Bài tập ôn tập Hình học Lớp 8

Nội dung text: Bài tập ôn tập Hình học Lớp 8

1. ĐỀ: 1 I. Trắc nghiệm : Khoanh tròn chữ cái trước phương án trả lời đúng (3,5đ). 1. Tứ giác ABCD có µA = 1200; Bµ = 800 ; Cµ = 1000 thì: A. Dµ = 1500 B. Dµ = 900 C. Dµ = 400 D. Dµ = 600 2. Hình chữ nhật là tứ giác: A. Có hai cạnh vừa song song vừa bằng nhau. B. Có bốn góc vuông. C. Có bốn cạnh bằng nhau. D. Có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông 3. Nhóm hình nào đều có trục đối xứng: A. Hình bình hành, hình thang cân, hình chữ nhật. B. Hình thang cân, hình thoi, hình vuông, hình bình hành. C. Hình thang cân, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. D. Hình thang cân, hình chữ nhật, hình bình hành, hình vuông. 4. Cho hình vẽ. Biết AB song song DC và AB = 4 ; DC = 8. Hỏi EF = ? A.10 B. 4 C. 6 D. 20 Hỏi IK = ? A.1,5 B. 2 C. 2,5 D. Cả A, B, C sai. 5. Cho hình thoi ABCD có 2 đường chéo AC = 3 cm và BD = 4cm. Độ dài canh của hình thoi đó là: A.2 cm B. 7 cm C. 5 cm D. 14 cm 6. Nhóm tứ giác nào có tổng số đo hai góc đối bằng 1800 ? A. Hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông. B. Hình thang cân, hình thoi, hình vuông. C. Hình thang cân, hình chữ nhật, hình thoi. D. Hình bình hành, hình thang cân, hình chữ nhật. 7. Hai đường chéo của hình vuông có tính chất : A. Bằng nhau, vuông góc với nhau. B. Cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường C. Là tia phân giác của các góc của hình vuông. D. Cả A,, B, C II. Tự luận (6,5đ): Câu 1. (1đ) Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12cm. Hỏi trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng bao nhiêu? Câu 2. (2,5đ) Cho góc xOy có số đo ; điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm C đối xứng với A qua Oy . a) So sánh các độ dài OB và OC. b) Chứng minh 3 điểm B, O, C thẳng hàng. Câu 3. (3đ) Cho ABC. Gọi D, M, E theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. a) Chứng minh tứ giác ADME là hình bình hành. b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác ADME là hình chữ nhật ? c) Khi M di chuyển trên cạnh BC thì trung điểm J của AM di chuyển trên đường nào ? ĐỀ: 2 Bài 1: (2 điểm) Vẽ hình, nêu định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật. Bài 2: (2 điểm)Cho hình vẽ.Tính độ dài đoạn AM. N A 9cm P M 12cm 1
2. Bài 3: (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) có trung tuyến AM. Kẻ MN  AB và MP  AC (N AB;P AC ) a) Tứ giác ANMP là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh: NA=NB; PA=PC và tứ giác BMPN là hình bình hành; c) Gọi E là trung điểm BM; F là giao điểm của AM và PN. Chứng minh: +Tứ giác ABEF là hình thang cân; +Tứ giác MENF là hình thoi. d) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC, MK // AH (K AC ). Chứng minh rằng: BK  HN . ĐỀ: 3 Bài 1: (2 điểm) Vẽ hình, nêu định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình thoi. Bài 2: (2 điểm)Cho hình chữ nhật ABCD biết AB=8cm, AC=10cm .Tính độ dài đoạn BC. Bài 3: (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là trung điểm của BC. Từ D kẻ DM vuông góc với AB(M thuộc AB), DN vuông góc với AC (N thuộc AC). Trên tia DN lấy điểm E sao cho N là trung điểm của DE. a,Tứ giác AMDN là hình gì? Vì sao? b,Chứng minh: N là trung điểm AC. c, Tứ giác ADCE là hình gì ? Vì sao? d, Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác ABCE là hình thang cân. ĐỀ: 4 I. Trắc nghiệm : Khoanh tròn chữ cái trước phương án trả lời đúng (4đ).    1. Tứ giác ABCD có A = 1300; B = 800 ; C = 1100 thì:     A. D = 1500 ; B. D = 900 ; C. D = 400 ; D. D = 600 2. Hình chữ nhật là tứ giác: A. Có hai cạnh vừa song song vừa bằng nhau. B. Có bốn góc vuông. C. Có bốn cạnh bằng nhau. D. Có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông. 3. Nhóm hình nào đều có trục đối xứng: A. Hình bình hành, hình thang cân, hình chữ nhật. B. Hình thang cân, hình thoi, hình vuông, hình bình hành. C. Hình thang cân, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. D. Hình thang cân, hình chữ nhật, hình bình hành, hình vuông. 4. Cho hình vẽ. Biết AB song song DC và AB = 3 ; DC = 7. 4.1 Hỏi EF = ? A.10 B. 4 C. 5 D. 20 4.2 Hỏi IK = ? A.1,5 B. 2 C. 2,5 D. Cả A, B, C sai. 5. Cho hình thoi ABCD có 2 đường chéo AC = 6 cm và BD = 8cm. Độ dài canh của hình thoi đó là : A.2 cm B. 7 cm C. 5 cm D. 14 cm 6. Nhóm tứ giác nào có tổng số đo hai góc đối bằng 1800 ? A. Hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông. B. Hình thang cân, hình thoi, hình vuông. C. Hình thang cân, hình chữ nhật, hình thoi. D. Hình bình hành, hình thang cân, hình chữ nhật. 7. Hai đường chéo của hình vuông có tính chất : A. Bằng nhau, vuông góc với nhau. B. Cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 2
3. C. Là tia phân giác của các góc của hình vuông. D. Cả A,, B, C II. Tự luận ( 6đ ): Câu 1. ( 2 đ) Một hình vuông có cạnh bằng 4 cm. a. Tính chu vi và diện tích hình vuông đó. b. Tính độ dài đường chéo của hình vuông đó. Câu 2. ( 4đ) Cho tam giác HBC. Gọi D, M, E theo thứ tự là trung điểm của HB, BC, CH. a. Chứng minh tứ giác HDME là hình bình hành. b. Tam giác HBC có điều kiện gì thì tứ giác HDME là hình chữ nhật ? c. Khi M di chuyển trên cạnh BC thì trung điểm I của HM di chuyển trên đường nào ? ĐỀ: 5 I. Trắc nghiệm : Khoanh tròn chữ cái trước phương án trả lời đúng (4đ).    1. Tứ giác ABCD có A = 1300; B = 700 ; C = 1100 thì:     A. D = 500 ; B. D = 900 ; C. D = 700 ; D. D = 600 2. Hình vuông là tứ giác: A. Có hai cạnh vừa song song vừa bằng nhau. B. Có bốn góc vuông. C. Có bốn cạnh bằng nhau. D. Có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông. 3. Nhóm hình nào đều có trục đối xứng: A. Hình thang cân, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. B. Hình thang cân, hình thoi, hình vuông, hình bình hành. C. Hình bình hành, hình thang cân, hình chữ nhật. D. Hình thang cân, hình chữ nhật, hình bình hành, hình vuông. 4. Cho hình vẽ. Biết AB song song DC và AB = 5 ; DC = 9. 4.1 Hỏi EF = ? A.7 B. 14 C. 5 D. 4 4.2 Hỏi IK = ? A.1,5 B. 2 C. 2,5 D. Cả A, B, C sai. 5. Hai đường chéo của hình vuông có tính chất : A. Bằng nhau, vuông góc với nhau. B. Cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. C. Là tia phân giác của các góc của hình vuông. D. Cả A,, B, C 6. Nhóm tứ giác nào có tổng số đo hai góc đối bằng 1800 ? A. Hình bình hành, hình thang cân, hình chữ nhật. B. Hình thang cân, hình thoi, hình vuông. C. Hình thang cân, hình chữ nhật, hình thoi. D. Hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông. 7. Cho hình thoi ABCD có 2 đường chéo AC = 6 cm và BD = 8cm. Độ dài canh của hình thoi đó là : A.2 cm B. 5 cm C. 7cm D. 14 cm II. Tự luận ( 6đ ): Câu 1. ( 2 đ) Một hình vuông có cạnh bằng 4 cm. a. Tính chu vi và diện tích hình vuông đó. b. Tính độ dài đường chéo của hình vuông đó. Câu 2. ( 4đ) Cho tam giác ABC. Gọi D, M, E theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. a. Chứng minh tứ giác ADME là hình bình hành. b. Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác ADME là hình chữ nhật ? c. Khi M di chuyển trên cạnh BC thì trung điểm J của AM di chuyển trên đường nào ? ĐỀ: 6 Câu 1: (1điểm) Cho hình 1. Tính số đo x. Biết Fµ 750 , Dµ 850 ,Gµ 1300 , Câu 2: (2điểm) Cho hình 2. Tính độ dài x 3
4. D A 85° G H x I 130° x? E 8 cm 75° B C Hình 1 F Hình 2 Câu 3: (3điểm) Cho tứ giác ABCD có BC =2AB, gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AD. Chứng minh ABEF là hình vuông? Câu 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng với M qua D. a) Chứng minh tứ giác AEBM là hình thoi. b) Cho AB =3 cm, AC = 4 cm. Tính chu vi hình thoi AEBM c) Tứ giác AEMC là hình gì? Vì sao? d) Gọi I là trung điểm của AM. Chứng minh E, I, C thẳng hàng. ĐỀ: 7 Câu 1:(2đ) Nêu dấu hiệu nhận biết hình vuông? (1đ) Áp dụng: Tứ giác sau là hình gì? Vì sao?(1đ) Câu 2:(3đ) Tìm x, y, trong hình vẽ: A B A 60 E x F x G 14 H 80 y D C B C Câu 3:(5đ) Cho tam giác ABC vuông tại A. M,N,P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. a, Chứng minh rằng : Tứ giác BMNP là hình bình hành b, Chứng minh rằng : Tứ giác AMPN là hình chữ nhật c, Vẽ Q đối xứng với P qua N, R đối xứng với P qua M. Chứng minh rằng R,A,Q thẳng hàng ĐỀ: 8 Phần I. TRẮC NGHIỆM (3đ): Chọn phương án đúng trong các câu sau ( Mỗi câu 0,5 điểm ) Câu 1: Tứ giác có bốn góc bằng nhau, thì số đo mỗi góc là: A. 900 B. 3600 C. 1800 D. 600 Câu 2: Cho hình 1. Độ dài của EF là: A. 22. B. 22,5. C. 11. D. 10. Câu 3: Hình nào sau đây vừa có tâm đối xứng, vừa có trục đối xứng ? A. Hình bình hành B. Hình thoi C. Hình thang vuông D. Hình thang cân Câu 4: Trong các tứ giác sau, tứ giác nào là hình có 4 trục đối xứng? A. Hình chữ nhật B. Hình thoi C. Hình vuông D. Hình bình hành Câu 5: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng: 4
5. A. Cạnh góc vuông B. Cạnh huyền C. Đường cao ứng cạnh huyền D. Nửa cạnh huyền Câu 6: Hình vuông có cạnh bằng 1dm thì đường chéo bằng: A. 1 dm B. 1,5 dm C. 2 dm D. 2 dm Phần II. TỰ LUẬN (7đ): Câu7: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM , I là trung điểm AC, K là trung điểm AB, E là trung điểm AM. Gọi N là điểm đối xứng của M qua I a) Chứng minh tứ giác AKMI là hình thoi. b) Tứ giác AMCN, MKIClà hình gì? Vì sao?. c) Chứng minh E là trung điểm BN d) Tìm điều kiện của ABC để tứ giác AMCN là hình vuông . ĐỀ: 9 Câu 1: (2điểm) a) Phát biểu định lí về tổng các góc của một một tứ giác. b) Cho tứ giác ABCD vuông ở A, biết góc B bằng 400, góc C bằng 700. Tính số đo góc D. Câu 2: (3điểm) a) Phát biểu định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác. b) Cho VABC , D là trung điểm cạnh AB, E là trung điểm cạnh AC. Tính độ dài cạnh BC, biết DE= 5cm. Câu 3: (2điểm) Nêu các dấu hiệu nhận biết hình bình hành Câu 4: (3điểm) Cho VABC vuông tại A, D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối xứng với D qua AB, E là giao điểm của DM và AB. Gọi N là điểm đối xứng với D qua AC, F là giao điểm của DN và AC. a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao? b) Các tứ giác ADBM, ADCN là hình gì? Vì sao? ĐỀ: 10 I/ TRẮC NGHIỆM: (3,0 điểm) Bµi 1: (1®) Nèi mỗi côm tõ ë cét A víi mét côm tõ ë cét B ®Ó ®­îc c©u ®óng. Cét A Cét B 1. Tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau lµ a. H×nh ch÷ nhËt 2. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc tại trung điểm và bằng nhau là b. H×nh vu«ng 3. H×nh thang c©n cã mét gãc vu«ng lµ c. H×nh b×nh hµnh 4. H×nh b×nh hµnh cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau lµ d. H×nh thoi Bµi 2: (1®) Khoanh trßn vµo ch÷ c¸i ®øng tr­íc c©u tr¶ lêi ®óng a. H×nh thoi cã c¹nh b»ng 3cm. Chu vi h×nh thoi lµ: A. 9cm B. 6cm C. 12cm D. 12cm. b. H×nh thang cã ®¸ylín lµ 4cm, ®¸y bé lµ 3cm. §é dµi đường trung b×nh cña h×nh thang lµ: A. 3.5 cm B. 7 cm C. 6 cm D. 1 cm c. H×nh thang c©n cã c¹nh bªn lµ 3,5 cm, ®­êng trung b×nh lµ 3cm. Chu vi cña h×nh thang lµ: A. 6.5cm B. 13cm C. 9,5cm D. 10cm d. Cho tứ giác ABCD có số đo các góc A, B, D lần lượt là 20o , 80o , 60o Khi đó góc C bằng: A. 1600 ; B. 1000 ; C. 2000 ; D. 200 II/ TỰ LUẬN: (8.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), M là trung điểm của AB, P là điểm nằm trong ABC sao cho MP AB. Trên tia đối của tia MP lấy điểm Q sao cho MP = MQ. 1/ Chứng minh : Tứ giác APBQ là hình thoi. 2/ Qua C vẽ đường thẳng song song với BP cắt tiaQP tại E. Chứng minh tứ giác ACEQ là hình bình hành 3/ Gọi N là giao điểm của PE và BC. a/ Chứng minh AC = 2MN b/ Cho MN = 3cm, AN = 5cm. Tính chu vi của ABC. 4/ Tìm vị trí của điểm P trong tam giác ABC để APBQ là hình vuông. 5
6. ĐỀ 1: Câu 1: (1,5điểm) A 1100 0 ˆ 0 ˆ 0 Cho hình 1. Biết  = 110 , B 88 ,C 76 . 880 B D ? Tính số đo Dˆ ? Câu 2: (3điểm) 760 Hình 1 C Cho hình 2; biết AD = DM = MB, AE = EN = NC và MN = 4cm. a) Tính x ? b) Tính y ? Hình 2 Câu 3: (2điểm) Trong các hình sau đây: Hình thang cân, Hình bình hành, Hình chữ nhật, Hình thoi, Hình vuông. a) Hình nào có tâm đối xứng ? b) Hình nào có trục xứng ? Câu 4: (3,5điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A có đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng với M qua D. a) Chứng minh tứ giác AEBM là hình thoi. b) Gọi I là trung điểm của AM. Chứng minh E, I, C thẳng hàng. c) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì AEBM là hình vuông ? I. HÌNH BÌNH HÀNH Bài 1: Cho hình bình hành ABCD ( Bµ 900 ). Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các tam giác vuông cân tại B là ABE và CBF. Chứng minh rằng: a) DB = EF b) DB  EF Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có Aµ 1200 . Đường phân giác của góc D đi qua trung điểm M của cạnh AB. a) Chứng minh AB = 2AD. b) Vẽ AH  CD. Chứng minh DM = 2AH. Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Đường chéo BD cắt AF ở G và cắt CE ở H. Chứng minh rằng: a) DG = GH = HB. b) Các tứ giác AECF, EGFH, AGCH là các hình bình hành. Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC. DM cắt AC ở I, DN cắt AC ở K. Chứng minh rằng: 2 a) AI = IK = KC b) IK MN . 3 Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy các điểm G, H sao cho DG = GH = HB. a) Chứng minh rằng tứ giác AGCH là hình bình hành. b) Tia AH cắt cạnh BC tại M. Chứng minh rằng AH = 2HM. II. HÌNH CHỮ NHẬT Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, điểm E thuộc cạnh CD. Đường vuông góc với AE tại A cắt BC ở F. Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng OM là trung trực của AC. Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. a) Tứ giác ADME là hình gì ? b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm A, I, M thẳng hàng. c) Tìm vị trí của điểm M để DE có độ dài nhỏ nhất. 6
7. d) Đặt AD = a; DB = b; AE = c; EC = d; BM = m; MC = n. Chứng minh: mn = ab + cd Bài 3*: Cho tam giác ABC cân tại A ( Aµ 900 ), các đường cao BD và CE. Kẻ đường vuông góc DH từ D đến BC. Đường thẳng đi qua H và song song với CE cắt DE ở K. Gọi O là giao điểm của BD và HK. Chứng minh rằng: a) OB = OH b) BKDH là hình chữ nhật. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M thuộc cạnh BC có MA = a. Tính tổng MB 2 + BC2 theo a. Bài 5*: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của D trên AC, M là trung điểm của HC. Đường vuông góc với DM tại M cắt AB ở I. Chứng minh rằng AI = IB. Bài 6*: Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ BH  AC (H AC). Gọi M là trung điểm của AH, N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: BM  MN. Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD; E là điểm tùy ý trên đường chéo BD. Trên tia đối của tia EA, lấy điểm F sao cho EF = EA. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của F trên các đường thẳng BC và CD. Chứng minh rằng ba điểm E, M, N thẳng hàng. Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Vẽ HE  AB; HF AC (E AB; F AC). Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh rằng: EF = AH. b) AI  EF. c) Gọi M là trung điểm của HB, N là trung điểm của HC. Chứng minh rằng EMNF là hình thang vuông. Bài 9: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 30cm; AD = 20cm. Lấy các điểm E, F, G, H theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho AE = AH = CF = CG = x. Tính x để EFGH là hình thoi. III. HÌNH THOI Bài 1: Cho hình thoi ABCD có Bµ 600 . Kẻ AE  BC; AF  CD. a) Chứng minh rằng AE = AF. b) AEF đều. c) Biết BD = 16cm. Tính chu vi của AEF. Bài 2: Cho hình thoi ABCD, có cạnh là a, Dµ 600 . Kẻ AM  DC, AN  BC (M ∈ DC, N ∈BC). a) Tính AM, AN, MN, AC, BD theo a. b) Chứng minh rằng tam giác AMN đều. Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Kẻ BE  AD tại E. Nối E với trung điểm của CD, kẻ FH  BE tại H, FH cắt AB tại K. a) Tứ giác CFKB và tứ giác DFKA là hình gì ? b) Chứng minh ∆EFB cân. c) Chứng minh: ·ADC 2D· EF . Bài 4: Cho hình thang ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. a) Tứ giác MNPQ là hình gì ? vì sao ? b) Chứng minh rằng nếu ABCD là hình thang cân thì MP là tia phân giác của góc QMN. Bài 5: Cho hình thoi ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm M, N, P, Q sao cho AM = CN = CP = QA. Chứng minh rằng : a) Ba điểm M, O, P thẳng hàng và ba điểm N, O, Q thẳng hàng. b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Bài 6: Cho tam giác AEB vuông ở A. Từ điểm C trên cạnh BE kẻ đường vuông góc với BE, cắt tia đối của tia AB ở F, cắt AE ở D. Tia phân giác của góc E cắt AB, CD lần lượt ở M và P. Tia phân giác của góc F cắt BC và DA lần lượt tại N và Q. Chứng minh rằng: a) EM  FN b) MPNQ là hình thoi. IV. HÌNH VUÔNG Bài 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH. Kẻ phân giác của các góc AHB, AHC cắt AB, AC ở D và E. a) Tứ giác ADHE là hình gì ? vì sao ? b) DE // BC. 7
8. Bài 2: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở E, qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở F. a) Tứ giác AEMF là hình gì ? vì sao ? b) Tam giác ABC cần có điều kiện gì thì tứ giác AEMF là hình chữ nhật ? c) Nếu tam giác ABC vuông cân ở A thì tứ giác AEMF là hình gì ? vì sao ? Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Gọi M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh CD sao cho ·AMB ·AMN . Qua A kẻ AH  MN. Chứng minh rằng: a) ∆AMH = ∆AMB b) M· AN 450 Bài 4: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua O kẻ các đường thẳng lần lượt vuông góc với AB, BC, CD, DA tại E, G, F, H. Chứng minh rằng: a) Ba điểm E, O, F thẳng hàng và ba điểm G, O, H thẳng hàng. b) EGFH là hình vuông. Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ phía ngoài của tam giác hai hình vuông ABDE và ACFH. Gọi I và K lần lượt là tâm của hai hình vuông nói trên, M là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh rằng : EC = BH và EC  BH. b) Gọi N là trung điểm của EH. Chứng minh tam giác MIK vuông cân. c) Tứ giác MINK là hình gì ? vì sao ? Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A ( Aµ 900 ), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tia phân giác của góc ACE cắt DB và AB theo thứ tự ở Q và N. Chứng minh rằng: a)·ABD ·ACE ; c) ∆BOC vuông cân. b) BH = CH ; d) MNPQ là hình vuông. Bài 7: Cho hình vuông ABCD có AB = 12cm, trên cạnh CD lấy điểm E sao cho DE = 5cm. Tia phân giác của góc BAE cắt BC ở F. Tính độ dài BF ? V. ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG I Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A (AB < AC), đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng của A qua H. Đường thẳng qua D song song với AB cắt BC và AC lần lượt ở M và N. a) Tứ giác ABDM là hình gì ? vì sao ? b) Chứng minh M là trực tâm của tam giác ACD. c) Gọi I là trung điểm của MC, chứng minh H· NI 900 . Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, có AM, BN, CP là các trung tuyến. Qua N kẻ đường thẳng song song với CP cắt BC ở F. Các đường thẳng kẻ qua F song song với BN và kẻ qua B song song với CP cắt nhau ở D. a) Tứ giác CPNE là hình gì ? vì sao ? b) Chứng minh rằng BDFN là hình bình hành. c) Chứng minh PNCD là hình thang. d) Chứng minh AM = DN. Bài 3: Cho tam giác ABC, các trung tuyến BE, CF cắt nhau ở G. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BG và CG. a) Tứ giác MNEF là hình gì ? vì sao ? b) Tam giác ABC cần có điều kiện gì thì tứ giác MNEF là hình chữ nhật ? là hình thoi ? Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của điểm A qua D. a) Chứng minh rằng ∆ACE vuông cân. b) Từ A hạ AH BE; gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AH và HE. Chứng minh tứ giác BMNC là hình bình hành. c) Chứng minh M là trực tâm của tam giác ANB. d) Chứng minh ·ANC 900 . Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có Aµ 600 , AD = 2AB. Gọi M là trung điểm của AD; N là trung điểm của BC. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với MN ở E cắt AB ở F. Chứng minh: a) MNCD là hình thoi; c) MCF đều b) E là trung điểm của CF; d) Ba điểm F, N, D thẳng hàng. Bài 6*: Cho tam giác ABC đều, có đường cao AD, H là trực tâm. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC. Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của điểm M trên AB, AC; gọi I là trung điểm của AM. 8
9. a) Tứ giác DEIF là hình gì ? vì sao ? b) Chứng minh rằng các đường thẳng MH, ID, EF đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M trên BC để EF có độ dài nhỏ nhất ? VI. BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Tam giác ABC có AM, BN là các trung tuyến, G là trọng tâm. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của GB và GA. Gọi I là điểm đối xứng với G qua M. a) Chứng minh BICG và MNFE là hình bình hành. b) Để MNFE là hình chữ nhật thì cần có thêm điều kiện gì cho tam giác ABC ? c) Khi BICG là hình thoi, hãy chứng minh tam giác ABC cân tại A. Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của A qua trung điểm M của BC. a) Chứng minh ABEC là hình bình hành và D, E, C thẳng hàng. b) Tam giác ABC phải có điều kiện gì thì ABEC trở thành hình thoi. Bài 3: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của AB. a) Chứng minh rằng ADBH là hình chữ nhật. b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để ADBH là hình vuông. Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ đường cao BH. Từ một điểm M trên đáy BC kẻ MI  AC ; MK  AB; MP  BH. a) Chứng minh MPHI là hình chữ nhật. b) Chứng minh : MK + MI = BH Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AI. Gọi D là điểm đối xứng của I qua AC; ID cắt AC tại N. kẻ IM  AB tại M. a) Chứng minh MN = AI. b) Chứng minh MPHI là hình thoi. c) Với điều kiện nào của tam giác ABC thì ADCI là hình vuông ? Bài 6: Cho B là một điểm nằm giữa đoạn thẳng AC. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC dựng các hình vuông ABDE và BCKH. Trên tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia DB lấy điểm P sao cho DP = AM = HK. Chứng minh rằng: a) EM = KP. b) EMKP là hình vuông. Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ hai đường cao AH và BE. Tia phân giác của H· AC cắt BE và BC theo thứ tự tại I và K. Tia phân giác của E· BC cắt AH và AC theo thứ tự ở M và N; AK và BN cắt nhau tại O. Chứng minh: a) AK  BN b) MINK là hình thoi. Bài 8: Cho M là một điểm nằm trong tứ giác ABCD. Tìm vị trí của M để tổng: MA+MB+MC+MD nhỏ nhất. C¸c bµi tËp tæng hîp ch¬ng I Bµi 1. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC). Trªn ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm A vµ song song víi BC lÊy hai ®iÓm M vµ N sao cho A lµ trung ®iÓm cña MN (M, B cïng thuéc nöa mÆt ph¼ng bê AC). Gäi H, I, K lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh MB, BC vµ CN. a) Tø gi¸c MNCB lµ h×nh g×? T¹i sao? b) Chøng minh tø gi¸c AHIK lµ h×nh thoi. Bµi 2. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã BC = 2AB. Gãc A b»ng 60o. Gäi E, F thø tù lµ trung ®iÓm cña BC vµ AD, vÏ I ®èi xøng víi A qua B. a) Tø gi¸c ABEF lµ h×nh g×? Chøng minh. b) Chøng minh tø gi¸c AIEF lµ h×nh thang c©n. c) Chøng minh BICD lµ h×nh ch÷ nhËt. d) TÝnh gãc AED. Bµi 3. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. Gäi O lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo. Gäi M,N thø tù lµ trung ®iÓm cña OD vµ OB. Gäi E lµ giao ®iÓm cña AM vµ CD. F lµ giao cña CN vµ AB. a)Chøng minh tø gi¸c AMCN lµ h×nh b×nh hµnh b)Tø gi¸c AECF lµ h×nh g×? Chøng minh. c)Chøng minh E vµ F ®èi xøng víi nhau qua O d)Chøng minh EC = 2DE 9
10. Bµi 4. Cho tam gi¸c ABC gãc A b»ng 90o. Gäi E, G, F lµ trung ®iÓm cña AB, BC, AC. Tõ E kÎ ®êng song song víi BF, ®êng th¼ng nµy c¾t GF t¹i I. a)Tø gi¸c AEGF lµ h×nh g× ? b)Chøng minh tø giac BEIF lµ h×nh b×nh hµnh c)Chøng minh tø gi¸c AGCI lµ h×nh thoi d)T×m ®iÒu kiÖn ®Ó tø gi¸c AGCI lµ h×nh vu«ng Bµi 5 . Cho tam gi¸c DEF vu«ng t¹i D. LÊy ®iÓm M bÊt k× thuéc ®o¹n EF (M kh¸c E, F). Qua M kÎ MP vu«ng gãc víi DE; MQ vu«ng gãc víi DF. a) Tø gi¸c DPMQ lµ h×nh g×? V× sao? b) T×m vÞ trÝ ®iÓm M ®Ó DPMQ lµ h×nh vu«ng. c) Gäi I lµ ®iÓm ®èi xøng víi M qua DE; K lµ ®iÓm ®èi xøng víi M qua DF. Chøng minh I ®èi xøng víi K qua ®iÓm D? Bµi 6. Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i B. Gäi E, F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AC, BC. KÎ EM//BC c¾t AB t¹i M. a) Chøng minh tø gi¸c BMFE lµ h×nh ch÷ nhËt b) Gäi K ®èi xøng víi B qua E. Tø gi¸c BAKC lµ h×nh g×? chøng minh. c) Gäi G ®èi xøng víi E qua F. Tø gi¸c BGCE lµ h×nh g×? chøng minh. d) Tam gi¸c ABC cÇn cã thªm ®iÒu kiÖn g× ®Ó tø gi¸c BGCE lµ h×nh vu«ng. Bµi 7. Cho tam gi¸c ABC (AB < AC), ®êng cao AK. Gäi D, E, F theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, AC, BC. a) Tø gi¸c BDEF lµ h×nh g× ? V× sao ? b) Chøng minh tø gi¸c DEFK lµ h×nh thang c©n. c) Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC, M, N, P theo thø tù lµ trung ®iÓm cña HA, HB, HC. Chøng minh c¸c ®o¹n th¼ng MF, NE, PD b»ng nhau vµ c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®o¹n. Bµi 8. Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD ®êng chÐo AC vµ BD c¾t nhau t¹i O. LÊy P lµ mét ®iÒm tuú ý trªn OB. Gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng víi C qua P. Tõ M kÎ ME vu«ng gãc víi ®êng th¼ng AD ( E AD ), kÎ MF vu«ng gãc víi ®êng th¼ng AB (F AB ). a) Chøng minh r»ng AEMF lµ h×nh ch÷ nhËt. b) Chøng minh r»ng AMBD lµ h×nh thang. c) Chøng minh E,F, P th¼ng hµng . d) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña P ®Ó AMBD lµ h×nh thang c©n. Bµi 9. Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Gäi E lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kÎ tõ B ®Õn AC, I lµ trung ®iÓm cña AE, M lµ trung ®iÓm cña CD. a) Gäi H lµ trung ®iÓm cña BE. Chøng minh r»ng: CH // IM. b) TÝnh sè ®o gãc BIM. Bµi 10. Cho tam gi¸c ABC, c¸c ®êng cao BD vµ CE. Gäi M, N lµ ch©n c¸c ®êng vu«ng gãc kÎ tõ B, C ®Õn DE. Gäi I lµ trung ®iÓm cña DE, K lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh r»ng: a) KI vu«ng gãc víi ED. b) EM = DN Bµi 11. Cho tam gi¸c ABC. Lêy ®iÓm D thuéc c¹nh AB, ®iÓm E thuéc c¹nh AC, sao cho BD = CE. Gäi I, K, M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña DE, BC, BE, CD. Chøng minh r»ng IK vu«ng gãc víi MN. Bµi 12. Cho tam gi¸c ABC. Trªn c¸c c¹nh AB, AC lÊy c¸c ®iÓm D, E sao cho BD = CE. Gäi M, N, I, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña DE, BC, BE, CD. a) Tø gi¸c MINK lµ h×nh g×? V× sao? b) Gäi G, H lµ giao ®iÓm cña IK víi AB, AC. Chøng minh r»ng tam gi¸c AGH lµ tam gi¸c c©n. Bµi 13. Cho tam gi¸c ®Òu ABC. Gäi M lµ ®iÓm thuéc c¹nh BC. Gäi E, F lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kÎ tõ M ®Õn AB, AC. Gäi I lµ trung ®iÓm cña AM, D lµ trung ®iÓm cña BC. a) TÝnh sè ®o c¸c gãc DIE, DIF. b) Chøng minh r»ng DEIF lµ h×nh thoi. Bµi 14 Cho ABC nhän (AB < AC). C¸c ®êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, K lµ ®iÓm ®èi xøng víi H qua M a) Chøng minh tø gi¸c BHCK lµ h×nh b×nh hµnh. b) Chøng minh BK  AB c) Gäi I lµ ®iÓm ®èi xøng víi H qua BC. Chøng minh tø gi¸c BIKC lµ h×nh thang c©n. d) BK c¾t HI t¹i G. T×m ®iÒu kiÖn cña ABC ®Ó tø gi¸c HGKC lµ h×nh thang c©n. 10
11. Bµi 15. Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi M, E theo thø tù lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, CD. Nèi CM, AE. Chøng minh: a) Tø gi¸c AMCE lµ h×nh b×nh hµnh? b) DN = AE víi N lµ trung ®iÓm cña BC c) DN  AE d) Gäi I lµ giao ®iÓm cña DN vµ MC. Chøng minh AI = AB Bµi 16 Cho ABC vu«ng t¹i A. §iÓm M thuéc c¹nh BC. Gäi D, E theo thø tù lµ ch©n c¸c ®êng vu«ng gãc kÎ tõ M ®Õn AB, AC. a) Tø gi¸c ADME lµ h×nh g×? V× sao? b) §iÓm M ë vÞ trÝ nµo trªn c¹nh BC th× tø gi¸c ADME lµ h×nh vu«ng? c) Gäi I lµ trung ®iÓm cña BM; K lµ trung ®iÓm cña MC. Chøng minh: DI // EK Bµi 17. Cho h×nh thang ABCD (AB//CD). Gäi M, N, P, Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, AC, CD, BD. a) Chøng minh r»ng MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh. b) T×m ®iÒu kiÖn cña h×nh thang ABCD ®Ó tø gi¸c MNPQ lµ: H×nh thoi, h×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng. Bµi 18. Cho ABC. C¸c ®êng trung tuyÕn BE vµ CF c¾t nhau t¹i G. Gäi I lµ trung ®iÓm cña GB, K lµ trung ®iÓm cña GC. a) Chøng minh tø gi¸c EFIK lµ h×nh b×nh hµnh. b) Tam gi¸c ABC ph¶i cã thªm ®iÒu kiÖn g× ®Ó tø gi¸c EFIK lµ h×nh ch÷ nhËt. c) NÕu BE vu«ng gãc víi CF th× tø gi¸c EFIK lµ h×nh g×? Bµi 19. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã AB = 2AD. KÎ BE vu«ng gãc víi ®êng th¼ng AD (E AD). Nèi E víi trung ®iÓm F cña CD, kÎ FH BE (H BE), FH c¾t AB t¹i K. a) Tø gi¸c CFKB vµ tø gi¸c DFKA lµ h×nh g×? b) Chøng minh EBF lµ tam gi¸c c©n. c) Chøng minh gãc ADC = 2 gãc DEF Bµi 20. Cho tø gi¸c ABCD cã gãc ADC + gãc BCD = 900. Gäi E, F, G, H lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c ®o¹n th¼ng AB, AC, CD, BD. Chøng minh r»ng tø gi¸c EFGH lµ h×nh vu«ng. Bµi 21. Tø gi¸c ABCD cã AD = AB = BC < CD, hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i O. Gäi M lµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng AD vµ BC. VÏ h×nh b×nh hµnh AMBK. §êng th¼ng KO c¾t ®êng th¼ng BC t¹i N. Chøng minh: a) AC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BAK. b) AM = BN. Bµi 22. Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®êng chÐo BD lÊy mét ®iÓm M. Trªn tia AM lÊy ®iÓm E sao cho M lµ trung ®iÓm cña AE. Gäi H vµ K lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña E trªn BC vµ DC. Chøng minh r»ng: a) HK // AC. b) Ba ®iÓm M, H, K th¼ng hµng. Bµi 23. Cho tam gi¸c ABC nhän, c¸c ®êng cao BD, CE. Tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc ABD vµ AEC c¾t nhau t¹i O, c¾t AC vµ AB lÇn lît t¹i N vµ M. Tia BN c¾t CE t¹i K, tia CM c¾t BD t¹i H. Chøng minh r»ng: a) BN  CM b) Tø gi¸c MNHK lµ h×nh thoi. Bµi 24. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. Trªn c¸c c¹nh AB vµ CD lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm M vµ N sao cho AM = DN. §êng trung trùc cña BM lÇn lît c¾t c¸c ®êng th¼ng MN vµ BC t¹i E vµ F. Chøng minh r»ng: a) E vµ F ®èi xøng qua AB. b) Tø gi¸c MEBF lµ h×nh thoi. c) H×nh b×nh hµnh ABCD ph¶i cã thªm ®iÒu kiÖn g× ®Ó tø gi¸c BCNE lµ h×nh thang c©n. Bµi 25. Cho tam gi¸c ABC (AB < BC) cã ®êng cao BK. Gäi I, E, F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CA. Chøng minh r»ng: a) IE lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n BK. b) Tø gi¸c IKFE lµ h×nh thang c©n. Bµi 26. Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã gãc B = 500, vÏ ph©n gi¸c BE. Gäi I, K, L lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BE, BC, EC. a) Tø gi¸c AIKL lµ h×nh g×? T¹i sao? b) TÝnh c¸c gãc cña tø gi¸c AIKL. Chúc các em học giỏi ! 11