA;OB;OC;OD đó cho) thỡ cú tất cả bao nhiờu gúc? Bài 5: ( 1.0 điểm ) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố( p > 3) . Chứng minh rằng p + 8 là hợp số A.Đáp án và biểu điểm Bài 1: ( 2.0 điểm ) Thang Đáp án điểm a) 0.5 0.5 4
5. 7 15 7 8 7 b)A 0.5 102005 102006 102005 102006 102006 15 7 7 8 7 B 102005 102006 102005 102005 102006 8 8 0.5 A B 102006 102005 Bài 2: ( 2.0 điểm ) 1 1 1 1 1 1 1 1 a) A ( ) 20 30 42 90 4.5 5.6 6.7 9.10 0.5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ( ) ( ) 4 5 5 6 6 7 9 10 4 10 20 0.5 5 4 3 1 13 5 4 3 1 13 b) B 7.( ) 0.5 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1 7.( ) 7.( ) 3 2 7 7 11 11 14 14 15 15 28 2 28 4 4 0.5 Bài 3: ( 2.0 điểm ) Tổng số xoài và cam lỳc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg) Vỡ số xoài cũn lại gấp ba lần số cam cũn lại nờn tổng số xoài và cam cũn lại là số chia hết cho 4, mà 359 chia cho 4 dư 3 nờn giỏ cam bỏn đi cú khối lượng 0.5 chia cho 4 dư 3. 0.25 Trong cỏc số 65; 71; 58; 72; 93 chỉ cú 71 chia cho 4 dư 3 . 0.5 Vậy giỏ cam bỏn đi là giỏ 71 kg. 0.25 Số xoài và cam cũn lại : 359 - 71= 288 (kg) 0.25 Số cam cũn lại : 288:4 = 72(kg) Vậy: cỏc giỏ cam là giỏ đựng 71 kg ; 72 kg . 0.25 cỏc giỏ xoài là giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg. Bài 4: ( 3.0 điểm ) Vẽ hỡnh đỳng B D A O C a)Vỡ gúc AOB và gúc BOC là hai gúc kề bự nờn: AOB + BOC =1800 0.5 0 mà BOC = 5AOB nờn: 6AOB = 180 0.5 Do đú: AOB = 1800 : 6 = 300 ; BOC = 5. 300 = 1500 b)Vỡ OD là tia phõn giỏc của gúc BOC nờn BOD = DOC =1 BOC = 750. 2 0.5 Vỡ gúc AOD và gúc DOC là hai gúc kề bự nờn: AOD + DOC =1800 Do đú AOD =1800 - DOC = 1800- 750 = 1050 0.5 5
6. c) Tất cả cú 2010 tia phõn biệt. Cứ 1 tia trong 2010 tia đú tạo với 2009 tia cũn 0.5 lại thành 2009 gúc. Cú 2010 tia nờn tạo thành 2010.2009gúc, nhưng như thế 2010.2009 mỗi gúc được tớnh hai lần .Vậy cú tất cả =2 019 045 gúc 0.5 2 Bài 5: ( 1.0 điểm ) P có dạng 3k + 1; 3k + 2 k N 0.5 Dạng p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài p = 3k + 1 p + 8 = 3k + 9  3 p + 8 là hợp số 0.5 ĐỀ SỐ 3 Bài 1 : (5 điểm) Thực hiện cỏc phộp tớnh sau một cỏch hợp lý : a) 102 112 122 : 132 142 . b) 1.2.3 9 1.2.3 8 1.2.3 7.82 2 3.4.216 c) 11.213.411 169 d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1 Bài 2 : (4 điểm) Tỡm x, biết: a) 19x 2.52 :14 13 8 2 42 b) x x 1 x 2 x 30 1240 c) 11 - (-53 + x) = 97 d) -(x + 84) + 213 = -16 Bài 3 : (2 điểm) Tỡm hai số tự nhiờn a và b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 và a+15=b. Bài 4 : (3 điểm) a) Tỡm số nguyờn x và y, biết : xy - x + 2y = 3. 101102 1 b) So sỏnh M và N biết rằng : M . 101103 1 101103 1 N . 101104 1 Bài 5 : (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a) Chứng tỏ rằng OA < OB. b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm cũn lại ? c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB). 6
7. B - PHẦN ĐÁP ÁN : Bài 1 : (5 điểm) Thực hiện cỏc phộp tớnh sau một cỏch hợp lý : Đỏp ỏn Điểm a) 102 112 122 : 132 142 100 121 144 : 169 196 1 365:365 1 b) 1.2.3 9 1.2.3 8 1.2.3 7.82 1.2.3 7.8. 9 1 8 1.2.3 7.8 0 0 1 2 2 2 3.4.216 3.22.216 32. 218 c) 13 11 9 11 9 13 22 36 11.2 .4 16 11.213. 22 24 11.2 .2 2 1 32.236 32.236 32.236 32.2 2 11.213.222 236 11.235 236 235 11 2 9 d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374 = (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = - 1 65 e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1 = 1 = 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - 7 - 6 + 5) - (4 - 3 - 2 + 1) = 13 Bài 2 : (4 điểm) Tỡm x : Cõu Đỏp ỏn Điểm a. 19x 2.52 :14 13 8 2 42 x 14. 13 8 2 42 2.52 :19 1  x 4 b. x x 1 x 2 x 30 1240 x x x 1 2 30 1240  31 So hang 30. 1 30 31x 1240 1 2 31x 1240 31.15 775 x 25 31 c. 11 - (-53 + x) = 97 x 11 97 ( 53) 33 1 d. -(x + 84) + 213 = -16 (x 84) 16 213 (x 84) 229 1 x 84 229 x 229 84 145 Bài 3 : (3 điểm) 7
8. Đỏp ỏn Điểm Từ dữ liệu đề bài cho, ta cú : + Vỡ ƯCLN(a, b) = 15, nờn ắt tồn tại cỏc số tự nhiờn m và n khỏc 0, sao cho: a = 15m; b = 15n (1) và ƯCLN(m, n) = 1 (2) + Vỡ BCNN(a, b) = 300, nờn theo trờn, ta suy ra : BCNN 15m; 15n 300 15.20 BCNN m; n 20 (3) 3 + Vỡ a + 15 = b, nờn theo trờn, ta suy ra : 15m 15 15n 15. m 1 15n m 1 n (4) Trong cỏc trường hợp thoả món cỏc điều kiện (2) và (3), thỡ chỉ cú trường hợp : m = 4, n = 5 là thoả món điều kiện (4). Vậy với m = 4, n = 5, ta được cỏc số phải tỡm là : a = 15 . 4 = 60; b = 15 . 5 = 75 Bài 4 : (2 điểm) Cõu Đỏp ỏn Điểm Chứng minh đẳng thức: - (-a + b + c) + (b + c - 1) = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c. Biến đổi vế trỏi của đẳng thức, ta được : VT = -(-a + b + c) + (b + c - 1) = -(-a) - (b + c) + (b + c) + (-1) = a - 1 a. Biến đổi vế phải của đẳng thức, ta được : 1 VP = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c = b + (-c) + 6 - 7 + a - b + c = [b + (-b)] + [(-c) + c] + a + [6 + (-7)] = a - 1 So sỏnh, ta thấy : VT = VP = a - 1 Vậy đẳng thức đó được chứng minh. Với a > b và S = -(-a - b - c) + (-c + b + a) - (a + b), ta cú : S a b c c b a a b S ( a b)+c ( c) (b a) (a b) S ( a b) a b Tớnh S : theo trờn ta suy ra : S a b * Xột với a và b cựng dấu, ta cú cỏc trường hợp sau xảy ra : + a và b cựng dương, hay a > b > 0, thỡ a + b > 0 : S a b a b + a và b cựng õm, hay 0 > a > b, thỡ a + b b, nờn suy ra : a > 0 và b -b > 0, do đú a b a ( b) 0 , suy ra: S a b a b + a b , hay -b > a > 0, do đú a b a ( b) 0 , hay a b 0 8
9. suy ra : S a b (a b) a ( b) Vậy, với : +S a b (nếu b < a < 0) + S a b (nếu b < a < 0, hoặc b < 0 < a b ) Bài 5 : (6 điểm) Cõu Đỏp ỏn Điểm Hỡnh a b vẽ o m n Hai tia AO, AB đối nhau, nờn điểm A nằm giữa hai điểm O và B, suy a. ra : 2 OA < OB. Ta cú M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB, nờn : OA OB OM ; ON b. 2 2 2 Vỡ OA < OB, nờn OM < ON. Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON, nờn điểm M nằm giữa hai điểm O và N. Vỡ điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nờn ta cú : OM MN ON suy ra : MN ON OM OB OA AB c. hay : MN 2 2 2 Vỡ AB cú độ dài khụng đổi, nờn MN cú độ dài khụng đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB). ĐỀ THI SỐ 4 Cõu 1 (6 điểm): Thực hiện cỏc phộp tớnh 136 28 62 21 a) . 15 5 10 24 b) [528: (19,3 - 15,3)] + 42(128 + 75 - 32) – 7314 5 5 5 1 1 c) 6 11 9 :8 6 6 20 4 3 Cõu 2 (4 điểm): Cho A = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6+ + 19 - 20 a) A cú chia hết cho 2, cho 3, cho 5 khụng? b) Tỡm tất cả cỏc ước của A. Cõu 3 (4 điểm): a) Chứng minh rằng: Hai số lẻ liờn tiếp bao giờ cũng nguyờn tố cựng nhau. b) Tỡm x biết: 1 + 5 + 9 + 13 + 16 + + x = 501501 9
10. Cõu 4 (6 điểm): Cho tam giỏc ABC cú BC = 5cm. Trờn tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = 3cm. a) Tớnh độ dài BM. b) Cho biết Bã AM = 800, Bã AC =600. Tớnh Cã AM . c) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM sao cho CK = 1cm. Tớnh độ dài BK. ĐÁP ÁN Cõu 1 (6 điểm): Thực hiện cỏc phộp tớnh a) (2 điểm): 272 168 186 21 29 21 203 11 = . . 8 30 30 30 24 3 24 24 24 b) (2 điểm): = (528 : 4) + 42. 171 - 7314 = 132 + 7182 - 7314 = 0 c) (2 điểm): 5 41 1 1 25 5 41 3 = 11 9 : .2. 6 6 4 4 3 6 6 25 5 41 125 246 371 71 = 2 6 25 150 150 150 150 Cõu 2 (4 điểm): a) (2 điểm): A = (1-2) + (3-4) + (5-6) + + (19-20) (cú 10 nhúm) (0,5đ) = (-1) + (-1) + (-1) + + (-1) (cú 10 số hạng) (0,5đ) = 10. (-1) = -10 (0,5đ) Vậy A 2, A  3, A  5. (0,5đ) b) (2 điểm): Cỏc ước của A là: 1, 2, 5, 10. (nờu được mỗi ước cho 0,25đ) Cõu 3 (4 điểm): a) (2 điểm): Hai số lẻ liờn tiếp cú dạng 2n + 1 và 2n + 3 (n N). (0,5đ) Gọi d là ước số chung của chỳng. Ta cú: 2n + 1 d và 3n + 3  d (0,5đ) nờn (2n + 3) - (2n + 1)  d hay 2 d nhưng d khụng thể bằng 2 vỡ d là ước chung của 2 số lẻ. (0,5đ) Vậy d = 1 tức là hai số lẻ liờn tiếp bao giờ cũng nguyờn tố cựng nhau. (0,5đ) b) (2 điểm) Ta cú: 5 = 2 + 3; 9 = 4 + 5; 13 = 6 + 7; 16 =7 + 8 (0,5đ) Do vậy x = a + (a+1) (a N) (0,25đ) Nờn 1 + 5 + 9 + 13 + 16 + + x = 1+2+3+4+5+6+7+ +a+(a+1) = 501501 (0,25đ) 10
11. Hay (a+1)(a+1+1): 2 = 501501 (0,25đ) (a+1)(a+2) = 1003002 = 1001 . 1002 (0,25đ) Suy ra: a = 1000 (0,25đ) Do đú: x = 1000 + (1000 + 1) = 2001. (0,25đ) Cõu 4 (6 điểm): a) (2 điểm): Hai điểm M và B thuộc hai tia đối nhau CM và CB nờn điểm C nằm giữa hai điểm B và M (1đ) Do đú: BM= BC + CM = 5 + 3 = 8 (cm) (1đ) b) (2 điểm): Do C nằm giữa hai điểm B và M nờn tia AC nằm giữa hai tia AB và AM (1đ) ã ã ã 0 0 0 B Do đú CAM BAM BAC = 80 - 60 = 20 (1đ) C K1 M K2 c) (2 điểm): + Nếu K thuộc tia CM thỡ C nằm giữa B và K (ứng với điểm K1 trong hỡnh vẽ) (0,5đ) Khi đú BK = BC + CK = 5 + 1 = 6 (cm) (0,5đ) + Nếu K thuộc tia CB thỡ K nằm giữa B và C (ứng với điểm K2 trong hỡnh vẽ) (0,5đ) Khi đú BK = BC - CK = 5 - 1 = 4 (cm) (0,5đ) ĐỀ SỐ 6 Cõu 1(3,0 điểm): Tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau: a. 24.5 [131 (13 4)2 ] 3 28.43 28.5 28.21 b. 5 5.56 5.24 5.63 Cõu 2(4,0 điểm): Tỡm cỏc số nguyờn x biết. 3 5 24 5 a. x . 3 35 6 b. (7x 11)3 ( 3)2.15 208 c. 2x 7 20 5.( 3) Cõu 3(5,0 điểm): a, Một số tự nhiờn chia cho 7 dư 5,chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đú chia cho 91 thỡ dư bao nhiờu? 11
12. b, Học sinh khối 6 khi xếp hàng; nếu xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 đều dư 3 học sinh. Nhưng khi xếp hàng 11 thỡ vựa đủ. Biết số học sinh khối 6 chưa đến 400 học sinh.Tớnh số học sinh khối 6? Cõu 4(6,0 điểm): Cho gúc bẹt xOy. Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ xy,vẽ cỏc tia Oz và Ot sao cho xã Oz 700 ; ãyOt 550 . a. Chứng tỏ tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot ? b. Chứng tỏ tia Ot là tia phõn giỏc của gúc yOz? c.Vẽ tia phõn giỏc On của gúc xOz. Tớnh gúc nOt? Cõu 5(2,0 điểm): Cho n là số nguyờn tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyờn tố hay là hợp số. Hết ĐÁP ÁN Cõu Nội dung Thang điểm Cõu 16.5 (131 92 ) 0.5 1(4điểm) 80 50 0.5 a (1,5) 30 0.5 3 28 43 5 1 b (1,5) .( ) 0.5 5 5 56 24 3 3 28 129 35 56 0.5 .( ) 5 5 168 168 168 3 28 108 0,25 . 5 5 168 3 18 5 5 3 0.25 cõu 2 0.5 (4điểm) 0.5 a (1,0) b (1,5) (7x 11)3 ( 3)2.15 208 0.5 (7x 11)3 9.15 208 (7x 11)3 73 0.5 18 7x 11 7 x 7 0.5 (khụng thỏa món) 12
13. c (1,5) 2x 7 20 5.( 3) 0.5 2x 7 5 [2x 7 5 [2x 12 [x 6 0.5 2x 7 5 2x 2 x 1 0.5 Vậy x 1;6 Cõu3(4,0) Gọi số đú là a 0.25 Vỡ a chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4 a (2,0) a 97;a 913 mà (7,13)=1 nờn 1.0 a 97.13 a+9=91k a=91k-9 =91k-91+82=91(k-1)+82 (k N) Vậy a chia cho 91 dư 82. 1.0 0.25 b (2,0) Gọi số Hs khối 6 là a (3<a<400) 0.25 Vỡ khi xếp hàng 10,hàng 12, hàng 15 đều dư 3 a 310;12;15 a 3 BC(10,12,15) ta cú 0.5 BCNN(10,12,15)=60 a 3 60;120;180;240;300;360;420;  0.5 a 63;123;183;243;303;363;423;  mà a11;a 400 0.75 a=363 Vậy số HS khối 6 là 363 học sinh. 0.5 Cõu 4 (6,0) z t n Vẽ hỡnh 0.5 x O y a (1,5) Vỡ gúc xOy là gúc bẹt nờn suy ra trờn cựng một nưả mặt phẳng cú bờ xy cú xã Ot và tảOy là hai gúc kề bự. 0 xã Ot +tảOy =1800 xã Ot 180 550 xã Ot 1250 0.75 Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ chứa tia Ox cú: ã ã 0 0 xOz xOt(70 125 ) Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot. 0.75 13
14. b (2,0) Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ xy ,ta cú xã Oz và zãOy là hai gúc kề bự xã Oz zãOy 1800 hay 0.75 700 zãOy 1800 zãOy 1800 700 1100 Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ chứa tia Oy cú: ãyOt ãyOz(550 1100 ) Tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz (1) nờn ta cú: ãyOt tảOz ãyOz hay 550 tảOz 1100 tảOz 1100 550 550 ãyOt tảOz( 550 ) (2).Từ (1) và (2) suy ra Ot là tia phõn 0.75 giỏc của gúc yOz. 0.5 c (2,0) Vỡ xã Oy là gúc bẹt nờn suy ra tia Ox và tia Oy là hai tia đối nhau Hai tia Ox và Oy nằm trờn hai nửa mặt phẳng đối nhau cú bờ chứa tia Oz (1) 0.5 Vỡ On là tia phõn giỏc của gúc xOz nờn xã Oz 700 nã Oz 350 và hai tia On và Ox cựng nằm trờn 2 2 mặt phẳng cú bờ chứa tia Oz (2) 0.5 Ta lại cú tia Ot là tia phõn giỏc của gúc yOz (theo b,) Hai tia Ot và Oy cựng nằm trờn một nửa mặt phẳng cú bờ chứa tia Oz (3) . Từ (1),(2), (3) suy ra tia On và tia Ot 0.5 nằm trờn hai nửa mặt phẳng đối nhau cú bờ chứa tia Oz tia Oz nằm giữa hai tia On và Ot nờn ta cú: nã Oz zã Ot nã Ot hay nã Ot 350 550 900 .Vậy nã Ot 900 0.5 Câu 5 n là số nguyờn tố, n > 3 nờn n khụng chia hết cho 3. 0.5 (2,0) Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 0.5 do đú n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007 0.75 = 3( m+669) chia hết cho 3. Vậy n2 + 2006 là hợp số. 0.25 ĐỀ SỐ 7 Bài 1(1,5đ): Tìm x a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 Bài 2 (1,5đ) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: a 5 5 a 5 14
15. Bài 3 (1,5đ) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng: a) Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương. b) Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. c) Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm? Bài 4 (2đ) Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương. Bài 5 (2đ). Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10. Bài 6 (1,5đ): Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bắng 1200. Chứng minh rằng: a) xã Oy xã Oz ãyOz b) Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại. Đáp án: Bài 1 (1,5đ) a).5x = 125  5x = 53 => x= 3 b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = 4 => x = 2 c). 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x: 53 = 52.3 + 2.52 52x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53  52x = 56 => 2x = 6 => x=3 Bài 2. Vì a là một số tự nhiên với mọi a Z nên từ a a = {0,1,2,3,4}. Nghĩa là a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4}. Biểu diễn trên trục số cácc số này đều lớn hơn -5 và nhỏ hơn 5 do đó -5<a<5. Bài 3.Nếu a dương thì số liền sau cũng dương. 15
16. Ta có: Nếu a dương thì a>0 số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương b)Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. Ta có: Nếu a âm thì a<0 số liền trước a nhỏ hơn a nên cũng nhỏ hơn 0 nên là số âm. Bài 4 (2đ). Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết. Tách riêng số dương đó còn 30 số chi làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương. Bài 5 (2đ): Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ 0 , 1 ,2, ., 9 nên luôn tìm được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận cùng là 0 và là số chia hết cho 10. Bài 6 (1,5đ).Ta có: xã 'Oy 600 , xã 'Oz 600 và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên ãyOz ãyOx' xã 'Oz 1200 vậy xã Oy ãyOz zãOx Do tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz và xã 'Oy xã 'Oz nên Ox’ là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Oy, Oz. Tương tự tia Oy’ (tia đối của Oy) và tia Oz’ (tia đối của tia Oz) là phân giác của góc xOz và xOy. ĐỀ SỐ 8 Bài 1( 8 điểm ) 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 571999 b) 931999 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997 Chứng minh rằng A chia hết cho 5. a 3 . Cho phân số ( a<b) cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn b a hay bé hơn ? b 4. Cho số 155*710* 4*16 có 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chưc số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ thì số đó luôn chia hết cho 396. 5. chứng minh rằng: 16
17. 1 1 1 1 1 1 1 a) 2 4 8 16 32 64 3 1 2 3 4 99 100 3 b) 3 32 33 34 399 3100 16 Bài 2( 2 điểm ) Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a 1 b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM = (a+b). 2 Đáp án: Bài 1: 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: ( 1 điểm ) Để tìm chữ số tận cùng của các số chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số : a) 571999 ta xét 71999 Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499. 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 ( 0,25 điểm ) Vậy số 571999 có chữ số tận cùng là : 3 b) 931999 ta xét 31999 Ta có: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27 Suy ra chữ số tận cùng bằng 7 (0,25 điểm ) 2. Cho A = 9999931999 - 5555571997 . chứng minh rằng A chia hết cho 5 Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng. Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận cùng là 7 Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận cùng là 7 ( 0,25 điểm ) Vậy A có chữ số tận cùng là 0, do đó A chia hết cho 5. ( 0,25 điểm ) 3 (1 điểm )Theo bài toán cho a <b nên am < bm ( nhân cả hai vế với m) ( 0,25 điểm ) ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab) ( 0,25 điểm ) a(b+m) < b( a+m) a a m b b m 4.(1 điểm ) Ta nhận thấy , vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp 1;2;3 nên tổng của chúng luôn bằng 1+2+3=6. Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh A = 155*710* 4*16 chia hết cho 4 ; 9 và 11. Thật vậy : +A  4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4 ( 0,25 điểm ) + A  9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 : 1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho 9 ( 0,25 điểm ) + A  11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11. {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 ( 0,25 điểm ) Vậy A  396 5(4 điểm ) 17
18. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) (2 điểm ) Đặt A= (0,25 điểm ) 2 4 8 16 32 64 2 22 23 24 25 26 1 1 1 1 1 2A= 1 (0,5 điểm ) 2 22 23 24 25 1 26 1 2A+A =3A = 1- 1 (0,75 điểm ) 26 26 1 3A < 1 A < (0,5 điểm ) 3 1 2 3 4 99 100 2 3 3 4 99 100 b) Đặt A= 3A= 1- 3 32 33 34 399 3100 3 32 33 33 398 399 (0,5 điểm ) 1 1 1 1 1 100 1 1 1 1 1 4A = 1- 4A< 1- (1) Đặt 3 32 33 398 399 3100 3 32 33 398 399 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B= 1- 3B= 2+ (0,5 điểm ) 3 32 33 398 399 3 32 397 398 1 3 4B = B+3B= 3- < 3 B < (2) 399 4 3 3 Từ (1)và (2) 4A < B < A < (0,5 điểm ) 4 16 Bài 2 ( 2 điểm ) a) (1 điểm )Vì OB <OA ( do b<a) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa điểm O và điểm A. Do đó: OB +OA= OA Từ đó suy ra: AB=a-b. O B A x 1 a b 2b a b a b b)(1 điểm )Vì M nằm trên tia Ox và OM = (a b) b 2 2 2 2 OA OB 1 = OB + OB AB 2 2 M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = BM ĐỀ SỐ 9 Câu 1: (2đ) Thay (*) bằng các số thích hợp để: a) 510* ; 61*16 chia hết cho 3. b) 261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1 Câu 2: (1,5đ) Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Câu 3: (3,5 đ) 18
19. Trên con đường đi qua 3 địa điểm A; B; C (B nằm giữa A và C) có hai người đi xe máy Hùng và Dũng. Hùng xuất phát từ A, Dũng xuất phát từ B. Họ cùng khởi hành lúc 8 giờ để cùng đến C vào lúc 11 giờ cùng ngày. Ninh đi xe đạp từ C về phía A, gặp Dũng luc 9 giờ và gặp Hùng lúc 9 giờ 24 phút. Biết quãng đường AB dài 30 km, vận tốc của ninh bằng 1/4 vận tốc của Hùng. Tính quãng đường BC Câu 4: (2đ) Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ từ từ A đến B là A1; A2; A3; ; A2004. Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm A; A1; A2; A3; ; A2004 ; B. Tính số tam giác tạo thành Câu 5: (1đ) 8 Tích của hai phân số là . Thêm 4 đơn vị vào phân số thứ nhất thì tích mới là 15 56 . Tìm hai phân số đó. 15 ĐÁP ÁN Câu 1 a) Để 510* ; 61*16 chia hết cho 3 thì: 5 + 1 + 0 + * chia hết cho 3; từ đó tìm được * = 0; 3; 6; 9 (1đ) b) Để 261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1 thì: * chẵn và 2 + 6 + 1 + * chia 3 dư 1; từ đó tìm được * = 4 (1đ) Câu 2 S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 3.S = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100).3 (0,5đ) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 99.100.3 = 1.2.3 +2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + + 99.100.(101 - 98) (0,5đ) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - - 98.99.100 + 99.100.101 S = 99.100.101: 3 = 33. 100 . 101 = 333300 (0,5đ) Câu 3 Thời gian đi từ A đến C của Hùng là: 11 - 8 = 3 (giờ) Thời gian đi từ B đến C của Dũng là: 11 - 8 = 3 (giờ) Quãng đường AB là 30 km do đó cứ 1 giờ khoảng cách của Hùng và Dũng bớt đi 10 km. Vì vậy lúc 9 giờ Hùng còn cách Dũng là 20 km, lúc đó Ninh gặp Dũng nên Ninh cũng cách Hùng 20 km. 19
20. Đến 9 giờ 24 phút, Ninh gặp Hùng do đó tổng vận tốc của Ninh và Hùng là: 24 20.60 20 : 50(km / h) 60 24 Do vận tốc của Ninh bằng 1/4 vận tốc của Hùng nên vận tốc của Hùng là: [50 : (1 + 4)] . 4 = 40 (km/h) Từ đó suy ra quãng đường BC là: 40 . 3 - 30 = 90 (km) Đáp số: BC = 90 km Câu 4: (2đ) Trên đoạn thẳng AB có các điểm A; A1; A2; A3; ; A2004 ; B do đó, tổng số điểm trên AB là 2006 điểm suy ra có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó. Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) có thể kết hợp với 2005 đoạn thẳng còn lại và các đoạn thẳng tương ứng trên AB để tạo thành 2005 tam giác. Do đó 2006 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2005 . 2006 = 4022030 tam giác (nhưng lưu ý là MA kết hợp với MA1 để được 1 tam giác thì MA1 cũng kết hợp với MA được 1 tam giác và hai tam giác này chỉ là 1) Do đó số tam giác thực có là: 4022030 : 2 = 2011015 Câu 5: (1đ) 8 Tích của hai phân số là . Thêm 4 đơn vị vào phân số thứ nhất thì tích mới là 15 56 56 8 48 suy ra tích mới hơn tích cũ là - = đây chính là 4 lần phân số thứ hai. 15 15 15 15 48 12 4 Suy ra phân số thứ hai là : 4 = = Từ đó suy ra phân số thứ nhất là: 15 15 5 8 4 2 : = 15 5 3 ĐỀ SỐ 10 a3 2a2 1 Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức A a3 2a2 2a 1 a. Rút gọn biểu thức b. Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a) là một phân số tối giản. Câu 2: (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho abc n2 1 và cba (n 2)2 Câu 3:a. (1 điểm) Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương b. (1 điểm) Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số. 20
21. a n a Câu 4: (2 điểm) a. Cho a, b, n N* Hãy so sánh và b n b 1011 1 1010 1 b. Cho A = ; B = . So sánh A và B. 1012 1 1011 1 Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a1, a2, , a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10. Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng. Đáp án đề THI HSG toán 6 Câu 1: a3 2a2 1 (a 1)(a2 a 1) a2 a 1 Ta có: A = a3 2a2 2a 1 (a 1)(a2 a 1) a2 a 1 Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm). Rút gọn đúng cho 0,75 điểm. b.Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 ( 0,25 điểm). Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ]  d Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. ( 0, 5 điểm) Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm) Câu 2: abc = 100a + 10 b + c = n2-1 (1) cba = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2) (0,25 điểm) Từ (1) và (2) 99(a-c) = 4 n – 5 4n – 5  99 (3) (0,25 điểm) Mặt khác: 100  n2-1  999 101  n 2  1000 11 n31 39 4n – 5  119 (4) ( 0, 25 điẻm) Từ (3) và (4) 4n – 5 = 99 n = 26 Vậy: abc = 675 ( 0 , 25 điểm) Câu 3: (2 điểm) a) Giả sử n2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z) a2 – n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm). + Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm). + Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n) 2 và (a+n)  2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) (0,25 điểm). Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,25 điểm). b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3. Vậy n2 + 2006 là hợp số. ( 1 điểm). Bài 4: Mỗi câu đúng cho 1 điểm a a a Ta xét 3 trường hợp b 1 b 1 b 1 (0,5 điểm). a 1 a n a n a TH1: b a=b thì b n thì b n = b =1. (0 , vì ,5 điểm). 21
22. a TH1: b 1 a>b a+m > b+n. a n a b Mà b n có phần thừa so với 1 là b n a a b a b a b a n a b có phần thừa so với 1 là b , vì b n b (0,25 điểm). 1011 1 b) Cho A = ; 1012 1 a a n a (1011 1) 11 1011 10 rõ ràng A A n) ĐPCM. Câu 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần số giao điểm thực tế là: (2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm. 22