Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 3 - Bài 2: Cấp số cộng (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 3 - Bài 2: Cấp số cộng (Có đáp án)

1. BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG u1 1 Câu 137. Cho dãy số un với 2n . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới un 1 un ( 1) đây 2n A. un 1 n . B. un 1 n . C. un 1 ( 1) . D. un n . Lời giải. Chọn D. 2n Ta có un 1 un 1 un 1 un là một cấp số cộng với u1 1 và d 1 un n . u1 1 Câu 138. Cho dãy số un với 2n 1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới un 1 un 1 đây A. un 2 n . B. un không xác định. C. un 1 n . D. un n với mọi n. Lời giải. Chọn A. Ta có un 1 un 1 un là một cấp số cộng có u1 1 và d 1 un 2 n . Câu 139. Cho cấp số cộng 2, x, 6, y . Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: A. x 6, y 2 . B. x 1, y 7 . C. x 2, y 8 . D. x 2, y 10 . Lời giải Chọn D Ta có 2d 8 d 4 x 2, y 10 . Câu 140. Khẳng định nào sau đây là sai. 1 1 3 1 1 A. Dãy số ; 0; ; 1; ; là một cấp số cộng với u ; d . 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 B. Dãy số ; ; ; là một cấp số cộng với u ; d . 2 22 23 1 2 2 C. Dãy số: 2; 2; 2; 2; là cấp số cộng với u1 2; d 0 . D. Dãy số: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; không phải là một cấp số cộng. Lời giải. Chọn B. 1 1 Câu 141. Cho một cấp số cộng có u ; d . Hãy chọn kết quả đúng. 1 2 2 1 1 1 1 1 A. Dạng khai triển: ; 0; 1; ; 1; B. Dạng khai triển: ; 0; ; 0; ; 2 2 2 2 2 1 3 5 1 1 3 C. Dạng khai triển: ; 1; ; 2; ; D. Dạng khai triển: ; 0; ; 1;. ; 2 2 2 2 2 2 Lời giải. Chọn D. Câu 142. Cho cấp số cộng un . Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
2. u u u .u A. 10 20 u u . B. u u 2u . C. u .u u . D. 10 30 u . 2 5 10 90 210 150 10 30 20 2 20 Lời giải Chọn B. Ta có u90 u210 u1 89d u1 109d 2 u1 149d 2u150 . Câu 143. Cho dãy số un xác định bởi: u1 150 và un un 1 3 với mọi n 2 . Khi đó tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số đó bằng A. 150. B. 300 . C. 29850 . D. 59700 . Lời giải Chọn A. Ta có un là cấp số cộng có u1 150, d 3. 100.99.( 3) S 100.150 150 . 100 2 Câu 144. Cho cấp số cộng un có: u2 2001 và u5 1995 . Khi đó u1001 bằng A. 4005 . B. 4003. C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn C. u5 u1 4d u1 2003 Ta có . u2 u1 d d 2 u1001 u1 1000d 3. Câu 145. Cho một cấp số cộng có u1 3; u6 27 . Tìm d ?. A. d 5. B. d 7 . C. d 6 . D. d 8. Lời giải. Chọn C u u Ta có: u u 5d d 6 1 6 . 6 1 5 1 Câu 146. Cho một cấp số cộng có u ; u 26 . Tìm d ?. 1 3 8 11 3 10 3 A. d . B. d . C. d . D. d . 3 11 3 10 Lời giải. Chọn A. u u 11 Ta có: u u 7d d 8 1 . 8 1 7 3 Câu 147. Cho một cấp số cộng có: u1 0,1; d 0,1. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là. A. 1,6 . B. 6 . C. 0,5. D. 0,6 . Lời giải. Chọn C Ta có: u7 u1 6d 0,1 6.0,1 0,5. Câu 148. Cho cấp số cộng un tăng có hai số hạng là 3 và 37 , biết giữa hai số trên có 9 số hạng. Chọn khẳng định đúng
3. A. Trong 9 số nói ở đề bài có số 16. B. Tổng của 11 số hạng trên bằng 186. C. Trong 9 số nói ở đề bài có số 29 . D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai. Lời giải Chọn C. u1 3 u1 3 u1 3 Từ giả thiết . u11 37 u1 10d 37 d 4 Và dễ dàng tìm được số tự nhiên k 2, ,10 để uk 29 . Thật vậy uk 29 3 k 1 .4 37 k 8 . Vậy trong 9 số nói ở đề bài có số 29 . Câu 149. Cho cấp số cộng un có số 10 số hạng, số hạng đầu là 2 và số hạng cuối là 65. Chọn khẳng định đúng A. Tổng của các số hạng của cấp số cộng là 335 . B. Công sai của cấp số cộng bằng 1,4 . C. Tổng của các số hạng của cấp số cộng là 671. D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai. Lời giải Chọn A. u1 2 u1 2 u1 2 Từ giả thiết . u10 65 u1 9d 65 d 7 10 Vậy tổng các số hạng trong cấp số cộng trên là S 2 65 335 . 10 2 1 u1 Câu 150. Cho dãy số un với 2 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là un 1 un 2 1 1 1 1 A. u 2(n 1) . B. u 2(n 1) . C. u 2n . D. u 2n . n 2 n 2 n 2 n 2 Lời giải. Chọn B. 1 1 Ta có u u 2 u là một cấp số cộng với u và d 2 u 2 n 1 . n 1 n n 1 2 n 2 Câu 151. Cho một cấp số cộng CSC có: u1 0,1; d 1. Khẳng định nào sau đây là đúng. A. Số hạng thứ 7 của CSC là 0,6 . B. CSC không có hai số 0,5 và 0,6 . C. Số hạng thứ 6 của CSC là 0,5. D. Số hạng thứ 4 của CSC là 3,9 . Lời giải. Chọn B. Ta có: u7 u1 6d 0,1 6.1 5,9 . u6 u1 5d 0,1 5 4,9 . u4 u1 3d 0,1 3 2,9 .
4. Câu 152. Cho cấp số cộng un có u4 8; u7 14 . Cấp số cộng trên có: A. u5 u7 26 . B. u6 3u2 . C. 2u3 4u5 33. D. 3u5 u2 41. Lời giải Chọn B. u1 3d 8 u1 2 Từ giả thiết Ta có . u1 6d 14 d 2 Vậy u6 u1 5d 12; 3u2 3 u1 d 12 u6 3u2 . Câu 153. Cho cấp số cộng un có u4 3 và tổng của 9 số hạng đầu tiên là S9 45 . Cấp số cộng trên có: A. S10 92. B. S20 980 . C. S3 56 . D. S16 526. Lời giải Chọn B. u1 3d 3 u1 27 Từ giả thiết Ta có 9 . 2u1 8d 45 d 8 2 Vậy S20 10 2u1 19d 980 . Câu 154. Cho cấp số cộng un ; Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của un . Biết S5 25; S16 160 . Khi đó: un có: 10 83 A. d 1. B. u 3. C. d . D. u . 1 11 1 11 Lời giải Chọn C. 90 5 u1 u1 4d 25 11 Từ giả thiết Ta có 2 . 10 8 2u 15d 160 d 1 11 10 Vậy d . 11 Câu 155. Cho cấp số cộng un có 9 số hạng, biết tổng của ba số hạng đầu tiên bằng 15, tổng của 4 số hạng cuối bằng 86 . Cấp số cộng này có: A. d 2 . B. u1 3. C. d 3. D. u1 4 . Lời giải Chọn C. 3 2u1 2d 15 u1 2 Từ giả thiết ta có 2 . d 3 4u1 26d 86 Vậy d 3. n Câu 156. Cho các dãy un ; sn : un 1 3n; sn 2 . Chọn khẳng định đúng A. un và sn là hai cấp số cộng.
5. B. un là cấp số cộng và sn không phải là cấp số cộng. C. sn là cấp số cộng và un không phải là cấp số cộng. D. un không là cấp số cộng và sn không là cấp số cộng. Lời giải Chọn B. * Dễ thấy un 1 un 1 3 n 1 1 3n 3 n ¥ nên un là cấp số cộng. 2 1 3 2 Mặt khác s2 s1 2 2 2; s3 s2 2 2 4 s3 s2 s2 s1 nên sn không phải là cấp số cộng. 2 Câu 157. Cho các dãy vn ; tn : vn 2n 1; tn n . Chọn khẳng định đúng A. vn và tn là hai cấp số cộng. B. vn là cấp số cộng và tn không phải là cấp số cộng. C. tn là cấp số cộng và vn không phải là cấp số cộng. D. vn không là cấp số cộng và tn không là cấp số cộng. Lời giải Chọn B. * Dễ thấy vn 1 vn 2 n 1 1 2n 1 2 n ¥ nên vn là cấp số cộng. 2 2 2 2 Mặt khác t2 t1 2 1 3; t3 t2 3 2 5 t3 t2 t2 t1 nên tn không phải là cấp số cộng. Câu 158. Cho một cấp số cộng CSC có: u1 0,3; u8 8 . Khẳng định nào sau đây là sai. A. Số hạng thứ 2 của CSC là1,4 . B. Số hạng thứ 3 của CSC là 2,5. C. Số hạng thứ 4 của CSC là 3,6 . D. Số hạng thứ 7 của CSC là 7,7 . Lời giải. Chọn D. 8 0,3 Ta có: u u 7d d 1,1 u u 6d 6,9 . 8 1 7 7 1 Câu 159. Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được dãy số có 5 số hạng. A. 7; 12; 17 . B. 6; 10; 14. C. 8; 13; 18 . D. 6; 12; 18. Lời giải. Chọn A. u u Ta có: u 2; u 22 d 5 1 5 u 7; u 12; u 17 . 1 5 4 2 3 4 1 16 Câu 160. Viết 4 số hạng xen giữa các số và để được dãy số có 6 số hạng. 3 3 4 5 6 7 4 7 10 13 4 7 11 14 3 7 11 15 A. ; ; ; . B. ; ; ; . C. ; ; ; . D. ; ; ; . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 Lời giải. Chọn B. 1 16 u u 4 7 10 13 Ta có: u ; u d 6 1 1 u ; u ; u ; u . 1 3 6 3 5 2 3 3 3 4 3 5 3
6. Câu 161. Cho dãy số un với: un 7 2n . Khẳng định nào sau đây là sai A. 3 số hạng đầu của dãy: u1 5; u2 3; u3 1. B. Số hạng thứ n 1 là un 1 8 2n . C. Là cấp số cộng có d 2 . D. Số hạng thứ 4 là u4 1. Lời giải Chọn B. Vì un 1 7 2 n 1 5 2n . 1 Câu 162. Cho dãy số u với: u n 1. Khẳng định nào sau đây là đúng n n 2 1 A. Dãy số này không phải là cấp số cộng. B. Số hạng thứ n 1:u n . n 1 2 1 C. Hiệu:u u . D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là S 12. n 1 n 2 5 Lời giải Chọn C 1 1 1 Vì u u n 1 1 n 1 . n 1 n 2 2 2 Câu 163. Cho dãy số un với: un 2n 5 . Khẳng định nào sau đây là sai A. Là cấp số cộng có d 2 . B. Là cấp số cộng có d 2 . C. Số hạng thứ n 1:u 2n 7 . D. Tổng của 4 số hạng đầu tiên là S 40 . n 1 4 Lời giải Chọn A. Xét un 1 un 2 n 1 5 2n 5 2 . Vậy un là cấp số cộng có d 2 . Câu 164. Trong các dãy số (un ) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng u1 1 u1 2 u1 1 u1 3 A. 3 . B. . C. . D. . un 1 un 1 un 1 un n un 1 un 2 un 1 2un 1 Lời giải Chọn C. u1 1 3 Ta có u2 0, u3 1, u4 2, u5 9 nên u5 u4 u4 u3 . un 1 un 1 u1 2 .Ta có un 1 un n . (không là hằng số không đổi ). un 1 un n u1 1 . Ta có un 1 un 2 (là số không đổi với mọi n ). un 1 un 2 Câu 165. Cho cấp số cộng: 6, x, 2, y . Hãy chọn kết quả đúng. A. x 2, y 5 . B. x 4, y 6. C. x 2, y 6 . D. x 4, y 6 . Lời giải Chọn C.
7. Theo tính chất cấp số cộng, ta có hệ: x 6 2 x x 2 2 x y 2 y 6 . Câu 166. Cho cấp số cộng un có 2u4 3u5 5 và tổng của ba số hạng đầu tiên bằng 15. Cấp số cộng này có u8 bằng bao nhiêu: A. 7 . B. 7 . C. 9 . D. 9 . Lời giải Chọn A. u1 6d 5 u1 7 Từ giả thiết Ta có 3 . d 2 2u1 2d 15 2 Vậy u8 u1 7d 7 . 1 Câu 167. Cho cấp số cộng u có: u 3; d . Khẳng định nào sau đây là đúng n 1 2 1 1 A. u 3 (n 1) . B. u 3 n 1. n 2 n 2 1 1 C. u 3 (n 1) . D. u n( 3 (n 1) ) . n 2 n 4 Lời giải Chọn C 1 Ta có u u n 1 d 3 n 1 . . n 1 2 4 1 Câu 168. Cho cấp số cộng u có u ; d . Khẳng định nào sau đây đúng n 1 5 4 5 4 5 4 A. S . B. S . C. S . D. S . 1 4 1 5 1 4 1 5 Lời giải Chọn D. Câu 169. Cho cấp số cộng un có d 2; S8 72 . Tính u1 1 1 A. u 16 . B. u 16 . C. u . D. u . 1 1 1 16 1 16 Lời giải Chọn A. 8 2u 7d Ta có S 72 1 72 4 2u 14 72 u 16 . 8 2 1 1 Câu 170. Cho cấp số cộng un có d 0,1; S5 0,5 . Tính u1 10 10 A. u 0,3. B. u . C. u . D. u 0,3. 1 1 3 1 3 1 Lời giải Chọn D. 5 2u 4d 3 Ta có S 0,5 1 0,5 5 2u 0,4 1 u 0,3 . 5 2 1 1 10
8. Câu 171. Cho cấp số cộng un có u1 1, d 2, Sn 483 . Tính số các số hạng của cấp số cộng A. n 20 . B. n 21. C. n 22 . D. n 25 . Lời giải Chọn D. n 2u n 1 d n 2 n 1 2 Ta có S 1 483 n 25. n 2 2 Câu 172. Cho cấp số cộng un có u1 2; d 2; S 15 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng A. S là tổng của 5 số hạng đầu của cấp số cộng. B. S là tổng của 6 số hạng đầu của cấp số cộng. C. S là tổng của 7 số hạng đầu của cấp số cộng. D. S là tổng của 8 số hạng đầu của cấp số cộng. Lời giải Chọn A. 5 2u 4d 5 2 2 4 2 Ta có S 1 15 2 . 5 2 2 Câu 173. Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d A. un un d . B. un u1 n 1 d . C. un u1 n 1 d . D. un u1 n 1 d . Lời giải Chọn D. Câu 174. Cho cấp số cộng hữu hạn un có số hạng đầu u1 3. Chọn khẳng định đúng A. Nếu công sai d 4 thì tổng của các số hạng của cấp số cộng là S 78 . B. Nếu công sai d 2 thì tổng của các số hạng của cấp số cộng là S 18 . C. Nếu công sai d 6 thì tổng của các số hạng của cấp số cộng là S 10 . D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai. Lời giải Chọn D. Xét các phương trình ẩn n ¥ * : n 6 n 1 4 78 2n2 5n 78 0 2 n 6 n 1 2 18 n2 4n 18 0 2 n 6 n 1 6 10 3n2 6n 10 0 2 Và dễ dàng thấy các phương trình trên vô nghiệm. Vậy các khẳng định ở A, B, C đều sai. Câu 175. Xác định x để 3 số 1 x; x2 ; 1 x lập thành một cấp số cộng A. Không có giá trị x . B. x 2. C. x 1. D. x 0 . Lời giải Chọn C 3 số 1 x; x2 ; 1 x lập thành một cấp số cộng 1 x 1 x 2x2 x 1.
9. Câu 176. Xác định x để 3 số 1 2x; 2x2 1; 2x lập thành một cấp số cộng 3 3 A. x 3 . B. x . C. x . D. Không có giá trị x . 2 4 Lời giải Chọn B. 3 3 số 1 2x ; 2x2 1; 2x lập thành một cấp số cộng 1 2x 2x 4x2 2 x . 2 Câu 177. Xác định a để 3 số 1 3a ; a2 5; 1 a lập thành một cấp số cộng A. Không có giá trị a . B. a 0 . C. a 1. D. a 2 . Lời giải Chọn A. 3 số 1 3a ; a2 5; 1 a lập thành một cấp số cộng 1 3a 1 a 2 a2 5 : vô nghiệm. Câu 178. Cho a, b, c lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng A. a2 c2 2ab 2bc . B. a2 c2 2ab 2bc . C. a2 c2 2ab 2bc . D. a2 c2 ab bc . Lời giải Chọn B. Ta có a2 c2 2ab 2bc a c a c a c 2b : Đúng. Câu 179. Cho a, b, c lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng A. a2 c2 2ab 2bc 2ca . B. a2 c2 2ab 2bc 2ac . C. a2 c2 2ab 2bc 2ac . D. a2 c2 2ab 2bc 2ac . Lời giải Chọn C a2 c2 2ab 2bc 2ac a c 2 2b a c a c a c 2b 0: Đúng. Câu 180. Cho a, b, c lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng a A. 2b2 , a2 , c2 . B. 2c, 4b, 2a . C 2b, a, c . D. 2b, , c . 2 Lời giải Chọn D. Do a, b, c lập thành cấp số cộng nên a c 2b . a 2b c a c c a 2. . 2 Câu 181. Cho cấp số cộng un có u4 12; u14 18 . Tìm u1; d của cấp số cộng? A. u1 20; d 3. B. u1 22; d 3. C. u1 21; d 3. D. u1 21; d 3. Lời giải Chọn C. Ta có u14 u4 10d d 3 Ta có u4 u1 3d u1 u4 3d 21. Câu 182. Cho cấp số cộng un có u4 12; u14 18 . Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là A. S 24 . B. S 24 . C. S 26 . D. S 25.
10. Lời giải Chọn A. Ta có u14 u4 10d d 3 Ta có u4 u1 3d u1 u4 3d 21 16 S 2u 15d 24. 2 1 Câu 183. Cho cấp số cộng un có u5 15, u20 60 . Tìm u1 , d của cấp số cộng A. u1 35, d 5. B. u1 35, d 5. C. u1 35, d 5. D. u1 35, d 5. Lời giải Chọn B. Ta có u20 u5 15d d 5 Ta có u5 u1 4d u1 u5 4d 35 . Câu 184. Cho cấp số cộng un có u5 15; u20 60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là A. S 200 . B. S 200 . C. S 250 . D. S 25. Lời giải Chọn C Ta có u20 u5 15d d 5 Ta có u5 u1 4d u1 u5 4d 35 20 S 2u 19d 250 . 2 1 Câu 185. Cho cấp số cộng un có u2 u3 20; u5 u7 29. Tìm u1; d A. u1 20; d 7 . B. u1 20,5; d 7 . C. u1 20,5; d 7 . D. u1 20,5; d 7 . Lời giải Chọn C Ta có u2 u1 d; u3 u1 2d; u7 u1 6d . u2 u3 2u1 3d 20 u1 20,5 Suy ra u5 u7 2u1 10d 29 d 7 Câu 186. Cho cấp số cộng: 2; 5; 8 ; 11 ; 14 ,; Tìm d và tổng của 20 số hạng đầu tiên A. d 3; S20 510 . B. d 3; S20 610 . C. d 3; S20 610 . D. d 3; S20 610. Lời giải Chọn B. Ta có u1 2 ; u2 5 . Suy ra d u2 u1 5 ( 2) 3. u u .20 u1 u1 19d .20 Từ đó ta có S 1 20 2u 19d .10 610 . 20 2 2 1 Câu 187. Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25 .Tìm 2 góc còn lại
11. A. 65; 90 . B. 75; 80 . C. 60; 95 . D. 60; 90 . Lời giải Chọn C Dựa vào giả thiết ta có u1 25 . Lại có u2 u1 d ; u3 u1 2d .Ta có tổng 3 góc của tam giác bằng 180 hay u1 u2 u3 180 u1 u1 d u1 2d 180 u1 d 60 . Suy ra u2 60 hay d 35. Từ đó ta có u3 95 . µ Câu 188. Cho tứ giác ABCD biết sn góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng 30 . Tìm các góc còn lại A. 75; 120; 165 . B. 72; 114; 156 . C. 70; 110; 150 . D. 80; 110; 135 . Lời giải Chọn C Dựa vào giả thiết ta có u1 30. Lại có u2 u1 d; u3 u1 2d; u4 u1 3d . Ta có tổng 4 góc của tứ giác bằng 360 Hay u1 u2 u3 u4 360 4u1 6d 360 d 40. Suy ra u2 70; u3 110; u4 150 . 1 1 3 5 Câu 189. Cho dãy số u : ; - ; - ; - ; .Khẳng định nào sau đây sai n 2 2 2 2 A. un là một cấp số cộng. B. Dãy số là một cấp số cộng có d 1. C. Số hạngu20 19,5. D. Tổng của 20 số hạng đầu tiên là 180 . Lời giải Chọn C 1 1 3 5 Đặt u ; u - ; u - ; u - ; 1 2 2 2 3 2 4 2 Ta có un là một cấp số cộng, có d 1 Suy ra u20 u1 19d 18,5 nên C sai 2n 1 Câu 190. Cho dãy số u có u . Khẳng định nào sau đây đúng n n 3 1 2 1 2 A. u là cấp số cộng có u ; d - . B. u là cấp số cộng có u ; d . n 1 3 3 n 1 3 3 C. un không phải là cấp số cộng. D. un là dãy số giảm và bị chặn. Lời giải Chọn B. 1 u u 2 Ta có u , d n 1 1 3 n 1 3 1 Câu 191. Cho dãy số u có u . Khẳng định nào sau đây sai n n n 2
12. 1 1 A. Dãy số u là cấp số cộng có u ; u . n 1 2 n n 2 B. Dãy số un là một dãy số giảm dần. C. Dãy số un là một cấp số cộng. 1 D. Dãy số u bị chặn trên bởi M . n 2 Lời giải Chọn A. 1 1 Ta có u nên A sai. 1 1 2 3 2n2 1 Câu 192. Cho dãy số u có u . Khẳng định nào sau đây sai n n 3 1 2 A. Dãy số u là cấp số cộng có u ; d . n 1 3 3 (2n 1)2 1 B. Số hạng thứ n 1: u . n 1 3 2(2n 1) C. Hiệu u u . n 1 n 3 D. Không phải là một cấp số cộng. Lời giải Chọn A. 1 7 17 Ta có u ; u ; u suy ra u không là cấp số cộng.Vậy A sai 1 3 2 3 3 3 n