Bài tập Đại số Lớp 8: Tìm cực trị đại số

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 8: Tìm cực trị đại số

1. BÀI TẬP TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ 3 4x Bài 1: : Tìm GTNN và GTLN của A = x2 1 Giải: Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số : x2 4x 4 x2 1 (x 2)2 A = = - 1 -1 x2 1 x2 1 Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2 4x2 4 4x2 4x 1 (2x 1)2 Tìm GTLN A = = 4 - 4 x2 1 x2 1 Bài 2: Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1 sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến đây ta có nhiều cách giải Cách 1: sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A x + y = 1 x2 + 2xy + y2 = 1 (1) Mà (x – y)2 0 Hay: x2 - 2xy + y2 0 (2) 1 Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) 1 x2 + y2 2 1 1 minA = khi và chỉ khi x = y = 2 2 Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x. Thay y = x – 1 vào A 1 1 1 A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 - )2 + 2 2 2 1 1 minA = khi và chỉ khi x = y = 2 2 Cách 3: Sử dụng điều kiện đã cho để dưa về một biến mới 1 1 Đặt x = + a thì y = - a . Biểu thị x2 + y2 ta được : 2 2 1 1 1 1 1 1 x2 + y 2 = ( + a)2 + ( - a)2 = +2 a2 => MinA = a = 0 x=y = 2 2 2 2 2 2 Bài 3: Tìm GTNN của ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +2 2 minA= 2 y=0 x=2
2. Chú ý 2, Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn nhất A nhỏ nhất 1 lớn nhất B nhỏ nhất với B > 0 B x4 1 Bài 4: Tìm GTLN của A (x2 1)2 (Chú ý A > 0 nên A lớn nhất khi 1 nhỏ nhất và ngược lại) A 1 (x2 1)2 x4 2x2 1 2x2 1 Ta có : = 1 .Vậy 1 A x4 1 x4 1 x4 1 A min1 = 1 khi x = 0 .Do đó max A =1 khi x = 0 A Bài 5: Cho x2 + y2 = 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ( 22+32 ).52 ( 2x + 3y )2 13.13.4 2x 3y 2x + 3y 26. Vậy maxA = 26 2x 3y 0 3x Thay y = vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4 x2 = 16 x=4 hoặc x= -4 2 Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y 0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y 0 Vậy Max A = 26 x =4 , y = 6 Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khac nhau 1 4 Bài 6: cho x, y > 0 thỏa mãn x +y =1 . Tìm GTNN của biểu thức : A = x y 1 4 1 4 4 Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm , ta có: (1) x y x y xy 1 x y 1 4 4 4 Lại có: xy (2 ) Từ (1) và (2) suy ra : A = 8 . 2 2 x y xy 1 2 Vậy Min A = 8 Phân tích sai lầm: 1 4 Đẳng thức xảy ra ở (1) khi 4x y x y Đẳng thức xảy ra ở (2) khi x = y . Từ đó suy ra x = y = 0 ( Loại vì x + y = 1)
3. Có bạn đến đây KL không có giá trị nhỏ nhất cũng là KL sai. 1 4 4x y Giải đúng: Vì x + y = 1 nên A = x+y 5 x y y x 4x y 4x y 4x y Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm , Ta có : 2 . 4 y x y x y x 1 4x y x y 2x 3 Dấu “=” xẩy ra khi y x x y 1 2 x y 1 y 3 Bài 7: cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y= 1. Tìm GTNN của BT : 2 2 1 1 A = x+ y x y 1 Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x, Ta có: x 1 1 x+ 2 x. 2 (1) x x 1 1 1 Áp dụng BĐT cô si cho hai số không âm y, Ta có: y+ 2 y. 2 (2) y y y Từ (1) và (2) =>A 8 => Min A = 8 1 Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy ra ở (1) khi x x2 1 x 1 Đẳng thức sảy ra ở (2) khi y y2 1 . Từ đó suy ra x = y = 1 ( Loại vì x + y = 1) y Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có : 2 2 x + y 1 1 1 1 xy xy xy A = x+ y 2 2 4 x y 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 Ta có : A = 4 + x +y + . Khi đó: x + y = (x + y) – 2xy 1 - = (1) x y 2 2 1 1 1 2 1 25 25 2 8 (2). Từ (1) và (2) =>A 8 + +4 = =>Min A = khi x2 y2 x2.y2 xy 2 2 2 x=y = 1 2 3x4 16 Bài 8: cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức: A = x3
4. 3x4 16 16 16 Giải : Ta có A = 3x x x x x3 x3 x3 16 16 Áp dụng BĐT Cô-si Ta có : A = x+x+x+ 4 4 x.x.x. 4.2 8 x3 x3 16 Vậy Min A = 8 x x 2 x3 9x 2 Bài 9: Cho 0 0. Tìm GTNN của biểu thức: M = x t t y y z z x t y y z z x x t Giải 1 1 4 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: với a, b > 0. a b a b x t t y y z z x Ta có : M = M + 4 – 4 = 1 1 1 1 4 t y y z z x x t x y t z y x z t = 4 t y y z z x x t 1 1 1 1 = (x y) (z t) 4 t y z x y z x t 4(x y) 4(z t) 4 0 x y z t x y z t x t t y y z z x Vậy GTNN của biểu thức: M = là 0 , đạt được khi x = y t y y z z x x t và z = t. 4a 9b 16c Bài 11: . Tìm GTNN của P = trong đó a, b, c là độ b c a c a b a b c dài ba cạnh của một tam giác. Giải 4a 9b 16c a 1 b 1 c 1 29 4 9 P = b c a c a b a b c b c a 2 c a b 2 a b c 2 2 a b c 4 9 16 29 . 2 b c a c a b a b c 2 a b c (2 3 4) 2 29 a b c 81 29 . . 26 2 (b c a) (c a b) (a b c) 2 2 a b c 2
5. a b c VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P lµ 26 ®¹t ®ưîc khi 7 6 5 Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = 3 (1) Và x 2 x 3 x 2 3 x x 2 3 x = 1 (2) Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1 + 3 = 4 Ta có từ (1) Dấu bằng xảy ra khi 1 x 4 (2) Dấu bằng xảy ra khi 2 x 3 Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2 x 3 Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x 2 2x 2007 A , ( x 0) 2007x 2 2 2 2 2 2 A = 2007x 2x.2007 2007 = x 2x.2007 2007 + 2006x 2007x 2 2007x 2 2007x 2 (x 2007) 2 2006 2006 = 2007x 2 2007 2007 A min = 2006 khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 2007 Bài 14: Cho biểu thức: y = x ; ( x>0) (x 2004) 2 Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị đó Đặt t = 1 . Bài toán đưa về tìm x để t bé nhất 2004y 2 2 2 Ta có t = (x 2004) = x 2.2004x 2004 2004x 2004x x 2004 x 2 20042 = 2 = 2 (1) 2004 x 2004x Ta thấy: Theo bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có: x 2 20042 x2 + 20042 2. 2004 .x 2 (2) 2004x Dấu “ =” xảy ra khi x= 2004 Từ (1) và (2) suy ra: t 4 Vậy giá trị bé nhất của t = 4 khi x =2004. 1 1 Vậy ymax= Khi x= 2004 2004t 8016 2x 1 Bài 15:Tìm giá trị lớn nhất của biẻu thức: M x2 2 2 2 2 2 2 2x 1 x2 2 x2 2 x 2 x 2x 1 x 2 x 1 x 1 M 1 x2 2 x2 2 x2 2 x2 2 2 x 1 M lớn nhất khi nhỏ nhất. x2 2
6. 2 2 2 x 1 2 Vì x 1 0x và x 2 0x nên 2 nhỏ nhất khi x 1 = 0. x 2 Dấu “=” xảy ra khi x - 1 = 0 x 1 . Vậy Mmax = 1 khi x = 1. x2 Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = với x ≠ 0 1 x4 x2 B= với x ≠ 0 giải và tìm được B max = 1/2 thì x = 1 1 x4