Bài tâp Tam giác đồng dạng

Nội dung text: Bài tâp Tam giác đồng dạng

1. BÀI TÂP CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Bài 1: Cho ABC vuụng tại A, Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú cỏc tam giỏc ABD vuụng cõn ở B, ACF vuụng cõn ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của Ac và BF. Chứng minh rằng: 2 D a) AH = AK b) AH = BH. CK A Giải : Đặt AB = c, AC = b. H BD // AC (cựng vuụng gúc với AB) K F AH AC b AH b AH b nờn HB BD c HB c HB + AH b + c B C AH b AH b b.c Hay AH (1) AB b + c c b + c b + c AK AB c AK c AK c AB // CF (cựng vuụng gúc với AC) nờn KC CF b KC b KC + AK b + c AK b AK c b.c Hay AK (2) AC b + c b b + c b + c Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK AH AC b AK AB c AH KC AH KC b) Từ và suy ra (Vỡ AH = AK) HB BD c KC CF b HB AK HB AH AH2 = BH . KC Bài 2: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng: 1 1 1 a) AE2 = EK. EG b) AE AK AG c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trớ nhưng vẫn qua A thỡ tớch BK. DG cú giỏ trị khụng đổi Giải A a B a) Vỡ ABCD là hỡnh bỡnh hành và K BC nờn AD // BK, theo hệ quả của định lớ Ta-lột ta cú: b K E EK EB AE EK AE = = AE2 EK.EG AE ED EG AE EG D C G AE DE AE BE b) Ta cú: = ; = nờn AK DB AG BD AE AE BE DE BD 1 1 1 1 1 = 1 AE 1 (đpcm) AK AG BD DB BD AK AG AE AK AG BK AB BK a KC CG KC CG c) Ta cú: = = (1); = = (2) KC CG KC CG AD DG b DG BK a Nhõn (1) với (2) vế theo vế ta cú: = BK. DG = ab khụng đổi b DG (Vỡ a = AB; b = AD là độ dài hai cạnh của hỡnh bỡnh hành ABCD khụng đổi) Bài 3: Cho tứ giỏc ABCD, cỏc điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong cỏc cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng:
2. a) EG = FH b) EG vuụng gúc với FH Giải Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CF, DG 1 1 BM 1 BE BM 1 Ta cú CM = CF = BC = = = 2 3 BC 3 BA BC 3 EM BM 2 2 EM // AC = EM = AC (1) AC BE 3 3 NF CF 2 2 Tương tự, ta cú: NF // BD = NF = BD (2) BD CB 3 3 mà AC = BD (3) Từ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a) Tương tự như trờn ta cú: MG // BD, NH // AC và MG = NH = 1 AC (b) 3 Mặt khỏc EM // AC; MG // BD Và AC  BD EM  MG Eã MG = 900 (4) Tương tự, ta cú: Fã NH = 900 (5) Từ (4) và (5) suy ra Eã MG = Fã NH = 900 (c) Từ (a), (b), (c) suy ra EMG = FNH (c.g.c) EG = FH b) Gọi giao điểm của EG và FH là O; của EM và FH là P; của EM và FN là Q thỡ Pã QF = 900 Qã PF + Qã FP = 900 Qã PF = Oã PE Oã EP = Qã FP mà (đối đỉnh), ( EMGH = D A FNH) Suy ra Eã OP = Pã QF = 900 EO  OP EG  FH N E Bài 4: Cho ABC ( AB DE > BE F Giải a) BD là phõn giỏc nờn A B AD AB AC AE AD AE = EB E nằm giữa K và B M B KB EB b) Gọi M là giao điểm của DE và CB. Ta cú Cã BD = Kã DB (Gúc so le trong) Kã BD = Kã DB mà E nằm giữa K và B nờn Kã DB > Eã DB Kã BD > Eã DB Eã BD > Eã DB EB Eã CB Dã EC >Dã CE (Vỡ Dã CE = Eã CB ) Suy ra CD > ED CD > ED > BE Bài 5: Cho ABC cúBà = 2 Cà , AB = 8 cm, BC = 10 cm. a)Tớnh AC b)Nếu ba cạnh của tam giỏc trờn là ba số tự nhiờn liờn tiếp thỡ mỗi cạnh là bao nhiờu? A B E D C
3. Giải Cỏch 1: Trờn tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho:BD = BC AC AD ACD ABC (g.g) AB AC AC2 AB. AD =AB.(AB + BD) = AB(AB + BC) = 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm Cỏch 2: Vẽ tia phõn giỏc BE của à BC ABE ACB AB AE BE AE + BE AC = AC2 = AB(AB + CB) = 8(8 + 10) = 144 AC AB CB AB + CB AB + CB AC = 12 cm b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c thỡ từ cõu a ta cú b2 = a(a + c) (1) Vỡ b > anờn cú thể b = a + 1 hoặc b = a + 2 2 2 + Nếu b = a + 1 thỡ (a + 1) = a + ac 2a + 1 = ac a(c – 2) = 1 a = 1; b = 2; c = 3(loại) + Nếu b = a + 2 thỡ a(c – 4) = 4 - Với a = 1 thỡ c = 8 (loại) - Với a = 2 thỡ c = 6 (loại) - với a = 4 thỡ c = 6 ; b = 5 Vậy a = 4; b = 5; c = 6 Bài 6: Cho ABC cõn tại A và O là trung điểm của BC. Một điểm O di động trờn OB2 AB, lấy điểm E trờn AC sao cho CE = . Chứng minh rằng BD a) DBO OCE b) DOE DBO OCE A c) DO, EO lần lượt là phõn giỏc của cỏc gúc BDE, CED d) khoảng cỏch từ O đến đoạn ED khụng đổi khi D di động trờn AB Giải OB2 CE OB a) Từ CE = = và Bà = Cà (gt) DBO OCE E BD OB BD I 1 2 à à b) Từ cõu a suy ra O3 = E2 (1) D 1 H à ã ã 0 Vỡ B, O ,C thẳng hàng nờn O3 + DOE EOC 180 (2) 2 à à ã 0 trong tam giỏc EOC thỡ E2 + C EOC 180 (3) 3 Từ (1), (2), (3) suy ra Dã OE Bà Cà B O C DO OE DOE và DBO cú = (Do DBO OCE) DB OC DO OE và = (Do OC = OB) và Dã OE Bà Cà nờn DOE DBO OCE DB OB c) Từ cõu b suy ra Dà 1 = Dà 2 DO là phõn giỏc của cỏc gúc BDE Củng từ cõu b suy ra Eà 1 = Eà 2 EO là phõn giỏc của cỏc gúc CED c) Gọi OH, OI là khoảng cỏch từ O đến DE, CE thỡ OH = OI, mà O cố định nờn OH khụng đổi OI khụng đổi khi D di động trờn AB Bài 7: Cho tam giỏc ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F
4. F a) chứng minh DE + DF khụng đổi khi D di động trờn BC b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K. K Chứng minh rằng K là trung điểm của FE A Giải E DE BD BD a) DE // AM = DE = .AM (1) AM BM BM DF CD CD CD DF // AM = DF = .AM = .AM (2) AM CM CM BM D M Từ (1) và (2) suy ra B C BD CD BD CD BC DE + DF = .AM + .AM = + .AM = .AM = 2AM khụng đổi BM BM BM BM BM FK KA b) AK // BC suy ra FKA AMC (g.g) = (3) AM CM EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA = = = (2) ED BD ED + EK BD + KA KD BD + DM AM BM AM CM (Vỡ CM = BM) FK EK Từ (1) và (2) suy ra FK = EK hay K là trung điểm của FE AM AM Bài 8: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đường chộo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC lần lượt tại I, M, N. Vẽ CE vuụng gúc với AB, CF vuụng gúc với AD, BG vuụng gúc với AC. Gọi K là điểm đối xứng với D qua I. Chứng minh rằng KM DM a) IM. IN = ID2 b) = F KN DN c) AB. AE + AD. AF = AC2 Giải D IM CI CI ID C a) Từ AD // CM = (1) Từ CD // AN (2) I G ID AI AI IN M K Từ (1) và (2) suy ra IM = ID hay ID2 = IM. IN ID IN A B E N DM CM DM CM DM CM b) Ta cú = = = (3) MN MB MN + DM MB + CM DN CB Từ ID = IK và ID2 = IM. IN suy ra IK2 = IM. IN IK IN IK - IM IN - IK KM KN KM IM KM IM CM CM = = = = = (4) IM IK IM IK IM IK KN IK KN ID AD CB KM DM Từ (3) và (4) suy ra = KN DN AE AC c) Ta cú AGB AEC = AB.AE = AC.AG AB. AE = AG(AG+CG) (5) AG AB AF CG CG CGB AFC = (vỡ CB = AD) AC CB AD AF . AD = AC. CG AF . AD = (AG + CG) .CG (6) Cộng (5) và (6) vế theo vế ta cú: AB. AE + AF. AD = (AG + CG) .AG + (AG + CG) .CG
5. AB. AE + AF. AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2 Vậy: AB. AE + AD. AF = AC2 Bài 9: Cho tam giỏc ABC cú BC bằng trung bỡnh cộng của AC và AB; Gọi I là giao điểm của cỏc phõn giỏc, G là trọng tõm của tam giỏc. Chứng minh: IG // BC Giải Gọi khoảng cỏch từ a, I, G đến BC lần lượt là AH, IK, GD Vỡ I là giao điểm của ba đường phõn giỏc nờn khoảng cỏch từ I đến ba cạnh AB, BC, CA bằng nhau và bằng IK. Vỡ I nằm trong tam giỏc ABC nờn: A SABC = SAIB + SBIC + SCIA BC.AH = IK(AB+BC+CA) (1) AB + CA Mà BC = AB + CA = 2 BC (2) 2 I G 1 Thay (2) vào (1) ta cú: BC. AH = IK. 3BC IK = AH (a) 3 B H K D M C Vỡ G là trọng tõm của tam giỏc ABC nờn: 1 1 1 SBGC = SABC BC . GD = BC. AH GD = AH (b) 3 3 3 Từ (a) và (b) suy ra IK = GD hay k/ cỏch từ I, G đến BC bằng nhau nờn IG // BC Bài 10: Cho điểm M di động trờn đỏy nhỏ AB của hỡnh thang ABCD, Gọi O là giao điểm của hai cạnh bờn DA, CB. Gọi G là giao điểm của OA và CM, H là giao điểm OG OH của OB và DM. CMR: Khi M di động trờn AB thỡ tổng + khụng đổi GD HC Giải Qua O kẻ đường thẳng song với AB cắt CM, DM theo thứ tự ở I và K. Theo OG OI OH OK OG OH OI OK IK định lớ Talột ta cú: ; + GD CD HC CD GD HC CD CD CD OG OH IK + (1) GD HC CD Qua M vẽ đường thẳng vuụng gúc với AB cắt IK, CD theo thứ tự ở P và Q, ta cú: IK MP FO khụng đổi vỡ FO là khoảng cỏch từ O đến AB, MQ là đường cao của CD MQ MQ OG OH FO hỡnh thang nờn khụng đổi (2). Từ (1) và (2) suy ra + khụng đổi GD HC MQ Bài 11: Cho tam giỏc ABC (AB < AC), phõn giỏc AD. Trờn AB lấy điểm M, trờn AC lấy điểm N sao cho BM = CN, gọi giao điểm của E CM và BN là O, Từ O vẽ đường thẳng song song với A G AD cắt AC, AB tại E và F. F Chứng minh rằng: AB = CF; BE = CA M Giải. N ã ã AD là phõn giỏc nờn BAD = DAF P O ã ã EI // AD BAD = AEF (gúc đồng vị) K D I Mà Dã AF Oã FC (đồng vị); à FE = Oã FC (đối đỉnh) B C Q Suy ra à EF à FE AFE cõn tại A AE =AF (a)
6. Aựp dụng định lớ Talột vào ACD , với I là giao điểm của EF với BC ta cú CF CI CF CA CA BA = (1). AD là phõn giỏc của Bã AC nờn (2) CA CD CI CD CD BD CF BA Từ (1) và (2) suy ra (3). Kẻ đường cao AG của AFE . BP // AG CI BD (P AD); CQ // AG (Q OI) thỡ Bã PD = Cã QI = 900 Gọi trung điểm của BC là K, ta cú BPK = CQK (g.c.g) CQ = BP BPD = CQI (g.c.g) CI = BD (4) CF BA Thay (4) vào (3) ta cú CF = BA (b) Từ (a) và (b) suy ra BE = CA BD BD Bài 12: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, (AC > AB), đường cao AH. Trờn tia HC lấy D sao cho HD = HA. Đường vuụng gúc với BC tại D cắt AC tại E. M là trung điểm BE. a) Chứng minh D BEC đồng dạng với D ADC. b) Tớnh số đo gúc AHM. Bài 13: Cho tứ giỏc lồi ABCD. Tỡm tập hợp điểm O nằm trong tứ giỏc sao cho hai tứ giỏc OBCD và OBAD cú diện tớch bằng nhau. (Khụng yờu cầu chứng minh phần đảo). A 2 3 1 12 E M 2 1 2 B 1 C H D DE EC ị = (*) a) Do DDEC ∽ DABC (Hai tam giỏc vuụng cú Cà chung) AB BC Xột DBEC và DADC Cú Cà chung kết hợp (*) => DBEC∽ DADC (g.c.g) Bà = àA àA = 450 b) DBEC∽ DADC => 1 1 , DAHD vuụng cõn tại H nờn 3 à ả 0 à ả 0 ả 0 à ả ả 0 ị A1 + A2 = 45 ị B1 + A2 = 45 ị B2 = 45 (B1 + A2 +B2 = 90 ) b M trung điểm BE nờn: AM = MB = ME ị DBMA vuụng cõn tại M ị AB2 =2BM2 hay mà AB2 = BH.BC (HS phải c/m);
7. BH BM = ãAHM = Dả = 450 ị BH.BC = BE.BMị BE BC ị DBHM∽ DBEC∽ DADCị 2 B Giả sử O là điểm nằm trong tứ giỏc thỏa món: SOBCD =SOBAD. C Từ O kẻ đường thẳng // BC cắt AB tại D1 h b D1, cắt AC tại B1. Nối OC, OB, AC, BD ha và kẻ cỏc đường cao ha, hb, hc như hỡnh vẽ A ho 1 . Khi đú: SOBCD = SBCD+SBOD= BD.(hc +ho ) O 2 B1 13 1 D BD(hc +ho ) SBODA = SAB D1 +SD OB +SB OD = B1D1(ha +hb +hc ) Û =1 (1) 1 1 1 2 B1D1(ha +ho ) BD h h +h Vỡ B D //BD nờn a Từ (1) và (2) c o 1 1 = (2) Û =1Û hc +ho = ha B1D1 (ha +ho ) ha Từ đú HS lập luận suy ra B1D1 đi qua trrung điểm cuả AC. Vậy O nằm trờn đoạn B1D1//BD và đi qua trung điểm AC Bài 14. Cho hỡnh vuụng ABCD cú cạnh bằng a. Gọi E; F;G;H lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, BC; CD; DA. M là giao điểm của CE và DF. a. Chứng minh: Tứ giỏc EFGH là hỡnh vuụng. b. Chứng minh DF  CE và MAD cõn. c .Tớnh diện tớch MDC theo a. A E B F H M N C D G Chứng minh: EFGH là hỡnh thoi. Chứng minh cú 1 gúc vuụng. Kết luận Tứ giỏc EFGH là Hỡnh vuụng
8. VBEC VCFD(c.g.c) Eã CB Fã DC mà VCDF vuụng tại C Cã DF Dã FC 900 Dã FC Eã CB 900 VCMF vuụng tại M . Hay CE  DF. Gọi N là giao điểm của AG và DF. Chứng minh tương tự: AG  DF GN//CM mà G là trung điểm DC nờn N là trung điểm DM. Trong MAD cú AN vừa là đường cao vừa là trung tuyến MAD cõn tại A. 2 2 CD CM SVCMD CD CD VCMD : VFCD(g.g) Do đú : SVCMD .SVFCD FD FC SVFCD FD FD 1 1 CD2 1 Mà : S CF.CD CD2 . Vậy : S . CD2 . VFCD 2 4 VCMD FD2 4 Trong VDCF theo Pitago ta cú : 2 2 2 2 1 2 2 1 2 5 2 DF CD CF CD BC CD CD .CD . 2 4 4 CD2 1 1 1 Do đú : S . CD2 CD2 a2 VMCD 5 CD2 4 5 5 4 Bài 15: Cho tam giỏc ABC nhọn (AB<AC). Cỏc đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Gọi M trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuụng gúc với HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K. a. Chứng minh ABC đồng dạng EFC. b. Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh NC = ND và HI = HK. AH BH CH c. Gọi G là giao điểm của CH và AB. Chứng minh: 6 HE HF HG A F K G H I B E M C N D
9. CE CA Ta cú AEC : BFC (g-g) nờn suy ra CF CB CE CA Xột ABC và EFC cú và gúc C chung nờn suy ra ABC : EFC ( c-g-c) CF CB Vỡ CN //IK nờn HM  CN M là trực tõm HNC MN  CH mà CH  AD (H là trực tõm tam giỏc ABC) nờn MN // AD Do M là trung điểm BC nờn NC = ND IH = IK ( theo Ta let) AH S S S S S S Ta cú: AHC ABH AHC ABH AHC ABH HE SCHE SBHE SCHE SBHE SBHC BH S S CH S S Tương tự ta cú BHC BHA và BHC AHC BF SAHC CG SBHA AH BH CH S S S S S S AHC ABH BHC BHA BHC AHC HE HF HG SBHC SAHC SBHA S S S S S S = AHC ABH BHC BHA +BHC AHC 6 . Dấu ‘=’ khi tam giỏc ABC đều, mà theo gt thỡ SBHC SBHC SAHC SAHC SBHA SBHA AB < AC nờn khụng xảy ra dấu bằng. Bài 16: Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn BC lấy điểm E, qua A kẻ đường thẳng vuụng gúc với AE, đường thẳng này cắt CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF, AI cắt CD tại K. Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt AI tại G. a. Chứng minh AE = AF. b. Chứng minh tứ giỏc EGFK là hỡnh thoi. c. Chứng minh AKF đồng dạng CAF. d. Trờn cạnh AB lấy điểm M sao cho BE = BM. Tỡm vị trớ của điểm E trờn cạnh BC để diện tớch DEM đạt giỏ trị lớn nhất? B E C M I K G A D F ABE = ADF (cạnh gúc vuụng, gúc nhon) suy ra AE = AF Tam giỏc AEF vuụng cõn suy ra AI  EF (1) Tứ giỏc EGFK là hỡnh bỡnh hành (hai đường
10. chộo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường vỡ IEG = IFK) (2) Từ (1) và (2) suy ra EGFK là hỡnh thoi Xột AKF và CAF cú chung gúc F; Lại cú tam giỏc EAF vuụng cõn nờn Kã AF 450 = à CE 450 suy ra hai tam giỏc đồng dạng Gọi cạnh hỡnh vuụng là a . Đặt BE = BM = x suy ra CE = a – x ; AM = a – x 2 1 1 1 2 SDEM SABCD SBME SAMD SDCE = a a(a x) a(a x) x 2 2 2 1 1 1 1 = (x2 2ax) (x a)2 a2 a2 (x a)2 a2 2 2 2 2 1 2 SDEM đạt giỏ trị lớn nhất là a khi x –a = 0 tức x = a nghĩa là khi đú E trựng C 2 Bài 17: Trong tam giỏc ABC, cỏc điểm A, E, F tương ứng nằm trờn cỏc cạnh BC, CA, AB sao cho: à FE Bã FD, Bã DF Cã DE, Cã ED à EF . a) Chứng minh rằng: Bã DF Bã AC . b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tớnh độ dài đoạn BD. a) Đặt à FE Bã FD , Bã DF Cã DE , Cã ED à EF  . Ta cú Bã AC   1800 (*) Qua D, E, F lần lượt kẻ cỏc đường thẳng vuụng gúc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phõn giỏc của tam giỏc DEF. A ã ã ã o OFD OED ODF 90 (1)  E F  o Ta cú Oã FD  Oã ED  Oã DF 270 (2)   O (1) & (2)   180o ( ) (*) & ( ) Bã AC Bã DF . b) Chứng minh tương tự cõu a) ta cú: Bà , Cà  B D C s s AEF s DBF DEC ABC BD BA 5 5BF 5BF 5BF BD BD BD BF BC 8 8 8 8 CD CA 7 7CE 7CE 7CE CD CD CD CE CB 8 8 8 8 AE AB 5 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24 AF AC 7 CD BD 3 (3) Ta lại cú CD + BD = 8 (4) (3) & (4) BD = 2,5
11. Bài 18: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC). Trờn tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuụng gúc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng hai tam giỏc BEC và ADC đồng dạng. Tớnh độ dài đoạn BE theo m AB . 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giỏc BHM và BEC đồng dạng. Tớnh số đo của gúc AHM GB HD 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: . BC AH HC 1 + Hai tam giỏc ADC và BEC cú: Gúc C chung. CD CA (Hai tam giỏc vuụng CDE và CAB CE CB đồng dạng) Do đú, chỳng dồng dạng (c.g.c). Suy ra: Bã EC ãADC 1350 (vỡ tam giỏc AHD vuụng cõn tại H theo giả thiết). Nờn ãAEB 450 do đú tam giỏc ABE vuụng cõn tại A. Suy ra: BE AB 2 m 2 BM 1 BE 1 AD 2 Ta cú:   (do BEC : ADC ) BC 2 BC 2 AC mà AD AH 2 (tam giỏc AHD vuụng cõn tại H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH nờn   (do ABH : CBA ) BC 2 AC 2 AC AB 2 BE Do đú BHM : BEC (c.g.c), suy ra: Bã HM Bã EC 1350 ãAHM 450 3 Tam giỏc ABE vuụng cõn tại A, nờn tia AM cũn là phõn giỏc gúc BAC. GB AB AB ED AH HD Suy ra: , mà ABC : DEC ED // AH GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do đú: GC HC GB GC HD HC BC AH HC Bài 19: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh bằng a. Điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Cỏc đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại M và N. a.Chứng minh rằng: DN.CM = a2 b. Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chưng minh rằng MKN = 900 c. Cỏc điểm E, F cú vị trớ như thế nào thỡ MN cú độ dài nhỏ nhất? Khi đú hóy tớnh diện tớch của tam giỏc KMN theo a? a
12. K A B F E N D C M CM CE AF BA Từ gt AB // MN nờn ta cú: CM.DN = AB2 = a2. BA BE FD DN CM BA CM AB b Theo chứng minh trờn: Nờn ( vỡ BA = CB) BA DN CB DN Và ADN = MCB ( = 900) ADN đồng dạng với MCB MBC = AND Mà MBC + BMC = 900 AND + MBC = 900 Vậy MKN = 900 c Vỡ MN = ND + CD + CM Nờn MN nhỏ nhất ND + CM nhỏ nhất (Vỡ DC khụng đổi) Áp dụng bất đẳng thức cosi ta cú: ND + CM 2 CM.ND 2a Dấu “ =” sảy ra khi CM = DN = a DF và CE lần lượt là đường trung bỡnh của tam giỏc NBC và tam giỏc MAD. Hay E,F là trung điểm của BC và AD Vậy MN đạt GTNN bằng 3a khi E,F là trung điểm của BC và AD. Khớ đú SKMN = SKAB + SNAD + SCBM + SABCD = SKAB + 2SABCD. Lại vỡ tam giỏc KAB vuụng cõn tại K nờn đường cao ứng với cạnh AB cú độ dài bằng 1 1 1 2 2 1 2 2 9 2 AB a S a Và SABCD = a . Vậy SKMN = a 2a a 2 2 KAB 4 4 4 Bài 20: 1) Gọi H là hỡnh chiếu của đỉnh B trờn đường chộo AC của hỡnh chữ nhật ABCD, M và K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD. Tớnh số đo của gúc BMK. 2) Cho tam giỏc ABC nhọn trực tõm H, trờn đoạn BH lấy điểm M và trờn trờn đoạn CH lấy điểm N sao cho . CMR AM = AN. Lời giải 1) Từ hỡnh vẽ ( khỏ chớnh xỏc ) ta dự đoỏn gúc AIJ = 900.Dựa vào yếu tố trung điểm mà đề đó cho mà vẽ thờm hỡnh tạo sự liờn kết giữa I và J .
13. Cỏch 1 : ( hỡnh 1,2) Vẽ hỡnh phụ khai thỏc yếu tố trung điểm A B J I H D C A B A B O P P J J I H H I D C D C Hình 1 Hình 2 Túm tắt lời giải cho hỡnh 1 Gọi P là trung điểm của AH => PI là đường trung bỡnh của tam giỏc AHD => PI//AD mà AD AB hỡ IP  AB và P là trực tõm của ABI . Từ đú tứ giỏc BPIJ là h.b.h , BP // IJ mà BP  AI nờn JI  AI . 1) Gọi P,Q lần lượt là chõn đường cao kẻ từ B và C. A Tam giỏc vuụng AMC cú đường cao MP => AM2=AP.AC 2 Tam giỏc vuụng ANB cú đường cao NQ => AN =AQ.AB P Xột tam giỏc APB và AQC cú: Gúc A chung Gúc APB=AQC=90 độ => tam giỏc đồng dạng => AP.AC=AQ.AB => AM2=AN2=> AM=AN Q H N M B C BÀI TẬP HèNH TRONG ễN HSG Bài 1: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AC > AB), đờng cao AH (H BC). Trờn tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuụng gúc với BC tại D cắt AC tại E. 4. Chứng minh rằng hai tam giỏc BEC và ADC đồng dạng. Tớnh độ dài đoạn BE theo m ( m = AB). 5. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giỏc BHM và BEC đồng dạng. Tớnh số đo của gúc AHM GB HD 6. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: . BC AH HC
14. + Hai tam giỏc ADC và BEC cú: Gúc C chung. CD CA (Hai tam giỏc vuụng CDE và CAB đồng CE CB dạng) Do đú, chỳng dồng dạng (c.g.c). Suy ra: Bã EC ãADC 1350 (vỡ tam giỏc AHD vuụng cõn tại H theo giả thiết). Nờn ãAEB 450 do đú tam giỏc ABE vuụng cõn tại A. Suy ra: BE AB 2 m 2 BM 1 BE 1 AD Ta cú:   (do BEC : ADC ) mà AD AH 2 (∆AHD vuụng võn tại H) BC 2 BC 2 AC BM 1 AD 1 AH 2 BH BH nờn   (do ABH : CBA ) BC 2 AC 2 AC AB 2 BE Do đú BHM : BEC (c.g.c), suy ra: Bã HM Bã EC 1350 ãAHM 450 Tam giỏc ABE vuụng cõn tại A, nờn tia AM cũn là phõn giỏc gúc BAC. GB AB AB ED AH HD Suy ra: , mà ABC : DEC ED // AH GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do đú: GC HC GB GC HD HC BC AH HC Bài 2: Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Trờn đường chộo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P. a) Tứ giỏc AMDB là hỡnh gỡ? b) Gọi E và F lần lợt là hỡnh chiếu của điểm M lờn AB, AD. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng. c) Chứng minh rằng tỉ số cỏc cạnh của hỡnh chữ nhật MEAF khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm P. PD 9 d) Giả sử CP  BD và CP = 2,4 cm, . Tớnh cỏc cạnh của hỡnh chữ nhật PB 16 ABCD. D C Vẽ hỡnh, ghi GT, KL đỳng P M O I F a) Gọi O là giao điểm 2 đường chộo của hỡnh chữ nhật ABCD. E  PO là đường trung bỡnh của tsm giỏc CAM.A B  AM//PO tứ giỏc AMDB là hỡnh thang. b) Do AM //BD nờn gúc OBA = gúc MAE (đồng vị) Tam giỏc AOB cõn ở O nờn gúc OBA = gúc OAB Gọi I là giao điểm 2 đường chộo của hỡnh chữ nhật AEMF thỡ tam giỏc AIE cõn ở I nờn gúc IAE = gúc IEA. Từ chứng minh trờn : cú gúc FEA = gúc OAB, do đú EF//AC (1) Mặt khỏc IP là đường trung bỡnh của tam giỏc MAC nờn IP // AC (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng.
15. MF AD c) MAF : DBA g g nờn khụng đổi. FA AB PD 9 PD PB d) Nếu thỡ k PD 9k, PB 16k PB 16 9 16 CP PB Nếu CP  BD thỡ CBD : DCP g g PD CP do đú CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) BD = 5 (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 do đú BC = 4 (cm) CD = 3 (cm) Bài 3 Cho hỡnh vuụng ABCD; Trờn tia đối tia BA lấy E, trờn tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuụng cõn b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chộo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. E 2 I 1 a) Chứng minh EDF vuụng cõn 1 Ta cú ADE = CDF (c.g.c) EDF cõn tại D B C 2 F ˆ ˆ Mặt khỏc: ADE = CDF (c.g.c) E1 F2 0 0 Mà Eˆ Eˆ Fˆ = 90 Fˆ Eˆ Fˆ = 90 1 2 1 2 2 1 O EDF = 900. Vậy EDF vuụng cõn b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng A D Theo tớnh chất đường chộo hỡnh vuụng CO là trung trực BD 1 1 Mà EDF vuụng cõn DI = EF ; Tương tự BI = EF DI = BI 2 2 I thuộc dường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng Bài 4: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Cỏc điểm D, E theo thứ tự di chuyển trờn AB, AC sao cho BD = AE. Xỏc địnhvị trớ điểm D, E sao cho: B a/ DE cú độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giỏc BDEC cú diện tớch nhỏ nhất. D a) C/m: DE cú độ dài nhỏ nhất Đặt AB = AC = a khụng đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vuụng tại A cú: C A a2 E a2 a2 DE2 =AD2+AE2= (a – x)2+ x2=2x2 –2ax+ a2 = 2(x2 – ax) – a2 = 2(x – )2 + 4 2 2 a a Ta cú DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x = BD = AE = 2 2 D, E là trung điểm AB, AC b) Tứ giỏc BDEC cú diện tớch nhỏ nhất. 1 1 1 1 2 Ta cú: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD – AB.AD) 2 2 2 2 1 AB AB2 AB2 1 AB AB2 AB2 = – (AD2 – 2 .AD + ) + = – (AD – )2 + 2 2 4 8 2 4 2 8
16. 2 2 AB AB 3 2 Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB khụng đổi 2 8 8 3 2 Do đú min SBDEC = AB khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC 8 Bài 5: Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm hai đường chộo.Qua 0 kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E,cắt BCtại F. a, Chứng minh :Diện tớch tam giỏc AOD bằng diện tớch tam giỏc BOC. 1 1 2 b. Chứng minh: AB CD EF c, Gọi Klà điểm bất kỡ thuộc OE. Nờu cỏch dựng đường thẳng đi qua Kvà chia đụi diện tớch tam giỏc DEF. a, Vỡ AB//CD S DAB=S CBA (cựng đỏy và cựng đường cao) A B S DAB –SAOB = S CBA- SAOB K O Hay SAOD = SBOC E F I EO AO b, Vỡ EO//DC M DC AC N C Mặt khỏc AB//DC D AB AO AB AO AB AO EO AB DC OC AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC EF AB AB DC 2 1 1 2 2DC AB DC AB.DC EF DC AB EF c, +Dựng trung tuyến EM ,+ Dựng EN//MK (N DF) +Kẻ đường thẳng KN là đường thẳng phải dựng Chứng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao của EM và KN là I thỡ SIKE=SIMN (cma) (2) Từ (1) và(2) SDEKN=SKFN. Bài 5: Cho điểm M di động trờn đoạn thẳng AB. Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ cỏc hỡnh vuụng AMCD, BMEF. a) Chứng minh rằng: AE  BC. b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng. c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luụn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trờn đoạn thẳng AB. D C I H O E F Cõu 5 (6 điểm ) A K M B
17. a ∆AME = ∆CMB (c-g-c) EAM = BCM 2đ Mà BCM + MBC = 900 EAM + MBC = 900 AHB = 900 Vậy AE  BC b Gọi O là giao điểm của AC và BD. 2đ ∆AHC vuụng tại H cú HO là đường trung tuyến 1 1 HO AC DM 2 2 ∆DHM vuụng tại H DHM = 900 Chứng minh tương tự ta cú: MHF = 900 Suy ra: DHM + MHF = 1800 Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng. c Gọi I là giao điểm của AC và DF. Ta cú: DMF = 900 MF  DM mà IO  DM IO // MF 1,5đ Vỡ O là trung điểm của DM nờn I là trung điểm của DF Kẻ IK  AB (K AB) IK là đường trung bỡnh của hỡnh thang ABFD AD BF AM BM AB IK (khụng đổi) 2 2 2 Do A, B cố định nờn K cố định, mà IK khụng đổi nờn I cố định. Vậy đường thẳng DF luụn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trờn đoạn thẳng AB Bài 6 1) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC(M A,M C) . Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E, EM cắt BC tại I. a) Chứng minh EA.EB = ED.EC. b) Chứng minh Eã AD Eã CB . c) Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2. d) Vẽ đường thẳng vuụng gúc với AB tại B, đường thẳng vuụng gúc với CD tại C, chỳng cắt nhau tại K. Chứng minh MK luụn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi. e) Đặt BC = a; EC = b; BE = c; AD = a’; AI = b’; DI = c’. a ' b' c' a 2 b2 c2 Chứng minh . a 2 b2 c2 2abc 2) Cho điểm D thay đổi trờn cạnh BC của tam giỏc nhọn ABC (D khỏc B và C). Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC tại điểm N. Cũng từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt cạnh AB tại điểm M. Tỡm vị trớ của D để đoạn thẳng MN cú độ dài nhỏ nhất