›
›
›

Bài tập ôn hè Toán Lớp 8 - Chủ đề 1: Phép nhân đơn thức - đa thức

doc 35 trang dichphong 5630
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập ôn hè Toán Lớp 8 - Chủ đề 1: Phép nhân đơn thức - đa thức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_on_he_toan_lop_8_chu_de_1_phep_nhan_don_thuc_da_thuc.doc

Nội dung text: Bài tập ôn hè Toán Lớp 8 - Chủ đề 1: Phép nhân đơn thức - đa thức

  1. Ôn tập hè Toán 8 CHỦ ĐỀ 1: PHÉP NHÂN ĐƠN THỨC - ĐA THỨC A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1.Quy tắc nhân đơn thức với đa thức: Muốn nhân 1 đơn thức với 1 đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau. A(B + C) = AB + AC 2.Quy tắc nhân đa thức với đa thức: Muốn nhân một đa thức với 1 đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau. (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD B.VÍ DỤ: *Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân: a) (- 2x)(x3 – 3x2 – x + 1) = - 2x4 + 3x3 + 2x2 – 2x 2 1 1 1 b) (- 10x3 + y - z)( xy) = 5x4y – 2xy2 + xyz 5 3 2 5 1 *Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức: x(x – y) + y(x + y) tại x = - và y = 3 2 Ta có: x(x – y) + y(x + y) = x2 – xy + xy + y2 = x2 + y2 1 1 9 Khi x = - và y = 3, giá trị của biểu thức là: ( - )2 + 32 = 2 2 4 *Chú ý 1: Trong các dạng bài tập như thế, việc thực hiện phép nhân và rút gọn rồi mới thay giá trị của biến vào sẽ làm cho việc tính toán giá trị biểu thức được dễ dàng và thường là nhanh hơn. *Chú ý 2: HS thường mắc sai lầm khi trình bày như sau 1 9 Ta có: x(x – y) + y(x + y) = x2 – xy + xy + y2 = (- )2 + 32 = 2 4 Trình bày như thế không đúng, vì vế trái là một biểu thức, còn vế phải là giá trị của biểu thức tại một giá trị cụ thể của biến, hai bên không thể bằng nhau. *Ví dụ 3: Tính C = (5x2y2)4 = 54 (x2)4 (y2)4 = 625x8y8 *Chú ý 3: Lũy thừa bậc n của một đơn thức là nhân đơn thức đó cho chính nó n lần. Để tính lũy thừa bậc n một đơn thức, ta chỉ cần: - Tính lũy thừa bậc n của hệ số - Nhân số mũ của mỗi chữ cho n. *Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến: a) x(2x + 1) – x2(x + 2) + (x3 – x + 3) Ta có: x(2x + 1) – x2(x + 2) + (x3 – x + 3) = 2x2 + x – x3 – 2x2 + x3 – x + 3 = 3 b) 4(x – 6) – x2(2 + 3x) + x(5x – 4) + 3x2(x – 1) Ta có: 4(x – 6) – x2(2 + 3x) + x(5x – 4) + 3x2(x – 1) = 4x – 24 – 2x2 – 3x3 + 5x2 – 4x + 3x3 – 3x2 = - 24 Kết quả là mọt hằng số, vậy các đa thức trên không phụ thuộc vào giá trị của x. *Ví dụ 5: Tìm x, biết: a) 5x(12x + 7) – 3x(20x – 5) = - 100 60x2 + 35x – 60x2 + 15x = -100 50x = -100 x = - 2 Vương Văn Kiên 1 THCS Quyết Thắng
  2. Ôn tập hè Toán 8 b) 0,6x(x – 0,5) – 0,3x(2x + 1,3) = 0,138 0,6x2 – 0,3x – 0,6x2 – 0,39x = 0,138 -0,69x = 0,138 x = 0,2 C.BÀI TẬP LUYỆN TẬP: *Bài tập 1: Thực hiện các phép tính sau: a) 3x2(2x3 – x + 5) = 6x5 – 3x3 + 15x2 b) (4xy + 3y – 5x)x2y = 4x3y2 + 3x2y2 – 5x3y 4 c) (3x2y – 6xy + 9x)(- xy) = - 4x3y2 + 8x2y2 – 12x2y 3 1 d) - xz(- 9xy + 15yz) + 3x2 (2yz2 – yz) = - 5xyz2 + 6x2yz2 3 e) (x3 + 5x2 – 2x + 1)(x – 7) = x4 – 2x3 – 37x2 + 15x – 7 f) (2x2 – 3xy + y2)(x + y) = 2x3 – x2y – 2xy2 + y3 g) (x – 2)(x2 – 5x + 1) – x(x2 + 11) = x3 – 5x2 + x – 2x2 + 10x – 2 – x3 – 11x = - 7x2 – 2 h) [(x2 – 2xy + 2y2)(x + 2y) - (x2 + 4y2)(x – y)] 2xy = - 12x2y3 + 2x3y2 + 16xy4 Bài tập 2: Chứng minh các đẳng thức sau: a) a(b – c) – b(a + c) + c(a – b) = - 2bc VT = a(b – c) – b(a + c) + c(a – b) = ab – ac – ab – bc + ac – bc = - 2bc = VP Vậy đẳng thức được chứng minh. b) a(1 – b)+ a(a2 – 1) = a(a2 – b) VT = a – ab + a3 – a = a3 – ab = a(a2 – b)=VP. Vậy đẳng thức được chứng minh. c) a(b – x) + x(a + b) = b(a + x) VT = ab – ax + ax + bx = ab + bx = b(a + x) = VPVậy đẳng thức được CM *Nhận xét: -Để chứng minh 1 đẳng thức ta có thể thực hiện việc biến đổi biểu thức ở vế này (thường là vế phức tạp hơn) của đẳng thức để được 1 biểu thức bằng biểu thức ở vế kia. -Trong 1 số trường hợp , để chứng minh 1 đẳng thức ta có thể biến đổi đồng thời cả 2 vế của đẳng thức sao cho chúng cùng bằng 1 biểu thức thứ ba, hoặc cũng có thể lấy biểu thức vế trái trừ biểu thức vế phải và biến đổi có kết quả bằng 0 thì chứng tỏ đẳng thức đã cho được chứng minh. *Bài tập 3: Chứng minh các đẳng thức sau: a) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = a3 + b3 + c3 – 3abc Ta có : VT = a3 + ab2 + ac2 – a2b – abc – a2c + a2b + b3 + bc2 – ab2 – b2c – abc + a2c + b2c + c3 – abc – bc2 – ac2 = a3 + b3 + c3 – 3abc = VP Vậy đẳng thức được c/m. b) (3a + 2b – 1)(a + 5) – 2b(a – 2) = (3a + 5)(a + 3) + 2(7b – 10) Ta có: VT = 3a2 + 15a + 2ab + 10b – a – 5 – 2ab + 4b = 3a2 + 14a + 14b – 5 VP = 3a2 + 9a + 5a + 15 + 14b – 20 = 3a2 + 14a + 14b – 5 Do đó VT = VP nên đẳng thức được c/m. *Bài tập 4: Cho các đa thức: f(x) = 3x2 – x + 1 và g(x) = x – 1 a)Tính f(x).g(x) Vương Văn Kiên 2 THCS Quyết Thắng
  3. Ôn tập hè Toán 8 5 b)Tìm x để f(x).g(x) + x2[1 – 3.g(x)] = 2 Giải: a) f(x).g(x) = (3x2 – x + 1)(x – 1) = 3x3 – 3x2 – x2 + x + x – 1 = 3x3 – 4x2 + 2x – 1 b) Ta có: f(x).g(x) + x2[1 – 3.g(x)] = (3x3 – 4x2 + 2x – 1 ) + x2[1 – 3(x – 1)] =3x3 – 4x2 + 2x – 1 + x2(1 – 3x + 3) = 3x3 – 4x2 + 2x – 1 + x2 – 3x3 + 3x2 5 = 2x – 1 . Do đó f(x).g(x) + x2[1 – 3.g(x)] = 2 5 5 7 7 2x – 1 = 2x = 1 + 2x = x = 2 2 2 4 *Bài tập 5: Tìm x, biết: a) 6x(5x + 3) + 3x(1 – 10x) = 7 30x2 + 18x + 3x – 30x2 = 7 21x = 7 1 x = 3 b) (3x – 3)(5 – 21x) + (7x + 4)(9x – 5) = 44 15x – 63x2 – 15 + 63x + 63x2 – 35x + 36x – 20 = 44 79x = 79 x = 1 c) (x + 1)(x + 2)(x + 5) – x2(x + 8) = 27 (x2 + 3x + 2)(x + 5) – x3 – 8x2 = 27 x3 + 5x2 + 3x2 + 15x + 2x + 10 – x3 – 8x2 = 27 17x + 10 = 27 17x = 17 x = 1 D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN D¹ng 1/ Thùc hiÖn phÕp tÝnh: 1. -3ab.(a2-3b) 2. (x2 – 2xy +y2 )(x-2y) 3. (x+y+z)(x-y+z) 4, 12a2b(a-b)(a+b) 5, (2x2-3x+5)(x2-8x+2) D¹ng 2:T×m x 1 1 1 1/ x 2 ( x 4). x 14. 4 2 2 2/ 3(1-4x)(x-1) + 4(3x-2)(x+3) = - 27 3/ (x+3)(x2-3x+9) – x(x-1)(x+1) = 27. D¹ng 3: Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 1/ A=5x(4x2-2x+1) – 2x(10x2 -5x -2) víi x= 15. 1 1 2/ B = 5x(x-4y) -4y(y -5x) víi x= ; y= 5 2 1 3/ C = 6xy(xy –y2) -8x2(x-y2) =5y2(x2-xy) víi x= ; y= 2. 2 1 2 4/ D = (y2 +2)(y- 4) – (2y2+1)( y – 2) víi y=- 2 3 Vương Văn Kiên 3 THCS Quyết Thắng
  4. Ôn tập hè Toán 8 D¹ng 4: CM biÓu thøc cã gi¸ trÞ kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña biÕn sè. 1/ (3x-5)(2x+11)-(2x+3)(3x+7) 2/ (x-5)(2x+3) – 2x(x – 3) +x +7 D¹ng 5: To¸n liªn quan víi néi dung sè häc. Bµi 1. T×m 3 sè ch½n liªn tiÕp, biÕt r»ng tÝch cña hai sè ®Çu Ýt h¬n tÝch cña hai sè cuèi 192 ®¬n vÞ. Bµi 2. t×m 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp, biÕt r»ng tÝch cña hai sè ®Çu Ýt h¬n tÝch cña hai sè cuèi 146 ®¬n vÞ. §¸p sè: 35,36,37,38 D¹ng 6:To¸n n©ng cao 3 1 1 432 4 Bµi1/ Cho biÓu thøc : M .(2 ) . 229 433 229 433 229.433 TÝnh gi¸ trÞ cña M Bµi 2/ TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 1 1 4 118 5 8 N 3. . .5 117 119 117 119 117.119 39 Bµi 3/ TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc : a) A=x5-5x4+5x3-5x2+5x-1 t¹i x= 4. b) B = x2006 – 8.x2005 + 8.x2004 - +8x2 -8x – 5 t¹i x= 7. Bµi 4/a) CMR víi mäi sè nguyªn n th× : (n2-3n +1)(n+2) –n3 +2 chia hÕt cho 5. b) CMR víi mäi sè nguyªn n th× : (6n + 1)(n+5) –(3n + 5)(2n – 10) chia hÕt cho 2. §¸p ¸n: a) Rót gän BT ta ®­îc 5n2+5n chia hÕt cho 5 b) Rót gän BT ta ®­îc 24n + 10 chia hÕt cho 2. Bài 5: Cho a + b + c = 2p. CMR 2bc + b2 + c2 – a2 = 4p(p – a) Xét VP = 4p(p – a) = 2p (2p – 2a) = (a + b + c) (a + b + c – 2a) = (a + b + c)(b + c – a ) = (ab + ac – a2 + b2 + bc – ab + bc + c2 – ac ) = b2 + c2 + 2bc – a2 = VT Vậy đẳng thức được c/m Bài 6: Cho x là số gồm 22 chữ số 1, y là số gồm 35 chữ số 1. CMR: xy – 2 chia hết cho 3 Giải: Vì x gồm 22 chữ số 1 nên x chia cho 3 dư 1, hay x có dạng: x = 3n + 1 (n Z) Vì y gồm 35 chữ số 1 nên y chia cho 3 dư 2, hay y có dạng: y = 3m + 2 (m Z) Khi đó xy – 2 = (3n + 1)(3m + 2) – 2 = 9n.m + 6n + 3m + 2 – 2 = 3(3n.m + 2n + m) = 3k ; với k = 3n.m + 2n + m Z Vậy xy – 2 chia hết cho 3. *Bài 7: Cho các biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y a)Rút gọn biểu thức 7A – 2B b)CMR: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 thì 9x + 7y cũng chia hết cho 17. Giải: a) Ta có: 7A – 2B = 7(5x + 2y) – 2(9x + 7y) = 35x + 14y – 18x – 14y = 17x Vương Văn Kiên 4 THCS Quyết Thắng
  5. Ôn tập hè Toán 8 b) Nếu có x, y thỏa mãn A = 5x + 2y chia hết cho 17 , ta c/m B = 9x + 7y cũng chia hết cho 17. Ta có 7A – 2B = 17x  17 A  17 nên 7A  17 Suy ra 2B  17 mà (2,17) = 1 . Suy ra B  17 a) Bµi 8: Chøng minh r»ng: a) x2 – 2x + 5 > 0 víi mäi x b) x2- 3x + 8> 0 víi mäi x c) 2x2 + 6x + 11 > 0 víi mäi x d) –x2 + 4x – 5 < 0 víi mäi x Bµi 9 Cho x + y = 3 vµ xy = -1 . TÝnh a) x2 + y2 b) x3 + y3 1 1 c) x2 y2 Bµi 10 Cho x + y = 2 vµ x2+ y2 = 20 . TÝnh x3 + y3 CHỦ ĐỀ 2:NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT Cho A và B là các biểu thức. Ta có một số hằng đẳng thức đáng nhớ sau: 1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 2) (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 A2 + B2 = (A + B)2 – 2AB = (A - B)2 + 2AB 3) A2 – B2 = (A + B)(A – B) 4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 6) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) B.VÍ DỤ: *Ví dụ 1: Khai triển: a) (5x + 3yz)2 = 25x2 + 30xyz + 9y2z2 b) (y2x – 3ab)2 = y4x2 – 6abxy2 + 9a2b2 c) (x2 – 6z)(x2 + 6z) = x4 – 36z2 d) (2x – 3)3 = (2x)3 – 3.(2x)2.3 + 3.2x.32 – 33 = 8x3 – 36x2 + 54x – 27 e) (a + 2b)3 = a3 + 6a2b + 12ab2 + 8b3 g) (x2 + 3)(x4 + 9 – 3x2) = (x2)3 + 33 = x6 + 27 h) (y – 5)(25 + 2y + y2 + 3y) = (y – 5)(y2 + 5y + 25) = y3 – 53 = y3 – 125 Vương Văn Kiên 5 THCS Quyết Thắng
  6. Ôn tập hè Toán 8 *Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a) A = (x + y)2 – (x – y)2 = x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2 = 4xy Hoặc: A = (x + y + x – y)(x + y – x + y) = 2x.2y = 4xy b) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2 = x2 + 2xy + y2 – 2x2 + 2y2 + x2 – 2xy + y2 = 4y2 c) C = (x + y)3 - (x – y)3 – 2y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3 – 2y3 = 6x2y *Ví dụ 3: Chứng minh: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Ta có: VT = (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 =(a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = VP Vậy đẳng thức được chứng minh. *Ví dụ 4: Chứng minh: a) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) Ta có : VP = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3 = VT Áp dụng: Tìm tổng lập phương của hai số biết rằng tích hai số đó bằng 6 và tổng hai số đó bằng – 5 Gọi hai số đó là a và b thì ta có: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = (- 5)3 – 3.6 (- 5) = - 125 + 90 = -35 b) a3 – b3 = (a - b)3 + 3ab(a – b) Ta có: VP = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 + 3a2b - 3ab2 = a3 – b3 *Ví dụ 5: Tính nhanh: a) 1532 + 94 .153 + 472 = 1532 + 2.47.153 + 472 = (153 + 47)2 = 2002 = 40000 b) 1262 – 152.126 + 5776 = 1262 – 2.126.76 + 762 = (126 – 76)2 = 502 = 2500 c) 38.58 – (154 – 1)(154 + 1) = 158 – (158 – 1) = 1 d) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) (220 + 1) + 1 = = (2 – 1)(2 + 1) (22 + 1)(24 + 1) (220 + 1) + 1 = = (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1) (220 + 1) + 1 = = (24 – 1)(24 + 1) (220 + 1) + 1 = = = (220 – 1)(220 + 1) + 1 = 240 – 1 + 1 = 240 C.BÀI TẬP LUYỆN TẬP : *Bài tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hay một hiệu: 25 5 5 5 a) x2 + 5x + 4 = x2 + 2.2 x + (2 )2 = (x + 2 )2 b) 16x2 – 8x + 1 = (4x)2 – 2.x.4 + 12 = (4x – 1)2 c) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x)2 + 2.2x.3y + (3y)2 = (2x + 3y)2 d) (x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6) + 1 = (x + 3)(x + 6)(x + 4)(x + 5) + 1 = (x2 + 6x + 3x + 18)(x2 + 4x + 5x + 20) + 1 = (x2 + 9x + 18)(x2 + 9x + 18 + 2) + 1 = (x2 + 9x + 18)2 + 2(x2 + 9x + 18).1 + 12 = (x2 + 9x + 18 + 1)2 = (x2 + 9x + 19)2 e) x2 + y2 + 2x + 2y + 2(x + 1)(y + 1) + 2 = x2 + y2 + 2x + 2y + 2xy + 2x + 2y + 2 + 2 = x2 + y2 + 22 + 4x + 4y + 2xy = (x + y + 2)2 Vương Văn Kiên 6 THCS Quyết Thắng
  7. Ôn tập hè Toán 8 g) x2 – 2x(y + 2) + y2 + 4y + 4 = x2 – 2xy – 4x + y2 + 4y + 4 = x2 + y2 + 22 – 2xy – 4x + 4y = (x – y – 2 )2 h) x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1 = x2 + 2x(y + 1) + (y + 1)2 = (x + y + 1)2 *Bài tập 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hay một hiệu: a) x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3 1 1 1 1 1 b) 27y3 – 9y2 + y - 27 = (3y)3 – 3.(3y)2. 3 + 3.3y.( 3 )2 – (3 )3 = (3y - 3 )3 c) 8x6 + 12x4y + 6x2y2 + y3 = (2x2)3 + 3.(2x2)2.y + 3.(2x2).y2 + y3 = (2x2 + y)3 d) (x + y)3(x – y)3 = [(x + y)(x – y)]3 = (x2 – y2)3 *Bài tập 3: Rút gọn biểu thức: a) (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2 = (2x + 3 – 2x – 5)2 = (-2)2 = 4 b) (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 – 1) = (x2 + 1 + x)(x2 + 1 – x)(x2 – 1) = [(x2 + 1)2 – x2] (x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 1)2 – x2(x2 – 1) = (x4 – 1)(x2 + 1) – x4 + x2 = x6 + x4 – x2 – 1 – x4 + x2 = x6 – 1 c) (a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2ac + a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc + 2ac – 2b2 + 4bc – 2c2 = 2a2 d) (a + b + c)2 + (a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac + a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac + b2 + c2 + a2 – 2bc + 2ac – 2ab + c2 + a2 + b2 – 2ac + 2ab – 2bc = 4a2 + 4b2 + 4c2 = 4(a2 + b2 + c2) *Bài tập 4: Điền đơn thức thích hợp vào các dấu * a) 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.3y + 3.2x.(3y)2 + (3y)3 = (2x + 3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = (2x + 3y)3 b) 8x3 + 12x2y + * + * = (* + *)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3 = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3 c) x3 - * + * - * = (* - 2y)3 = x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 = (x – 2y)3 *Bài tập 5: CMR với mọi giá trị của biến x ta luôn có: a) – x2 + 4x – 5 0 Do đó – [(x – 2)2 + 1] 0 Ta có: x4 ≥ 0 ; 3x2 ≥ 0 nên x4 + 3x2 + 3 > 0 , với mọi x c) (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + 3 > 0 Ta có: (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + 3 = (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 3 + 1) + 3 = (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 3) + 1 + 2 = (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 1) + 5 = (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + 5 Ta có: (x2 + 2x + 3)2 ≥ 0; (x + 1)2 ≥ 0 nên (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + 5 > 0 , với mọi x Vương Văn Kiên 7 THCS Quyết Thắng
  8. Ôn tập hè Toán 8 *Bài tập 6: So sánh: a) 2003.2005 và 20042 Ta có: 2003.2005 = (2004 – 1)(2004 + 1) = 20042 – 1 (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1).8 *Bài tập 7: Cho a – b = m ; a.b = n .Tính theo m, n giá trị của các biểu thức sau: a) (a + b)2 = (a 2 + 2ab + b2 – 4ab + 4ab = (a – b)2 + 4ab Thay a – b = m, a.b = n vào biểu thức ta được : (a + b)2 = m2 + 4n b) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = m2 – 2n c) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b) = m3 + 3m.n = m(m2 + 3n) D.BÀI TẬP NÂNG CAO: Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a/ A = x2 – 4x + 7 b/ B = x2 + 8x c/ C = - 2x2 + 8x – 15 Giải a/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3 Dấu “ =” xảy ra x – 2 = 0 x = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2. b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16 Dấu “ =” xảy ra x – 4 = 0 x = 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4. c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7 Dấu “ =” xảy ra x – 2 = 0 x = 2 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2. *Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) M = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = (x – 2)2 + 3 Ta thấy: (x – 2)2 ≥ 0 nên M ≥ 3 Hay GTNN của M bằng 3 Giá trị này đạt được khi (x – 2)2 = 0 x – 2 = 0 x = 2 b) N = (x2 – 4x – 5)(x2 – 4x – 19) + 49 N = (x2 – 4x – 5 )(x2 – 4x – 5 – 14) + 49 N = (x2 – 4x – 5)2 – 14(x2 – 4x – 5) + 49 N = (x2 – 4x – 5)2 - 2.7(x2 – 4x – 5 ) + 72 Vương Văn Kiên 8 THCS Quyết Thắng
  9. Ôn tập hè Toán 8 N = (x2 – 4x – 5 – 7 )2 = (x2 – 4x – 12 )2 Ta thấy : (x2 – 4x – 12)2 ≥ 0 nên N ≥ 0 Hay GTNN của N bằng 0 Giá trị này đạt được khi x2 – 4x – 12 = 0 (x – 6)(x + 2) = 0 x = 6 ; hoặc x = -2 c) P = x2 – 6x + y2 – 2y + 12 P = x2 – 6x + 9 + y2 – 2y + 1 + 2 = (x – 3)2 + (y – 1)2 + 2 Ta thấy: (x – 3)2 ≥ 0; và (y – 1)2 ≥ 0 nên P ≥ 2 Hay GTNN của P bằng 2 Giá trị này đạt được khi x – 3 = 0 và y – 1 = 0 x = 3 và y = 1 *Bài tập 3: Tìm GTNN của các biểu thức sau: a) A = x2 – 4x + 9 Ta có : A = x2 – 4x + 4 + 5 = (x – 2)2 + 5 Ta thấy (x – 2)2 ≥ 0, nên (x – 2)2 + 5 ≥ 5 Hay GTNN của A bằng 5 , giá trị này đạt được khi (x – 2)2 = 0 x – 2 = 0 x = 2 b) B = x2 – x + 1 1 1 3 1 3 Ta có: B = x2 – 2.2 x + 4 4 = (x - 2 )2 + 4 3 1 Vậy GTNN của B bằng 4 , giá trị này đạt được khi x = 2 3 9 9 3 9 ) c) C = 2x2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2[(x2 – 2.2 x + 4 4 ] = 2(x - 2 )2 - 2 9 3 Vậy GTNN của C bằng - 2 , giá trị này đạt được khi x = 2 *Bài tập 5 : Tìm x , biết rằng: a) 9x2 – 6x – 3 = 0 9x2 – 2.3x.1 + 1 – 4 = 0 (3x – 1)2 – 4 = 0 (3x – 1 + 2)(3x – 1 – 2) = 0 (3x + 1)(3x – 3) =0 1 3x 1 0 3x 1 x 3 3x 3 0 3x 3 x 1 b) x3 + 9x2 + 27x + 19 = 0 x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33 – 8 =0 (x + 3)3 – 8 = 0 (x + 3)3 – 23 = 0 (x + 3 – 2)[(x + 3)2 + 2(x + 3) + 4] = 0 (x + 1)(x2 + 6x + 9 + 2x + 6 + 4) =0 (x + 1)(x2 + 8x + 19) = 0 (x + 1)[x2 + 2.4x + 16 + 3] = 0 Vương Văn Kiên 9 THCS Quyết Thắng
  10. Ôn tập hè Toán 8 (x + 1)[(x + 4)2 + 3] = 0 x + 1 = 0 Vì (x + 4)2 + 3 > 0 , với mọi giá trị của biến x. x = -1 c) x(x + 5)(x – 5) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 3 x(x2 – 25) – (x3 + 8) – 3 = 0 x3 – 25x – x3 – 8 – 3 = 0 - 25x = 11 11 x = - 25 *Bài tập 6 : Tìm x, y, z biết rằng: x2 + 2x + y2 – 6y + 4z2 – 4z + 11 = 0 (x2 + 2x + 1) + (y2 – 6y + 9) + (4z2 – 4z + 1) = 0 (x + 1)2 + (y – 3)2 + (2z – 1)2 = 0 x 1 0 x 1 y 3 0 y 3 2z 1 0 1 z 2 *Bài tập 7 : Cho a + b = 1 .Tính a3 + 3ab + b3 Ta có: a3 + 3ab + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) + 3ab = (a + b)3 – 3ab + 3ab = (a + b)3 = 1 ( Vì a + b = 1) *Bài tập 8 : Chứng minh các đẳng thức sau: a) (a2 + b2)2 – 4a2b2 = (a + b)2(a – b)2 Ta biến đổi vế trái: VT = (a2 + b2)2 – 4a2b2 = (a2 + b2)2 – (2ab)2 = (a2 + b2 + 2ab)(a2 + b2 – 2ab) = (a + b)2(a – b)2 = VP. Vậy đẳng thức được chứng minh. b) (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (bx + ay)2 Ta có: VT = (a2 + b2)(x2 + y2) = a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 = a2x2 – 2ax.by + b2y2 + a2y2 + 2ay.bx + b2x2 = (ax – by)2 + (bx + ay)2 = VP. Vậy đẳng thức được chứng minh. c) a3 – b3 + ab(a – b) = (a – b)(a + b)2 Ta có : VT = a3 – b3 + ab(a – b) = (a – b)(a2 + ab + b2) + ab(a – b) = (a – b)(a2 + ab + b2 + ab) = (a – b)(a + b)2 d)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a) VT = (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + b3 – 3b2c + 3bc2 – c3 + c3 – 3c2a + 3ca2 – a3 = - 3a2b + 3ab2 – 3b2c + 3bc2 – 3c2a + 3ca2 VP = 3(a – b)(b – c)(c – a) = 3(ab – ac – b2 + bc)(c – a) = 3(abc – a2b – ac2 + a2c – b2c + ab2 + bc2 – abc) = - 3a2b – 3ac2 + 3a2c – 3b2c + 3ab2 + 3bc2 Vậy VT = VP Do đó đẳng thức được chứng minh. Vương Văn Kiên 10 THCS Quyết Thắng
  11. Ôn tập hè Toán 8 Bài tập 9 : CMR tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương. Giải: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n , n + 1 , n + 2 , n + 3 . Khi đó ta có: Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp là: A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)+ 1 A= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2 Vì n là số tự nhiên nên (n2 + 3n + 1)2 là một số chính phương. Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) là một số chính phương. CHỦ ĐỀ 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I. ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung 1. Ph­¬ng ph¸p + T×m nh©n tö chung lµ nh÷ng ®¬n thøc ®a thøc cã mÆt trong tÊt c¶ c¸c h¹ng tö . + Ph©n tÝch mçi h¹ng tö thµnh tÝch nh©n tö chung vµ mét nh©n tö . + ViÕt nh©n tö chung ra ngoµi dÊu ngo¨c , viÕt c¸c nh©n tö cßn l¹i cña mçi h¹ng tö vµo trong dÊu ngoÆc ( kÓ c¶ c¸c h¹ng tö cña chóng). 2. VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö. a) -3xy + x2y2- 5x2y b) 3x(x- 2y ) + 6y( 2y – x) c) 6x2( x+y ) – 2( 3x+3y)y2 Bµi lµm a) -3xy + x2y2- 5x2y= xy (-3+xy – 5x) b) 3x(x - 2y) + 6y(2y - x) = 3x(x- 2y )- 6y(x- 2y)= 3(x - 2y )(x - y ). c) 6x2(x + y )- 2(3x + 3y)y2 = 6x2(x + y)- 6(x + y)y2 = 6(x + y)(x2 - y2) = 6(x + y) (x + y)(x - y) = 6(x + y)2(x - y) 3. Bµi tËp: Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö . a) 5x2 + 20x2y - 35xy2 b) 15x - 30y + 20z 5 c) x(y - 2008) - 3y(y - 2008) d) x(y + 1) +3(y + 2y + 1) 7 Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau a) 23,45.97,5 + 23,45. 5,5 - 23,45.3 b) 2x3(x - y) + 2x3(y - x) + 2x3(z – x) (víi x= 2006; y=2007; z=2008) Vương Văn Kiên 11 THCS Quyết Thắng
  12. Ôn tập hè Toán 8 II. Ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc 1. Ph­¬ng ph¸p Sö dông c¸c h»ng ®¼ng thøc ®Ó biÕn ®æi ®a thøc thµnh tÝch c¸c nh©n tö hoÆc luü thõa cña mét ®a thøc ®¬n gi¶n . 2. VÝ dô : 2.1- Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 9x2+ 30x + 25 b) a4-b4 c) (2-x)2 - (3x- 2)2 d) 8x3+60x2y+ 150xy2+ 125y3 Bµi lµm a) 9x2+30x +25 = (3x)2+ 2.3x.5 +52=(3x +5)2 b) a4- b4= (a2)2-( b2)2= (a2+b2)(a2-b2)= (a2+b2)(a-b) (a+b) c) (2-x)2- (3x- 2)2= (2 x) (3x 2) (2 x) (3x 2) =2x(4-4x)=8x(1-x) d) 8x3+60x2y+ 150xy2+ 125y3= (2x+5y)3 2.2- Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) a3+ b3 +c3- 3abc b) (a+b+c )3- a3 –b3-c3 Bµi lµm a) a3+b3+c3-3abc = (a+b)3- 3ab(a+b) +c3-3abc = (a+b+c) (a+b)2- (a+b)c+ c2 -3abc ( a+b+c)= (a+b+c) (a2+b2+c2- ab –bc- ca) b) (a+ b+c)3- a3- b3-c3 = (a+b)3+c3+3c(a+b)(a+b+c)- a3- b3- c3 = 3(a+b)(ab+ ac+bc+c2)= 3(a+b) (b+c)(c+a) 3. Bµi tËp Bµi 3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 27x3-a3b3 b) 64x2- (8a+b)2 c) (7x- 4)2- (2x+ 1)2 d) 81(x+1)2- 1 e) 9(x+5)2- (x-7)2 f) 49(y-4) – 9(y+2)2 Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 8x3+27y3 b) (2x+1)3+ (x- 2)3 c) 1-y3 + 6xy2- 12x2y +8x3 d) 20082- 20072 III. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö , b»ng ph­¬ng ph¸p nhãm nhiÒu h¹ng tö 1. Ph­¬ng ph¸p: - Sö dông tÝnh chÊt giao ho¸n , kÕt hîp ®Ó nhãm c¸c h¹ng tö thÝch hîp vµo tõng nhãm . Vương Văn Kiên 12 THCS Quyết Thắng
  13. Ôn tập hè Toán 8 - ¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö kh¸c ®Ó gi¶i to¸n. 2. VÝ dô: 2.1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x3- 2x2 –x+ 2 b) 8x2+4xy – 2ax – ay c) x2+6x – y2 +9 d) a2 – 10a +25 –y2 – 4yz – 4z2 Bµi lµm a) x3- 2x2 – x+ 2= (x3- 2x2)+ (x-2) = x2(x-2)+(x-2) = (x-2)(x2+1) b) 8x2+4xy – 2ax – ay= (8x2+4xy)- (2ax+ay)= 4x(2x+y) – a(2x+y) = (2x+y) (4x-a) c) x2+6x – y2 +9= (x2+6x+9) – y2= (x+3)2- y2 = (x+y+3)(x-y+3) d) a2 – 10a +25 –y2 – 4yz – 4z2=(a2- 10a+25) – (y2+4xy+4z2) =(a-5)2- (y+2z)2= (a+y+2z-5) (a-y-2z-5) 2.2. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x2y+xy2+x2z+xz2+y2z +yz2+2xyz b) x2y+xy2+x2z+xz2+y2z+yz2+3xyz Bµi lµm a) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz = (x2z + y2z + 2xyz) + (x2y + xy2) + (yz2 + xz2) = z(x + y)2 + xy(x + y) + z2(x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z2) = (x+y) (xz y) (yz z 2  = (x+y) yx(x y) z(z y) = (x+y) (y+z) (x+z) b) x2y+xy2+x2z+xz2+y2z+yz2+3xyz = (x2y+x2z+xyz) + (xy2+y2z+xyz) + (x2z+yz2+xyz)= x(xy+xz+yz)+y(xy+yz+xz) +z (xy+xz+yz) =( xy+xz+yz)(x+y+z) 3. Bµi tËp Bµi 5: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) a4+5a3+15a-9 b) x4+3x3-9x-9 c) x3-3x2+3x-1-8y3 Bµi 6: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x(y2-z2) + y(z2-y2) +z(x2-y2) b) xy(x-y)-xz(x+z) –yz(2x+y-z) Vương Văn Kiên 13 THCS Quyết Thắng
  14. Ôn tập hè Toán 8 c) x(y+z)2 +y (x+z)2 +z(x+y)2- 4xyz d) yz(y+z) +xz(z-x) –xy(x+y) IV. ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch phèi hîp nhiÒu ph­¬ng ph¸p 1. Ph­¬ng ph¸p: VËn dông linh ho¹t c¸c ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n ®· biÕt vµ tiÕn hµnh linh ho¹t theo tr×nh tù sau : - §Æt nh©n tö chung - Dïng h»ng ®¼ng thøc - Nhãm nhiÒu h¹ng tö 2. VÝ dô : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 5x3- 45x b) 3x3y- 6x2y- 3xy3- 6axy2 – 3a2xy+ 3xy Bµi lµm a) 5x3- 45x= 5x(x2- 9) = 5x (x-3)(x+3) b) 3x3y- 6x2y- 3xy3- 6axy2 – 3a2xy+ 3xy = 3xy(x2-2x-y2-2ay-a2+1)=3xyx 2 2x 1) (y 2 2ay a 2  =3xy(x 1) 2 (y a) 2  =3xy(x 1 y a)(x 1 y a) 3. Bµi tËp Bµi 7: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 2a2b+4ab2-a2c+ac2-4b2c-4abc b) 8x3(x+z)- y3(z+2x) – z3(2x-y) 2 2 c) (x 2 y 2 )(a 2 b 2 ) 4abxy 4xy(a 2 b 2 ) ab(x 2 y 2 ) V. ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch t¸ch mét h¹ng tö thµnh hai hay nhiÒu h¹ng tö 1.Ph­¬ng ph¸p: Ta ph©n tÝch mét h¹ng tö thµnh tæng cña nhiÒu h¹ng tö thÝch hîp , ®Ó xuÊt hiÖn nh÷ng nhãm sè h¹ng mµ ta cã thÓ ph©n tÝch thµnh nh©n tö b»ng c¸c ph­¬ng ph¸p mµ ta ®· häc 2.VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: x2-6x +8 Bµi lµm * C¸ch 1: x2- 6x + 8= (x2- 2x) –(4x-8)= x(x-2) -4(x-2)= (x-2)(x-4) * C¸ch 2: x2- 6x + 8= (x2-6x +9 ) -1 = ( x-3)2 – 1 = (x - 3 - 1)( x -3 + 1) = (x - 2)(x - 4) Vương Văn Kiên 14 THCS Quyết Thắng
  15. Ôn tập hè Toán 8 * C¸ch 3: x2- 6x + 8= (x2- 4) – (6x – 12) = (x -2 ) (x +2 ) – 6( x – 2) = (x -2 ) ( x +2 – 6 )= (x - 2)(x - 4) * C¸ch 4 : x2- 6x + 8= ( x2- 16 )- (6x – 24 ) = ( x -4 ) (x + 4 ) – 6 ( x – 4 )= (x – 4 ) (x + 4 – 6 )= (x – 4 ) (x – 2 ) * C¸ch 5 : x2- 6x +8= ( x2 – 4x + 4 ) – (2x -4 ) = (x – 2 )2- 2 (x – 2 )= ( x – 2 ) (x – 2- 2 )= (x – 4 ) (x – 2 ) 3. Bµi tËp Bµi 9: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x2 + 7x + 10 b) x2- 6x + 5 c) 3x2- 7x – 6 d) 10x2 – 29x + 10 Bµi 10: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x3 + 4x2 – 29x + 24 b) x3 +6x2 + 11x +6 c) x2 – 7xy + 10y d) 4x2 – 3x – 1 VI. ph­¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö 1. Ph­¬ng ph¸p: Ta thªm bít cïng mét h¹ng tö vµo ®a thøc ®· cho ®Ó lµm xuÊt hiÖn n nhãm sè h¹ng mµ ta cã thÓ ph©n tÝch d­îc thµnh tÝch cña c¸c nh©n tö b»ng c¸c ph­¬ng ph¸p : §Æt nh©n tö chung , dïng h»ng ®¼ng thøc , . 2. VÝ dô: 2.1- Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö . x4 + 64 = x4+ 16 x2 + 64 – 16x2 = (x2+ 8 )2 – (4x)2 = ( x2- 4x + 8 ) (x2+ 4x + 8 ) 2 .2- Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x4 + 4y4 = ( x4 + 4y4 + 4x2y2) – 4x2y2 = ( x2+ 2y2)2 - (2xy)2 = (x2 +2xy + 2y2) ( x2- 2xy + 2y2) b) x5+ x + 1 = ( x5 + x4 + x3 ) – ( x4 + x3 + x2 ) + ( x2 + x + 1 ) = x3 (x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1 ) + ( x2 + x + 1 ) =( x2 + x + 1 ) ( x3- x2 + 1 ) 3. Bµi tËp Bµi 11 : ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x5 + x4 + 1 b) x8 + x7 + 1 c) x8+ x + 1 d) x8 + 4 Vương Văn Kiên 15 THCS Quyết Thắng
  16. Ôn tập hè Toán 8 CHỦ ĐỀ 4: Ph©n thøc Bµi 1: Cho biÓu thøc sau: 1 x x 2 x 1 2x 1 A 3 . : 2 x 1 1 x x 1 x 2x 1 a) Rót gän biÓu thøc A? 1 b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x ? 2 Bµi 2: Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 5xy - 4y 3xy + 4y 3 x 6 a) + b) 2x2 y3 2x2 y3 2 x 6 2 x 2 6 x x y 4y 1 2 x 1 c) 2 2 2 2 d) 2 : x 2 x 2xy xy 2y x 4y x x x 1 x x 1 3 x 3 4x2 4 Bµi 3: Cho biÓu thøc: B . 2 2x 2 x 1 2x 2 5 a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc ®­îc x¸c ®Þnh? b) CMR: khi gi¸ trÞ cña biÓu thøc ®­îc x¸c ®Þnh th× nã kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña biÕn x? x2 10x 25 Bµi 4: Cho ph©n thøc x2 5x a. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó ph©n thøc b»ng 0? b. T×m x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc b»ng 5/2? c. T×m x nguyªn ®Ó ph©n thøc cã gi¸ trÞ nguyªn? Bµi 5: Rút gọn các biểu thức sau: 1 1 1 1 a) ( ) : ( ) x 2 4x 4 x 2 4x 4 x 2 x 2 x 3x 2 3x x 1 1 x3 x 1 1 b)( 1) : (1 2 ) c) 3 2 d) 2 . 2 2 x 1 1 x x 1 x x 1 x 1 x x x 2x 1 1 x Bµi 6: Chøng minh ®¼ng thøc: 9 1 x 3 x 3 3 : 2 x 9x x 3 x 3x 3x 9 3 x x2 2x x 5 50 5x Bµi 7: Cho biÓu thøc: B 2x 10 x 2x(x 5) a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña B ? 1 b) T×m x ®Ó B = 0; B = . 4 c) T×m x ®Ó B > 0; B < 0? x 1 x 1 4x Bµi 8: Cho biểu thức: A ( ) : với x 1 và x 0 x 1 x 1 3x 3 a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị của A tại x=3 Vương Văn Kiên 16 THCS Quyết Thắng
  17. Ôn tập hè Toán 8 c) Tìm x để A = 2. x 2 5 1 Bài 9:Cho biểu thức A = x 3 x2 x 6 2 x a.Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. b.Rút gọn A. 3 c.Tìm x để A . d.Tìm x để biểu thức A nguyên. 4 e.Tính giá trị của biểu thức A khi x2 – 9 = 0 (a 3)2 6a 18 Bài 10:Cho biểu thức B = (1 ) 2a 2 6a a 2 9 a.Tìm ĐKXĐ của B b.Rút gọn biểu thức B. c.Với giá trị nào của a thì B = 0. d.Khi B = 1 thì a nhận giá trị là bao nhiêu ? x x2 1 Bài11: Cho biểu thức C 2x 2 2 2x2 a.Tìm x để biểu thức C có nghĩa. b.Rút gọn biểu thức C. 1 c.Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức C 2 d. Tìm x để giá trị của phân thức C > 0 x3 x 2 Bài 12: Cho biểu thức C x2 4 x 2 x 2 a) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức C được xác định. B)Tìm x để C = 0. b) Tìm giá trị nguyên của x để C nhận giá trị dương. x x 6 2x 6 x Bài 13: Cho S 2 2 : 2 x 36 x 6x x 6x 6 x a) Rút gọn biểu thức S. b)Tìm x để giá trị của S = -1 2 x 4x2 2 x x2 3x Bài 14: Cho P 2 : 2 3 2 x x 4 2 x 2x x a) Tìm điều kiện của x để giá trị của S xác định. B)Rút gọn P. b) Tính giá trị của S với x 5 2 d)Tìm x để giá trị của x để P < 0 x 1 3 x 3 4x2 4 Bài 15 : Cho biểu thức: B . 2 2x 2 x 1 2x 2 5 a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định? b) CMR: khi giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x? Vương Văn Kiên 17 THCS Quyết Thắng
  18. Ôn tập hè Toán 8 CHỦ ĐỀ 5: Ph­¬ng tr×nh VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Baøi 1 : Giaûi phöông trình : a. 3x-2 = 2x – 3 e. 11x + 42 -2x = 100 -9x -22 b. 2x+3 = 5x + 9 f. 2x –(3 -5x) = 4(x+3) c. 5-2x = 7 g. x(x+2) = x(x+3) d. 10x + 3 -5x = 4x +12 h. 2(x-3)+5x(x-1) =5x2 Baøi 2 : Giaûi phöông trình : a. (2x+1)(x-1) = 0 e. x2 – x = 0 2 1 2 b. (x + )(x- ) = 0 f. x – 2x = 0 3 2 g. x2 – 3x = 0 c. (3x-1)(2x-3)(2x-3)(x+5) = 0 h. (x+1)(x+4) =(2-x)(x+2) d. 3x-15 = 2x(x-5) 2 Baøi 3 : Giaûi phöông trình x 1 x 1 2 x 2 2x 5 f / 2 a / 3 x 2 x 2 x 4 x 5 x 2 1 x(x 5) 2 6 g / 2 b / x 2 x 2 x 4 x 1 x 1 1 5 15 2x 1 5(x 1) h / c / x 1 x 2 x 1 2 x x 1 x 1 x 1 x 5x 2 x 2x i / d / 0 x 2 x 2 4 x2 x 1 x2 1 1 x 3 e / 3 x 2 2 x 4. Giải phương trình: 1 2 1 a) x 5 3 2 b) 3x x 6 c/ 5 3x 6 d/ x 1 x 1 x2 1 5. Tìm giá trị của m sao cho : a) Phương trình x2 + 4(m – 1)x + 3m – 2 = 0 có nghiệm x = 11; b) Tìm m để phương trình 3x2 – (3m – 2)x + 5 – m = 0 có nghiệm x = -3. c)T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung: 3x – 5 = 1 vµ x2 – 3x + m = 0 6. Giải các bất phương trình sau đây và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: 2x 3 a) 2x – 7 0 b) -3x – 9 > 0 c) 2 3 1 x 2x 3 4 x d) 5 e) f) 2(3x – 1) < 2x + 4 4 2 3 7. Tìm x sao cho: a) Giá trị của biểu thức 1 – 2x không nhỏ hơn giá trị của biểu thức x + 3 b) Giá trị của biểu thức 2 – 5x nhỏ hơn giá trị của biểu thức 3(2 - x) 3x 2 3x 3 8. a) Tìm x sao cho giá trị của biểu thức không nhỏ hơn giá trị của biểu thức 4 6 b) Tìm x sao cho giá trị của biểu thức (x + 1)2 nhỏ hơn giá trị của biểu thức (x – 1)2. 2x 3 x(x 2) c) Tìm x sao cho giá trị của biểu thức không lớn hơn giá trị của biểu thức 35 7 x2 2x 3 7 5 Vương Văn Kiên 18 THCS Quyết Thắng
  19. Ôn tập hè Toán 8 3x 2 3x 3 d)Tìm x sao cho giá trị của biểu thức không lớn hơn giá trị của biểu thức 4 6 9 . Tìm số tự nhiên n thoả mãn : a) 5(2 – 3n) + 42 + 3n 0 ; b) (n+ 1)2 – (n +2) (n – 2) 1,5 . 8. Tìm số tự nhiên m thoả mãn đồng thời cả hai phương trình sau : a) 4(n +1) + 3n – 6 a b < b( a + c ) Vương Văn Kiên 19 THCS Quyết Thắng
  20. Ôn tập hè Toán 8 2 0 c < c( a + b ) Céng vÕ theo vÕ cña ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®­îc : a2 + b2 + c2 < a( b + c ) + b( a + c ) + c( a + b ) a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca ) (®pcm) Bµi 5 : Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng : a b c + + < 2 b c c a c b Bµi 3 : Cho a , b , c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c víi a < b < c . Chøng tá r»ng : a3( b2 - c2 ) + b3( c2 - a2 ) + c3(a2 - b2) < 0 Gi¶i : Ta cã : a3( b2 - c2) + b3(c2 - a2) + c3( a2 - b2) = a3 (b 2 a 2 ) (a 2 c 2 ) + b3(c2 - a2) + c3( a2 - b2) = - a3( a2 - b2) + a3( a2 - c2) - b3(a2 - c2) + c3( a2 - b2) = -( a2 - b2)(a3 - c3) + ( a2 - c2) ( a3 - b3) = ( a - b )( a - c ) [ -( a + b)( a2 + ac + c2) + ( a + c)( a2 + ab + b2)] = ( a - b )( a - c) (ab2 + b2 c - ac2 - bc2 ) = ( a - b )( a - c) a(b 2 c 2 ) bc(b c) = (a - b)(a - c)( b - c)( ab + bc + ca) < 0 (v× a , b , c N* vµ a < b < c) VËy a3( b2 - c2 ) + b3( c2 - a2 ) + c3(a2 - b2) < 0 (®pcm). Bµi 6 : Cho a, b, c lµ c¸c sè d­¬ng . Chøng minh bÊt ®¼ng thøc : a 2 b 2 c 2 a b c + + b c c a a b 2 a 2 b c Gi¶i : ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho cÆp sè , kh«ng ©m ta cã : b c 4 a 2 b c a 2 b c a + 2. = 2 . = a b c 4 b c 4 2 a 2 b c Suy ra a - b c 4 b 2 a c T­¬ng tù b - c a 4 c 2 a b c - a b 4 Céng vÕ theo vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®­îc : a 2 b 2 c 2 a b c a b c + + ( a + b + c ) - = b c c a a b 2 2 Vương Văn Kiên 20 THCS Quyết Thắng
  21. Ôn tập hè Toán 8 a 2 b 2 c 2 a b c VËy + + (®pcm) b c c a a b 2 1 Bµi 7: Cho a+ b > 1 . Chøng minh r»ng a4 + b4 > 8 Gi¶i: Ta cã : a + b > 1 > 0 (1) B×nh ph­¬ng hai vÕ : ( a + b)2 > 1 a2 + 2ab + b2 > 1 (2) MÆt kh¸c : ( a - b)2 0 a2 - 2ab + b2 0 (3) Céng tõng vÕ cña (2) vµ (3) : 1 2( a2 + b2 ) > 1 a2 + b2 > (4) 2 1 B×nh ph­¬ng hai vÕ cña (4) : a4 + 2a2b2 + b4 > (5) 4 MÆt kh¸c : ( a2 - b2)2 0 a4 - 2a2b2 + b4 0 (6) Céng tõng vÕ cña (5) vµ (6) ta cã : 1 1 2( a4 + b4) > a4 + b4 > (®pcm) 4 8 Bµi 3 : Cho a , b, c, d > 0 . Chøng minh r»ng : a b c d 1 < + + + < 2 a b c b c d c d a d a b Gi¶i : a a a d < < a b c d a b c a b c d T­¬ng tù ta cã : b b a b < < a b c d b c d a b c d c c c b < < a b c d c d a a b c d d d d c < < a b c d d a b a b c d Céng vÕ theo vÕ cña 4 bÊt ®¼ng thøc kÐp trªn ta ®­îc : a b c d a b c d 2(a b c d) 1 < + + + < 2 a b c d a b c b c d c d a d a b a b c d Vương Văn Kiên 21 THCS Quyết Thắng
  22. Ôn tập hè Toán 8 CHỦ ĐỀ 7: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp pt Baøi 1 Hai thö vieän coù caû thaûy 20000 cuoán saùch .Neáu chuyeån töø thö vieän thöù nhaát sang thö vieän thöù hai 2000 cuoán saùch thì soá saùch cuûa hai thö vieän baèng nhau .Tính soá saùch luùc ñaàu ôû moãi thö vieän . Luùc ñaàu Luùc chuyeån Thö vieän I x x- 2000 Thö vieän II 20000 -x 20000 – x + 2000 Giaûi : Goïi soá saùch luùc ñaàu ôû thö vieän thöù nhaát laø x ( x nguyeân , saùch ) Thì soá saùch luùc ñaàu ôû thö vieän thöù hai laø 20000 – x Neáu chuyeån töø thö vieän thöù nhaát sang thö vieän thöù hai 2000 cuoán saùch thì soá saùch cuûa thö vieänthöù nhaát laø x – 2000 soá saùch cuûa thö vieänthöù hai laø 20000- x+ 2000 luùc ñoù soá saùch cuûa hai thö vieän baèng nhau neân ta coù phöông trình : x- 2000 =20000 – x + 2000 2x = 20000+2000+2000 2x= 24000 x= 2400: 2 x=1200 vaäy soá soá saùch luùc ñaàu ôû thö vieän thöù nhaát 12000 ( saùch ) soá saùch luùc ñaàu ôû thö vieän thöù hai laø8000( saùch ) Baøi 2 : Soá luùa ôû kho thöù nhaát gaáp ñoâi soá luùa ôû kho thöù hai .Neáu bôùt ôû kho thöù nhaát ñi 750 taï vaø theâm vaøo kho thöù hai 350 taï thì soá luùa ôû trong hai kho seõ baèng nhau .Tính xem luùc ñaàu moãi kho coù bao nhieâu luùa . Luùa Luùc ñaàu Luùc theâm , bôùt Kho I 2x 2x-750 Kho II x x+350 Giaûi : Goïi soá luaù ôû kho thöù hai laø x (taï , x >0 ) Thì soá luùa ôû kho thöù nhaát laø 2x Neáu bôùt ôû kho thöù nhaát ñi 750 taï thì soá luùa ôû kho thöù nhaát laø :2x -750 vaø theâm vaøo kho thöù hai 350 taï thì soá luùa ôû kho thöù hai laø x + 350 theo baøi ra ta coù phöông trình höông trình : 2x – 750 = x + 350 2x – x = 350 +750 x= 1100 Luùc ñaàu kho I coù 2200 taï Kho II coù : 1100taï Baøi 3 :Maãu soá cuûa moät phaân soá lôùn hôn töû soá cuûa noù laø 5 .Neáu taêng caû töû maø maãu cuûa noù 2 theâm 5 ñôn vò thì ñöôïc phaân soá môùi baèng phaân soá .Tìm phaân soá ban ñaàu . 3 Luùc ñaàu Luùc taêng töû soá x x+5 maãu soá x +5 (x+5)+5= x+10 Vương Văn Kiên 22 THCS Quyết Thắng
  23. Ôn tập hè Toán 8 x 5 2 Phöông trình : x 10 3 Baøi 4 :Naêm nay , tuoåi boá gaáp 4 laàn tuoåi Hoaøng .Neáu 5 naêm nöõa thì tuoåi boá gaáp 3 laàn tuoåi Hoaøng ,Hoûi naêm nay Hoaøng bao nhieâu tuoåi ? Naêm nay 5 naêm sau Tuoåi Hoaøng x x +5 Tuoåi Boá 4x 4x+5 Phöông trình :4x+5 = 3(x+5) Baøi 5 : Luùc 6 giôø saùng , moät xe maùy khôûi haønh töø A ñeå ñeán B .Sau ñoù 1 giôø , moät oâtoâ cuõng xuaát phaùt töø A ñeán B vôùi vaän toác trung bình lôùn hôùn vaän toác trung bình cuûa xe maùy 20km/h .Caû hai xe ñeán B ñoàng thôøi vaøo luùc 9h30’ saùng cuøng naøgy .Tính ñoä daøi quaûng ñöôøng AB vaø vaän toác trung bình cuûa xe maùy . S V t(h) Xe maùy 3,5x x 3,5 Oâ toâ 2,5(x+20) x+20 2,5 Giaûi : Thôøi gian xe maùy ñi töø A ñeán B laø : 9h30’ – 6h = 3h30’ = 3,5 h Thôøi gian oâ toâ ñi töø A ñeán B laø : 9h30’ – 7h= 3h30’ = 2,5h Goïi vaän toác cuûa xe maùy laø x ( x > 0 , km/h) Vaän toác cuûa oâtoâ laø x + 20 (km/h) Quaûng ñöôøng xe maùy ñi laø 3,5x Quaûng ñöôøng oâtoâ ñi laø 2,5(x+20) Vì xe maùy vaø oâ toâ ñi cuøng moät ñoaïn ñöôøng neân ta coù phöông trình : 3,5x = 2,5(x+20) 3,5x = 2,5x +50 3,5x -2,5x = 50 x=50 (nhaän ) Vaäy vaän toác cuûa xe maùy laø 50(km/h) Vaän toác cuûa oâtoâ laø 50 + 20 = 70 (km/h) Baøi 6: Moät ngöôøi ñi xe ñaïp töø A ñeán B vôùi vaän toác 15 km / h.Lucù veà ngöôøi ñoù ñi vôùi vaän toác 12km / HS neân thôøi gian veà laâu hôn thôøi gian ñi laø 45 phuùt .Tính quaûng ñöôøng AB ? S(km) V(km/h) t (h) Ñi x 15 x 15 Veà x 12 x 12 Giaûi : 3 45 phuùt = ( giờ ) 4 Gọi x laø quaûng ñöôøng AB ( x> 0, km ) x x thời gian đi (giờ ) , thời gian về ( giờ ) 15 12 Vì thôøi gian veà laâu hôn thôøi gian ñi laø 45 phuùt neân ta coù phöông trình : x x 3 5x – 4x = 3.15 x = 45 (thoaû maõn ) 12 15 4 Vương Văn Kiên 23 THCS Quyết Thắng
  24. Ôn tập hè Toán 8 Vaäy quaûng ñöôøng AB daøi 45 km Baøi 7 :Moät ca noâ xuoâi doøng töø beán A ñeán beán B maát 6 giôø vaø ngöôïc doøng töø beán B veà beán A maát 7 giôø .Tính khoaûng caùch giöõa hai beán A vaø B , bieát raèng vaän toác cuûa doøng nöôùc laø 2km / h . Ca noâ S(km) V (km/h) t(h) Xuoâi doøng 6(x+2) x +2 6 Ngöôïc doøng 7(x-2) x-2 7 Phöông trình :6(x+2) = 7(x-2) Baøi 8 :Moät soá töï nhieân coù hai chöõ soá .Chöõ soá haøng ñôn vò gaáp hai laàn chöõ soá haøng chuïc .Neáu theâm chöõ soá 1 xen vaøo giöõa hai chöõ soá aáy thì ñöôïc moät soá môùi lôùn hôn soá ban ñaàu laø 370 .Tìm soá ban ñaàu . Giaûi : Goïi chöõ soá haøng chuïc laø x ( x nguyeân döông )thì chöõ soá haøng ñôn vò laø 2x Soá ñaõ cho laø x 2x = 10x + 2x = 12x Neáu theâm chöõ soá 1 xen giöõa hai chöõ soá aáy thì soá môùi laø :x1 2x = 100x + 10 + 2x = 102x + 10 Vì soá môùi lôùn hôn soá ban ñaàu laø 370 neân ta coù phöông trình : 102x +10 – 12x = 370 102x -12x = 370 -10 90x = 360 x= 360:90 = 4 (nhaän ) Vaäy soá ban ñaàu laø 48 Baøi 9 :Moät toå saûn xuaát theo keá hoaïch moãi ngaøy phaûi saûn suaát 50 saûn phaåm .Khi thöïc hieän , moãi ngaøy toå ñaõ saûn xuaát ñöôïc 57 saûn phaåm .Do ñoù toå ñaõ hoaøn thaønh tröôùc keá hoaïch 1 ngaøy vaø coøn vöôït möùc 13 saûn phaåm .Hoûi theo keá hoaïch , toå phaûi saûn xuaát bao nhieâu saûn phaåm ? Naêng suaát 1 ngaøy ( Soá ngaøy (ngaøy) Soá saûn phaåm (saûn saûn phaåm /ngaøy ) phaåm ) Keá hoaïch 50 x x 50 Thöïc hieän 57 x 13 x+ 13 57 x x 13 Phöông trình : - = 1 50 57 Baøi 10 Moät baùc thôï theo keá hoaïch moãi ngaøy laøm 10 saûn phaåm .Do caûi tieán kyõ thuaät moãi ngaøy baùc ñaõ laøm ñöôïc 14 saûn phaåm .Vì theá baùc ñaõ hoaøn thaønh keá hoaïch tröôùc 2 ngaøy vaø coøn vöôït möùc döï ñònh 12 saûn phaåm .Tính soá saûn phaåm baùc thôï phaûi laøm theo keá hoaïch ? Naêng suaát 1 ngaøy ( Soá ngaøy (ngaøy) Soá saûn phaåm (saûn saûn phaåm /ngaøy ) phaåm ) Keá hoaïch 10 x x 10 Thöïc hieän 14 x 12 x+ 12 14 x x 12 Phöông trình : - = 2 . 10 14 Vương Văn Kiên 24 THCS Quyết Thắng
  25. Ôn tập hè Toán 8 CHỦ ĐỀ 8: Tø gi¸c BÀI 1: Cho hình thang ABCD ( AB//CD). a/ Chứng minh rằng nếu hai tia phân giác của hai góc A và D cùng đi qua trung điểm F của cạnh bên BC thì cạnh bên AD bằng tổng hai đáy. b/ Chứng minh rằng nếu AD = AB + CD thì hai tia phân giác của hai góc A và D cắt nhau tại trung điểm của cạnh bên BC. Giải: a) ABCD : AB//CD; B· AF D· AF; A· DF C· DF ; F BC : FB FC A B Chứng minh: AB + DC = AD. Gọi E AD : AE AB . (1) E Ta có : ABF AEF ( c - g - c) Suy ra: A· FE A· FB ; F Mặt khác : A· FD 900 ( vì F· AD F· DA 900 ) Nên D· FE D· FC ( cùng phụ với 2 góc bằng nhau A· FE A· FB ) + DF : cạnh chung Vậy DEF DCF ( g - c- g) ) DE = DC (2) D C Từ (1) và (2), suy ra: AB + DC = AD (đpcm) b) ABCD : AB//CD; B· AF D· AF ; A· DF C· DF ; AB + DC = AD. Chứng minh:F BC : FB FC Gọi E AD : AE AB . Suy ra : DE = DC. Nên ABF AEF ( c - g - c) ) A· FB A· FE ; BF = EF (*) Tương tự: DFE DFC ( c - g - c) ) E· DF C· DF ; EF = FC ( ) Mặt khác : A· FD A· FE E· FD 900 ( ) Từ (*); ( ) và ( ), suy ra : B· FC A· FB A· FE E· FD C· FD 1800 Hay ba điểm B; F và C thẳng hàng và FB = FC Nên F là trung điểm của BC. Bài 2: Cho ABC cân ở A. Gọi I là một điểm bất kỳ thuộc đường cao AH. Gọi D là giao điểm của BI và AC. E là giao điểm của CI và AB. A a. CMR: AD = AE b. BEDC là hình gì ? c. Xác định vị trí của I để BE = ED = DC Giải: E D a) Xét ABC : AB AC; AH  BC nên AH là trung trực của BC; I AH I Suy ra : BI = CI; I·BC I·CB Mặt khác : Bµ Cµ · · Nên IBE ICD B C Xét EIB và DIC H Có I·BE I·CD ; BI = CI; B· IE C· ID Nên EIB = DIC ( g - c - g) Vương Văn Kiên 25 THCS Quyết Thắng
  26. Ôn tập hè Toán 8 ) BE = DC mà AB = AC nên AD = AC - DC = AB - BE = AE. b) Từ AD = AE. Ta có : ADE cân. 1800 µA Nên ·AED ·ABC ( Cặp góc đồng vị) 2 Suy ra: DE // BC ( Dhnb) và ·ABC ·ACB Vậy BCDE là hình thang cân ( dhnb) c) Để BE = ED thì BED cân tại E E· BD E· DB Mà B· DC E· DB ( Cặp góc so le trong) Suy ra : B· DC D· BE hay BD là đường phân giác của góc B Vậy I là giao điểm ba đường phân giác của ABC Thì BE = DE = DC. BÀI 3 : Cho ABC, trên tia BA lấy D sao cho A là trung điểm BD. Trên tia CB lấy điểm E sao cho B là trung điểm CE. Hai đường thẳng AC và DE cắt nhau tại I. Chứng minh rằng: DE DI D 3 Giải: Qua B, vẽ BJ // AC; J DE Xét BDJ . Ta có : I AB = AD ( gt) A IA // JB ( vì BJ // AC) J Suy ra : ID = IJ ( Định lí) Tương tự : JB là đương trung bình của CEI Nên IJ = JE E B C DE Vậy DI = IJ = JE hay DI = 3 BÀI 4: Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho AE = EF = FC. Gọi M là giao điểm của BF và CD; N là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng: a. M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. b. EMFN là hình bình hành. Giải: a) Xét ADE và BCF : AD = BC; D· AE B· CF ; AE = CF A N B Nên ADE = BCF ( c- g- c) E ) ·AED B· FC ; DE = BF. ( 1) Mà ·AED N· EC F Suy ra : B· FC N· EC ( cặp góc đồng vị) D C Nên DN // BM ( dhnb) M Xét DEC : EF = FC; MF // DE Suy ra : DM = MC DE Hay MF là đường trung bình của DEC nên MF // DE; MF (2) 2 + Tương tự: EN là đường trung bình của ABF BF Nên AN = NB; EN (3) 2 Từ (1); (2) và (3), suy ra : EN = MF; EN // MF nên . EMFN là hình bình hành. Vương Văn Kiên 26 THCS Quyết Thắng
  27. Ôn tập hè Toán 8 BÀI 5: Cho hình bình hành ABCD trong đó có AD = 2AB. Kẻ CE  AB. Gọi M là trung điểm của AD, nối EM, kẻ MF vuông góc với CE; MF cắt BC tại N. a. Tứ giác MNCD là hình gì ? b. EMC là tam giác gì ? · · c. Chứng minh rằng: BAD 2AEM A M D Giải: a) Xét AECD : AE // CD ( gt ) E AM = MD (gt) F MF // AE ( vì cùng vuông góc với CE) Suy ra : EF = FC ( đlí 3) + Xét BCE : NF // BE ( cm trên) B N C EF = FC Suy ra : BN = NC. AD Vậy MNCD : MD = NC = ; MD // NC 2 Nên MNCD là hình bình hành ( dhnb) b) EMC cân tại M Vì MF vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh EC. c) Ta có : ·AEM E· MF ( cặp góc soletrong) ) E· MC 2·AEM (*) Mặt khác : C· MN M· NA ( cặp góc soletrong) Mà M· NA M· AN ( vì AMN cân tại M) M· NA B· AN Suy ra : B· AD B· AN M· AN 2C· MN E· MC ( )từ (*) và ( ) Ta có : B· AD 2·AEM Bài 6: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau ở O. Hai đường thẳng d 1 và d2 cùng đi qua O và vuông góc với nhau. Đường thẳng d 1 cắt các cạnh AB và CD ở M và P. Đường thẳng d2 cắt các cạnh BC và AD ở N và Q. a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi. b/ Nếu ABCD là hình vuông thì tứ giác MNPQ là hình gì? Chứng minh. a) Vì O là tâm đối xứng của hình bình hành nên M và P; N và Q đối xứng với nhau qua O. Suy ra : OM = OP; ON = OQ. Nên OMN OPN OPQ OMQ ( CGV - CGV) d1 ) MN NP PQ QM Hay MNPQ là hình thoi. A M B b) Nếu ABCD là hình vuông thì MNPQ là hình vuông. N d2 Q O Vì µA 900 nên ·AQM ·AMQ 900 Mà ·AQM B· MN Nên B· MN ·AMQ 900 D P C Suy ra : Q· MN 1800 B· MN ·AMQ 1800 900 900 Nên MNPQ là hình vuông. ( dhnb) Vương Văn Kiên 27 THCS Quyết Thắng
  28. Ôn tập hè Toán 8 Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Trên AB lấy điểm E, trên CD lấy điểm F sao cho AE = CF. a. Chứng minh E đối xứng với F qua O b. Từ E dựng Ex // AC cắt BC tại I, dựng Fy // AC cắt AD tại K. Chứng minh rằng: EI = FK; I và K đối xứng với nhau qua O. A E Giải: B a) Xét tứ giác AECF có : K AE = CF; AE // CF Nên AECF là hình bình hành ( dhnb) O Mà O là trung điểm của AC I Nên O cũng là trung điểm của EF D Vậy E và F đối xứng với nhau qua O. F C b) Xét EIFK : EI // KF ( cùng song song với AC) Mặt khác : Xét BEI và DFK : DF = EB ( Vì AE = CF) E· BI F· DK ( Vì ABCD là hình bình hành) + E· IB ·ACB ( Cặp góc đồng vị) + D· KF D· AC ( Cặp góc đồng vị) Mà ·ACB D· AC ( Cặp góc soletrong) Nên E· IB D· KF Suy ra : BEI = DFK ( g - c - g) ) EI = KF Vậy EIFK là hình bình hành ( dhnb) Suy ra : EI = FK và O là trung điểm của IK hay I và K đối xứng qua O. Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD, nối C với một điểm E bất kỳ trên đường chéo BD, trên tia đối của EC lấy điểm F sao cho EF = EC. Vẽ FH và FK lần lượt vuông góc với AB và AD. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AHFK là hình chữ nhật b) AF song song với BD và KH song song với AC c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng. K F Giải: x x J a) Xét AHFK : µA Hµ Kµ 900 A B nên AHFK là hình chữ nhật. H b) * Xét ACF : OA = OC; EC = EF E nên OE là đường trung bình của ACF O nên OE // AF hay AF // BD. * Tương tự : EJ là đường trung bình của ACF : C Nên EJ // AC D Mặt khác : AKJ cân tại J ) ·AKJ K· AJ Vương Văn Kiên 28 THCS Quyết Thắng
  29. Ôn tập hè Toán 8 + K· AJ K· DE ( cặp góc đồng vị) )·AKJ K· DE hay KDE cân 1800 K· DE Suy ra : A· JK D· EK nên K; J và E thẳng hàng. 2 Mà K; J và H thẳng hàng. Nên K; H và E cũng thẳng hàng và HK // AC. Bài tập 9. Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. Kẻ EH  AB, FK  CD (H AB, K CD). Gọi O là trung điểm của EF. Chứng minh rằng ba điểm H, O, K thẳng hàng. GIẢI Vì EH  AB, FK  CD và AB // CD nên EH // FK (1) Xét HBE và KDF có BE = DF, K·DF = H·BE , D·KF = B·HE = 900 HBE = KDF (cạnh huyền – góc nhọn) A H B HE = KF (2) E Từ (1) và (2) F O suy ra HEKF là hình bình hành D K C Vì O là trung điểm của EF cũng là trung điểm của HK. Vậy O, H, K thẳng hàng (đpcm). Ta có : C· EF C· EB 1800 hay B, E, F thẳng hàng. Bài tập 10: Cho hình vuông ABCD, M đương chéo AC. Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng: a) BM  EF b) Các đường thẳng BM, AF, CE đồng quy. GIẢI : a) Tứ giác DEMF : Dµ Eµ Fµ 900 Là hình chữ nhật. A B Xét MEF và KBM : Kµ M¶ 900 I EM = BK ( vì AEM vuông cân) M E MF = MK ( = KC) K Nên MEF = KBM ( c - g - c) H M· EF M· BK J Mặt khác : E· MH B· MK ( cặp góc đối đỉnh) D F C M· BK B· MK 900 Nên M· EF E· MH M· BK B· MK 900 Vậy E· MH 900 hay BM  EF . Vương Văn Kiên 29 THCS Quyết Thắng
  30. Ôn tập hè Toán 8 b) Gọi I AF  BE; J CE  BF Ta có : ADF BAE ( c - g - c) D· AF ·ABE )D· AF ·AEB ·ABE ·AEB 900 Nên ·AIE 900 hay FI  BE Tương tự : DEC CFB Suy ra : EJ  BF Vậy BH; EJ và FI là ba đường cao của BEF Nên đồng quy tại 1 điểm. CHỦ ĐỀ 9: Tam gi¸c ®ång d¹ng Bài 1: Cho ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Chứng minh rằng: a) AH = AK b) AH2 = BH. CK Giải : Đặt AB = c, AC = b. D BD // AC (cùng vuông góc với AB) A AH AC b AH b AH b H nên K F HB BD c HB c HB + AH b + c AH b AH b b.c Hay AH (1) C AB b + c c b + c b + c B AK AB c AK c AK c AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên KC CF b KC b KC + AK b + c AK b AK c b.c Hay AK (2) AC b + c b b + c b + c Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK AH AC b AK AB c AH KC AH KC b) Từ và suy ra (Vì AH = AK) HB BD c KC CF b HB AK HB AH AH2 = BH . KC Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng: 1 1 1 a) AE2 = EK. EG b) AE AK AG c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. DG có giá trị không đổi A a B Giải a) Vì ABCD là hình bình hành và K BC nên b K AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có: E EK EB AE EK AE = = AE2 EK.EG AE ED EG AE EG D C G AE DE AE BE b) Ta có: = ; = nên AK DB AG BD Vương Văn Kiên 30 THCS Quyết Thắng
  31. Ôn tập hè Toán 8 AE AE BE DE BD 1 1 1 1 1 = 1 AE 1 (đpcm) AK AG BD DB BD AK AG AE AK AG BK AB BK a KC CG KC CG c) Ta có: = = (1); = = (2) KC CG KC CG AD DG b DG BK a Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: = BK. DG = ab không đổi b DG (Vì a = AB; b = AD là độ dài hai cạnh của hình bình hành ABCD không đổi) Bài 3: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F F a) Chứng minh DE + DF không đổi khi D di động trên BC b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K. K Chứng minh rằng K là trung điểm của FE A Giải DE BD BD E a) DE // AM = DE = .AM (1) AM BM BM DF CD CD CD DF // AM = DF = .AM = .AM (2) AM CM CM BM D M Từ (1) và (2) suy ra B C BD CD BD CD BC DE + DF = .AM + .AM = + .AM = .AM = 2AM không đổi BM BM BM BM BM FK KA b) AK // BC suy ra FKA AMC (g.g) = (3) AM CM EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA = = = (2) ED BD ED + EK BD + KA KD BD + DM AM BM AM CM (Vì CM = BM) FK EK Từ (1) và (2) suy ra FK = EK hay K là trung điểm của FE AM AM Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt AC, BC, AB lần lượt tại I, M, N. Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng với D qua I. Chứng minh rằng KM DM a) IM. IN = ID2 b) = KN DN c) AB. AE + AD. AF = AC2 F Giải IM CI CI ID a) Từ AD // CM = (1) Từ CD // AN (2) ID AI AI IN D IM ID C Từ (1) và (2) suy ra = hay ID2 = IM. IN I G M ID IN K A B E N DM CM DM CM DM CM b) Ta có = = = (3) MN MB MN + DM MB + CM DN CB Từ ID = IK và ID2 = IM. IN suy ra IK2 = IM. IN IK IN IK - IM IN - IK KM KN KM IM KM IM CM CM = = = = = (4) IM IK IM IK IM IK KN IK KN ID AD CB KM DM Từ (3) và (4) suy ra = KN DN Vương Văn Kiên 31 THCS Quyết Thắng
  32. Ôn tập hè Toán 8 AE AC c) Ta có AGB AEC = AB.AE = AC.AG AB. AE = AG(AG+CG) (5) AG AB AF CG CG CGB AFC = (vì CB = AD) AC CB AD AF . AD = AC. CG AF . AD = (AG + CG) .CG (6) Cộng (5) và (6) vế theo vế ta có: AB. AE + AF. AD = (AG + CG) .AG + (AG + CG) .CG AB. AE + AF. AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2 Vậy: AB. AE + AD. AF = AC2 Bài 5. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F;G;H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; CD; DA và M là giao điểm của CE và DF. a. Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vuông. b. Chứng minh DF  CE và MAD cân. c .Tính diện tích MDC theo a. A E B F H M N C D G Chứng minh: EFGH là hình thoi. Chứng minh có 1 góc vuông. Kết luận Tứ giác EFGH là Hình vuông VBEC VCFD(c.g.c) E· CB F· DC mà VCDF vuông tại C C· DF D· FC 900 D· FC E· CB 900 VCMF vuông tại M . Hay CE  DF. Gọi N là giao điểm của AG và DF. Chứng minh tương tự: AG  DF GN//CM mà G là trung điểm DC nên N là trung điểm DM. Trong MAD có AN vừa là đường cao vừa là trung tuyến MAD cân tại A. 2 2 CD CM SVCMD CD CD VCMD : VFCD(g.g) Do đó : SVCMD .SVFCD FD FC SVFCD FD FD 1 1 CD2 1 Mà : S CF.CD CD2 . Vậy : S . CD2 . VFCD 2 4 VCMD FD2 4 Trong VDCF theo Pitago ta có : 2 2 2 2 1 2 2 1 2 5 2 DF CD CF CD BC CD CD .CD . 2 4 4 Vương Văn Kiên 32 THCS Quyết Thắng
  33. Ôn tập hè Toán 8 CD2 1 1 1 Do đó : S . CD2 CD2 a2 VMCD 5 CD2 4 5 5 4 Bài 6:Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC). Các đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Gọi M trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K. a. Chứng minh ABC đồng dạng EFC. b. Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh NC = ND và HI = HK. AH BH CH c. Gọi G là giao điểm của CH và AB. Chứng minh: 6 HE HF HG A F K G H I B E M C N D CE CA a)Ta có AEC : BFC (g-g) nên suy ra CF CB CE CA Xét ABC và EFC có và góc C chung nên suy ra ABC : EFC ( c-g-c) CF CB b) Vì CN //IK nên HM  CN M là trực tâm HNC MN  CH mà CH  AD (H là trực tâm tam giác ABC) nên MN // AD Do M là trung điểm BC nên NC = ND IH = IK ( theo Ta let) AH S S S S S S c) Ta có: AHC ABH AHC ABH AHC ABH HE SCHE SBHE SCHE SBHE SBHC BH S S CH S S Tương tự ta có BHC BHA và BHC AHC BF SAHC CG SBHA AH BH CH S S S S S S AHC ABH BHC BHA BHC AHC HE HF HG SBHC SAHC SBHA S S S S S S = AHC ABH BHC BHA +BHC AHC 6 . Dấu ‘=’ khi tam giác ABC đều, mà theo gt thì AB SBHC SBHC SAHC SAHC SBHA SBHA < AC nên không xảy ra dấu bằng. Bài 7: Cho hình vuông ABCD. Trên BC lấy điểm E, qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AE, đường thẳng này cắt CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF, AI cắt CD tại K. Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt AI tại G. a. Chứng minh AE = AF. b. Chứng minh tứ giác EGFK là hình thoi. c. Chứng minh AKF đồng dạng CAF. d. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BE = BM. Tìm vị trí của điểm E trên cạnh BC để diện tích DEM đạt giá trị lớn nhất? Vương Văn Kiên 33 THCS Quyết Thắng
  34. Ôn tập hè Toán 8 B E C M I K G A D F a) ABE = ADF (cạnh góc vuông, góc nhon) suy ra AE = AF b)Tam giác AEF vuông cân suy ra AI  EF (1) Tứ giác EGFK là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường vì IEG = IFK) (2) Từ (1) và (2) suy ra EGFK là hình thoi c)Xét AKF và CAF có chung góc F; Lại có tam giác EAF vuông cân nên K· AF 450 = A· CE 450 suy ra hai tam giác đồng dạng d)Gọi cạnh hình vuông là a . Đặt BE = BM = x suy ra CE = a – x ; AM = a – x 2 1 1 1 2 SDEM SABCD SBME SAMD SDCE = a a(a x) a(a x) x 2 2 2 1 1 1 1 = (x2 2ax) (x a)2 a2 a2 (x a)2 a2 2 2 2 2 1 2 SDEM đạt giá trị lớn nhất là a khi x –a = 0 tức x = a nghĩa là khi đó E trùng C 2 Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m AB . 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM GB HD 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: . BC AH HC HD: a) Hai tam giác ADC và BEC có: Góc C chung. CD CA (Hai tam giác vuông CDE và CE CB CAB đồng dạng) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). Suy ra: B· EC ·ADC 1350 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết). Nên ·AEB 450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: BE AB 2 m 2 Vương Văn Kiên 34 THCS Quyết Thắng
  35. Ôn tập hè Toán 8 BM 1 BE 1 AD b) Ta có:   (do BEC : ADC ) BC 2 BC 2 AC mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông cân tại H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH nên   (do ABH : CBA ) BC 2 AC 2 AC AB 2 BE Do đó BHM : BEC (c.g.c), suy ra: B· HM B· EC 1350 ·AHM 450 c) Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC. GB AB AB ED AH HD Suy ra: , mà ABC : DEC ED // AH GC AC AC DC HC HC \ GB HD GB HD GB HD Do đó: GC HC GB GC HD HC BC AH HC Vương Văn Kiên 35 THCS Quyết Thắng