Bài tập ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

Nội dung text: Bài tập ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

1. Bài 1: Nhân đơn thức với đa thức -Nhân đa thức với đa thức 2 Ví dụ 1: cho đa thức p(x) = x 2x 3 1 Tính giá trị của đa thức khi x nhận các giá trị -3, -2, 0 , , 1, 2, 3 2 Trong các giá trị trên của x giá trị nào là nghiệm của đa thức? Ví dụ 2: cho 2 đa thức A= x2 - 2x – 3 Và B = x+1 a) Tính A.B b) Tính B.B c) Tính A.A Ví dụ 3: Tìm x, biết a) 2x(x-2) – x(2x -1) = 6 b) (2x+3)(x- 4) + (x-5) (x-2) = (3x-5)(x-4) c) (8x-3)(3x+2) – (4x +7)(x+4) = (2x +1)(5x- 1) Bài tập 1) Tính a) 3x(x-1) – x(3x+2) 2 3 2 3 2 3 b) 5(3x - 4y ) - 9(2x y ) 2(x 5y ) 2 2 2 c) 3x ( 2y -1) - 2x (5y 3) 2x(3x 1) d) A = 3(2x-3)(3x+2) – 2(x+4)(4x-3) + 9x(4-x) Tìm giá trị của x để A có giá trị bằng 0 2) Cho các đa thức A= 3x2-1 ; B = 2x+1 ; C = 4x2-2x +1 Tính : a) A.B b) B.C c) ABC. 3) Tìm x biết a) 2x2 -2(x +3)x = 5 b) 2x2+ 3(x-1)(x+1) = 5x(x+1) c) (8-5x)(x+2) + 4(x-2)(x+1) + (x-2)(x-2) =0 d) 4 (x-1)(x+5) – (x+2)( +5) = 3(x-1)(x+2) 1
2. Bài 2.Các hằng đẳng thức đáng nhớ Khái niệm luỹ thừa của một số hữu tỉ Định nghĩa trong đại số 7 được chuyển hoàn toàn sang trường hợp các đa thức . Ví dụ: (3x+1)2 = (3x+1)(3x+1) (x+2y)3 = (x+2y) (x+2y) (x+2y) Dưới đâyta dùng các chữ A,B để chỉ các biểu thức đại số và có các hằng đẳng thưc sau: 1)Bình phương của một tổng (A+B)2 = A2 +2AB+B2 2) Bình phương của một hiệu (A+B)2 = A2 +2AB+B2 3) Hiệu hai bình phương A2 –B2 = (A-B)(A+B) 4) Lập phương của một tổng (A+B)3 = A3 +3A2B+3AB2 +B3 5) Lập phương của một Hiệu (A-B)3 = A3 -3A2B+3AB2 -B3 6) Tổng hai lập phương A3+B3 = (A+B)(A2-AB+B2) 7) Hiệu hai lập phương A3-B3 = (A-B)(A2+AB+B2) Chú ý: * Hằng đẳng thức (2) có thể suy ra từ hđt (1) bằng cách thay hạnh tử B bởi –B cũng tương tự như vậy ta suy từ (4) ra (5) và suy từ (6) ra (7) *Các hằng đẳng thức (4) và (5) nhiều khi còn được viết dưới dạng sau: (A+B)3 = A3+B3 + 3AB (A+B) (4a) (A-B)3 = A3 –B3 – 3AB (A-B) (5a) Ví dụ 1: Tính nhanh A = 1272 + 146.127 +732 B = 1272 + 272 - 54.127 Ví dụ 2: Rút gọn A = (x+1)2 – (x-1)2 B = (2x+1)2 + (2x-1)2 C = (x+2)3 – (x-2)3 D = x2(x-4) (x+4) - (x2 +1)(x2-1) Ví dụ 3: Giải các phương trình a) x2 - 4 = 0 b) (x +2)2 – x( x-2) = 3 c) (x-3)3 – (x-3)(x2+3x+9) + 6 (x+1)2 = 15 d) x(x-5)(x+5) – (x+2)(x2-2x +4) = 3 2
3. Bài tập: 1)Tính 1 a) (3x-1)2 b) (2x3y + y4)2 4 c) (3x-1)2 – (3x+1)2 d)(y2 +y +3)2 1 e) (-5x2- x)2 g)(x-1) (x+3)2 5 2)Dùng hằng đẳng thức biến đổi ra dạng bình hoặc đối của bình phương a)x2- 6x + 9 b) - 4y2 +4y -1 1 c)a2 –a + d)4x2n + 25 + 20xn 4 e)16 – 8m2 +m4 g)49n6 – 56n3a2 + 16 a4 h)(a+b)2 – 4ab i)(a-b)2 + 4ab k)25y18 – 70y9x3 + 49x6 3)Tính: a) (m2n + n2m) (m2n – n2m) b) (xm-bn) (xm+bn) c) (3xy2 -5)2 – (3xy2 +5)2 d) (5x3 -9)2 + (5x3 +3)2 e) (ax2-1) (ax2+1) – (ax2 -1)2 g) (11x+9y)2 – (11x+9y)(11x-9y) h) (x-y+z) (x-y-z) i) (a + b + c)2 4)Tìm x: a) ( x+3)2 –(x-3)2 = 5 b)(x+2)(x2-2x+4) – x(x2-2) = 15 c)(x-1)3 + (2-x)(4+2x+x2) + 3x(x+2) = 17 5) Biến đổi tổng sau thành tích: a) m2 -9 b) 36 –y2 c) a6 –b6 d) 81-100n8 e) 8x3 – 27 Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử A.Các phương pháp chính 3
4. 1.Phương pháp đặt nhân tử chung ( đặt thừa số chung) Ví dụ1: 10ax2 -5x3 +5x2 = 5x2 ( 2a –x +1) 3x(x-2) +5(2-x) = 3x(x-2) -5(x-2) = (x-2)(3x-5) 2.Phương pháp hằng đẳng thức Ví dụ 2: * x2+2x+1 = x2+2.x.1+12 = (x+1)2 * 4x2 -12x +9 = (2x)2 -2.2x.3+32 = ( 2x -3)2 * 9x2 -4y6 = (3x)2 –(2y)2 = (3x-2y)(3x+2y) * 8x3 -27 = (2x)3-33 = (2x-3)[(2x)2 +2x.3+32] = (2x-3)(4x2+6x+9) * -x3 -8 = -(x3+23) = -(x+2)(x2-2x+4) 3.Phương pháp nhóm nhiều hạng tử để đặt thừa số chung oặc để xuất hiện hằng đẳng thức Ví dụ 3: * x3 -3x2+3x-1–y3 = (x-1)3– y3 = [(x-1)-y][(x-1)2+(x-1)y+y2] =(x-y-1)( ) * xy +x +y +1 = x(y+1) +(y+1) = (x+1)(y+1) * x2 -2ax +a2 –b2 = (x-a)2 –b2 = (x-a-b)(x+a+b) 4.Phương pháp thêm bớt Ví dụ 4: * P = x4 + 4y4 = (x2)2 +2.x2.(2y2) +(2y2)2 - 4x2y2 =(x2 +2y2)2 –(2xy)2 = (x2+2y2-2xy)( x2+2y2+2xy) * Q = x5 +x +1 = x5-x2 +x2 +x+1 = x2(x3-1) + (x2 +x+1) =x2(x-1)( x2 +x+1)+ 1.(x2 +x+1) =( x2 +x+1)[ x2(x-1) +1] 5.Phương pháp tách các hạng tử Ví dụ 5: * P = x2 - 4x +3 = x2 -3x –x +3 = x(x-3) –1(x-3) = (x-3)(x-1) * Q = a3 -7a -6 = a3 –a -6a-6 = a(a2 -1) -6(a+1) = a( a-1)(a+1) -6(a+1) = (a+1)[a(a-1) -6] = (a+1) (a2–a-6) = (a+1)[a2-3a+2a-6] = (a+1)[a(a-3)+2(a-3)] =(a+1)(a-3)(a+2) 6.Phương pháp dự đoán nghiệm của đa thức Định lí: “ Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) có chứa thừa số x – a” Ví dụ 6: * Q = x3 -2x2-5x +6 có nghiệm x = 1 Nên suy ra Q = x3-x2-x2+x-6x+6 = x2(x-1) –x(x-1) -6(x-1) = * M = x3 -2x2 +5x +8 có nghiệm x = -1 nên suy ra M = = ( x +1)( ) 7.Phương pháp đặt biến số phụ Ví dụ7 : N = ( x2 +5x +4) ( x2 +5x +6) +1 Đặt t = x2 +5x +4 ta có : N = t(t+2)+1= t2 +2t+1 = (t+1)2 =( x2 +5x +4)2 =[(x+1)(x+2)]2 8.Phương pháp đồng nhất hai đa thức . Bài tập: 1.Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x2 -6x b) x4 +x3 –x-1 c) x2 -7xy +10y2 4
5. d) x2 –(a+b)xy +aby2 e) a5 –ax4 +a4x –x5 2. Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x2 +8x -10 b) 4x2 –x-3 c) x2 -6x +8 d) x2 -3x +2 e) x2 -5x -14 g) x2 -9x +18 h) x2 +6x +5 i) 15x2 +7x -2 3. Phân tích đa thức thành nhân tử a) 5x2 +6xy +y2 b) a2 +2ab -15b2 c) (a+1)(a+2)(a+3)(a+4) +1 d) x4 +64 e) x3 -19x -30 g) x3 -3x2 -4x +12 h) a3 +b3+c3 -3abc 4.Tìm x a) (2x-1)(3x-2) = 0 b) 3x2 -5x -2 = 0 c) 12x2 +7x -12 = 0 d) x3 -3x +2 = 0 e) x3 -5x2 +8x - 4 = 0. 5.Giải phương trình a) 2x2 +8x -10 = 0 b) 4x2 –x-3 = 0 c) x2 -6x +8 = 0 d) x2 -3x +2 = 0 e) x2 -5x -14 = 0 g) x2 -9x +18 = 0 h) x2 +6x +5 = 0 i) 15x2 +7x -2 = 0. k) x3 – x = 0. Bài 4 Phân thức đại số Ví dụ 1: với giá trị nào của x thì biểu thức có nghĩa 5
6. x 3 16x2 1 x2 1 3x 2 a) b) c) d) x2 7x 9x2 49 2x2 28x 98 16 (x 2)2 Ví dụ 2: Rút gọn 1 x2 x 1 A x : 2 1 x x 2x 1 Ví dụ 3: Tìm x để mỗi phân thức sau đây bằng không. x3 x2 x 1 x2 2x 2 a) b) x3 2x2 3 2x 5 Ví dụ 4. Chứng minh đẳng thức: 1 3y 2 4x2 y2 1 2 2 : 2 2 1 2x y y 4x 2x y 4x y 4x Bài tập: 1.Tìm tập xác định của biểu thức rồi giải phương trình 2x 5 4x2 25 a) 0 b) 0 x2 1 (x 1)(2x 3) 2.Rút gọn biểu thức x x2 x y2 A 1 2 1 . 3 3 y y y x y 1 2 1 4x2 4xy y2 B 2 2 2 2 . 2x y 4x y 2x y 16x 1 1 2 1 1 x3 y3 C 2 2 : 2 2 x y x y x y x y 3.Chứng minh x 2 3x x2 1 a) 2 2 . 1 xy 2y x x 2xy 2y 3 x y x2 y2 1 x2 y2 x y x b) : xy x y y x x x y 6